UA1 JS 2018 I (matematica financeira)

2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 1/51 Todos os direitos autorais reservados à MARCIA R EBELLO DA SILVA OBJETIVOS: Ao final desta unidade, você será capaz de: 1- Entender o valor do dinheiro ao longo do tempo em r egime de capitalização simples 2- Conhecer e compreender o conceito fundamental da matemática financei ra: Juro 3- Entender o conceito de taxa de juros: taxa unitária, taxa percentual 4- Con hecer e co mpreender os outros conceitos fundamentais: C apital, Montante, Período e Taxa de Juros 5- Compreender homogeneidade entre taxa e tempo, e transformar o tempo ou a taxa quando as unidades de tempo não forem homogêneas. 6- Calcular as variáveis: Juro; Montante; Capital; Período; e Taxa de Juros no P eríodo de Capitalização Simples. 7- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA1 . 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 2/51 A Matemática Financeira preocupa-se com o estudo de d uas variáveis; uma delas é representada pelo denominador finan ceiro comum, o dinheiro; e a outra variável é representada pelo tempo. Portanto, como a M atemática F inanceira t em p or essência o estud o do dinheiro ao longo do tempo, o objetivo b ásico é fazer análises financeiras que env olvem o estudo simultâneo do dinheiro n o tempo, isto é, fazer comparações do s vários fluxos de entradas e saídas d e dinhei ros de caixa verificados em vários momentos. Assim sendo nada mais é do que o estudo da equivalência de " valores datados " . Como os problemas financeiros depen dem b asicamente do fluxo de entradas e saídas de dinheiro ao lon go do tempo, o f luxo de caixa é de g rande utilidade par a as o perações da matemáti ca financeira, permitindo assim, uma melhor visualização do que ocorre com o capital. Convenções: a) Reta horizontal: re gistra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação, com a progressão de tempo dando-se da esquerda para a direita. b) P eríodos de tempo: aparecem em i ntervalos contí g uos, de modo que cada n úmero representa os períodos de tempo (datas) acumulados. O ponto zero indica o momento inicial. c) Set as: significam entradas d e dinheiro (p ara cima) d a linha de te mpo ou saídas de dinheiro (para baixo) da linha de tempo. Tempo Entradas de Caixa (+) Saídas de Caixa (\u2212) 0 1 2 3 4 5 (+) (+) (\u2212) 1- OBJETIVO D A MATEMÁ TICA FINA NCEIRA 2- DIAGRAMA D O CAPI TAL NO TEMP O 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 3/51 d) Tamanho das setas: deveria representar p roporcionalmente o v alor do capital q ue está ent rando ou saindo. O Juro é o conc eito fundamental na m atemática fin anceira e é a diferença abs oluta entre o valor futuro e o valor pr esente; é a re muneração a qual quer título do capital utilizado dur ante certo período de tempo sob o ponto de vista do investidor, isto é, a renda do capital invest ido. As definições de JURO são: rendimento do capital, r emuneração do capital, ganho so bre o capital ou \u201caluguel\u201c do capital. Representamos o juro pela letra J . O juro por s er a rem uneração referent e ao uso do capital por um determinado, tempo , então existem outros conceitos essenciais para a matemática financeira. O capital pode ser definid o como a quantia que s e tem ou que se r ecebe no início d o prazo. O capital também pode ser chamado de: principal, depósito inicial , valor inicial, valor aplicado. Representamos o capital pela letra P , de principal. O montante é o r esultado que se o btém da aplicação de u m c apital, ou s eja, é qu anto se pa ga pelo empréstimo do capital ou quanto se recebe. Outras definições para o mon tante são : v alor de resgate (recebido), valor fina l, qua ntia, va lor capitalizado. Adotamos a notação letra S , que vem do inglês sum (montante) O período é definido como s endo o espaço de tempo pelo q ual o capital ficou aplicado. Este dado v em representado p or u m número de p eríodos que p odem ser, por exemplo anos, semestres, quadrimestres, bimestres, trimestres, meses, dias. Representamos o número de períodos pela letra n . 3- CONCEITO DE JU ROS 4- OUTROS CONCE ITOS FU NDAMENT AIS 4.1- C APITAL 4.2- M ONTANTE 4.3- P ERÍOD O 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 4/51 A taxa de juros por ser a relação entre o juro e o capital, ou seja, o fator que determina qual é a remuneração do capital em det erminado espaço de t empo; o coeficiente que determina os ju ros, portanto, é o elemento fundamental para a transposição e análise de valores datados. Adotamos a notação i . , que vem do in g lês interest (tax a). A se g uir veremos que a t axa de ju ros p ode ser representada de duas for mas e que é fácil passa r d e uma para a outra. A taxa de juros u nitária é a taxa que se refere-se a uma u nidade do capital . Re flete o rendimento de cad a unidade de capital em certo período de tempo. E sta é a forma que d eve ser usada nas fórmulas para cálculo de juros, capital, montante e período. Ex. 1: Taxa de 0,30 ao mês, então a aplicação de $ 1 por um mês gera um juro de $ 0,30. Solução: Taxa Unitária = 0,30 a.m. ($ 1) (0,30) = $ 0,30 Ex. 2: Taxa de 0,50 ao ano, então a aplicação de $ 20 por um ano gera um juro de $ 10. Solução: Taxa Unitária = 0,50 a.a. ($ 20) (0,50) = $ 10 A taxa de juros percentual é a taxa de juros que se refere a cem u nidades d e capital (percentual = por cem), i sto é, o valor dos juros para cada centésima part e do capital; e esta é a forma mais usual de se apresentar. Ex. 3: Um capital de $ 100 rende $ 10 em um mês; então a taxa de juros é 10% a.m. Solução: Taxa Percentual = 10% a.m. Juro = ($ 100) (10) 100 Juro = $ 10 4.4- T AXA DE J UROS 4.4.1- Taxa Unit ária 4.4.2- Taxa Per centual 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 5/51 Ex. 4: Para uma taxa percentual de juros de 40% a.s., qual será a taxa unitária? Solução: Taxa Unitária = 40 a.s. = 0,40 a.s . 100 Taxa Unitária = 0,40 a.s. R es p o s t a : 0,40 a.s. Ex. 5: Se a taxa de juros for 0,54 a.t., qual será a taxa percentual? Solução: Taxa Percentual = (0,54) (100%) Taxa Percentual = 54% a.t R es p o s t a : 5 4 % a . t . Ex. 6: Para uma taxa de juros de 1,5% a.m, calcular a taxa unitária? Solução: Taxa Unitária = 1,5 a.m. 100 Taxa Unitária = 0,015 a.m R e s po s t a : 0,015 a.m NOTA: Para transformar a taxa percentual em unitá ria basta dividir a notação da porcentagem por 100. Lembrete: \uf04e Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros . NOTA: Para transformar a tax a unitária em percentual basta multiplicar por 100 e acrescentar o \u201c % \u201d ( ze r o ba r r a ze r o ) , e n ã o , p o nt o b a r r a p o n t o \u2192 . / . 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 6/51 No re gime de juros s imples som ente o princip al produz juros durante o período de tempo da transação. Os juros (ou rendi mentos ) que um capital produz são constantes e proporcionais ao capital aplicado, na razão da taxa de juros. Onde: Unidades J : Juros ou Rendimento [ $ ] P : Principal ou Capital [ $ ] i : Taxa de Juros Unitária ou Rentabilidade Unitária [ 1/T ] n : Períodos de Tempo da Transação [ T ] Sendo: $ \uf0de Unidades Monetárias (U.M.) T \uf0de Tempo (an os; semestres; quadrimestres; t rimestres; bimestres; meses; dias) Ex. 7: Um capital d e $ 140.000; foi aplicado a u ma t axa de j uros de 15% a.s. d urante no ve s emestres. Calcular o juro simples. P = $ 140.000 n = 9 sem. i = 15% a.s. J = ? Solução: J = ($ 140.000) (0,15) (9 sem .) ( sem .) J = $ 189.000 R e sp o s t a : $ 189.000 Ex. 8: Se o principal for 13.400 u .m., o prazo v inte e cinco trimestres e a taxa de juros simples 7,8% a.t., qual será o rendimento? P = 13.400 u.m. n = 25 trim. i = 7,8% a.t. 5- CÁLCULO D OS JURO S OU RENDI MENTO J = (P) (i) (n) O Principal ou o Capital só acontece m n o mo mento inicial, isto é, no tempo igual a zero. J = (P) (i) (n) 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 7/51 Rendimento = Juro = J = ? Solução: J = ( 13.400 u.m.) (0,078) (25 trim . ) ( trim .) J = 26.130 u.m. R e sp o s t a : 26.130 u.m. Ex. 9 : Um varejista aplicou $ 17.000 em u m fund o que p agou um a tax a de juros simples de 2 8,5% a.s. Decorridos quatro semestres ele retirou toda qua ntia deste fundo e aplicou p elo prazo de treze me ses 85% dos rendimentos e m u m out ro fundo a uma taxa de juros simples d e 3,5% a. m. Quanto recebeu de rendimento total o varejista? P 1 = $ 17.000 i 1 = 28,5% a.s. n 1 = 4 sem. P 2 = (0,85) ( J 1 ) i 2 = 3,5% a.m. n 2 = 13 m. Rendimento = Juro = J J T = J 1 + J 2 = ? Solução: J 1 = (P 1 ) (i 1 ) (n 1 ) = ($ 17.000) (0,285/sem) (4 sem) = $ 19.380 P 2 = (0,85) (J 1 ) = (0,85) ($ 19.380) = $ 16.473 J 2 = (P 2 ) (i 2 ) (n 2 ) = ($ 16.473) (0,035/mês) (13 meses) = $ 7.495,22 J 1 + J 2 = $ 19.380 + $ 7.495,22 J 1 + J 2 = $ 26.875,22 R e sp o s t a : $ 26.875,22 Ex. 10: Dispondo de $ 250.000, Beto aplica (2/10) d essa importância a uma taxa de j uros de 4% a.m.; (5/10) a uma taxa de juros d e 3,5% a.m.; e o restante a uma taxa de 2,7% a.m. Quanto Beto r eceberá de juros simples decorridos dezoito meses? P = $ 250.000 i 1 = 4% a.m. i 2 = 3,5% a.m. i 3 = 2,7% a.m. n = 18 meses J = ? Solução: P 1 = (2/10) ($ 250.000) = $ 50.000 P 2 = (5/10) ($ 250.000) = $ 125.000 P 3 = (10 \u2212 2 \u2212 5) ($ 250.000) = $ 75.000 10 Ou P 3 = $ 250.000 \u2013 $ 50.000 \u2212 $ 125.000 = $ 75.000 J = (P) (i) (n) J = (P) (i) (n) 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 8/51 Como: J = ($ 50.000) (0,04/mês) (18 meses) + ($ 125.000) (0,035/mês) (18 meses) + + ($ 75.000) (0,027/mês) (18 meses) J = $ 36.000 + $ 78.750 + $ 36.450 = $ 151.200 R e sp o s t a : $ 151.200 O montante é o capital acrescido dos Juros. Como: J = (P) (i) (n) Então: S = P + (P) (i) (n) Colocando \u201c P \u201d em evidência fica: Onde: S Montante, ou Valor de Resgate, ou Valor de Vencimento: [$]. (1 + i n) Fator de Acumulação a Juros Simples; ou Valor Acumulado de $ 1 (Juro s Simples). Ex. 1 1: Qual é o valor acumulado no final de duzento s d ias p ara um capital $ 6.900 q ue ficou aplicado a uma taxa de juros simples de 0,4% a.d.? P = $ 6.900 i = 0,4% a.d. n = 200 dias S = ? Solução 1: S = ($ 6.900) [1+ (0,004) (200 dias )] = ($ 6.900) (1+ 0,8) = $ 6.90 0 x 1,8 dia S = $ 12.420 J = (P) (i) (n) 6- CÁLCULO DO M ONTANTE S = P + J S = (P) [1 + (i) (n)] S = (P) [1 + (i) (n)] 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 9/51 Solução 2: S = $ 6.900 + ($ 6.900) (0,004/dia) (200 dias) S = $ 12.420 R e sp o s t a : $ 12.420 Ex. 12: F oi aplicado $ 35.820 inicialmente e m um fundo de i nvestimento, a uma tax a de juros si mples de 20% ao m ês. De corridos dezoito meses, foi aplicado 75% do valor recebido em uma poupança a uma taxa de juros simples de 13,20% a.t., por nove trimestres. Qual foi rendimento da poupança? P 1 = $ 35.820 i 1 = 20% a.m. = 0,2 a.m. n 1 = 18 meses P 2 = (0,75) (S 1 ) i 2 = 13,20% a.t. = 0,132 a.t. n 2 = 9 trim. Rendimento = Juro = J 2 = ? Solução: S 1 = ($ 35.820) [1 + (0,2) (18 meses )] mês S 1 = ($ 35.820) (1 + 3,6) S 1 = ($ 35.820) (4,6) = $ 164.772 P 2 = ( 0,75 ) ($ 164.772) = $ 123.579 J 2 = ($ 123.579) (0,132) (9 trim.) trim. J 2 = $ 146.811,85 R e sp o s t a : $ 146.811,85 Ex. 13: Aplicou-se $ 2 2.600 p or dez meses a taxa de 8% a. m. Ao final d o p razo (2/7) do montante foi aplicado a 9% a.t. por quatro trimestres; (4/7) a 11% a.s. por sete s emestres; e o restante a 7,5% a.b. por cinco bimestre s. Qual foi o montante total d as t rês últimas aplicações, se o re gime para todas as aplicações foi de capitalização simples? P = $ 22.600 i = 8% a.m. n = 10 m. P 1 = (2/7) (S) i 1 = 9% a.t. n 1 = 4 trim. P 2 = (4/7) (S) i 2 = 11% a.s. n 2 = 7 sem. P 3 = [7/7 \u2013 (2/7 + 4/7)] (S) = (1/7) (S) i 3 = 7,5% a.b. n 3 = 5 bim. S T = S 1 + S 2 + S 3 = ? S = P + J J = (P) (i) (n) S = (P) [1 + (i) (n)] J = (P) (i) (n) 2018/I U.A. 1: JURO SIMPLE S - Parte I MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 10/51 Solução: S = ($ 22.600) [1+ (0,08/mês) (10 meses)] S = ($ 22.600) (1+ 0,8) = ($ 22.600,00) (1,8) = $ 40.680 S 1 = (2/7) ($ 40.680) [1 + (0,09/trim) (4 trim)] S 1 = (2/7) ($ 40.680) (1 + 0,36) = (2/7) ($ 40.680) (1,36) = $ 15.807,09 S 2 = (4/7) ($ 40.680) [ 1 + (0,11/sem) (7 sem)] = (4/7) ($ 40.680) (1 + 0,77) S 2 = (4/7) ($ 40.680) (1,77) = $ 41.144, 91 S 3 = (1/7) ($ 40.680) [1 + (0,075/bim) (5 bim)] S 3 = (1/7) ($ 40.680) (1 + 0,375) = (1/7) ($ 40.680) (1,375) = $ 7.990,71 S T = S 1 + S 2 + S 3 = $ 15.807,09 + $ 41.144,91 + $ 7.990,71 S T = $ 64.942,71 R e sp o s t a : $ 64.942,71 Ex. 14: F oram aplicados dois capitais diferentes, um por quinze meses e taxa de juros simples d e 3% a.m.; e o ou tro capital 35% superior por dois anos e taxa de juros simples de 48% a.a. Se os cap itais somaram $ 23.970, qual será o valor total acumulado no final do prazo? P 1 = ? i 1 = 3% a.m. n 1 = 15 meses. P 2 = P 1 + 0,35 P 1 = 1,35 P 1 i 2 = 48% a.a. n 2 = 2 anos. P 1 + P 2 = $ 23.970 S T = S 1 + S 2 = ? Solução: P 1 + 1,35 P 1 = $ 23.970 2,35 P 1 = $ 23.970 P 1 = $ 23.970 ÷ 2,35 = $ 10.200 P 2 = (1,35) (P 1 ) = (1,35) ($ 10.200) = $ 13.770 S T = S 1 + S 2 = ($ 10.200) [1+ (0,03/mês) (15 meses)] + ($ 13.770) [1+ (0,48 / ano) (2 anos)] S T = S 1 + S 2 = ($ 10.200) (1+ 0,45) + ($ 13.770) (1+ 0,96) S T = S 1 + S 2 = ($ 10.200) (1,45) + ($ 13.770) (1,96) S T = $14.790 + $ 26.989,20 S T = $ 41.779,20 R es p o s t a : $ 41.779,20 S = (P) [1 + (i) (n)] S = (P) [1 + (i) (n)]

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