Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE DA MADEIRA Departamento de Gestão e Economia MICROECONOMIA I 1º Semestre 2005/2006 CADERNO DE EXERCÍCIOS Resolução 1 A. TEORIA DO CONSUMIDOR A.1. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR A.1.1. Defina os seguintes conceitos: a) Cabaz de bens Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens. b) Conjunto de possibilidades de consumo Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário. c) Restrição orçamental Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do consumidor for gasto. d) Custo de oportunidade de um bem Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma unidade do bem. e) Bem numerário Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do consumidor. A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços Px e Py e dispõe de um rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental. a) 2Px = ; 4Py = ; 10M = CPC: 10y4x2 ≤+ RO: 10y4x2 =+ b) 3Px = ; 5Py = ; 15M = CPC: 15y5x3 ≤+ RO: 15y5x3 =+ c) 5Px = ; 1Py = ; 25M = CPC: 25yx5 ≤+ RO: 25yx5 =+ d) 5,1Px = ; 6Py = ; 45M = CPC: 45y6x5,1 ≤+ RO: 45y6x5,1 =+ e) 4Px = ; 7Py = ; 56M = CPC: 56y7x4 ≤+ RO: 56y7x4 =+ 2 A.1.3. O que acontece à restrição orçamental se: a) o preço do bem X duplica e o do bem Y triplica A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda b) o preço do bem X quadruplica e o do bem Y triplica A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda c) ambos os preços duplicam A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda d) ambos os preços duplicam e o rendimento triplica A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita e) ambos os preços triplicam e o rendimento duplica A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda f) o preço do bem X e o rendimento duplicam A restrição orçamental roda para a direita A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro. a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo, sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10 euros. 120b10j20 ≤+ b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100 euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8 espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é, neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir a um jantar? 220100120M =+= ( ) ( ) →>=×+×⇒= 2202408108208,8b,j não consegue consumir este cabaz. ( ) ( ) →<=×+×⇒= 2202008108158,8b,j consegue consumir este cabaz. 5,1 10 15 CO == c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo nesta situação. 16010060M =+= ⎩⎨ ⎧ ≤ ≤+ 2j 160b10j20 3 d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos bilhetes de teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem custa 10 euros, deverá o Paulo comprá-lo? 1501010060M =−+= 9109,0Pb =×=′ ⎩⎨ ⎧ ≤ ≤+ 2j 150b9j20 Se adquirir o cartão, o Paulo expande o seu conjunto de possibilidades de consumo, logo deverá adquiri-lo. e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem lhe possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente ao desconto mencionado na alínea anterior. 168921010060M =×+−+= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤+ 2j 5,7j 168b9j20 f) Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas notas. Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos jantares e subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto, mantiveram a redução da mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão jovem, determine de novo, analítica e graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo. 16010060M =+= 5510Pb =−=′ 160b5j20 ≤+ A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de 15 cêntimos. a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo que tem um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas (T) e num bem compósito (C) cujo preço é igual a 1. ⎩⎨ ⎧ −≤ −=+⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤ ×+−=+ 30MC 5,25MC1T15,0 1 30M C 15,03030MC1T15,0 4 bem compósito ch am ad as t el ef ón ic as b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura de preços: i) diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a assinatura mensal; ou ii) aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30 minutos para 20 cêntimos. Represente graficamente as restrições orçamentais correspondentes às duas alternativas. i) ⎩⎨ ⎧ −≤ −=+⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤ ×+−=+ 30MC 27MC1T15,0 1 30M C 15,02030MC1T15,0 ii) ⎩⎨ ⎧ −≤ −=+⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤ ×+−=+ 30MC 24MC1T20,0 1 30M C 20,03030MC1T20,0 bem compósito ch am ad as te le fó ni ca s RO inicial alternativa i alternativa ii A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no hipermercado, aos preços 5,7Pc = e 10PP = . Para chegar ao hipermercado, a Ana demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos, enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que esta tem um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível para compras é de 4 horas e meia. 5 ⎩⎨ ⎧ ≤+ ≤+⇔ ⎩⎨ ⎧ −×≤+ ≤+ 225p12c15 150p10c5,7 455,460p12c15 150p10c5,7 0 5 10 15 20 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 carne pe ix e RO RT b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No seu prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e enfrenta os preços 10Pc = e 15Pp = . Neste novo emprego, além das 150 unidades monetárias, a Ana recebe 10,5 unidades de C, que não pode vender. Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha. ⎩⎨ ⎧ ≤ ≤+⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ ×+≤+ 10p 255p15c10 15 150 p 105,10150p15c10 0 2 4 6 8 10 12 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 carne pe ix e A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1 hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João. ⎩⎨ ⎧ ≤+ ≤+ 8x25,0b1 200x10b2 b) Nos dias em que o João tem de fazer mais deduas viagens entre Santana e o Funchal, fica de mau humor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria, 6 implicando uma redução do rendimento diário do João de 50 euros. Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤+ >≤+ ≤≤+ 8x25,0b1 2bse150x10b2 2bse200x10b2 c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar. Isso obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o estacionamento custa 1 euro. ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤+ >≤+ ≤<≤+ ≤≤+ 8x25,0b1 4bse149x10b2 4b2se150x10b2 2bse200x10b2 d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de meia hora e o custo do combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto de possibilidades de escolha do João, considerando um rendimento de 200 euros. ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >≤+ ≤≤+ >≤+ ≤≤+ 2bse8x25,0b5,0 2bse8x25,0b1 2bse200x10b1 2bse200x10b2 7 A.2. UTILIDADE E PREFERÊNCIAS A.2.1. Defina os seguintes conceitos: a) Bem económico Produto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e tempo, e que proporciona a satisfação de uma necessidade do consumidor. b) Mal económico Produto (ou serviço) cujo consumo causa uma diminuição na satisfação do consumidor. c) Bem neutral Produto (ou serviço) cujo consumo não afecta a satisfação do consumidor. d) Utilidade Forma de medir a satisfação dos desejos do consumidor. Valor atribuído ao uso de um ou mais bens. e) Utilidade marginal de um bem Variação na utilidade total de um consumidor quando a quantidade consumida de um bem aumenta de uma forma infinitesimal, mantendo-se a quantidade consumida dos outros bens. f) Curva de indiferença Conjunto de cabazes de dois bens em relação aos quais o consumidor é indiferente, isto é, que proporcionam o mesmo nível de utilidade. g) Taxa marginal de substituição no consumo de Y por X Mede o número de unidades de Y que têm de ser sacrificadas por unidade infinitesimal a mais de X de forma a que o consumidor mantenha o nível de satisfação. A.2.2. Enumere e explique os axiomas e hipóteses das relações de preferência e as propriedades das curvas de indiferença. Axioma da exaustão ou da relação completa Uma ordem de preferências é completa se permite ao consumidor ordenar todas as combinações possíveis de bens e serviços. Axioma da transitividade Dizer que uma ordem de preferências é transitiva significa que, relativamente a três cabazes A, B e C, se o consumidor prefere A a B e B a C, então gostará mais de A que de C. Hipótese da não saciedade ou monotocidade Esta hipótese significa simplesmente que, quando todo o resto se mantém constante, uma maior quantidade de um bem é melhor que uma menor quantidade desse mesmo bem. 8 Hipótese da convexidade Sejam 3 cabazes, A, B e C tais que B é pelo menos tão bom como A e C é estritamente preferido a A. A hipótese da convexidade implica que qualquer combinação linear dos cabazes B e C é preferível a A. Economicamente, esta hipótese relaciona-se com a necessidade de um consumidor ser compensado com maiores quantidades de um bem, à medida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taxa marginal de substituição no consumo entre dois bens é decrescente. Hipótese da continuidade Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a um determinado cabaz e os cabazes que são menos preferidos ou indiferentes formam conjuntos fechados. Esta hipótese é meramente técnica. Propriedade 1: As curvas de indiferença têm inclinação negativa. Propriedade 2: As curvas de indiferença nunca se intersectam. Propriedade 3: Curvas de indiferença para NE representam níveis de satisfação mais elevados. Propriedade 4: As curvas de indiferença são convexas em relação à origem. Propriedade 5: As curvas de indiferença são densas em todo o espaço de bens. A.2.3. Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que violam os axiomas e hipóteses que regem as preferências. a) A Isabel gosta mais de chocolates que de caramelos e prefere caramelos a rebuçados; mas entre rebuçados e chocolates, escolhe os primeiros. Viola o axioma da transitividade b) O Francisco não sabe se gosta mais de duas horas de vela ou três de natação. Viola o axioma da exaustão c) Quanto mais toca piano, mais a Catarina gosta de tocar. Viola a hipótese da convexidade d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda mais nenhuma. Viola a hipótese da monotocidade e) A Beatriz começou a gostar mais de ir à praia depois de ir muitas vezes. Viola a hipótese da convexidade A.2.4. Represente graficamente os mapas de indiferença para os seguintes casos: a) Dois bens económicos 9 bem be m b) Um bem e um mal económico mal be m c) Um bem económico e um neutro neutro be m d) Existência de um ponto de saciedade 10 x y e) Bens complementares x y f) Bens substitutos x y A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando em cada um se se tratam de preferências bem comportadas. a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água. 11 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 cafés co po s de á gu a b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 pautado lis o c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem. 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 carne co ca -c ol a d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou duas horas de ténis. 12 0 1 2 3 4 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 futebol té ni s e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 1 2 3 4 5 6 chá aç úc ar f) A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de 4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 torradas le it e A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade: i. 5,05,0 yxU = ii. yx3U ++−= iii. { }y,xminU = 13 iv. yxU += Para cada uma delas: a) Indique o tipo de preferências. b) Represente o mapa de indiferença. c) Calcule as utilidades marginais. d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x. e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências. 5,05,0 yxU = yx3U ++−= { }y,xminU = yxU += a) Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares Quasi-lineares b) bem be m U1 U2 U3 bem be m U1 U2 U3 bem be m U1 U2 U3 U1 U2 U3 c) 5,05,0 yx5,0xUmg −= 5,05,0 yx5,0yUmg −= 1xUmg = 1yUmg = 0xUmg = 0yUmg = 1xUmg = 5,0y5,0yUmg −= d) x y TMS x,y = 1TMS x,y = Não tem y2TMS x,y = e) 5,05,0 yx2V = yxV ++= { }y3,x3minV = yyx2xV 2 ++= A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é dada pela função 5,05,0 yx2U = em que =x n.º de litros gás/dia e =y n.º Kw/hora. a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente? x 1 y2yx22U 5,05,0 =⇔=⇔= x 4 y4yx24U 5,05,0 =⇔=⇔= O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença. b) Admita que este consumidor se encontraactualmente a consumir 5 litros de gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o mesmo nível de satisfação? ( ) 22,052U2,0;5 5,05,0 =××=⇒ 61yy622 5,05,0 =⇔××= 14 A.2.8. O António tem uma função de utilidade yxU = . a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante? ( ) ( ) 48124U12,4y,x =×=⇒= 6xx848 =⇔= b) Calcule a y,xTMS . O que acontece ao valor desta taxa quando o António aumenta o consumo do bem x? 0 x TMS y x xUmg yUmg TMS y,xy,x >∂ ∂→== c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do António são descritas por ylnxU += . ( ) ( ) 48,612ln4U12,4y,x ≈+=⇒= 41,4x8lnx48,6 ≈⇔+= 0 x TMS y 1 1 y1 xUmg yUmg TMS 1 2,1 y,x =∂ ∂→=== O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os bens. d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António? Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial. Ana xy1000V = Filipa xyW = Sofia ( )1xy/1Z +−= Margarida 10000xyF −= Teresa y/xG = Bernardo ( )1yxH += Ana y x y1000 x1000 TMS y,x == Filipa y x TMS y,x = Sofia ( ) ( ) y x yxy1 yxx1 TMS 2 2 y,x =− −= − − Margarida y x TMS y,x = Teresa y x y1 yx TMS 2 y,x −=−= Bernardo 1y x TMS 1,2 += A Teresa e o Bernardo não têm as mesmas preferências do António. 15 A.2.9. Comente as seguintes afirmações: a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem. A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme mostrado na figura. A B=D C U1 U0 Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita, entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si. Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes. Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem comportadas. b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez. Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que 1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro. Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira. c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição ou é igual a zero ou é infinito. Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade marginal associada a cada um deles é constante. Logo, também é constante a taxa marginal de substituição. 16 Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa. d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação. A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso significa uma preferência dos consumidores por diversificação. e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é preciso que a utilidade marginal seja decrescente. Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo. yUmg xUmg TMS x,y = . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser crescente. 17 A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR A.3.1. Para cada um dos consumidores i. deduza as funções procura de ambos os bens; ii. determine a escolha óptima; iii. calcule o nível de satisfação; e iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo. a) Consumidor A: 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = FUNÇÕES PROCURA ( )yPxPmy5x myPxP.a.s yx5Umax yx 5,00,5 yx 5,05,0 y,x −−λ+=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ λ= λ= ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−− =λ−× =λ−× ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ − − − − myPxP Pyx5,2 Pyx5,2 0yPxPm 0Pyx5,05 0Pyx5,05 0 0y 0x yx y 5,05,0 x 5,05,0 yx y 5,05,0 x 5,05,0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ=− − myPxP x P P y myPxP P P x y myPxP P P yx5,2 yx5,2 yx y x yx y x yx y x 5,05,0 5,05,0 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = x y xx y x y x yx y x P m5,0 x P m5,0 y mxPxP x P P y mx P P PxP x P P y ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =×= =×= ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 25 2 1005,0 x 5 10 1005,0 y 100m 10P 2P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 9,555255U 5,05,0 ≈××= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 2,0 25 5 yUmg xUmg TMS 5;25 5;25x,y === b) Consumidor B: 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = FUNÇÕES PROCURA ( )yPxPmy2x myPxP.a.s yx2Umax yx 6,00,4 yx 6,04,0 y,x −−λ+=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = 18 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ λ= λ= ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−− =λ−× =λ−× ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ − − − − myPxP Pyx2,1 Pyx8,0 0yPxPm 0Pyx6,02 0Pyx4,02 0 0y 0x yx y 4,04,0 x 6,06,0 yx y 4,04,0 x 6,06,0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ=− − myPxP x P P 5,1y myPxP P P x3 y2 myPxP P P yx2,1 yx8,0 yx y x yx y x yx y x 4,04,0 6,06,0 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = x y xx y x y x yx y x P m4,0 x P m6,0 y mxP5,1xP x P P 5,1y mx P P 5,1PxP x P P 5,1y ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =×= =×= ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 20 1 504,0 x 5 6 506,0 y50m 6P 1P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 4,175202U 6,04,0 ≈××= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 6 1 203 52 yUmg xUmg TMS 5;20 5;20x,y =× ×== c) Consumidor C: 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = FUNÇÕES PROCURA ( )yPxPmyx myPxP.a.s yxUmax yx 23 yx 23 y,x −−λ+=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ λ= λ= ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−− =λ− =λ− ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ myPxP Pyx2 Pyx3 0yPxPm 0Pyx2 0Pyx3 0 0y 0x yx y 3 x 22 yx y 3 x 22 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ= myPxP x P3 P2 y myPxP P P x2 y3 myPxP P P yx2 yx3 yx y x yx y x yx y x 3 22 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = x y xx y x y x yx y x P m6,0 x P m4,0 y mxp 3 2 xP x P3 P2 y mx P3 P2 pxP x P3 P2 y ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =×= =×= ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 18 5,1 456,0 x 5,4 4 454,0 y 45m 4P 5,1P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1180985,418U 23 =×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 19 ( ) ( ) 375,0 182 5,43 yUmg xUmg TMS 5,4;18 5,4;18x,y =× ×== d) Consumidor E: y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = FUNÇÕES PROCURA ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ > = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ > =→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ += y x y y x y y x y x y x x y x x yx y,x P P 3 2 P m P P 3 2 P m ;0 P P 3 2 0 y P P 3 2 0 P P 3 2 P m ;0 P P 3 2 P m x myPxP.a.s y3x2Umax ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ==⇒=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 0y 60 1 60 x 25,0 P P 60m 4P 1P y x y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 12003602U =×+×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 3 2 yUmg xUmg TMS 0;60 0;60x,y == e) Consumidor F: y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = FUNÇÕES PROCURA ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ > = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ > =→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ += y x y y x y y x y x y x x y x x yx y,x P P 2 5 P m P P 2 5 P m ;0 P P 2 5 0 y P P 2 5 0 P P 2 5 P m ;0 P P 2 5 P m x myPxP.a.s y2x5Umax ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == = ⇒=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 12 1 12 y 0x 3 P P 12m 1P 3P y x y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 2412205U =×+×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 2 5 yUmg xUmg TMS 12;0 12;0x,y == f) Consumidor G: y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = FUNÇÕES PROCURA 20 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ > = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ > =→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ += y x y y x y y x y x y x x y x x yx y,x P P 4 3 P m P P 4 3 P m ;0 P P 4 3 0 y P P 4 3 0 P P 4 3 P m ;0 P P 4 3 P m x myPxP.a.s y4x3Umax ESCOLHA ÓPTIMA [ ] [ ]⎩⎨ ⎧ ∈ ∈⇒=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 75,18;0y 25;0x 4 3 P P 150m 8P 6P y x y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 75253U =×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 4 3 yUmg xUmg TMS x,y == g) Consumidor H: { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = FUNÇÕES PROCURA { } ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = myPxP y5,2x myPxP y5x2 myPxP.a.s y5,x2minUmax yxyxyx y,x ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += +=⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += = ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = xy yx xy yx P5,2p m y P4,0P m x P5,2p m y y5,2x myPyP5,2 y5,2x ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =×+= =×+=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 8,4 25,210 72 y 12 104,02 72 x 72m 10P 2P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 248,45;122minU =××= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Não faz sentido h) Consumidor I: { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = FUNÇÕES PROCURA { } ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = mxP3xP x3y myPxP yx3 myPxP.a.s y,x3minUmax yxyxyx y,x ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += +=⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += = yx yx yx P3p m x P3P m3 y P3p m x x3y ESCOLHA ÓPTIMA 21 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =×+= =×+ ×= ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 4 236 48 x 12 236 483 y 48m 2P 6P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 1212;43minU =×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Não faz sentido i) Consumidor H: { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = FUNÇÕES PROCURA { } ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = mxP2xP x2y myPxP yx2 myPxP.a.s y,x2minUmax yxyxyx y,x ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += +=⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += = yx xy yx P2p m x P5,0P m y P2p m x x2y ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =×+= =×+=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 5,12 224 100 x 25 45,02 100 y 100m 2P 4P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 2525;5,122minU =×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Não faz sentido j) Consumidor K: ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = FUNÇÕES PROCURA ( )yPxPmyln4x myPxP.a.s ylnx4Umax yx yx y,x −−λ++=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ += ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ= λ= ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−− =λ− =λ− ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ −− myPxP Py P4 0yPxPm 0Py 0P4 0 0y 0x yx y 1 x yx y 1 x ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ=− myPxP P4 P y myPxP P P y4 myPxP P P y 4 yx y x yx y x yx y x 1 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = x x y x x x y x y x yx y x P 4 P m x P4 P y m 4 P xP P4 P y m P4 P pxP P4 P y ESCOLHA ÓPTIMA 22 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = − = =×= ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 6 10 4 10 5,62 x 5,2 14 10 y 5,62m 1P 10P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 9,245,2ln64U ≈+×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 10 5,2 4 yUmg xUmg TMS 1 5,2;6 5,2;6x,y === − k) Consumidor L: 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = FUNÇÕES PROCURA ( ) ( )0yPmxPmy0x:cantodesolução myPxP.a.s x5,0yUmax xy yx 2 y,x =∧=∨=∧=→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ += y 1 y P m u Pmy 0x =⇒ ⎩⎨ ⎧ = = 2 x 2 2 x P m5,0 u 0y Pmx =⇒ ⎩⎨ ⎧ = = m5,0 P P P m5,0 P m uu y 2 x 2 x 2 y 21 >⇔>⇔> ⎩⎨ ⎧= 0 Pm x x se se m5,0PP m5,0PP y 2 x y 2 x ≥ ≤ ⎩⎨ ⎧= xPm 0 y se se m5,0PP m5,0PP y 2 x y 2 x ≥ ≤ ESCOLHA ÓPTIMA ⎩⎨ ⎧ = =⇒=>=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 14y 0x 14m5,018 P P 28m 2P 6P y 2 x y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1405,014U 2 =×+= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 0 1 0 yUmg xUmg TMS 14;0 14;0x,y === l) Consumidor M: 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = FUNÇÕES PROCURA ( )yPxPmy123x myPxP.a.s y12x3Umax yx0,5 yx 5,0 y,x −−λ++=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ += ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ= λ= ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−− =λ− =λ− ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ −− myPxP Py6 P3 0yPxPm 0Py6 0P3 0 0y 0x yx y 5,0 x yx y 5,0 x ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ= −− myPxP P P 4y myPxP P P y5,0 myPxP P P y6 3 yx 2 y x yx y x5,0 yx y x 5,0 23 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= x y 2 x 2 y x y 2 x x 2 y x 2 y x yx 2 y x P P P 4m x P P 4y m P P 4xP P P 4y m P P P4xP P P 4y ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 34 2 5,0 2 4100 x 64 5,0 2 4y 100m 5,0P 2P 2 2 y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1986412343U 5,0 =×+×= TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 4 646 3 yUmg xUmg TMS 5,0 64;34 64;34x,y =×== − A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: 5,05,0 yx10U = e aufere 100 euros por semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente, 2Px = e 1Py = , ambos denominados em euros. a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do bem Y. Qual a X,YTMS nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio. ( ) ( ) ( ) 2 P P 6 x y yUmg xUmg TMS Y X 75;5,1275;5,12 75;5,12x,y =>=== A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1 unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X. b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana? ( )yx2100y10x 100yx2.a.s yx10Umax 5,00,5 5,05,0 y,x −−λ+=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ λ= λ= ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−− =λ− =λ− ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ − − − − 100yx2 yx5 2yx5 0yx2100 0yx5 02yx5 0 0y 0x 5,05,0 5,05,0 5,05,0 5,05,0 ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ=− − 100yx2 x2y 100yx2 2 x y 100yx2 2 yx5 yx5 5,05,0 5,05,0 ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = 25x 50y 25x x2y 100x2x2 x2y 24 c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana? m U 54,3250255 50y 25x 2yx5 5,05,0 5,05,0 ∂ ∂=≈λ⇔λ=××⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = λ= − − A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição avaliada na combinação de consumo x0 é ( ) 5,0xTMS 02,1 = . Sabendo que 1p/p 21 = , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar. Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 pode ser a escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 não será o cabaz óptimo e este consumidor dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1. A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade y25,0xU += , adquire os bens aos preços 1Px = e 2Py = e dispõe de 100 unidades monetárias de rendimento. a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo. Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento ao consumo do bem x: ( ) ( )0,100y,x = . b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem. Qual é a escolha óptima do consumidor? O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz óptimo será ( ) ( )25,50y,x = . c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias. 5,1 2 3 P P 4 25,0 1 TMS y x x,y ==>== A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 0, 3 100 y,x A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade yx2U = . a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental 100y4x5 ≤+ . 25 ( )y4x5100y2x 100y4x5.a.s yx2Umax y,x −−λ+=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ=⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ= λ= ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−− =λ− =λ− ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ 100y4x5 4 5 x2 y2 100y4x5 4x2 5y2 0y4x5100 04x2 05y2 0 0y 0x ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎩⎨ ⎧ =×+ =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = 10x 5,12y 10x x25,1y 100x25,14x5 x25,1y 100y4x5 x25,1y b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento. Os preços das senhas de X e Y são 3 e 6, respectivamente, existindo um racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos. Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange? Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo? ( ) ( )yx80y6x3100y2x 80yx 100y6x3 .a.s yx2Umax y,x −−μ+−−λ+=Γ→ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎩⎨ ⎧ ≤+ ≤+ = As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso das condições de Kuhn-Tucker: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥μ ≥λ =−−μ =−−λ ≤+ ≤+ =μ−λ− =μ−λ− 0:8 0:7 0yx80:6 0y6x3100:5 80yx:4 100y6x3:3 06x2:2 03y2:1 Se 0=λ ( ) ( ) ⎩⎨ ⎧ μ= μ=⇔ ⎩⎨ ⎧ μ= μ=⇔ ⎩⎨ ⎧ =μ− =μ− 5,0x 5,0y x2 y2 0x2:2 0y2:1 Substituindo em (6) vem: ( ) 80005,05,080 =μ∨=μ⇔=μ−μ−μ →==⇒=μ 0yx0 não é solução →=×+×⇒==⇒=μ 36040640340yx80 viola (3), não é solução. Se 0=μ ( ) ( ) ⎩⎨ ⎧ λ= λ=⇔ ⎩⎨ ⎧ λ= λ=⇔ ⎩⎨ ⎧ =λ− =λ− 3x 5,1y 6x2 3y2 06x2:2 03y2:1 Substituindo em (5) vem: ( ) 181000099100 =λ∨=λ⇔=λ−λ−λ →=λ=μ 0 não é solução, já se viu anteriormente 26 →=+⇒ ⎩⎨ ⎧ = =⇒=λ 25 3 25 3 50 325y 350x 18 100 não viola (4) 0, >μλ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎩⎨ ⎧ −= =⇔ ⎩⎨ ⎧ =−− =−−⇔ ⎩⎨ ⎧ =−−μ =−−λ 3140y 3380x 0yx80 0y6x3100 0yx80:6 0y6x3100:5 Também não é solução. Portanto, ( ) ( )325,350y,x = e 0=μ , ou seja, a restrição do racionamento total de 80 senhas não é activa. c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios. X0 X1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 0 20 40 60 80 100 x y RO a) RO b) RO b) U=250 U=277,78 A.3.6. Comente as seguintes afirmações: a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa marginal de substituição e o rácio dos preços. A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos. b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente preferências idênticas. Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por y2xU += e y3xU += e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são 2Px = e 1Py = . Para ambos os consumidores a escolha óptima será 0x = e 0y = . Ou seja, eles escolhem o mesmocabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a frase é falsa. c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo ( ) βα= yxy,xU , a percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a β . 27 A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo ( ) βα= yxy,xU a percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a β+α β . Passando a demonstrar: ( )yPxPmyx myPxP.a.s yxUmax yx yx y,x −−λ+=Γ→ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = βα βα ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ λ=β λ=α ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−− =λ−β =λ−α ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =λ∂Γ∂ =∂Γ∂ =∂Γ∂ −βα β−α βα β−α myPxP Pyx Pyx 0yPxPm 0Pyx 0Pyx 0 0y 0x yx y 1 x 1 yx y x 1 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ α β=⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =β α ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ λ λ=β α −βα β−α myPxP x P P y myPxP P P x y myPxP P P yx yx yx y x yx y x yx y x 1 1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ α β+ α β= ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =α β+ α β= ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =α β+ α β= mxP1 x P P y mxpxP x P P y mx P P pxP x P P y x y x xx y x y x yx y x ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ β+α α = β+α β = ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ β+α α = α β= ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α β+α= α β= ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ α β+ = α β= x y x y x x y x x y x P m x P m y P m x x P P y P m x x P P y P1 m x x P P y d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher comprar igual quantidade de ambos. Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa. e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre uma solução de canto. Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do exercício A.3.1. f) Se dois bens são substitutos perfeitos e yxy,x PPTMS > , o consumo de X é nulo. A frase é verdadeira. Se a y,xTMS é maior que o preço relativo de x, então x,yTMS é menor que o preço relativo de x. Como x,yTMS é o rácio da utilidade marginal de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E, como tal, não compensa comprá-lo. 28 A.4. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA A.4.1. Defina os seguintes conceitos: a) Curva consumo-rendimento Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio do consumidor correspondentes a diferentes níveis de rendimento. b) Bem normal Bem cujo consumo varia proporcionalmente menos ou na mesma proporção do rendimento monetário. c) Bem inferior Bem cujo consumo varia inversamente com o rendimento. d) Curva de Engel Representação da relação entre a quantidade consumida de um bem e o rendimento do consumidor. e) Curva consumo-preço Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio de um consumidor que resultam de variações no preço de um bem. f) Bem de Giffen Bem cuja procura varia directamente com o seu preço. g) Efeito substituição Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da variação no preço desse bem, mantendo-se constante o rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)). h) Efeito rendimento Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da alteração do rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)). A.4.2. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ Enquanto o efeito substituição tem de ser negativo – isto é, por efeito substituição, a variação no consumo tem sinal oposto ao da variação no preço – o efeito rendimento pode ser negativo ou positivo. 29 Um bem de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directamente com o seu preço, ceteris paribus. Portanto, a variação total tem de ter sinal positivo. Ora, para que a soma de uma parcela negativa com outra seja positiva, esta outra parcela tem de ser positiva. Logo, para que um bem seja de Giffen, o efeito rendimento tem de ter sinal positivo. Mas um bem só tem efeito rendimento de sinal positivo se for inferior. Concluindo: um bem de Giffen tem de ser necessariamente inferior. A.4.3. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado consumidor. Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem X é um bem normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsky. ABORDAGEM DE HICKS Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o bem-estar do consumidor mantém-se. Ou seja, Hicks encontra uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que seja tangente à curva de indiferença que também o é à restrição orçamental inicial (a azul escuro). E1 E2 EI x y RO inicial RO final RO intermédia CI ES ER ABORDAGEM DE SLUTSKY Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o poder de compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçamental (a verde), Slutsky calcula a quantidade óptima de X. 30 E1 E2 EI x y RO inicial RO final RO intermédia ES ER A.4.4. Determine e represente as curvas i. consumo-rendimento ii. consumo-preço do bem X iii. consumo-preço do bem Y iv. de Engel do bem X v. de Engel do bem Y para as seguintes situações: a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x2,0y 10 2 x y P P TMS y x x,y =⇔=⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = 100y10xP y10xP 100y10xP 10 P x y myPxP P P TMS x x x x yx y x x,y 5y 100y10y10 y10xPx =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = 100yPx2 x2yP 100yPx2 P 2 x y myPxP P P TMS y y y y yx y x x,y 25x 100x2x2 x2yPy =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA DE ENGEL DO BEM X m25,0x 2 m5,0 x P m5,0 x x =⇔=⇔= CURVA DE ENGEL DO BEM Y 31 m05,0y 10 m5,0 y P m5,0 y y =⇔=⇔= b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTOx25,0y 6 1 x6,0 y4,0 P P TMS y x x,y =⇔=⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = 50y6xP y4xP 50y6xP 6 P x6,0 y4,0 myPxP P P TMS x x x x yx y x x,y 5y 50y6y4 y4xPx =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = 50yPx x5,1yP 50yPx P 1 x6,0 y4,0 myPxP P P TMS y y y y yx y x x,y 20x 50x5,1x x5,1yPy =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA DE ENGEL DO BEM X m4,0x 1 m4,0 x P m4,0 x x =⇔=⇔= CURVA DE ENGEL DO BEM Y m1,0y 6 m6,0 y P m6,0 y y =⇔=⇔= c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x25,0y 4 5,1 x2 y3 P P TMS y x x,y =⇔=⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = 45y4xP y6xP 45y4xP 4 P x2 y3 myPxP P P TMS x x x x yx y x x,y 5,4y 45y4y6 y6xPx =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = 45yPx5,1 xyP 45yPx5,1 P 5,1 x2 y3 myPxP P P TMS y y y y yx y x x,y 18x 45xx5,1 xyPy =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA DE ENGEL DO BEM X m4,0x 5,1 m6,0 x P m6,0 x x =⇔=⇔= CURVA DE ENGEL DO BEM Y 32 m1,0y 4 m4,0 y P m4,0 y y =⇔=⇔= d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 0yTMS 3 2 4 1 P P x,y y x =⇒=<= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se 0y38Px =⇒< se x3215y38Px −=⇒= se 0x38Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se 0x5,1Py =⇒< se x3240y5,1Py −=⇒= se 0y5,1Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X mx 1 m x P m x x =⇔=⇔= CURVA DE ENGEL DO BEM Y 0y = e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 0xTMS 2 5 1 3 P P x,y y x =⇒=>= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se 0y5,2Px =⇒< se x5,212y5,2Px −=⇒= se 0x5,2Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se 0x2,1Py =⇒< se x5,210y2,1Py −=⇒= se 0y2,1Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X 0x = CURVA DE ENGEL DO BEM Y my 1 m y P m y y =⇔=⇔= f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO É todo o espaço dos bens. CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se 0y6Px =⇒< se x75,075,18y6Px −=⇒= se 0x6Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se 0x8Py =⇒< 33 se x75,075,18y8Py −=⇒= se 0y8Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X É todo o espaço dos bens. CURVA DE ENGEL DO BEM Y É todo o espaço dos bens. g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x4,0yy5x2 =⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X x4,0yy5x2 =⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y x4,0yy5x2 =⇔= CURVA DE ENGEL DO BEM X 6 m x 104,02 m x P4,0P m x yx =⇔×+=⇔+= CURVA DE ENGEL DO BEM Y 15 m y 25,210 m y P5,2P m y xy =⇔×+=⇔+= h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x3y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X x3y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y x3y = CURVA DE ENGEL DO BEM X 12 m x 236 m x P3P m x yx =⇔×+=⇔+= CURVA DE ENGEL DO BEM Y m25,0y 236 m3 y P3P m3 y yx =⇔×+=⇔+= i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x2y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X x2y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y x2y = CURVA DE ENGEL DO BEM X m125,0x 224 m x P2P m x yx =⇔×+=⇔+= CURVA DE ENGEL DO BEM Y m25,0y 45,02 m y P5,0P m y xy =⇔×+=⇔+= j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 34 5,2y 1 10 y 4 P P TMS 1 y x x,y =⇔=⇔= − CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = − 5,62´yxP y4P 5,62yxP 1 P y 4 myPxP P P TMS x x x x 1 yx y x x,y x41 5,62 y 5,62yyx4 y4Px +=⇔⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = − 5,62yPx10 5,2yP 5,62yPx10 P 10 y 4 myPxP P P TMS y y y y 1 yx y x x,y 6x 5,625,2x10 5,2yPy =⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = CURVA DE ENGEL DO BEM X 25,0m1,0x 10 5,2m x P 4 P m x x x −=⇔−=⇔ − = CURVA DE ENGEL DO BEM Y 5,2y 14 10 y P4 P y y x =⇔×=⇔= k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Se 18y00x36m ≤<∧=⇒≤ Se 0y6x36m =∧≥⇒≥ CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Se 0y28x28Px =∧≥⇒≤ Se 14y0x28Px =∧=⇒≥ CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y Se 998y0x718Py ≥∧=⇒≤ Se 0y314x718Py =∧=⇒≥ CURVA DE ENGEL DO BEM X Se 0x36m =⇒≤ Se 6mx36m =⇒≥ CURVA DE ENGEL DO BEM Y Se m5,0y36m =⇒≤ Se 0y36m =⇒≥ l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 64y 5,0 2 y6 3 P P TMS 5,0 y x x,y =⇔=⇔= − CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X ⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = − 100´y5,0xP y25,0P 100y5,0xP 5,0 P y6 3 myPxP P P TMS x 5,0 x x x 5,0 yx y x x,y 35 5,05,0 5,0 x y25,0 y5,0100 x 100y5,0xy25,0 y25,0P −=⇔⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ = − 100yPx2 y 4 P 100yPx2 P 2 y6 3 myPxP P P TMS y 5,0y y y 5,0 yx y x x,y ( )2 5,0 5,0y x5,025y 100y4x2 y 4 P −=⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = CURVA DE ENGEL DO BEM X 16m5,0x P P P 4m x x y 2 x −=⇔ − = CURVA DE ENGEL DO BEM Y 64y 5,0 2 4y P P 4y 22 y x =⇔⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⇔⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= A.4.5. Calcule: i. efeito substituição e efeito rendimento à Slutsky ii. efeito substituição e efeito rendimento à Hicks iii. variação no excedente iv. variação compensatória v. variação equivalente para as seguintes situações: a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = ; 5Px =′ 5 10 1005,0 y25 2 1005,0 x 100m 10P 2P iiy x =×==×=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 5 10 1005,0 y10 5 1005,0 x 100m 10P 5P ffy x =×==×=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =′ EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 175510255yPxPm iyix =×+×=+′=′ 5,17 5 1755,0 x 170m 10P 5P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = =′ 5,7255,17ES −=−= 5,75,1710ER −=−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 36 ⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′=××⇔⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′ ′′= 5,05,0 5,05,0 5,0 y 5,0 x i 10 m5,0 5 m5,0 55255 P m5,0 P m5,0 5U 158m 50 m25,0 125 2 ≈′′⇔′′= 8,15 5 1585,0 x 158m 10P 5P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′′ = =′ 2,9258,15ES −=−= 8,58,1510ER −=−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE x 50 P P 50 x x x =⇔= 25x2Px =⇒= 10x5Px =⇒= [ ] [ ] =−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 250100 25 0 10 0 if xln50xln50225dxx 50 510dx x 50 XCXCXC ( ) ( )[ ] 81,450ln25ln0ln10ln50 −≈−−−= VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 58100158mmVC =−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′′=××⇔⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′′ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′′= 5,05,0 5,05,0 5,0 y 5,0 x f 10 m5,0 2 m5,0 55105 P m5,0 P m5,0 5U 63m 20 m25,050 2 ≈′′′⇔′′′= 3710063mmVE −=−=−′′′= b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = ; 4Py =′ 5 6 506,0 y20 1 504,0 x 50m 6P 1P iiy x =×==×=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 5,7 4 506,0 y20 1 504,0 x 50m 4P 1P ffy x =×==×=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =′ = EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 4054201yPxPm iyix =×+×=′+=′ 6 4 406,0 y 40m 4P 1P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ =′ = 156ES =−= 5,165,7ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 37 ⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′=××⇔⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′′ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′= 6,04,0 6,04,0 6,0 y 4,0 x i 4 m6,0 1 m4,0 25202 P m6,0 P m4,0 2U 39mm15,04,0520 6,04,06,04,0 ≈′′⇔′′×=× 85,5 4 396,0 y 39m 4P 1P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′′ =′ = 85,0585,5ES =−= 65,185,55,7ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE y 30 P P 30 y y y =⇔= 5y6Py =⇒= 5,7y4Py =⇒= [ ] [ ] =−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 505,70 5 0 5,7 0 if yln30yln3065dyy 30 45,7dy y 30 XCXCXC ( ) ( )[ ] 16,120ln5ln0ln5,7ln30 ≈−−−= VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 115039mmVC −=−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′′=××⇔⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′′ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′′= 6,04,0 6,04,0 6,0 y 4,0 x f 6 m6,0 1 m4,0 25,7202 P m6,0 P m4,0 2U 63mm1,04,05,720 6,04,06,04,0 ≈′′′⇔′′′×=× 135063mmVE =−=−′′′= c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = ; 3Px =′ 5,4 4 454,0 y18 5,1 456,0 x 45m 4P 5,1P iiy x =×==×=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 5,4 4 454,0 y9 3 456,0 x 45m 4P 3P ffy x =×==×=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =′ EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 725,44183yPxPm iyix =×+×=+′=′ 8,10 4 726,0 x 72m 4P 3P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = =′ 2,7188,10ES −=−= 8,18,109ER −=−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS ⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′=×⇔⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′ ′′= 23 23 2 y 3 x i 4 m4,0 3 m6,0 5,418 P m4,0 P m6,0 U 38 68mm1,02,05,418 52323 ≈′′⇔′′×=× 6,13 3 686,0 x 68m 4P 3P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′′ = =′ 4,4186,13ES −=−= 6,46,139ER −=−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE x 27 P P 27 x x x =⇔= 18x5,1Px =⇒= 9x3Px =⇒= [ ] [ ] =−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 18090 18 0 9 0 if xln27xln275,118dxx 27 39dx x 27 XCXCXC ( ) ( )[ ] 71,180ln18ln0ln9ln27 −≈−−−= VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 234568mmVC =−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′′⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ′′′=×⇔⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′′ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′′′= 23 23 2 y 3 x f 4 m4,0 5,1 m6,0 5,49 P m4,0 P m6,0 U 30mm1,04,05,49 52323 ≈′′′⇔′′×=× 154530mmVE −=−=−′′′= d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = ; 3Px =′ 0y60 1 60 x 60m 4P 1P iiy x ===⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 15 4 60 y0x 60m 4P 3P ffy x ===⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =′ EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 18004603yPxPm iyix =×+×=+′=′ 0x 180m 4P 3P y x =′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = =′ 60600ES −=−= 000ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 160m 4 m 30203602 P m 302U y i =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×= 0x 160m 4P 3P y x =′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′′ = =′ 60600ES −=−= 39 000ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE [ ] ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >= =∈ <= 38Pse0x 38Pse5,22;0x 38PseP60x x x xx 60x1Px =⇒= 0x3Px =⇒= [ ] ( ) 85,585,22ln60ln60xln60160dx x 60 3 8 5,220XCXCXC 60 5,22 60 5,22 if −≈−−=−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−+×−=−=Δ ∫ VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 10060160mmVC =−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE 5,22m03 1 m 21530203 P m 2U x f =′′⇔×+′′×=×+×⇔×+′′×= 5,37605,22mmVE −=−=−′′′= e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = ; 8,0Py =′ 12 1 12 y0x 12m 1P 3P iiy x ===⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 15 8,0 12 y0x 12m 8,0P 3P ffy x ===⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =′ = EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 6,9128,003yPxPm iyix =×+×=′+=′ 12 8,0 6,9 y 6,9m 8,0P 3P y x ==′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ =′ = 01212ES =−= 31215ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 6,9m 8,0 m 20512205 P m 205U y i =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×= 12 8,0 6,9 y 6,9m 8,0P 3P y x ==′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ =′ = 01212ES =−= 31215ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE [ ] ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >= =∈ <= 2,1Pse0y 2,1Pse10;0y 2,1PseP12y x x xy 12y1Py =⇒= 15y8,0Py =⇒= 40 ( ) ( ) [ ] ( ) 68,212ln15ln12xln128,01128,01215dy y 12 XCXCXC 1512 15 12 if ≈−==−×+×−−=−=Δ ∫ VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 4,2126,9mmVC −=−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE 15m 1 m 20515205 P m 205U y f =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×= 31215mmVE =−=−′′′= f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = ; 10Py =′ [ ] [ ]75,18;0y25;0x 150m 8P 6P iiy x ∈∈⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 0y25 6 150 x 150m 10P 6P ffy x ===⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =′ = EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY Indeterminado EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Indeterminado VARIAÇÃO NO EXCEDENTE Indeterminada VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA Indeterminada VARIAÇÃO EQUIVALENTE Indeterminada g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = ; 5Py =′ 8,4 25,210 72 y12 104,02 72 x 72m 10P 2P iiy x =×+==×+=⇒⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 2,7 25,25 72 y18 54,02 72 x 72m 5P 2P ffy x =×+==×+=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =′ = EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 488,45122yPxPm iyix =×+×=′+=′ 8,4 25,25 48 y 48m 5P 2P y x =×+=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ =′ = 08,48,4ES =−= 4,28,42,7ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 41 48m 54,02 m 2122 P5,2P m 5, P4,0P m 2minU xyyx i =′′⇔×+ ′′×=×⇔ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ′′ ′+ ′′= 8,4 25,25 48 y 48m 5P 2P y x =×+=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ =′ = 08,48,4ES =−= 4,28,42,7ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 5 y 72 P 5P 72 y y y −=⇔+= 8,4y10Py =⇒= 2,7y5Py =⇒= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−=−=Δ ∫∫ 8,4 0 2,7 0 if 108,4dy5y 72 52,7dy5 y 72 XCXCXC [ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 48y5yln7236y5yln72 8,408,402,702,70 ( ) ( ) 2,29128,42,758,4ln2,7ln72 ≈+−−−= VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 247248mmVC −=−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE 108m 104,02 m 2182 P5,2P m 5, P4,0P m 2minU xyyx f =′′′⇔×+ ′′′×=×⇔⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ′′′ + ′′′= 3672108mmVE =−=−′′′= h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = ; 4Px =′ 12 236 483 y4 236 48 x 48m 2P 6P iiy x =×+ ×==×+=⇒⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 4,14 234 483 y8,4 234 48 x 48m 2P 4P ffy x =×+ ×==×+=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =′ EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 4012244yPxPm iyix =×+×=+′=′ 4 234 40 x 40m 2P 4P y x =×+=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = =′ 044ES =−= 8,048,4ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 40m 234 m3 12 P3P m3 , P3P m 3minU yxyx i =′′⇔×+ ′′=⇔ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +′ ′′ +′ ′′= 424 234 40 x 40m 2P 4P y x =×+=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = =′ 044ES =−= 8,048,4ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 6 x 48 P 6P 48 x x x −=⇔+= 4x6Px =⇒= 8,4x4Px =⇒= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−=−=Δ ∫∫ 4 0 8,4 0 if 64dx6x 48 48,4dx6 x 48 XCXCXC [ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 24x6xln482,19x6xln48 40408,408,40 ( ) ( ) 75,88,448,464ln8,4ln48 ≈+−−−= VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 84840mmVC −=−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE 6,57m 236 m 38,43 P3P m3 , P3P m 3minU yxyx f =′′′⇔×+ ′′′×=×⇔⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ′′′ + ′′′= 6,9486,57mmVE =−=−′′′= i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = ; 5Px =′ 25 45,02 100 y5,12 224 100 x 100m 2P 4P iiy x =×+==×+=⇒⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 9 200 55,02 100 y 9 100 225 100 x 100m 2P 5P ffy x =×+==×+=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =′ EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 5,1122525,125yPxPm iyix =×+×=+′=′ 5,12 225 5,112 x 5,112m 2P 5P y x =×+=′⇒⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′ = = 05,125,12ES =−= 18255,129100ER −=−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 5,112m 55,02 m 25 P5,0P m , P2P m 2minU xyyx i =′′⇔×+ ′′=⇔ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ′+ ′′ +′ ′′= 5,12 225 5,112 x 5,112m 2P 5P y x =×+=′⇒⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′ = = 05,125,12ES =−= 43 18255,129100ER −=−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 4 x 100 P 4P 100 x x y −=⇔+= 5,12x4Px =⇒= 9100x5Px =⇒= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−=−=Δ ∫∫ 5,12 0 9100 0 if 45,12dx4x 100 5 9 100 dx4 x 100 XCXCXC [ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 50x4xln1009500x4xln100 5,1205,1209100091000 ( ) ( ) ≈+−−−= 9505,12910045,12ln9100ln100 VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 5,121005,112mmVC =−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE 9 800 m 45,02 m 9 200 P5,0P m , P2P m 2minU xyyx f =′′′⇔×+ ′′′=⇔⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ′′′ + ′′′= 9 100 100 9 800 mmVE −=−=−′′′= j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = ; 2Py =′ 5,2 14 10 y6 10 1025,05,62 x 5,62m 1P 10P iiy x =×== ×−=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 25,1 24 10 y6 10 1025,05,62 x 5,62m 2P 10P ffy x =×== ×−=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =′ = EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 655,22610yPxPm iyix =×+×=′+=′ 25,1 24 10 y 65m 2P 10P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ =′ = 25,15,225,1ES −=−= 025,125,1ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 23,64m25,1ln1m4,05,2ln64 24 10 ln 10 5,2m 4Ui ≈′′⇔+−′′=+×⇔×+ −′′= 25,1 24 10 y 23,64m 2P 10P y x =×=′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′′ =′ = 25,15,225,1ES −=−= 025,125,1ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE y 5,2 P P4 10 y y y =⇔= 44 5,2y1Py =⇒= 25,1y2Py =⇒= [ ] [ ] =−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 5,2025,10 5,2 0 25,1 0 if yln5,2yln5,215,2dyy 5,2 225,1dy y 5,2 XCXCXC ( ) ( )[ ] 73,10ln5,2ln0ln25,1ln5,2 −≈−−−= VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 73,15,6223,64mmVC =−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE 77,60m5,2ln1m4,025,1ln64 14 10 ln 10 5,2m 4Uf ≈′′⇔+−′′=+×⇔×+ −′′= 73,15,6277,60mmVE −=−=−′′′= k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = ; 4Px =′ 14y0x 28m 2P 6P iiy x ==⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 0y7x 28m 2P 4P ffy x ==⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =′ EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 2814204yPxPm iyix =×+×=′+=′ 7x 28m 2P 4P y x =′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = =′ 707ES =−= 077ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 448m 4 m 5,005,014 4 m 5,0oU 2 2 2 i =′′⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′=×+⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′+= 3,5x 448m 2P 4P y x ≈′⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′′ = =′ 3,503,5ES =−= 7,13,57ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ⎩⎨ ⎧= 0 P28 x x se se 28P 28P x x ≥ ≤ 0x6Px =⇒= 7x4Px =⇒= ( ) [ ] ( ) 14287xln2804287dx x 28 XCXCXC 7 28 7 28 if ≈×−−=−×−−=−=Δ ∫ VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 83,628448mmVC −=−=−′′= 45 VARIAÇÃO EQUIVALENTE 42m 6 m 5,075,00 6 m 5,00U 2 2 2 f =′′′⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′′=×+⇔⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′′+= 142842mmVE =−=−′′′= l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = ; 1Px =′ 64 5,0 2 4y34 2 5,024100 x 100m 5,0P 2P 2 i 2 iy x =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛==×−=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 16 5,0 1 4y92 1 5,014100 x 100m 5,0P 1P 2 i 2 iy x =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛==×−=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =′ EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 66645,0341yPxPm iyix =×+×=+′=′ 58 1 5,01466 x 66m 5,0P 1P 2 iy x =×−=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = =′ 243458ES =−= 345892ER =−= EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 58m4824m36412343 5,0 1 412 1 5,014m 3U 5,0 5,022 i =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛×+×−′′= 50 1 5,01458 x 58m 5,0P 1P 2 iy x =×−=⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′′ = =′ 163450ES =−= 425092ER =−= VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ( ) 16 3200xx P P P8100 x 5,02 x x 2 x ++−=⇔−= 34x2Px =⇒= 92x1Px =⇒= ( ) ( ) ( ) =−×+×−−++−=−=Δ ∫ 123413492dx16 3200xxXCXCXC 92 34 5,02 if =−⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++++⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −= 243200xxln16003200xx5,02 x 16 1 92 34 22 92 34 2 31,57≈ VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 4210058mmVC −=−=−′′= VARIAÇÃO EQUIVALENTE 46 184m9648m5,11612923 5,0 2 412 2 5,024m 3U 5,0 5,022 f =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛×+×−′′= 84100184mmVE =−=−′′′= A.4.6. Comente as seguintes afirmações: a) A curva de Engel de um bem de Giffen é positivamente inclinada. Um bem de Giffen é necessariamente inferior. Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de Engel, é negativamente inclinada. Portanto, a frase é falsa. b) A probabilidade de um bem ser inferior para um dado consumidor aumenta à medida que aumenta o seu nível de rendimento. Preferências quasi-lineares implicam que a procura de um dos bens não dependa do rendimento. Se não depende do rendimento, também não tem efeito rendimento. E se não tem efeito rendimento não pode ser inferior. Portanto, a frase é falsa. c) A curva consumo-preço de um bem normal nunca pode ser decrescente. A curva consumo-preço de um bem é o lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio que resultam de variações no preço desse bem. Admitamos, sem perda de generalidade, que o bem em questão é o X e é normal. Se é normal, terá de ser ordinário. Um bem ordinário é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o seu preço. Portanto, à medida que o preço de X baixa, a quantidade consumida vai estar cada vez mais à direita. Dizer que a curva consumo-preço não pode ser decrescente significa, neste contexto, que a quantidade consumida de Y ou não varia ou aumenta. Mas não há nada que garanta que assim seja. Logo, a frase é falsa. d) Para um orçamento inteiramente gasto em dois bens, um aumento no preço de um deles causará necessariamente um descréscimo no consumo de ambos, a não ser que pelo menos um dos bens seja inferior. Falso. Basta pensar em preferências Cobb-Douglas. Nenhum dos bens é inferior e, no entanto, quando o preço de um deles aumenta, o consumo do outro não se altera. Portanto,apenas um dos bens vê o seu consumo reduzido. e) Quando o efeito rendimento é superior ao efeito substituição mas de sentido contrário a este, estamos na presença de um bem de Giffen. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ O efeito substituição tem sempre sinal negativo. Se o efeito rendimento for positivo e de maior magnitude que o efeito substituição, o efeito total – que é a 47 soma dos dois – será positivo. Mas um efeito total positivo significa que a quantidade consumida varia positivamente com o preço. E isso é a definição de um bem de Giffen. A frase é, pois, verdadeira. f) Um bem inferior é necessariamente um bem de Giffen. A frase é falsa. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Para estes bens, o efeito rendimento é positivo. Ou seja, tem sinal oposto ao do efeito substituição. Obviamente, o sinal do efeito total dependerá da magnitude dos dois efeitos referidos, podendo o bem ser de ordinário ou de Giffen. g) Se um bem é normal para qualquer nível de rendimento, então a curva de Engel é negativamente inclinada. Um bem normal é aquele cuja quantidade consumida varia positivamente com o rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de Engel, é positivamente inclinada. Portanto, a frase é verdadeira. h) A variação compensatória é, em termos absolutos, sempre superior à variação equivalente. Embora geralmente a variação compensatória seja, em termos absolutos, superior à variação equivalente, tal não sucede, por exemplo, com as preferências quasi- lineares, caso em que as duas medidas têm sempre o mesmo valor absoluto. Logo, a frase é falsa. 48 A.5. PROCURA DE MERCADO A.5.1. Determine a função procura do mercado do bem X dadas as seguintes funções procura individuais: p1,010x i −= 10,,1i K= jx230p −= 5,,1j K= p06,325xt −= 25,,1t K= 100p0xp1,010x ii =⇔=→−= 30p0xp5,015xx230p jjj =⇔=→−=⇔−= 17,806,325P0xp06,325x tt ≈=⇔=→−= ⇔ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤< ≤<+ ≤≤++ = ∑ ∑∑ ∑∑∑ = == === 100p30sex 30p06,325sexx 06,325p0sexxx X 10 1i i 10 1i i 5 1j j 10 1i i 5 1j j 25 1t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤<− ≤<−+− ≤≤−+−+− = 100p30sep1,01010 30p06,325sep1,01010p5,0155 06,325p0sep1,01010p5,0155p06,32525 X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤<− ≤<−+− ≤≤−+−+− = 100p30sep100 30p06,325sep100p5,275 06,325p0sep1005,275p5,76625 X ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤<− ≤<− ≤≤− = 100p30sep100 30p06,325sep5,3175 06,325p0sep80800 X A.5.2. O Pedro e o Carlos são irmãos com preferências musicais idênticas. A procura individual de CDs pode ser expressa pela função ix15p −= . a) Determine a função procura agregada dos dois. p15xx15p ii −=⇔−= ( ) p230p152xX i −=−== ∑ Suponha que cada CD custa 3 u.m. b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual ( ) p15 p 1 p15 p dp dx x p i i − =−×−==ε 25,03p =ε⇒= c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada ( ) p15 p 2 p230 p dp dX X p −=−×−==ε 25,03p =ε⇒= 49 d) Compare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c). A elasticidade-preço da procura individual é a mesma da procura agregada. A.5.3. Considere a seguinte função procura linear: p210y −= . a) Represente a função e indique em que zonas a procura é elástica, rígida e unitária. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y p elástica rígida unitária ( ) 5,2p1 p210 p2 12 p210 p 1 dp dy y p 1 =⇔=−⇔=−×−⇔=⇔=ε 15,2p >ε⇒> 15,2P <ε⇒< b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao máximo da despesa total. ( ) 10p2p210pypDT 2 +−=−=×= 5,2p0p4100pDTDTmax =⇔=−⇔=∂∂⇒ A.5.4. Seja a função de utilidade 25,025,0 yxU = . Para a compra de X e Y, o consumidor individual dispõe de um nível de rendimento M. Calcule: a) A elasticidade procura-preço do bem X. 1 P m5,0 m5,0 P P m5,0 Pm5,0 P dP dx x P 2 x 2 x 2 xx x x x xx −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−×==ε b) A elasticidade procura-preço do bem Y. 1 P m5,0 m5,0 P P m5,0 Pm5,0 P dP dy y P 2 y 2 y 2 yy y y y yy −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−×==ε c) A elasticidade procura-preço cruzada do bem X em relação ao bem Y. 00 Pm5,0 P dP dx x P x y y y xy =×==ε d) A elasticidade procura-preço cruzada do bem Y em relação ao bem X. 00 Pm5,0 P dP dy y P y x x x yx =×==ε e) A elasticidade procura-rendimento do bem X. 1 P 5,0 Pm5,0 m dm dx x m xx x =×==η f) A elasticidade procura-rendimento do bem Y. 50 1 P 5,0 Pm5,0 m dm dy y m yy y =×==η g) Verifique que 0xxyxx =η+ε+ε , onde xxε , xyε e xη representam, respectivamente, a elasticidade procura-preço directa do bem X, a elasticidade procura-preço cruzada entre o bem X e o bem Y e a elasticidade procura-rendimento do bem X. 0101Xxyxx =++−=η+ε+ε 51 B. TEORIA DO PRODUTOR B.1. TECNOLOGIA B.1.1. Defina os seguintes conceitos: a) Factor produtivo b) Produtividade média Produto total por unidade de factor. c) Produtividade marginal Acréscimo do produto total por unidade adicional do factor, mantendo-se o outro constante. d) Lei dos rendimentos marginais decrescentes Lei segundo a qual se aumentarmos a quantidade de um dos factores produtivos, mantendo fixas as quantidades dos restantes, os resultantes acréscimos do produto são cada vez menores, podendo atingir-se uma região de acréscimos do produto negativos. e) Rendimentos crescentes à escala Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores produtivos permite obter um acréscimo do produto superior a x%. f) Rendimentos constantes à escala Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores produtivos permite obter um acréscimo do produto igual a x%. g) Rendimentos decrescentes à escala Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores produtivos permite obter um acréscimo do produto inferior a x%. B.1.2. Determinada empresa tem a seguinte função de produção: 32 LKLQ −= , em que K e L são factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontra- se a produzir na dimensão 18K = . a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e produtividade marginal do factor L. Produto total: 32 LL18Q −= Produtividade média: 2LL18 L Q −= Produtividade marginal: 2L3L36 L Q −=∂ ∂ 52 b) Represente graficamente as funções mencionadas, acompanhadas do respectivo estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções. -400 -200 0 200 400 600 800 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L PT PMe PMg A função produto total apresenta dois zeros, para 0L = e 18L = . É crescente até 12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente. Os zeros da produtividade média são também os da função produto total ( 0L
Compartilhar