Conversao Sistema de numeracao

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Sistemas de numeração posicionais – Prof. Francisco J. Martins 1 
1. Introdução aos sistemas numéricos 
Existem vários sistemas numéricos, os mais destacados são: o decimal, o binário, o octal e 
o hexadecimal. 
O mais importante entre eles é o sistema decimal porque o utilizamos no cotidiano. Trata-se 
de um sistema que possui dez algarismos, com os quais podemos formar qualquer número 
através da lei de formação. 
Os outros sistemas citados, em especial o binário e o hexadecimal, são muito importantes 
nas áreas de técnicas digitais e informática. 
1.1. O Sistema Binário de Numeração 
É um sistema de base 2, e é composto por dois algarismos: o 0(zero) e o 1(um). 
Para representar os números equivalentes aos decimais fazemos combinações usando o 
algarismo ZERO (0) e o algarismo UM (1), respeitando as posições impostas pela lei de 
formação. 
Para representar outros algarismos além de 0 e 1 no sistema binário, fazemos do mesmo 
modo que no sistema decimal. No sistema decimal não possuímos o algarismo dez (10), e o 
representamos combinando os algarismos pertencentes ao sistema, assim, utilizamos o 
algarismo 1 seguido do algarismo 0. Neste caso, o algarismo 1 significa que temos um grupo 
de uma dezena e o algarismo 0 nenhuma unidade, o que significa dez. 
No sistema binário, agimos da mesma forma. Para representarmos a quantidade dois (2), 
utilizamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0. O algarismo 1 significará que temos um 
grupo de dois elementos e o 0 um grupo de nenhuma unidade. 
Usando a mesma regra, podemos representar outras quantidades, formando assim, a 
representação dos sistemas numéricos, como tabela abaixo: 
Decimal Binário 
0 0 
1 1 
2 10 
3 11 
4 100 
5 101 
6 110 
7 111 
8 1000 
9 1001 
 
Na prática, cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit), o conjunto de 4 
bits é denominado nibble e o de 8 bits de byte. 
 
 
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1.2. Conversão do Sistema Binário para o Sistema Decimal 
Como exemplo, vamos utilizar um número decimal qualquer, o número 329. Este pode ser 
verificado pela regra de formação aplicada pela tabela abaixo: 
100 10 1  3 x 100 + 2 x 10 + 9 x 1 = 329 
3 2 9 
 
A centena equivale a 102, a dezena equivale a 101 e a unidade a 100 respectivamente. 
102 101 100  3 x 102 + 2 x 101 + 9 x 100 = 329 
3 2 9 
 
De maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada 
algarismo correspondente multiplicado pela base ( no exemplo, a base dez(10)) elevada por 
um índice conforme o posicionamento do algarismo no número. 
Utilizando o conceito básico de formação de um número, podemos obter a mesma 
equivalência, convertendo assim o número para o sistema decimal. 
22 21 20  1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 5 
1 0 1 
 
O número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. 
Quando estamos trabalhando com sistemas numéricos de bases diferentes, para melhor 
identificação do número, é adequado colocar como índice a base do sistema ao qual o 
número pertence. Assim, para o nosso exemplo podemos escrever: 510 = 1012 
Conversão do número 10012 para o sistema decimal: 
23 22 21 20  1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 1 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 9 
1 0 0 1 
 
1.3. Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário 
Esta conversão é feita através da divisão sucessiva do número decimal por 2 até que 
quociente seja igual a 0(Zero) e o resto igual a 1. 
Para demonstração vamos utilizar dois números decimais quaisquer, por exemplo o 4710 e o 
2310: 
47 2 23 2 
46 23 2 22 11 2 
1 22 11 2 1 10 5 2 
 1 10 5 2 1 4 2 2 
 1 4 2 2 1 2 1 2 
 1 2 1 2 0 0 
 0 0 1 
 1 
 
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Assim, temos: 4710 = 1011112 2310 = 101112 
 
1.4. O Sistema Octal de Numeração 
É um sistema de base 8, e é composto por oito algarismos abaixo enumerados: 0,1,2,3,4,5,6 
e 7 
Para exibirmos a quantidade oito, devemos agir do mesmo modo anterior para binários e 
decimais, colocamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0, significando que temos um 
grupo de oito adicionado a nenhuma unidade. 
Atualmente, este sistema é pouco utilizado no campo da Eletrônica Digital, tratando-se 
apenas de um sistema numérico intermediário dos sistemas binário e hexadecimal. 
A tabela abaixo demonstra a seqüência de numeração do sistema para representar outras 
quantidades. 
Decimal Octal 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
7 7 
8 10 
9 11 
10 12 
11 13 
12 14 
13 15 
14 16 
15 17 
16 20 
 
1.5. Conversão do Sistema Octal para o Sistema Decimal 
Utilizaremos o conceito básico de formação de um número, conforme já visto. 
Vejamos a conversão de 1238 em decimal: 
82 81 80  1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 8310 
1 2 3 
 
Conversão de 1008 em decimal: 
82 81 80  1 x 82 + 0 x 81 + 0 x 80 = 64 + 0 + 3 = 6410 
1 0 0 
 
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1.6. Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Octal 
O processo é análogo à conversão do sistema decimal para binário, a diferença é que neste 
caso, utilizaremos a divisão por 8, que é a base do sistema octal. 
Vejamos a conversão de 1210 em octal: 
12 8 
08 1 8 1210 = 148 
4 0 
 1 
 
Conversão de 51210 em octal: 
512 8 
512 64 8 51210 = 10008 
0 64 8 8 
 0 8 1 8 
 0 0 
 1 
 
1.7. Conversão do Sistema Octal para o Sistema binário 
Esta regra consiste em transformar cada algarismo do número octal diretamente no 
correspondente em binário, respeitando-se o número padrão de bits do sistema, sendo para 
o octal igual a três (23 = 8  base do sistema octal). Assim, temos: 
Vejamos a conversão de 278 em binário: 
2 7 278 = 010111 
010 111 
 
1.8. Conversão do Sistema binário para o Sistema Octal 
Para esta conversão aplicaremos o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para 
binário. Como exemplo, usaremos o número 1110101012. 
Para transformar este número em octal, vamos separá-lo em grupos de 3 bits a partir da 
direita: 
111 010 101 
 
Efetuando, agora, a conversão de cada grupo de bits diretamente para o sistema octal, 
temos: 
111 010 101 
7 2 5 
 
 
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O número convertido será composto pela união dos algarismos obtidos. 
1110101012 = 7258 
Nota: No caso do último grupo ficar incompleto, adicionamos zeros à esquerda, até que fique 
com 3 bits. Como exemplo, vamos converter o número 10102 em octal: 
Da direita par a esquerda o primeiro grupo é 010 e o segundo é 1. Assim devemos adicionar 
zeros à esquerda até completar o grupo de 3 bits. Então utilizamos o processo já visto: 
001 010  10102 = 128 
1 2 
 
1.9. O Sistema Hexadecimal de Numeração 
É um sistema de base 16, e é composto por dezesseis algarismos abaixo enumerados: 
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, e F 
Notamos que a letra A representa o algarismo A, que por sua vez representa a quantidade 
dez. A letra B representa o algarismo B que representa a quantidade onze, e assim 
sucessivamente até a letra F que representa a quantidade quinze. 
Para representarmos a quantidade dezesseis, utilizamos o conceito básico da formação de 
um número, ou seja, colocamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0, representando um 
grupo de dezesseis adicionado à nenhuma unidade. 
A tabela abaixo mostra a seqüência de numeração do sistema hexadecimal até a quantidade 
vinte. 
Decimal Hexadecimal 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
7 7 
8 8 
9 9 
10 A 
11 B 
12 C 
13 D 
14 E 
15 F 
16 10 
17 11 
18 12 
19 13 
20 14 
 
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1.10. Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Decimal 
A regra de conversão é análoga à de outros sistemas, a diferença é que neste caso, a base 
é 16. 
Vejamos a conversão de 3F16 em decimal: 
161 160 3 x 161 + f x 160  Sendo F16 = 1510 substituindo temos: 
3 F 3 x 161 + 15 x 160  3 x 16 + 15 x 1 = 6310 
 
1.11. Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal 
Da mesma forma que nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões 
sucessivas pela base do sistema a ser convertido. 
Vejamos a conversão do número 100010 em hexadecimal: 
1000 16 
0992 62 16 100010 = 3E816 
8 48 3 16 Sendo 1410 = E16 temos: 3E816 
 14 0 0 
 3 
 
1.12. Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Binário 
É análoga à conversão do sistema octal para o sistema binário, a diferença é que, neste 
caso, necessita-se de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal. 
Vejamos a conversão do número C1316 em binário: 
C  (C16 = 1210) 1 3  C1316 = 1100000100112 
1100 0001 0011 
 
1.13. Conversão do Sistema Binário para o Sistema Hexadecimal 
É análoga à conversão do sistema binário para o sistema octal, somente que neste caso, 
agrupamos de 4 em 4 bits da direita para a esquerda. 
Vejamos a conversão do número 100110002 em hexadecimal: 
1001 1000  10011000 = 9816 
9 8