01-sist-numericos

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(SOVIERZOSKI, BELO; 2019) 
CAPÍTULO 1 - SISTEMAS NUMÉRICOS 
 
 
 
1.1 Representação Numérica 
 
Em um sistema cuja base é b, um número positivo N pode ser 
representado pelo polinômio: 
 
𝑁 = 𝑎𝑞−1. 𝑏
𝑞−1 + … + 𝑎0. 𝑏
0 + … + 𝑎−𝑝. 𝑏
−𝑝 = ∑ 𝑎𝑖 .
𝑞−1
𝑖=−𝑝
𝑏𝑖 
Onde: a base b é um número inteiro maior que 1 e os números a são 
inteiros entre os valores: 0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ (𝑏 − 1) 
 
A sequência de dígitos 𝑎𝑞−1 , 𝑎𝑞−2 , … , 𝑎0 compõe a parte inteira de N. 
A sequência de dígitos 𝑎−1 , 𝑎−2 , … , 𝑎−𝑝 compõe a parte fracionária de N. 
 
Os índices p e q designam os números de dígitos na parte fracionária e 
na parte inteira de N, respectivamente. 
 
O dígito 𝒂−𝒑 é denominado de dígito menos significativo, enquanto 𝒂𝒒−𝟏 
é denominado de dígito mais significativo. 
 
Exemplos de bases usuais: 
Base 10 → sistema numérico decimal (0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 9) 
Base 2 → sistema numérico binário (0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 1) 𝑎𝑖 = {0,1} 
Base 8 → sistema numérico octal (0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 7) 
Base 16 → sistema numérico hexadecimal 
 (0, 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F) 
 
O complemento de um dígito a representado por a´, na base b, é definido 
como: 
a´ = (b-1) - a 
 
Exemplo: na base 10, o complemento do dígito 6 é 
6´ = (10-1) – 6 = 3 
 
Um número N na base b é representado por (N)b. 
 
Exemplos: 
(123,45)10 = 1.102 + 2.101 + 3.100 + 4.10-1 + 5.10-2 
(1101,01)2 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 + 0.2-1 + 1.2-2 
(321,02)4 = 3.42 + 2.41 + 1.40 + 0.4-1 + 2.4-2 
(541,3)5 → não existe (representação errada) ⇒ 
 ⇒ Base 5 ⇒ dígitos entre “0” e “4”, inclusive. 
 
 
1.2 Conversão de Bases 
 
O número N, expresso na base b1, deve ser expresso na base b2. 
 
(N)b1 = (??)b2 
 
1º. CASO: (conhece-se a aritmética da base b2) 
 
A aritmética da base b2 pode ser usada no processo de conversão. 
A conversão consiste em expressar o número (N)b1, como um polinômio 
em potências de b1 e calcular o polinômio usando a aritmética da base b2. 
 
Exemplos: converter para a base 10. 
(432,2)8 = 4.82 + 3.81 + 2.80 + 2.8-1 = 4.64 + 3.8 + 2.1 + 2.0,125 = 
 = 256 + 24 + 2 + 0,25 = (282,25)10 
 
 (1101,01)2 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 + 0.2-1 + 1.2-2= 
 = 1.8 + 1.4 + 0.2 + 1.1 + 0.0,5 + 1.0,25 = 
 = 8 + 4 + 1 + 0,25 = (13,25)10 
 
 
2º. CASO: (conhece-se a aritmética da base b1) 
 
É mais conveniente usar a aritmética da base b1. O processo de 
conversão considera, separadamente, a parte inteira e a parte fracionária de N. 
Seja (N)b1 a parte inteira, cujo valor na base b2 é dado por: 
 
(𝑁)𝑏1 = 𝑎𝑞−1. 𝑏2
𝑞−1 + 𝑎𝑞−2. 𝑏2
𝑞−2 + … + 𝑎1. 𝑏2
1 + 𝑎0. 𝑏2
0 
 
 
Para se determinar os valores dos coeficientes a (incógnitas), divide-se 
o polinômio por b2. Assim: 
 
(SOVIERZOSKI, BELO; 2019) 
(𝑁)𝑏1
𝑏2
= 𝑎𝑞−1. 𝑏2
𝑞−2 + 𝑎𝑞−2. 𝑏2
𝑞−3 + … + 𝑎1 + 
𝑎0
𝑏2
 
 
Q0 
 
O dígito menos significativo de (N)b2, Q0, é igual ao primeiro resto da 
divisão. O próximo dígito (a1) é obtido pela divisão do quociente Qo por b2. 
 
(
𝑄0
𝑏2
)
𝑏1
= 𝑎𝑞−1. 𝑏2
𝑞−3 + 𝑎𝑞−2. 𝑏2
𝑞−4 + … + 
𝑎1
𝑏2
 
 
Q1 
 
Os coeficientes a restantes, são determinados repetindo-se as divisões 
dos quocientes, até que Qq-1 não possa mais ser dividido por b2. 
 
Exemplos: Converter os números para as bases numéricas indicadas. 
 
a) (548)10 = (??)8 
 
b) (345)10 = (??)6 
 
Se (N)b1 é uma fração, pode ser expresso na base b2 como: 
 
(𝑁)𝑏1 = 𝑎−1. 𝑏2
−1 + 𝑎−2. 𝑏2
−2 + … + 𝑎−𝑝. 𝑏2
−𝑝 
 
 
O dígito mais significativo, a-1, pode ser obtido multiplicando-se o 
polinômio por b2. 
 
Se o produto for menor que 1, o termo a-1 é igual a zero. 
Se o produto for maior que 1, o termo a-1 é igual à parte inteira do produto. 
O próximo dígito, a-2, é determinado pela multiplicação da parte 
fracionária do produto anterior por b2 (processo iterativo). 
OBS.: Esse processo de conversão não necessariamente tem término. 
 
Exemplos: Converter para as bases indicadas. 
 
a) (0,3125)10 = (??)8 
 
 
b) (0,375)10 = (??)2 
 
c) (32,354)10 = (??)2 
 
(SOVIERZOSKI, BELO; 2019) 
Exemplos: Efetuar as conversões indicadas. 
a) (132,42)5 = (??)13 
 
i) (132,42)5 = (??)10 → A aritmética de b2 é conhecida (1º Caso) → 
(132,42)5 = 1.52 + 3.51 + 2.50 + 4.5-1 + 2.5-2 = (42,88)10 
ii) (42,88)10 = (??)13 → A aritmética de b1 é conhecida (2º Caso) → 
 
(42,88)10 = (33,B5...)13 
iii) (132,42)5 = (42,88)10 = (33,B5...)13 
 
b) (??)5 = (33,B5)13 
 
i) (33,B5)13 = (??)10 → A aritmética de b2 é conhecida (1º Caso) → 
(33,B5)13 = 3.131 + 3.130 + B.13-1 + 5.13-2 + 2.5-2 = (42,875...)10 
ii) (42,875...)10 = (??)5 → A aritmética de b1 é conhecida (2º Caso) → 
 
(42,875...)10 = (132,414...)5 
iii) (33,B5)13 = (42,875...)10 = (132,414...)5 (*) 
 
 
(*) observar o erro de conversão, provocado pela limitação no número de algarismos significativos. 
1.3 Tabela de Comparação entre Bases 
 
Base 2 = 21 
(Binário) 
Base 8 = 23 
(Octal) 
Base 10 
(Decimal) 
Base 16 = 24 
(Hexadecimal) 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 1 1 1 
0 0 0 1 0 2 2 2 
0 0 0 1 1 3 3 3 
0 0 1 0 0 4 4 4 
0 0 1 0 1 5 5 5 
0 0 1 1 0 6 6 6 
0 0 1 1 1 7 7 7 
0 1 0 0 0 10 8 8 
0 1 0 0 1 11 9 9 
0 1 0 1 0 12 10 A 
0 1 0 1 1 13 11 B 
0 1 1 0 0 14 12 C 
0 1 1 0 1 15 13 D 
0 1 1 1 0 16 14 E 
0 1 1 1 1 17 15 F 
1 0 0 0 0 20 16 10 
24 23 22 21 20 81 80 101 100 161 160 
 
 
1.4 Conversão entre Bases (Binária ↔ Octal ↔ Hexadecimal) 
 
a) Binário para Octal e Binário para Hexadecimal: 
Exemplo: ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 )2 = 001010100 B 
 ( 1 2 4 )8 = 124 O 
 ( 0 5 4 )16= 054H 
 
b) Octal para Binário e Hexadecimal para Binário: 
Exemplo: Converter (346)8 e (A804)16 para binário. 
 (030 0400 60)8 (00A00080000000 400)16 
 (011 100 110)2 (1010 1000 0000 0100)2 
 
c) Hexadecimal para Octal e Octal para Hexadecimal: 
 Pode-se usar a Base 2 para uma conversão intermediária 
Exemplo: (0 A0 0 800 10 )16 (0 6000 0000 3000 500)8 
 (1010 1000 0001)2 ( 110 000 011 101 )2 
 ( 5 2 0 1 )8 ( C 1 D )16 
 
 
(SOVIERZOSKI, BELO; 2019) 
1.5 Operações Aritméticas no Sistema Binário 
 
ADIÇÃO: 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 0 e “vai um” → Transporte para o próximo dígito (“Carry”) 
 
Exemplos: 
 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ← Transporte 
 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 ← 2ª parcela 
 + 1 0 0 1 1 + 1 1 1 0 0 0 1 1 ← 1ª parcela 
 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ← Soma 
 
 Generalizando: 
 Sn = An + Bn + Carry 
 
 
SUBTRAÇÃO: 
 
0 – 0 = 0 
0 – 1 = 1 e “empresta um” → (“Borrow”) 
1 – 0 = 1 
1 – 1 = 0 
 
Exemplos: 
 
 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 ← minuendo 
 – 0 0 1 0 – 1 0 0 0 1 – 1 1 1 1 ← subtraendo 
 – 1 – 1 1 1 1 ← “empresta um” 
 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 ← diferença 
 
 Generalizando: 
 Sn = An – Bn – Borrow 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO: 
 
A exemplo do que ocorre no sistema decimal, o algoritmo da 
multiplicação no sistema binário compreende adição e deslocamentos 
sucessivos. 
 
0 x 0 = 0 
0 x 1 = 0 
1 x 0 = 0 
1 x 1 = 1 
 
Exemplos: 
 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 ← multiplicando 
 x 1 0 1 x 1 0 0 1 ← multiplicador 
 1 1 1 1 1 ← “vai um” (transporte) 
 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 ← 1º produto parcial 
 + 0 0 0 0 0 + 0 0 ← 2º e 3º produto parcial 
 + 1 1 0 1 0 + 1 0 0 1 0 1 ← 4º produto parcial 
 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 ← produto 
 
 
DIVISÃO: 
 
O algoritmo de divisão no sistema binário utiliza multiplicação e 
subtração. Lembrar que: 
 
dividendo (D) divisor (d) e que: D = q·d + r 
resto (r) quociente (q) 
 
Exemplos: 
 
 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 01 1 0 0 1 0 1 0 1 
 – 1 1 0 1 0 1 0 1 – 1 0 1 1 0 1 0 
 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 
 – 1 1 0 1 0 – 1 0 1 
 0 0 0