Sétima Lista de Exercícios de Física 1 (Com Soluções) - UnB

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Sétima Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
Quando o motor de 75kW (100hp) de um pequeno avião de
700kg está desenvolvendo sua potência máxima, a aeronave ga-
nha altura à uma razão de 2.5m/s = (150m/min). Qual fraçâo
da potência do motor está contribuindo para que o avião suba?
Por quais fatores a potência não é aproveitada por completo,
ou seja, para que é utilizado o resto da potência?
Solução
A potência pode ser descrita como o produto interno entre veloci-
dade e força, portanto:
P = F.v, na qual F é o peso, logo:
P = (700kg).(−9, 8m/s2).(2, 5m/s). cos(180o) = 17, 5kW
A gravidade tem sinal negativo, pois consideramos o deslocamento
para cima como sendo positivo.
Calculando a fração utilizada:
17,15
75
= 0, 23. 23
100
da potência do mo-
tor é utilizada na subida. O resto da potência é utilizado para vencer
a resistência do ar, ou se perde devido a ineficiências na hélice e no
motor.
Questão 2
Imagine de você trabalha levantando caixas de 30kg ao longo
de uma distância vertical de 0, 90m a partir do solo até um
caminhão. Responda: (a) Quantas caixas você teria que car-
regar no caminhão em 1 minuto para que seu gasto médio de
potência fosse de 0, 50hp? (b) Quantas caixas você teria que
carregar no caminhão em 1 minuto para que seu gasto médio
de potência fosse de 100W?
Solução
(a) O número de caixas por minuto seria a potencia média dividida
pelo trabalho (mgh) necessário para levantar uma caixa,
(0, 50hp)(746W/hp)
(30kg)(9, 8m/s2)(0, 9m)
= 1, 41/s
Ou 84, 6/min.
(b) Similarmente,
(100W )
(30kg)(9, 8m/s2)(0, 90m)
= 0, 378/s
Ou 22, 7/min.
Questão 3
Uma partícula de massa 2, 0kg desloca-se ao longo de um eixo
Ox, sob ação de uma força resultante F que tem a mesma
orientaçãoo do eixo Ox e intensidade variando com a posição,
conforme o gráfico a seguir.
Sabe-se que na posição x1 = 0, a velocidade escalar da partí-
cula é de
√
10m/s:
Determine:
(a) o trabalho realizado pela força F entre as posições x1 =
0 e x2 = 3, 0m;
(b) a velocidade escalar da partícula na posição x2 = 3, 0m.
Solução
(a) O trabalho da força variável é dado pela área sob a curva no grá-
fico F × x, neste caso, a área do triângulo (veja região em amarelo
abaixo).
A área do triângulo é
base.altura
2
. Assim
T =
B.H
2
⇒ T = 3, 0.10
2
Portanto
T = 15J,
é o trabalho realizado pela força
~F .
(b) Pelo Teorema da Energia Cinética:
T =
mv22
2
− mv
2
1
2
⇒ T = m
2
(v22 − v21)
15 =
2, 0
2
(v22 − (
√
10)2)⇒ 15 = v22 − 10
portanto
v2 = 5m/s,
é a velolcidade escalar da partícula na posição x2.
Questão 4
Um bloco de 10kg movimenta-se em linha reta sobre uma mesa
lisa, em posiçãoo horizontal, sob a ação de uma força
~F variável
que atua na mesma direção do movimento, conforme o gráfico.
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Determine o trabalho realizado pela força quando o bloco se
desloca da origem até o ponto d = 6m.
Solução
I)
Atrapsio = AI =
(B + b).h
2
=
(3 + 1).2
2
= 4J
II)
Atringulo = AII =
bh
2
=
2(−2)
2
= −2J
III)
AIII = 0
τ =Área do gráfico F × distncia percorrica.
O trabalho realizado de 0m até 6m é: τ = AI +AII +AIII = 2J
Questão 5
A figura abaixo mostra três forças aplicadas a um baú que se
desloca 3, 00m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os
módulos das forças são F1 = 5, 00N, F2 = 9, 00N e F3 =
3, 00N ; o ângulo indicado é θ = 60o. Nesse deslocamento, (a)
qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças
e (b) a energia cinética do baú aumenta o diminui?
Solução
(a) As forças são constantes, então, o trabalho exercido por cada
uma é expresso por W = F.d (produto escalar entre a força F e o
deslocamento d). F1 está no mesmo sentido do deslocamento, então:
W1 = F1d cos θ1 = (5, 00N).(3, 00m).(cos 0
o) = 15, 0J
Força F2 f um ângulo de 120
o
com o deslocamento, então
W2 = F2f cos θ2 = (9, 00N).(3, 00m).(cos 120
o) = −13, 5J
A força F3 é perpendicular ao deslocamento; como cos 90
o = 0, então
W3 = 0. O somatório dos trabalhos das 3 forças é o seguinte:
W1 +W2 +W3 = 15, 0J − 13, 5J + 0 = 1, 50J
(b) Se nenhuma outra força realiza trabalho sobre a caixa, então a
energia cinética da mesma aumenta em 1, 50J durante o desloca-
mento.
Questão 6
A figura abaixo mostra uma vista superior de três forças ho-
rizontais atuando sobre uma caixa que estava inicialmente em
repouso e passou a se mover sobre um piso sem atrito. Os mó-
dulos das forças são F1 = 3, 00N ; F2 = 4, 00N e F3 = 10, 0N ,
e os ângulos indicados são θ2 = 50, 0
o e θ3 = 35, 0
o
. Qual é
o trabalho total realizado sobre a caixa pelas três forças nos
primeiros 4, 00m de deslocamento?
Solução
Como as forças estudadas são constantes, então o trabalho total é
dado por W = Fres∆x, em que Fres é a magnitude da força resul-
tante, e ∆x é o deslocamento. Calcula-se Fres em termos de suas
componentes x e y:
Fresx = −F1 − F2 sin 50o + F3 cos 35o
= (−3, 00N)− (4, 00N) sin 50o + (10, 0N) cos 35o = 2, 13N
Fresy = −F2 cos 50o + F3 sin 35o
= −(4, 00N) cos 50o + (10, 0N) sin 35o = 3, 17N
Fres =
√
F 2resc + F
2
resy =
√
(2, 13)2 + (3, 17)2 = 3, 82N
O trabalho realizado pela Fres é:
W = Fresd = (3, 82N)(4, 00m) = 15, 3J
Questão 7
Uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, é sub-
metida a uma aceleração a constante. (a) Demonstre que a
potência instantânea devido a força gerada pela aceleração é
P = ma2t. (b) Por qual fator deve se aumentar a potência
para triplicar a aceleração? (c) Em t = 5, 0s, a potência forne-
cida pela força resultante é de 36W . Qual a potência necessária
em t = 15, 0s para manter uma aceleração constante?
Solução
(a) Em termos da aceleração a e do tempo t desde que a força
foi aplicada, a velocidade é: v = vo + a.t. Porém, como a partí-
cula parte do repouso, vo = 0, e a força é: F = ma, a potência é
P = Fv = (ma).(at) = ma2t.
(b) A potência em um determinado instante é proporcional ao qua-
drado da aceleração, triplicar a aceleração aumentaria a potência
por um fator de nove.
(c) Se o módulo da força resultante é constante, a aceleração será a
mesma, e a potência necessária será proporcional apenas ao tempo
decorrido. Em t = 15, 0s a potência necessária é três vezes aquela
aos 5, 0s, ou seja, 108W .
Questão 8
Demonstre que a potência instantânea P fornecida pela força
resultante que atua sobre uma partícula está relacionada com
a energia cinética K da partícula por P = dKdt .
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Solução
dK
dt
=
d
dt
(
1
2
mv2) = mv
dv
dt
= mva = mav = Fv = P
Questão 9
Qual o trabalho realizado por uma força dada em Newtons por
F = 2xiˆ + 3jˆ, onde x está em metros, que é exercida sobre
uma partícula enquanto ela se move da posição, em metros,
ri = 2ˆi+ 3jˆ para a posição, em metros, rf = −4ˆi− 3jˆ?
Solução
Suponha que a partícula mova-se primeiramente, digamos, ao longo
da quota constante y = 3m, indo desde x1 = 2m até x2 = −4m.
Neste percurso, o trabalho realizado é:
W1 =
∫ x2
x1
Fxdx =
∫ x2
x1
2xdx
= x22 − x21 = (−4)2 − (2)2 = 12J
A seguir, para completar o percurso, suponhamos que a partícula
mova-se ao longo da linha x = −4m, indo de y1 = −3m até
y2 = −3m. O trabalho para tanto é
W2 =
∫ y2
y1
Fydy =
∫ x2
x1
3dy
= 3(y2 − y1) = 3[(−3)− (3)] = −18J
O trabalho total do percurso todo é
W = W1 +W2 +W3 = 12− 18 = −6J.
PERGUNTA DEVERAS PERTINENTE: o valor do trabalho de-
pende do caminho escolhido para fazer-se as integrações? Repita a
integração escolhendo outro caminho!...
Questão 10
A força exercida num objeto é Fx = Fo(
x
xo
− 1). Calcule o
trabalhorealizado para deslocar o objeto de x = 0 até x = 2xo
(a) fazendo um gráfico de F (x) e determinando a área sob a
curva e (b) calculando a integral analiticamente.
Solução
(a) A expressão de F (x) diz-nos que a força varia linearmente com
c. Supondo xo > 0, escolhemos dois pontos convenientes para, atra-
vés deles, desenhar uma linha reta. Para x = 0 temos F = −Fo
enqanto que para x = 2xo temos F = Fo, ou seja, devemos desenhar
uma linha reta que passe pelos pontos (0,−Fo) e (2xo, Fo). Faça a
figura! Olhando para afigura, vemos que o trabalho total é dado pela
soma da área de dois triângulos: um que vai de x = 0 até x = xo,
o outro indo de x = xo até x = 2xo. Como os dois triângulos tem
a mesma área, sendo uma positiva e a outra negativa, vemos que o
trabalho total é ZERO.
(b) Analiticamente, a integral nos diz que
W =
∫ 2xo
0
Fo(
x
xo
− 1)dx = Fo( x
2
2xo
− x)|2xo0 = 0
Questão 11
Uma lata de parafusos e porcas é empurrada por 2, 00m ao
longo de um eixo x por uma vassoura ao longo de um piso sujo
de óleo (sem atrito) de uma oficina de automóveis. O gráfico
abaixo mostra o trabalho W realizado sobre a lata pela força
horizontal constante da vassoura em função da posição x da
lata. A escala vertical do gráfico é definida por Ws = 6, 00J .
(a) Qual é o módulo da força? (b) Se a lata tivesse uma ener-
gia cinética inicial de 3, 00J , movendo-se no sentido positivo do
eixo x, qual seria a energia cinética ao final do deslocamento
de 2, 00m?
Solução
(a) Como a força aplicada sobre a lata está no mesmo sentido do
deslocamento da mesma, cos θ = cos 0 = 1. Então W = Fd; por-
tanto F = W
d
= 6,00J
2,00m
= 3, 00N (este é o coeficiente angular da
reta). (b) Como K = Ki +W , então K = 3, 00J + 6, 00J = 9, 00J .
Questão 12
Um rebatedor acerta uma bola de baseball, de massa 0, 145kg,
em linha reta e para cima, com uma velocidade inicial de
25, 0m/s. (a) Quanto trabalho a gravidade faz na bola quando
esta atinge uma altura de 20, 0m acima do campo? (b) Use o
teorema do trabalho - energia cinética para calcular a veloci-
dade da bola quando esta atinge uma altura de 20, 0m acima
do campo; ignore a resistência do ar. (c) A resposta do item
(b) depende do fato da bola estar se movendo para cima ou
para baixo da altura de 20, 0m? Justifique.
Solução
(a) Como o movimento é ascendente, a gravidade se
opõe ao sentido do movimento, então: W = −mgh =
−(0, 145kg)(9, 80m/s2)(20, 0m) = −28, 4J .
(b) v2 =
√
v21 + 2
W
m
=
√
(25, 0m/s2) + 2(−28,4J)
(0,145kg)
= 15, 26m/s.
(c) Não; na ausência da resistência do ar, a bola terá a mesma velo-
cidade no mesmo ponto, não importando se a bola está subindo ou
descendo. Na descida, a gravidade terá feito tanto trabalho negativo
como positivo na bola, mas o trabalho total será o mesmo.
Questão 13
Um elevador vazio tem massa de 600kg e foi desenvolvido
para subir com velocidade constante uma distância vertical de
20, 0m (cinco andares) em 16, 0s. Ele é impulsionado por um
motor capaz de fornecer 40hp ao elevador. Qual o número má-
ximo de passageiros que podem subir no elevador? Suponha
uma massa de 65, 0kg por passageiro.
Solução
Como a potência média é dada por P = W
t
, e o trabalho é realizado
pela força peso, temos:
P = M.g.
d
t
⇒M = P.t
M.g
Logo, a massa total que pode ser carregada é:
M =
(40, 0hp).(746W/hp).(16, 0s)
(9, 80m/s2).(20m)
= 2436kg
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O número máximo de passageiro será dado por M −me, onde me é
a massa do elevador, dividido pela massa de cada passageiro:
2436− 600
65
= 28
Poderão ser levados 28 passageiros de 65kg.
Questão 14
A força
~F = (3x2N )ˆi + (4N)jˆ, com x em metros, age sobre
uma partícula, mudando apenas a energia cinética da partí-
cula. Qual é o trabalho realizado sobre a partícula quando ela
se desloca das coordenadas (2m, 3m) para (3m, 0m)? A velo-
cidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma?
Solução
A força é variável porque sua componente x depende do valor de x.
Escrevemos duas integrais, uma para cada eixo:
W =
∫ 3
2
3x2dx+
∫ 0
3
4dy = 3
∫ 3
2
x2dx+ 4
∫ 0
3
dx4
= 3[
1
3
x3]32 + 4[y]
0
3 = [3
3 − 23] + 4[0− 3] = 7, 0J
O resultado positivo significa que a forç
~F transfere energia para a
partícula. Assim, a energia cinética da partícula aument e, como
K = 1
2
mv2, a velocidade escalar também aumenta.
Questão 15
Uma força F é aplicada em um carrinho de controle remoto,
de 2, 0kg, paralelamente ao eixo x, no qual o carrinho esta se
movendo em linha reta. A componente x da força varia com
a coordenada x do carro, como é mostrado na figura abaixo.
Calcule o trabalho realizado pela força F quando o carro se
move de (a) x = 0 até x = 3, 0m; (b) x = 3, 0m até x = 4, 0m;
(c) x = 4, 0m até x = 7, 0m; (d) x = 0 até x = 7, 0m; (e)
x = 7, 0m até x = 2, 0m.
Solução
O trabalho em certo intervalo é a área entre a curva e o eixo x no
gráfico da força [F (N)] em função da posição [x(m)]. Tal área é
facilmente calculada quando a mesma é constituída pela união de
triângulos e quadrados.
(a) A área abaixo do trapézio é A = (3+1)2
2
= 4; portanto o trabalho
é de 4,0 J.
(b) Não há força resultante sendo aplicada nesse intervalo; portanto,
o trabalho é zero.
(c) A área do triângulo acima da curva é A′ = (6−4)1
2
= 1; como
tal área está abaixo do eixo x, o trabalho é negativo; sendo assim,
o trabalho é de −1, 0J .
(d) O trabalho total é a soma dos trabalhos nos itens (a), (b) e (c),
ou seja, 4, 0 + 0− 1, 0 = 3, 0J .
(e) Nesse item, o trabalho entre x = 2 e x = 3 é igual a
(3− 2)2 = 2, 0J . O trabalho procurado é de 1, 0− 2, 0 = −1, 0J (o
sinal é negativo porque o movimento é de volta).
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