2º Simulado Cálculo III 2ºsem 2016

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Simulado da 2a Prova de Ca´lculo III - 2oSem/2016
Engenharia Ele´trica
Questa˜o 1. O parabolo´ide z = 6 − x − x2 − 2y2 intercepta o plano x = 1 em uma para´bola.
Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a essa para´bola no ponto (1, 2,−4)
Questa˜o 2. A voltagem V em um circuito ele´trico simples decresce lentamente a` medida que a
pilha se descarrega. A resisteˆncia R aumenta lentamente com o aumento de calor do resistor. Use
a lei de Ohm,
V = IR,
para determinar como a corrente I esta´ variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A,
dV
dt
= −0, 01V/s e dR
dt
= 0, 03Ω/s.
cm
Questa˜o 3. Mostre que todo plano tangente ao cone x2 + y2 = z2 passa pela origem.
Questa˜o 4. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva formada plea inter-
secc¸a˜o do parabolo´ide z = x2 + y2 com o elipso´ide 4x2 + y2 + z2 = 9 no ponto (−1, 1, 2)
Questa˜o 5. Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2 no
conjunto D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}
Questa˜o 6. Determine o volume ma´ximo de uma caixa retangular que esta´ inscrita em uma
esfera de raio R
Questa˜o 7. Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cil´ındrica de 10 cm
de altura e 4 cm de diaˆmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de espessura
e o das laterais tem espessura de 0,05 cm
Questa˜o 8. Sejam f(u, v) e g(x, y) func¸o˜es de duas varia´veis que admitem derivadas parciais de
primeira ordem. Se
g(x, y) = f
(√
x3 + ln(y) + 1, cosx+
√
y2 + 3
)
e ale´m disso
∂f
∂u
(1, 3) = 6 e
∂f
∂v
(1, 3) = 2, determine a equac¸a˜o do plano tangente a superf´ıcie
z = g(x, y) no ponto (0, 1, 10).
Questa˜o 9. A temperatura T (x, y, z) em uma bola de metal e´ inversamente proporcional a`
distaˆncia do centro da bola, que tomamos como a origem em R3. A temperatura no ponto (1, 2, 2)
e´ de 120oC.
a) Calcule o valor da constante de proporcionalidade.
b) Determine a taxa de variac¸a˜o de T em (1, 2, 2) na direc¸a˜o do ponto (2, 1, 3)
c) Partindo do ponto (1, 2, 2) determine um vetor que indique a direc¸a˜o de maior crescimento da
temperatura da bola.
Questa˜o 10. Considere a func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2. E seja C a curva
de intersec¸a˜o do grafico de z = f(x, y) com o plano y = 2
a) Determine do domı´nio de f(x, y)
b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C no ponto (1, 2,
√
11)
Questa˜o 11.
Metalurgia
A indu´stria metalu´rgica ba´sica compreende cinco grupos de atividades: produc¸a˜o de ferro gusa
e de ferroligas; siderurgia; fabricac¸a˜o de tubos, exceto em sideru´rgicas; metalurgia de metais na˜o
ferrosos e fundic¸a˜o.
No Estado de Sa˜o Paulo, nota-se a predominaˆncia das empresas ligadas a` metalurgia de metais
na˜o ferrosos, que respondem por 65,01% do produto dessa atividade, segmento consideravelmente
mais forte que a fabricac¸a˜o de produtos sideru´rgicos (19,2%), e a fabricac¸a˜o de tubos (15,8%).
No que se refere ao come´rcio exterior, estudo feito recentemente pela International Trade Com-
mission comprova que o baixo prec¸o do ac¸o brasileiro e´ um fator de competitividade. O Brasil
pode ser considerado o pa´ıs com menor custo me´dio de produc¸a˜o de ac¸o no mundo, de acordo
com dados comparativos da Companhia Sideru´rgica Nacional (CSN). O fato e´ justificado pela
abundaˆncia de mine´rio de ferro no pa´ıs. Ale´m disso, a ma˜o de obra esta´ entre as mais baratas do
mundo. O ac¸o e´ produzido, basicamente, a partir de mine´rio de ferro, carva˜o e cal. A fabricac¸a˜o
do ac¸o pode ser dividida em quatro etapas: preparac¸a˜o da carga, reduc¸a˜o, refino e laminac¸a˜o.
As sideru´rgicas nacionais tambe´m teˆm poder sobre um dos principais componentes do prec¸o do
mine´rio de ferro, que e´ o frete ferrovia´rio. Muitas empresas teˆm participac¸a˜o nas ferrovias, o
que barateia o escoamento do produto. A pesquisa revelou tambe´m que as empresas brasileiras,
por conta dos pesados investimentos em tecnologia, teˆm condic¸o˜es de concorrer com as empresas
norte-americanas. Uma Certa indu´stria produz dois tipos de ligas meta´licas:
• Dc54d + Z chapa de ac¸o galvanizado
• Liga de chapa de ac¸o carbono
O custo total da produc¸a˜o dessas ligas e´ expresso pela func¸a˜o C(x, y) = x2 + 100x + y2 − xy e a
receita total obtida com a vendas dessas ligas e´ dada pela func¸a˜o R(x, y) = 100x−x2+2000y+xy
onde x e y representam a quantidade medida em toneladas da chapa de ac¸o galvanizado e da
chapa de ac¸o carbono respectivamente.
a) Escreva a func¸a˜o lucro
b) Determine o n´ıvel de produc¸a˜o que maximiza o lucro dessa indu´stria.
c) Determine o valor em do´lares do lucro ma´ximo dessa produc¸a˜o.
Resposta:
1)
(r) :
 x = 1y = 2 + t, t ∈ Rz = −4− 8t
2) −0, 000031A/s
3) Sugesta˜o: obtenha a equac¸a˜o do plano atrave´s de superf´ıcie de n´ıvel e gradiente e em seguida
mostrar que d = 0
4)
(r) :
 x = −1− 10ty = 1− 16t, t ∈ R
z = 2− 12t
5) Ma´ximo absoluto f(3, 0) = 83 e mı´nimo absoluto f(1, 1) = 0
6) 8
3
√
3
R3
7) 2, 8pi ' 8, 8cm3