Eletromagnetismo P2 2016 Poli

PTC 3213 \u2013 ELETROMAGNETISMO \u2013 2016 Q.1 (3,5): 2 a. PROV A \u2013 14/10/2016 Q.2 (3,0): NOME:__________________________________________________________ Q.3 (3,5): NUSP:__________________TURMA / PROF:____________________________ T OT AL: ASSINA TURA:____________________________________________________ Questão 1 (3,5 pontos): Considere o problema de se determinar a resistência entre os eletrodos com as dimensões mostradas na figura ao lado. O material entre os eletrodos tem permissividade e 0 , condutividade s = 3 mS/m, e espessura (comprimento na direção normal à superfície da página) de 1 m. A s linhas pontilhadas indicam o reticulado utilizado na solução pelo método das diferenças finitas, com 0,5 cm de resolução. Para uma diferença de potencial de 100 V entre os eletrodos, a matriz obtida para os potenciais está mostrada na tabela abaixo. 00000000 0000000 000000 0 5 10 15 19 19 22 23 25 25 25 24 24 22 20 17 13 9 6 3 0 0 10 20 31 40 40 45 48 49 50 49 49 48 46 42 34 26 19 12 6 0 0 15 30 47 64 64 71 73 74 75 75 74 73 71 66 52 38 27 17 8 0 0 19 39 64 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 69 49 34 21 10 0 0 21 44 70 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 75 54 38 24 11 0 0 22 45 71 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 77 56 X 25 12 0 0 21 44 70 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 75 54 38 24 11 0 0 19 39 64 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 69 49 34 21 10 0 0 15 30 47 64 64 71 73 74 75 75 74 73 71 66 52 38 27 17 8 0 0 10 20 31 40 40 45 48 49 50 49 49 48 46 42 34 26 19 12 6 0 0 5 10 15 19 19 22 23 25 25 25 24 24 22 20 17 13 9 6 3 0 00000000 0000000 000000 (a) (0,5) Determine o valor de X . X = (38+25+38+56)/4 = 39,25 ou 39. 1/7 10 cm 5 cm 6 cm 2 cm 0,5 cm (b) (0,5) Usando diferenças finitas, obtivemos o valor de R = 36,47 W para a re sistência entre os dois eletrodos. Com base neste valor , calcule a capacitância entre os dois condutores. C = \u03b5 \u03c3 R = 8,854 \u22c5 10 \u2212 12 0,003 × 36,47 = 81 pF. C = _______________ F . (c) (1,0 \u2013 V ALOR CORRIGIDO) Uma célula do mapa de diferenças finitas é mostrada abaixo, bem como os potenciais de seus vértices. Determine a corrente que a travessa a superfície delimitada pela linha MN (com normal \u20d7 n apontando na direção y , como mostrado na figura). No centro da célula: E y = 64 + 71 \u2212 100 \u2212 100 2 × 0,005 = \u2212 650 0 V/m; J y = \u2212 0,003 × 6500 = \u2212 19,5 A/m 2 ; I MN = \u2212 19,5 × 0,005 × 1 = \u2212 97,5 mA . I MN = _______________ A . (d) (1,0) Usando o valor de R do item (b), calcule a resistência da estrutura da figura abaixo. O material entre os dois eletrodos também possui 1 m de espessura e s = 3 mS/m. R = n s n p 1 \u03c3 L \u21d4 n s n p = \u03c3 R L = = 0,003 × 36,47 × 1 = 0,10941 ; R ' = n p 2 n s 1 \u03c3 L = 1 2 × 0,10941 × 0,003 × 1 = = 1523 \u03a9 . R ' = _______________ \u03a9 . (e) (0,5) É possível determinar o valor exato da capacitância a partir do valor de R' calculado no item (d)? Por quê? Não é possível, pois \u20d7 D não é análogo a \u20d7 J para esta geometria, e há dispersão de fluxo. 2/7 3 cm 10 cm 64 71 100 100 M N 0,5 cm 0,5 cm \u20d7 n Questão 2 (3,0 pontos): Uma linha carregada de comprimento finito L , representada por uma distribuição filiforme de cargas \uf072 l , situa-se entre dois planos condutores paralelos infinitos, de espessura desprezível, como indicado na figura abaixo. Os planos são mantidos a uma diferença de potencial V 0 . Pede-se responder os itens a seguir . (a) (0,5) Removendo-se a linh a, forneça uma expressão analítica para a distribuição de potencial eletrostático no es paço entre os planos. Explique como serão as superfícies equipotenciais. (Obs.: Considere a origem do eixo das ordenadas no plano inferior .) \u03c6 = V 0 h y . As equipotenciais serão superfícies planas, paralelas aos planos condutores, com valor mínimo no plano inferior e máximo no plano superior . \uf06a ( x,y ,z ) = ____________. Recoloca-se agora a linha na posição original, e deseja-se determinar a função potencial da configuração pelo Método das Imagens. (b) (1,0) Quantas imagens seriam necessárias para se obter a solução exata do potencial no espaço entre os planos? Justifique, baseando-se nos princípios do Método das Imagens. Quando 2 pl anos condutores formam um ângulo \u03b1 = \u03c0 / n ( n inteiro), o número de i magens é N = 2 n \u2212 1. Como os planos são paralelos, a = 0, ou seja: n =\u03c0 / \u03b1 \u2192 \u221e . Portanto, N \u2192 \u221e . N = ____________. 3/7 (c) (1,0) Limitando-se o número de imagens a apenas 4 (quatro), determine a localização, sinal, tamanho e posicionamento dessas linhas- imagem, desenhando a situação no espaço abaixo. Justifique, explicando o motivo dos planos paralelos da figura abaixo estarem aterrados 1 . No método das imagens, os planos condutores são substituídos por car gas-imagens iguais e de sinais opostos aos da carga origina l, posicionados à mesma distância do plano condutor , porém no sentido opos to. Esse plano médio equidistante das cargas de sina is opostos corre sponde a uma equipotencial de \uf06a =0. Dessa forma, \uf06a na região entre os planos resulta da superposição (soma) das \uf06a \u2019 s produzidas por cada carga individualmente. (d) (0,5) Como levar em conta na solução final a diferença de potencia l V 0 aplicada entre as placas? Aplica-se novamente o princípio da superposição para a solução completa, ou seja, a solução final do \u03c6 entre os planos será obtida pela soma de \u03c6 do item (a) e a \u03c6 obtida no item (c), pelo método das imagens. 1 Isso significa que estão no potencial de referência, ou seja, zero. 4/7 Questão 3 (3,5 pontos): Um cabo coaxial é mostrado na figura ao lado. Ele possui 4 isolant es (dielétricos) distintos e cada um deles ocupa u m setor de 90 o . O material 1 po ssui e r igual a 2, o material 2 possui e r igual a 3, o material 3 possui e r igual a 2,25 e o material 4 possui e r igual a 1,75. A estrutura do cabo é cilíndrica e sabe-se que o raio do condutor perfeito interno (a) é igual a 5 mm e o raio do condutor perfe ito externo (b) vale 13,59 mm. O potencial aplicado no condutor interno vale 25 V e o condutor externo está aterrado. Pede-se, sabendo-se que as unidades devem ser especificadas: (a) (0,5) Explicite a equa ção diferencial que rege o fenô meno físico no mat erial 1. Co mo se denomina este tipo de equação diferencial? Q uais são as condições de contorno que deve m ser impostas para esta sub- região? Note que deve existir uma condição de contorno associada a cada trecho de fron teira. \u2207 2 \u03c6 = 0. (Equação de Laplace.) As condições de contorno para o material 1 são: (i) \u03c6 ( r = a )= 25 V; (ii) \u03c6 ( r = b )= 0 V; (iii) \u2202 \u03c6 \u2202 \u20d7 n = 0 para vetor \u20d7 n normal à interface entre os materiais 1 e 2, ou à interface entre os materiais 1 e 4. (b) (0,5) Determine a expressão da função \u03c6 que descreve a distribuição de potenciais no domínio e m estudo. Escolha o siste ma de coordenadas que julgar mais conveniente para a solução do problema e justifique, em poucas palavras, o motivo de sua escolha. Devido à simetria cilíndrica, e como \u03c6 só depende de r (as distâncias aqui são dadas em m) : \u2207 2 \u03c6 = 1 r \u2202 \u2202 r ( r \u2202 \u03c6 \u2202 r ) = 0 \u21d4 \u03c6 ( r ) = k 1 ln r + k 2 ; Como \u03c6 ( a ) = V 0 = 2 5 V e \u03c6 ( b ) = 0 V: k 1 = V 0 ln ( a / b ) e k 2 =\u2212 V 0 ln ( b ) ln ( a / b ) , portanto: \u03c6 ( r )= V 0 ln ( r / b ) ln ( a / b ) = \u2212 25 ln ( r / 0,01359 ) . 5/7 (c) (0,5) Qual a expressão do campo el étrico (direção, sen tido e módulo) e em qual ponto de um dos dielétricos o módulo campo elétrico é máximo? \u20d7 E = \u2212 \u2207 \u03c6 = \u2212 \u2202 \u03c6 \u2202 r \u20d7 u r = \u2212 \u2202 \u2202 r [ \u2212 25 ln ( r / 0,01359 ) ] = 25 r \u20d7 u r . Para todos os dielétricos, o módulo do cam po elétrico é má ximo em r = 5 mm (no condutor interno). (d) (1,0) A densidade superficial de carga é constante no condutor interno? Por qual moti vo? Determine o(s) seu(s) valor(es). Não é constante, pois \u03c1 S = \u20d7 | D | =\u03b5 \u20d7 | E | , e cada material tem um e diferente. No material 1: \u03c1 S = \u03b5 \u20d7 | E | = 2 × 8,854 \u22c5 10 \u2212 12 25 0,005 = 88,54 nC /m 2 ; No material 2: \u03c1 S =\u03b5 \u20d7 | E | = 2 × 8,854 \u22c5 10 \u2212 12 25 0,005 = 132,81 nC/ m 2 ; No material 3: \u03c1 S =\u03b5 \u20d7 | E | = 2,25 × 8,854 \u22c5 10 \u2212 12 25 0,005 = 99,61 nC/m 2 ; No material 4: \u03c1 S =\u03b5 \u20d7 | E | = 1,75 × 8,854 \u22c5 10 \u2212 12 25 0,005 = 77,47 nC/m 2 . (e) (1,0) Qual o valor da capacitância por unidade de comprimento deste cabo? A carga total no condutor interno, para um trecho L do cabo: Q = \u03c0 × 0,005 × L 2 ( 88,54 + 132,81 + 99,61 + 77,4 7 ) nC = 3,129 L nC \u21d4 A capaci tância por trecho L é: C / L = Q / L V 0 = 3,129 25 = 125 pF/m. 6/7 Formulário \u03b5 0 = 8,854.10 \u2212 12 F/m; \u03bc 0 = 4 \u03c0 .10 \u2212 7 H/m; \u2207 × \u20d7 E = \u2212 \u2202 \u20d7 B \u2202 t ; \u2207 × \u20d7 H = \u20d7 J + \u2202 \u20d7 D \u2202 t ; \u2207 \u22c5 \u20d7 D = \u03c1 V ; \u2207 \u22c5 \u20d7 B = 0 ; \u2207 \u22c5 \u20d7 J = \u2212 \u2202 \u03c1 V \u2202 t ; \u222e \u0393 \u20d7 E \u22c5 \u20d7 dl = \u2212 \u2202 \u2202 t \u222c S \u20d7 B \u22c5 \u20d7 dS ; \u222e \u0393 \u20d7 H \u22c5 \u20d7 dl = \u222c S ( \u20d7 J + \u2202 \u20d7 D \u2202 t ) \u22c5 \u20d7 dS ; \u222f \u03a3 \u20d7 D \u22c5 \u20d7 dS = \u222d \u03c4 \u03c1 V \u22c5 d \u03c4 ; \u222f \u03a3 \u20d7 B \u22c5 \u20d7 dS = 0 ; \u222f \u03a3 \u20d7 J \u22c5 \u20d7 dS = \u2212 \u2202 \u2202 t \u222d \u03c4 \u03c1 V \u22c5 d \u03c4 ; \u20d7 D =\u03b5 \u20d7 E ; \u20d7 B =\u03bc \u20d7 H ; \u20d7 J =\u03c3 \u20d7 E ; B n1 = B n2 ; D n 1 \u2212 D n 2 =\u03c1 S ; J n 1 \u2212 J n 2 = \u2212 \u2202 \u03c1 S \u2202 t ; E t1 = E t2 ; \u20d7 H t1 \u2212 \u20d7 H t2 = \u20d7 J S ×\u20d7 n 0 ; \u03c6 ( P ) \u2212\u03c6 ( P 0 )= \u2212 \u222b P 0 P \u20d7 E \u22c5 \u20d7 dl ; \u20d7 E = \u2212 \u2207 \u03c6 ; R = V \u222c S \u20d7 J \u22c5 \u20d7 dS ; C = \u222c S \u20d7 D \u22c5 \u20d7 dS V ; Coordenadas cartesianas: \u2207 f = \u2202 f \u2202 x \u20d7 u x + \u2202 f \u2202 y \u20d7 u y + \u2202 f \u2202 z \u20d7 u z ; \u2207 \u22c5 \u20d7 F = \u2202 F x \u2202 x + \u2202 F y \u2202 y + \u2202 F z \u2202 z ; \u2207 × \u20d7 F = det ( \u20d7 u x \u20d7 u y \u20d7 u z \u2202 \u2202 x \u2202 \u2202 y \u2202 \u2202 z F x F y F z ) ; \u2207 2 f = \u2202 2 f \u2202 x 2 + \u2202 2 f \u2202 y 2 + \u2202 2 f \u2202 z 2 ; Coordenadas cilíndricas: \u2207 f = \u2202 f \u2202 r \u20d7 u r + 1 r \u2202 f \u2202 \u03b8 \u20d7 u \u03b8 + \u2202 f \u2202 z \u20d7 u z ; \u2207 \u22c5 \u20d7 F = 1 r \u2202 ( r F r ) \u2202 r + 1 r \u2202 F \u03b8 \u2202 \u03b8 + \u2202 F z \u2202 z ; \u2207 × \u20d7 F = ( 1 r \u2202 F z \u2202 \u03b8 \u2212 \u2202 F \u03b8 \u2202 z ) \u20d7 u r + ( \u2202 F r \u2202 z \u2212 \u2202 F z \u2202 r ) \u20d7 u \u03b8 + ( \u2202 r F \u03b8 \u2202 r \u2212 \u2202 F r \u2202 \u03b8 ) \u20d7 u z ; \u2207 2 f = 1 r \u2202 \u2202 r ( r \u2202 f \u2202 r ) + 1 r 2 \u2202 2 f \u2202 \u03b8 2 + \u2202 2 f \u2202 z 2 ; Coordenadas esféricas: \u2207 f = \u2202 f \u2202 r \u20d7 u r + 1 r \u2202 f \u2202 \u03b8 \u20d7 u \u03b8 + 1 r sen \u03b8 \u2202 f \u2202 \u03d5 \u20d7 u \u03d5 ; \u2207 \u22c5 \u20d7 F = 1 r 2 \u2202 ( r 2 F r ) \u2202 r + 1 r sen \u03b8 \u2202 ( s en \u03b8 F \u03b8 ) \u2202 \u03b8 + 1 r sen \u03b8 \u2202 F \u03d5 \u2202 \u03d5 ; \u2207 × \u20d7 F = 1 r sen \u03b8 ( \u2202 ( sen \u03b8 F \u03d5 ) \u2202 \u03b8 \u2212 \u2202 F \u03b8 \u2202 \u03d5 ) \u20d7 u r + 1 r ( 1 sen \u03b8 \u2202 F r \u2202 \u03d5 \u2212 \u2202 ( rF \u03d5 ) \u2202 r ) \u20d7 u \u03b8 + 1 r ( \u2202 ( r F \u03b8 ) \u2202 r \u2212 \u2202 F r \u2202 \u03b8 ) \u20d7 u \u03d5 ; \u2207 2 f = 1 r 2 \u2202 \u2202 r ( r 2 \u2202 f \u2202 r ) + 1 r 2 sen \u03b8 \u2202 \u2202 \u03b8 ( sen \u03b8 \u2202 f \u2202 \u03b8 ) + 1 r 2 sen 2 \u03b8 \u2202 2 f \u2202 \u03d5 2 . 7/7

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