Eletromagnetismo P2 2000 Poli

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PEE-313 - Eletromagnetismo 2a. Prova - 18/05/2000 NOTAS: 
Prova sem consulta ! 1a. (3,5) 
No. USP: Nome: 2a. (3,0) 
 3a. (3,5)________ 
Assinatura: TOTAL 
1a. Questão (3,5) Considere o problema de determinar-se a resistência entre os eletrodos 
(condutores perfeitos - área hachurada) representados na figura abaixo (a). O meio entre eles tem 
condutividade  = 1  10-3 S/m, e espessura (dimensão normal à superfície da página) de 1 m. 
=110-3 S/m
2,0 m
x
y
1,0 m
3,0 m
1,0 m
1000 V 0 V 1,0 m
 
Y
X
1
2
3
4
 
(a) (b) 
 
Utilizando-se o método das diferenças finitas, dividiu-se a região condutora em um reticulado com 
resolução de 50 cm, como mostrado na figura acima (b), e a matriz dos potenciais obtida (em V), 
para 1000 V aplicados entre as placas, está mostrada na tabela a seguir (valores dos potenciais nas 
intersecções das linhas pontilhadas): 
1000 1000 1000 500 0 0 0 
Y 825 741 500 259 175 153 
738 ? 637 500 363 286 263 
676 ? 593 500 407 X 324 
656 ? 581 500 419 363 344 
a) (0,5) Escreva as expressões utilizadas para a determinação dos potenciais X e Y, e determine os 
valores de X e Y. 
 
 
 
 
 
 
b) (1,0) Com base nessa tabela, estime o valor da componente x do campo elétrico, Ex nos pontos 
de 1 a 4 (centros das células quadradas), marcados na figura (b), e determine a corrente total I 
que flui entre as placas e a resistência R entre elas. 
 
 1 2 3 4 
Ex= V/m V/m V/m V/m 
 
 I =____ A R= ______ 
 
 
1 
2 
3 
4 
c) (0,8) No desenho a seguir são dadas as equipotenciais, espaçadas de 125 V, do problema 
proposto (obtidas refinando-se ainda mais o reticulado). Trace as linhas de corrente de forma a 
dividir a figura em quadrados curvilíneos, e recalcule a resistência entre os condutores utilizando 
esses quadrados. 
 
 
R= _____  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) (0,7) Refinando-se ainda mais o reticulado, obteve-se R = 1590  como valor "exato" da 
resistência entre as placas da figura (a). Sabendo-se que a permissividade do meio condutor é 
 = 3 0, calcule o fluxo, Q’, do vetor D que flui entre as duas placas, através do meio condutor 
(
  Q D dS
S
 
) e explique por que a capacitância C entre as placas não é igual, neste caso, a 
  C Q V
. O valor real da capacitância C deve ser maior ou menor que C’ ? 
Q’= _____ C 
 
 
 
 
 
 
e) (0,5) Sendo R = 1590  o valor da resistência entre as placas 
da figura (a) ( = 1  10-3 S/m), utilize esse valor para 
calcular a resistência R’ entre as placas condutoras da 
geometria ao lado (c), ainda com 1 m de espessura (note que 
agora  = 2  10-3 S/m): 
 
 
 
 
R’ = _____  
 (c)
=210
-3
S/m
1,0 m
3,0 m
1,0 m
2,0 m
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
2a. Questão (3,0). Considere o sistema de 3 
longos fios condutores, paralelos ao solo 
(suposto bom condutor), conforme mostra a 
figura ao lado. 
 
Os fios condutores têm raio R= 1 cm. 
 
a) (1,0) Indique na figura as imagens adequadas 
para a determinação dos campos no ar. 
Justifique as imagens e as aproximações 
adotadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (0,5) Sabendo que para duas linhas de carga de sinais opostos vale 









r
r
VV oP ln
2 
 , 
calcule S11 e S23 da matriz S, definida por
QSV 
, para um metro de comprimento dos fios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A inversão da matriz S forneceu a matriz 
mpF /
,,
,
,,,













239732
719
431842968
C
. 
c) (0,5) Complete a matriz C'. 
 
 
6 m
7 m
8 m
d) (0,5) Determine as capacitâncias parciais e desenhe o circuito equivalente para comprimento de 
1 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) (0,5) Determine a tensão V3 com V1 = V2 = 1 kV senoidal de freqüência 60 Hz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a. Questão (3,5). Entre duas placas quadradas condutoras de 1 m de lado, e espaçadas de 2 cm, é 
introduzida uma placa dielétrica, com =3 0, que preenche parcialmente o espaço entre elas. A 
placa dielétrica é quadrada com 1 m de lado e espessura de 1 cm. Uma fonte de tensão V0 = 2kV 
é ligada entre as placas condutoras. 
a) (1,0) Determine os valores de E e D entre as placas, nas regiões em que podem ser supostos 
uniformes. Indique na figura essas regiões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,4 m 0,6 m
2 cm 1 cm
x
V0 = 2 kV
0 V
3 0
b) (0,5) Determine o vetor polarização P e as densidades de cargas de polarização nas regiões 
citadas em (a). 
 
 
 
 
 
 
 
c) (1,0) Supondo que a placa dielétrica seja deslocada para a esquerda de x=0,5 cm, calcule as 
variações de energia armazenada WE e de energia fornecida pela fonte WF, mantendo-se a 
fonte de tensão ligada durante esse deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) (1,0) Calcule a força que age na direção x na placa dielétrica, explicite seu sentido, e explique, 
pela lei de Coulomb, onde agem as componentes dessa força.