Lista 1

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Soluc¸a˜o da Lista de Exerc´ıcios I - Microeconomia
Universidade de Bras´ılia - Departamento de Economia
Exerc´ıcio 1: Suponha que existam apenas dois bens e o governo resolve controlar os prec¸os desses
bens do seguinte modo: o prec¸o e´ R$ 1,00 ate´ 5 unidades adquiridas, e o prec¸o e´ R$ 2,00 para unidades
adicionais (acima das primeiras 5 unidades adquiridas). Suponha que Carlos tem uma renda de R$ 10,00.
a) Ilustre graficamente a reta orc¸amenta´ria de Carlos.
S: O Governo cobra R$2 apenas para as quantidades superiores a cinco unidades compradas de
cada bem. Se o indiv´ıduo decidir comprar 6 unidades de um dos bens, ele pagara´ R$1 pelas cinco
primeiras unidades e R$ 2 pela sexta unidade adquirida. Portanto, a reta orc¸amenta´ria e´ descrita
pelo gra´fico abaixo.
6
-
x2
x1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
J
J
J
J
J
J
J
JJ
r5
5
7,5 r
7,5
r
b) Descreva a reta orc¸amenta´ria em termos alge´bricos.
S: Na reta orc¸amenta´ria abaixo, o nu´mero 5 em cada equac¸a˜o e´ o valor das cinco primeiras unidades
compradas por 1 real. Os termos 2(x2− 5) e 2(x1− 5) sa˜o as quantidades de x1 e x2 que excedem
5 unidades, multiplicadas pelo prec¸o nesse caso, igual a 2.{
x1 + 2(x2 − 5) + 5 = 10, se x2 > 5, 0 ≤ x1 ≤ 5
2(x1 − 5) + 5 + x2 = 10, se x1 > 5, 0 ≤ x2 ≤ 5
Exerc´ıcio 2: Suponha uma economia com dois bens, denotados por x e y. A reta orc¸amenta´ria de
Maria e´ pMx x+ p
M
y y = m
M e a reta orc¸amenta´ria de Joa˜o e´ pJxx+ p
J
yy = m
J , onde pMx /p
M
y 6= pJx/pJy . Ou
seja, o custo de mercado entre x e y para Maria e´ diferente do custo de mercado para Joa˜o. Maria e
Joa˜o decidem se casar e formar uma famı´lia onde a renda dos dois e´ gasta em conjunto, apesar de que
os prec¸os dos bens para cada um deles continuam os mesmos de antes.
a) Defina a restric¸a˜o orc¸amenta´ria do casal.
S: A restric¸a˜o orc¸amenta´ria do casal e´ pxx+ pyy = m, onde px = min{pMx , pJx}, py = min{pMy , pJy}
e m = mM +mJ .
b) Havera´ especializac¸a˜o na compra dos bens?
S: Sim. Quem comprara´ um determinado bem e´ quem tem acesso ao menor prec¸o deste bem. Por
exemplo, se px = p
M
x e py = p
J
y , ou seja, se Maria tem acesso a um prec¸o mais barato para o bem
x e Joa˜o tem acesso a um prec¸o mais barato para o bem y, Maria se especializa na compra do
bem x e Joa˜o se especializa na compra do bem y.
1
Exerc´ıcio 3: Suponha um consumidor que tenha prefereˆncias definidas entre cestas compostas por
dois bens do seguinte modo: se (x1, x2) > (y1, y2) (ou seja, x1 > y1 e x2 > y2), enta˜o x � y. Se
(x1, x2) < (y1, y2) (ou seja, x1 < y1 e x2 < y2), enta˜o y � x. Finalmente, se (x1, x2) = (y1, y2), enta˜o
x ∼ y. Essas prefereˆncias sa˜o (justifique sua resposta):
a) Completas?
S: Na˜o. Duas cestas tais como (x1, x2) e (y1, y2), com x1 > y1 e x2 < y2 na˜o sa˜o compara´veis,
para o sistema de prefereˆncias considerado (por exemplo, (1, 2) e (2, 1) na˜o sa˜o compara´veis: na˜o
podemos dizer qual cesta e´ melhor ou se sa˜o indiferentes).
b) Transitivas?
S: Sim. Temos que mostrar que se a cesta x e´ prefer´ıvel a` cesta y e a cesta y e´ prefer´ıvel a` cesta
z, enta˜o a cesta x e´ prefer´ıvel a` cesta z. Note que se x � y enta˜o (x1, x2) ≥ (y1, y2) e se y � z
enta˜o (y1, y2) ≥ (z1, z2). Portanto, (x1, x2) ≥ (z1, z2) e enta˜o x � z. Ou seja, essas prefereˆncias
sa˜o transitivas.
c) Monotoˆnicas?
S: Sim, por definic¸a˜o (“quanto mais, melhor”).
d) Convexas?
S: Sim, pois se x e y sa˜o duas cestas de bens tais que x ∼ y, enta˜o (x1, x2) = (y1, y2), e portanto
λx + (1 − λ)y = x, para todo λ ∈ [0, 1], o que por sua vez significa que λx + (1 − λ)y � x, para
todo λ ∈ [0, 1].
Exerc´ıcio 4: Suponha que uma pessoa esteja consumindo uma cesta de bens tal que a sua utilidade
marginal de consumir o bem A e´ 12 e a sua utilidade marginal de consumir o bem B e´ 2. Suponha
tambe´m que os prec¸os dos bens A e B sa˜o R$ 2 e R$ 1, respectivamente, e que as prefereˆncias desse
consumidor sa˜o estritamente convexas.
a) Essa pessoa esta´ escolhendo quantidades o´timas dos bens A e B? Caso na˜o esteja, qual bem ela
deveria consumir relativamente mais (na˜o se preocupe com a restric¸a˜o orc¸amenta´ria nesse item)?
S: Denote a cesta de bens que essa pessoa consome por x. Para essas quantidades de bens, temos
que:
∂u(x)
∂xA
∂u(x)
∂xB
= 6 6= 2 = pA
pB
A TMS entre A e B e´ maior do que a relac¸a˜o de prec¸os entre A e B. Nesse caso, o consumidor
pode aumentar sua utilidade se consumir mais do bem A e menos do bem B, pois no mercado ele
pode trocar 2 unidades de B por uma unidade de A e tal troca vai aumentar sua utilidade em
uma raza˜o de seis vezes.
b) A sua resposta para o item a) depende do valor da utilidade marginal? Explique.
S: Na˜o, depende apenas da relac¸a˜o entre as utilidades marginais, que permanece a mesma qualquer
que seja a func¸a˜o de utilidade usada para representar as prefereˆncias.
Exerc´ıcio 5: Suponha que Ana consome apenas pa˜o e circo, e suas prefereˆncias sa˜o estritamente
convexas. Um certo dia o prec¸o do pa˜o aumenta e o prec¸o do circo diminui. Ana continua ta˜o feliz
quanto antes da mudanc¸a de prec¸os (a renda de Ana na˜o mudou).
a) Ana consume mais ou menos pa˜es apo´s a mudanc¸a de prec¸os?
2
b) Ana consegue agora comprar a cesta que comprava antes?
S: (a e b juntos) Nesse caso, pa˜o se torna mais caro relativamente ao circo. A reta orc¸amenta´ria
se torna mais inclinada. Essa mudanc¸a na reta orc¸amenta´ria e´ tal que o indiv´ıduo alcanc¸a o
mesmo n´ıvel de utilidade de antes (ou seja, a nova reta orc¸amenta´ria tangenciara´ a mesma curva
de indiferenc¸a que a reta orc¸amenta´ria original tangenciava). O gra´fico abaixo mostra que Ana
consome menos pa˜es do que antes (equil´ıbrio muda de E para Eˆ) e que a cesta que ela consumia
antes (E) na˜o e´ mais poss´ıvel de ser adquirida aos novos prec¸os.
6
-
circo
pa˜o
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Eˆr
Er@@I
Exerc´ıcio 6: Considere a utilidade u(x1, x2) =
√
ax1 + bx2.
a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferenc¸a desta utilidade.
S: Uma curva de indiferenc¸a em particular pode ser encontrada fazendo-se u(x1, x2) = u¯, ou seja,√
ax1 + bx2 = u¯, logo ax1 + bx2 = u¯
2. Isto quer dizer que o mapa de indiferenc¸a desta utilidade
tem a mesma forma do que o mapa de indiferenc¸a para a utilidade u˜(x1, x2) = ax1+bx2. Portanto,
esta utilidade tambe´m representa bens substitutos perfeitos. A curva de indiferenc¸a e´:
6
-
x2
x1
@
@
@
@@
���
���
@
@
@
@
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@
@
���
���
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
Curvas de Indiferenc¸a
u(x1, x2) =
√
ax1 + bx2, com a = b
Este resultado e´ esperado, ja´ que ambas as utilidades representam o mesmo sistema de prefereˆncia
(a utilidade u˜ e´ obtida elevando-se a utilidade u ao quadrado).
3
Observe que, como esperado, a TMS de u e´ a igual a TMS de u˜:
TMSu12(x1, x2) = −
1/2(ax1 + bx2)
−1/2a
1/2(ax1 + bx2)−1/2b
= −a
b
= TMSu˜12(x1, x2)
b) Encontre as func¸o˜es de demandas o´timas do consumidor. Justifique sua resposta.
S: O problema do consumidor e´ atingir o n´ıvel mais alto de utilidade, dada a restric¸a˜o orc¸amenta´ria.
Como os bens sa˜o perfeitamente substitutos, o consumidor comprara´ o bem que for relativamente
mais barato: o bem que tiver menor prec¸o dividido pelo coeficiente da utilidade. As func¸o˜es de
demanda sera˜o:
xM1 (p1, p2,m) =
{
m/p1, se p1/a < p2/b
0, se p1/a > p2/b
xM2 (p1, p2,m) =
{
0, se p1/a < p2/b
m/p2, se p1/a > p2/b
No caso em que p1/a = p2/b, o consumidor e´ indiferente entre qual dos bens comprar, pois a
TMS e´ sempre igual a` relac¸a˜o de prec¸os dos bens. Nesse caso, o consumidor comprara´ qualquer
quantidade x∗1 e x
∗
2 tal que satisfac¸a a sua reta orc¸amenta´ria, p1x
∗
1 + p2x
∗
2 = m.
c)Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Ilustre graficamente a soluc¸a˜o neste
caso. Qual a taxa marginal de subsituic¸a˜o na cesta o´tima? Para este caso, vale a condic¸a˜o de
igualdade de TMS e relac¸a˜o de prec¸os? Discuta intuitivamente sua resposta.
S: O gra´fico abaixo ilustra a soluc¸a˜o neste caso.
6
-
x2
x1
@
@
@
@
@@
���
���
@
@
@
@
@
@
@
@@
���
���
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
���
���
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@sE
50
100
Curvas de Indiferenc¸a
u(x1, x2) = x1 + x2
Suponha que p2 = 2, p1 = 1
Soluc¸a˜o: x∗1 = 100, x∗2 = 0
HHHHHHHHHHHHHHHH
Na cesta o´tima, x∗1 = 100 e x
∗
2 = 0, na˜o e´ va´lida a igualdade entre TMS e relac¸a˜o de prec¸os
(TMS = −1 6= −1/2 = −p1/p2). Isto ocorre porque estamos em uma soluc¸a˜o de canto: apenas o
bem 1 e´ consumido. Se fosse poss´ıvel, o indiv´ıduo continuaria a trocar bem 2 por bem 1, mas ele ja´
esta´ no limite, sem mais nenhuma quantidade de bem 2 para trocar por bem 1. A igualdade entre
TMS e relac¸a˜o de prec¸os e´ va´lida para soluc¸o˜es interiores, ou seja, cestas tais que as quantidades
dos bens sa˜o todas positivas (estritamente maiores do que zero).
4
Exerc´ıcio 7: Considere a utilidade u(x1, x2) = (min{ax1, bx2})2.
a) Desenhe o mapa de indiferenc¸a desta utilidade. Calcule a TMS entre os dois bens.
S: Procedemos como na questa˜o 5: uma curva de indiferenc¸a em particular pode ser encontrada
fazendo-se u(x1, x2) = u¯, ou seja, (min{ax1, bx2})2 = u¯, logo min{ax1, bx2} =
√
u¯. Isto quer dizer
que o mapa de indiferenc¸a desta utilidade tem o mesmo formato do que o mapa de indiferenc¸a
da utilidade u˜(x1, x2) = min{ax1, bx2}. Portanto, esta utilidade tambe´m representa bens comple-
mentares perfeitos. A curva de indiferenc¸a e´ ilustrada na figura abaixo.
A TMS entre os dois bens na˜o esta˜o bem definidas, pois a utilidade na˜o e´ diferencia´vel. Pore´m,
podemos dizer que ela sera´ igual a 0 ou a infinito, dependendo da cesta em que for calculada.
Se a cesta (x1, x2) for tal que x1 < x2, enta˜o TMS12(x1, x2) = 0, pois neste caso o consumidor
na˜o esta´ disposto a trocar bem 1 pelo bem 2. Se a cesta (x1, x2) for tal que x1 > x2, enta˜o
TMS12(x1, x2) = +∞, pois neste caso o consumidor esta´ disposto a trocar bem 1 pelo bem 2
qualquer que seja a taxa de troca (a TMS e´ uma medida local, vale apenas para uma vizinhanc¸a
da cesta em questa˜o). Finalmente, se a cesta (x1, x2) for tal que x1 = x2, enta˜o TMS12(x1, x2)
na˜o esta´ definida.
6
-
x2
x1
���
���
���
���
Curvas de Indiferenc¸a
u(x1, x2) = (min{ax1, bx2})2
semi-reta x2 = x1
b) Encontre as func¸o˜es de demandas o´timas do consumidor. Justifique sua resposta.
S: Como ja´ discutimos na questa˜o 2, o consumidor escolhe a cesta de bens na curva de indiferenc¸a
que representa o maior n´ıvel de utilidade poss´ıvel. No gra´fico acima, essa curva toca a reta
orc¸amenta´ria no ponto E. No caso geral a 6= b, o consumidor iguala os argumentos da func¸a˜o
de mı´nimo: ax1 = bx2. Portanto x2 = (a/b)x1. O consumidor compra mais do bem que tiver o
coeficiente a ou b menor: para este bem, ele precisa de uma quantidade maior para cada unidade
do outro bem. Substituindo x2 = (a/b)x1 na restric¸a˜o orc¸amenta´ria, encontramos as func¸o˜es de
demanda:
xM1 (p1, p2,m) =
m
p1 +
(
a
b
)
p2
e xM2 (p1, p2,m) =
(a
b
) m
p1 +
(
a
b
)
p2
c) Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Calcule e ilustre graficamente a
soluc¸a˜o neste caso. Suponha agora que os prec¸os mudaram para p1 = 2 e p2 = 1, e que a renda
na˜o se modificou. Calcule e ilustre graficamente a soluc¸a˜o neste caso. Compare as duas soluc¸o˜es
encontradas neste item. Discuta intuitivamente sua resposta.
5
S: Para o primeiro caso, temos que x∗1 = x
∗
2 =
m
p1+p2
= 100
3
. Para o segundo caso, temos que
x∗1 = x
∗
2 =
m
p1+p2
= 100
3
. Logo, a cesta o´tima em ambos os casos e´ a mesma. Isto ocorre porque,
no caso de bens complementares perfeitos onde a = b, os dois bens devem sempre ser consumidos
na proporc¸a˜o de um bem 1 para um bem 2. Podemos dizer que o bem 1 e o bem 2 formam um
u´nico bem, cujo prec¸o e´ p1 +p2. Como nos dois casos, o prec¸o deste “bem conjunto” na˜o mudou, o
consumo dele continua o mesmo, x∗ = x∗1 = x
∗
2 = 100/3. O gra´fico abaixo ilustra estes dois casos.
6
-
x2
x1
50
100
HHHHHHHHHHHHHHHH
r(x∗1, x∗2)
x2 = x1
r100
3
100
3
6
-
x2
x1
100
50
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
(x∗1, x∗2)
x2 = x1
r100
3
100
3
Exerc´ıcio 8: Encontre as demandas para os seguintes casos, onde α > 0 e β > 0:
a) u(x1, x2) = x
α
1x
β
2 ;
S: O Lagrangeano e´ L = xα1xβ2 + λ(m− (p1x1 + p2x2)). As CPO sa˜o:
λ∗p1 = αxα−11 x
β
2
λ∗p2 = βxα1x
β−1
2
m = p1x1 + p2x2
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:
αx2
βx1
=
p1
p2
⇒ x2 = p1
p2
[
βx1
α
]
Substituimos agora essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1x1 + p2
(
p1
p2
[
βx1
α
])
⇒ x1 = α
α + β
(
m
p1
)
Substituindo x1 de volta em x2, obtemos as duas func¸o˜es de demanda:
x1(p1, p2,m) =
α
α + β
(
m
p1
)
e x2(p1, p2,m) =
β
α + β
(
m
p2
)
6
b) u(x1, x2) = x
α
α+β
1 x
β
α+β
2 ;
S: O Lagrangeano e´ L = x
α
α+β
1 x
β
α+β
2 + λ(m− (p1x1 + p2x2)). As CPO sa˜o:
λ∗p1 =
(
α
α+β
)
x
α
α+β
−1
1 x
β
α+β
2
λ∗p2 =
(
β
α+β
)
x
α
α+β
1 x
β
α+β
−1
2
m = p1x1 + p2x2
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:
αx2
βx1
=
p1
p2
⇒ x2 = p1
p2
[
βx1
α
]
Substituimos agora essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1x1 + p2
(
p1
p2
[
βx1
α
])
⇒ x1 = α
α + β
(
m
p1
)
Substituindo x1 de volta em x2, obtemos as duas func¸o˜es de demanda:
x1(p1, p2,m) =
α
α + β
(
m
p1
)
e x2(p1, p2,m) =
β
α + β
(
m
p2
)
c) u(x1, x2) = α ln(x1) + β ln(x2);
S: O Lagrangeano e´ L = α ln(x1) + β ln(x2) + λ(m− (p1x1 + p2x2)). As CPO sa˜o:
λ∗p1 = αx1
λ∗p2 =
β
x2
m = p1x1 + p2x2
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:
αx2
βx1
=
p1
p2
⇒ x2 = p1
p2
[
βx1
α
]
Substituimos agora essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1x1 + p2
(
p1
p2
[
βx1
α
])
⇒ x1 = α
α + β
(
m
p1
)
Substituindo x1 de volta em x2, obtemos as duas func¸o˜es de demanda:
x1(p1, p2,m) =
α
α + β
(
m
p1
)
e x2(p1, p2,m) =
β
α + β
(
m
p2
)
Qual a relac¸a˜o entre as demandas encontradas acima? Justifique a sua resposta. Com base na sua
resposta, se a utilidade e´ do tipo u(x1, x2) = x
α
1x
β
2 , e´ poss´ıvel tranforma´-la em uma utilidade do tipo
u(x1, x2) = x
γ
1x
1−γ
2 , com 0 < γ < 1? Se sim, qual a relac¸a˜o entre α, β e γ?
S: As func¸o˜es de demanda sa˜o as mesmas para os treˆs casos. Mais ainda, a taxa marginal de substituic¸a˜o e´
a mesma para as treˆs utilidades. Isto ocorre porque as treˆs utilidade representam as mesmas prefereˆncias.
Observe que a segunda utilidade e´ igual a` primeira elevada a 1
α+β
, o que constitui uma transformac¸a˜o
crescente, pois α > 0 e β > 0. A terceira utilidade e´ igual a` primeira utilidade log-linearizada (lembre-se
que a func¸a˜o logaritmo e´ crescente). Logo, se elevarmos a utilidade u(x1, x2) = x
α
1x
β
2 a` poteˆncia
1
α+β
,
obtemos a utilidade u(x1, x2) = x
γ
1x
1−γ
2 , onde γ =
α
α+β
e, portanto, 1− γ = β
α+β
.
7
Exerc´ıcio 9: Calcule as demandas de um consumidor representado por uma utilidade CES (elasticidade
de substituic¸a˜o constante) dada por:
u(x1, x2) = [ax
ρ
1 + bx
ρ
2]
1
ρ
S: Oproblema do consumidor e´
max
x1,x2
[axρ1 + bx
ρ
2]
1
ρ s.a p1x1 + p2x2 = m
O Lagrangeano do problema e´:
L = [axρ1 + bxρ2]
1
ρ + λ [m− (p1x1 + p2x2)]
As CPO sa˜o: 
1
ρ
[axρ1 + bx
ρ
2]
1
ρ
−1 aρxρ−11 = λ
∗p1
1
ρ
[axρ1 + bx
ρ
2]
1
ρ
−1 bρxρ−12 = λ
∗p2
m = p1x1 + p2x2
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:
a
b
(
x1
x2
)ρ−1
=
p1
p2
⇒ x1 =
(
b
a
p1
p2
) 1
ρ−1
x2
Substituimos essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1
[(
b
a
p1
p2
) 1
ρ−1
x2
]
+ p2x2 = x2
((
b
a
) 1
ρ−1
p
ρ
ρ−1
1 + p
ρ
ρ−1
2
)
p
− 1
ρ−1
2
Logo,
x2 =
p
1
ρ−1
2 m(
b
a
) 1
ρ−1 p
ρ
ρ−1
1 + p
ρ
ρ−1
2
Substituindo x2 de volta em x1, obtemos as func¸o˜es de demanda dos dois bens:
x1(p1, p2,m) =
p
1
ρ−1
1 m
p
ρ
ρ−1
1 +
(
a
b
) 1
ρ−1 p
ρ
ρ−1
2
e x2(p1, p2,m) =
p
1
ρ−1
2 m(
b
a
) 1
ρ−1 p
ρ
ρ−1
1 + p
ρ
ρ−1
2
No caso em que a = b e, em particular, a = b = 1, as demandas sa˜o:
x1(p1, p2,m) =
 p 1ρ−11
p
ρ
ρ−1
1 + p
ρ
ρ−1
2
m e x2(p1, p2,m) =
 p 1ρ−12
p
ρ
ρ−1
1 + p
ρ
ρ−1
2
m
Se usarmos a notac¸a˜o r = 1
ρ−1 , podemos escrever as demandas como:
x1(p1, p2,m) =
(
pr1
p1+r1 + p
1+r
2
)
m e x2(p1, p2,m) =
(
pr2
p1+r1 + p
1+r
2
)
m
8
Exerc´ıcio 10: Calcule as demandas de um consumidor representado pela seguinte utilidade:
u(x1, x2) = x
0,5
1 + x
0,5
2
S: O problema do consumidor e´
max
x1,x2
x0,51 + x
0,5
2 s.a p1x1 + p2x2 = m
O Lagrangeano do problema e´:
L = x0,51 + x0,52 + λ [m− (p1x1 + p2x2)]
As CPO sa˜o: 
0, 5x−0,51 = λ
∗p1
0, 5x−0,52 = λ
∗p2
m = p1x1 + p2x2
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:(
x2
x1
)0,5
=
p1
p2
⇒ x2 =
(
p1
p2
)2
x1
Substituimos essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1x1 + p2
(
p1
p2
)2
x1 = x1
(
p1 +
p21
p2
)
= x1
(
p1p2 + p
2
1
p2
)
Logo,
x1 =
(
p2
p1p2 + p21
)
m
Substituindo x1 de volta em x2, obtemos as func¸o˜es de demanda dos dois bens:
x1(p1, p2,m) =
(
p2
p1p2 + p21
)
m e x2(p1, p2,m) =
(
p1
p1p2 + p22
)
m
9