Aula 10 VC e VC (Caso Geral)

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MICROECONOMIA 1
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Notas de Aula 11 - Graduac¸a˜o
Prof. Jose´ Guilherme de Lara Resende
1 VC e VE - Caso Geral
Suponha uma mudanc¸a de pol´ıtica que tem como consequeˆncia mudanc¸as nos prec¸os e na
renda do consumidor, de (p0,m0) para (p1,m1) (p representa um vetor de prec¸os, ou seja, pode-
mos analisar o efeito no bem-estar do consumidor de uma mudanc¸a em va´rios prec¸os de bens).
Novamente, uma medida natural da perda (ou ganho, depende do caso) do consumidor causada
pela mudanc¸a no ambiente econoˆmico e´:
v(p1,m1)− v(p0,m0)
Vimos que a V C e´ a quantidade de dinheiro que temos que tirar do indiv´ıduo depois da variac¸a˜o
de prec¸os, para deixa´-lo com o mesmo bem-estar que tinha antes dessa variac¸a˜o. Portanto, a V C
pode ser calculada como:
V C = e(p1, v(p1,m1))− e(p1, v(p0,m0)) = m1 − e(p1, v(p0,m0)),
ja´ que e(p, v(p,m)) = m.
Vimos que a V E e´ a quantidade de dinheiro que temos que dar ao indiv´ıduo antes da variac¸a˜o
de prec¸os, para deixa´-lo com o mesmo bem-estar que tera´ depois dessa variac¸a˜o. Portanto, a V E
pode ser calculada como:
V E = e(p0, v(p1,m1))− e(p0, v(p0,m0)) = e(p0, v(p1,m1))−m0,
ja´ que e(p, v(p,m)) = m.
A V C e a V E usam prec¸os bases diferentes: a V C usa o prec¸o apo´s a mudanc¸a e a V E usa
o prec¸o antes da mudanc¸a como prec¸o base. A V C responde a` questa˜o de qual e´ a mudanc¸a na
renda necessa´ria para compensar o consumidor pela mudanc¸a de prec¸os. A V E responde a` questa˜o
de qual e´ a alterac¸a˜o na renda equivalente a` mudanc¸a que ocorrera´ na utilidade do consumidor,
dado os prec¸os antigos. Vamos comparar a fo´rmula dessas duas medidas para analisar melhor esse
ponto:
V C = e(p1, v(p1,m1))− e(p1, v(p0,m0)) = m1 − e(p1, v(p0,m0))
V E = e(p0, v(p1,m1))− e(p0, v(p0,m0)) = e(p0, v(p1,m1))−m0
1
Tanto V C quanto V E sa˜o medidas do efeito no bem-estar do consumidor devido a uma mu-
danc¸a de pol´ıtica. As duas medidas tera˜o sempre o mesmo sinal (se a mudanc¸a de pol´ıtica benefi-
ciou o consumidor, as duas sera˜o positivas. Se a mudanc¸a de pol´ıtica prejudicou o consumidor, as
duas sera˜o negativas). Pore´m, elas tera˜o magnitudes diferentes em geral, ja´ que o valor de uma
unidade moneta´ria depende dos prec¸os usados como base. Note que o caso geral acima se reduz ao
caso particular quando queremos avaliar apenas o efeito de uma mudanc¸a de prec¸os no bem-estar
do consumidor.
Observac¸a˜o: Alguns textos definem VC e VE do seguinte modo:
V C = e(p1, v(p0,m0))− e(p1, v(p1,m1)) = e(p1, v(p0,m0))−m1
V E = e(p0, v(p0,m0))− e(p0, v(p1,m1)) = m0 − e(p0, v(p1,m1))
Nesse caso, apenas o sinal inverte e a magnitude das medidas continua a mesma. As duas medidas
continuara˜o a ter o mesmo sinal se a mudanc¸a de pol´ıtica melhorou (ou piorou) o bem-estar do
consumidor (agora, com sinal inverso: se V C e V E sa˜o negativas, o consumidor melhorou, se sa˜o
positivas, piorou).
Qual medida e´ mais apropriada? Depende do que queremos medir. Se queremos calcular um
esquema de compensac¸a˜o aos novos prec¸os, enta˜o V C e´ mais adequada. Se queremos calcular o
quanto o consumidor esta´ disposto a pagar por uma mudanc¸a de pol´ıtica, seja para evitar essa
mudanc¸a, no caso em que ela piora o seu bem-estar, seja para implementar essa mudanc¸a, no
caso em que ela melhora o seu bem-estar (“willingness to pay”), V E e´ mais adequado, por duas
razo˜es. Primeiro, a V E e´ uma medida da renda aos prec¸os atuais, o que torna mais fa´cil o seu
ca´lculo. Segundo, se estamos comparando va´rias pol´ıticas diferentes, a V C usa diferentes prec¸os
como prec¸o base para cada pol´ıtica avaliada, enquanto a V E usa o prec¸o atual como prec¸o base
para todas as pol´ıticas avaliadas. Logo, a V E e´ mais adequada para ana´lise de diversos projetos
diferentes.
Como calculamos na pra´tica V C e V E? Elas podem ser calculadas se observarmos as deman-
das do indiv´ıduo, e se essas demandas satisfizerem as condic¸o˜es impostas pela maximizac¸a˜o da
utilidade. Esse e´ um problema de integrabilidade: como recuperar a func¸a˜o de utilidade obser-
vando as demandas e a renda do consumidor. A ana´lise formal desse problema e´ tecnicamente
complicada (envolve equac¸o˜es diferenciais, o que esta´ ale´m do escopo deste curso). O importante
e´ saber que essas func¸o˜es podem ser estimadas na pra´tica.
2
2 Relac¸a˜o entre EC, VC e VE
Imagine que o prec¸o do bem 1 mude de p01 para p
1
1, e a renda e os prec¸os dos outros bens
permanec¸am inalterados. Para simplificar a notac¸a˜o, vamos deixar apenas o prec¸o do bem 1 e a
renda como varia´veis expl´ıcitas nas func¸o˜es abaixo, e vamos representar p1 por p apenas. Nesse
caso, temos que:
V C = m− e(p1, v(p0,m))
V E = e(p0, v(p1,m))−m
Denote u0 = v(p0,m) e u1 = v(p1,m). Substituindo essas duas expresso˜es para as func¸o˜es V C
e V E e lembrando que e(p, v(p,m)) = m, obtemos:
V C = e(p0, u0)− e(p1, u0)
V E = e(p0, u1)− e(p1, u1)
Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo e o lema de Shepard, podemos reescrever essas
duas u´ltimas equac¸o˜es como:
V C = e(p0, u0)− e(p1, u0) =
∫ p0
p1
∂e
∂p
(p, u0)dp =
∫ p0
p1
xh(p, u0)dp
V E = e(p0, u1)− e(p1, u1) =
∫ p0
p1
∂e
∂p
(p, u1)dp =
∫ p0
p1
xh(p, u1)dp
Portanto, a variac¸a˜o compensadora e´ a integral da demanda Hicksiana calculada no n´ıvel inicial
de utilidade u0 e a variac¸a˜o equivalente e´ a integral da demanda Hicksiana calculada no n´ıvel final
de utilidade u1. As medidas mais adequadas do bem-estar sa˜o de fato obtidas calculando-se a
integral da demanda, mas usando-se a demanda Hicksiana e na˜o a demanda Marshalliana, como
e´ o caso do excedente do consumidor. Lembre-se que a variac¸a˜o no excedente do consumidor e´:
∆EC =
∫ p0
p1
xM(p)dp
Vamos mostrar que:
V C ≤ ∆EC ≤ V E,
se o bem cujo prec¸o mudou for normal. Nesse caso enta˜o, a variac¸a˜o equivalente e´ sempre menor do
que a variac¸a˜o compensadora, e o excedente do consumidor esta´ sempre entre essas duas medidas.
Se o bem for inferior, a relac¸a˜o acima se inverte:
V E ≤ ∆EC ≤ V C
3
Para mostrar isso, usamos a equac¸a˜o de Slustky:
∂xM(p,m)
∂p
=
∂xh(p, u∗)
∂p
− xM(p,m)∂x
M(p,m)
∂m
Se o bem e´ normal, enta˜o o efeito renda e´ negativo e a derivada da demanda Marshalliana e´
menor do que a derivada da demanda Hicksiana (lembre-se que as derivadas sa˜o negativas, enta˜o
a demanda Marshalliana e´ mais inclinada do que a demanda Hicksiana nesse caso). Se o bem e´
inferior, enta˜o o efeito renda e´ positivo e a derivada da demanda Marshalliana e´ menor do que a
derivada da demanda Hicksiana:
∂xM(p,m)
∂p
<
∂xh(p, u∗)
∂p
, se o bem e´ normal
(
ou seja,
∣∣∣∣∂xM(p,m)∂p
∣∣∣∣ > ∣∣∣∣∂xh(p, u∗)∂p
∣∣∣∣) ,
∂xM(p,m)
∂p
>
∂xh(p, u∗)
∂p
, se o bem e´ inferior
(
ou seja,
∣∣∣∣∂xM(p,m)∂p
∣∣∣∣ < ∣∣∣∣∂xh(p, u∗)∂p
∣∣∣∣)
A curva de demanda Marshalliana xM(p,m) e´ mais inclinada do que as curvas de demanda
Hicksiana xh(p, u0) e xh(p, u1), quando o bem e´ normal. A curva de demanda Marshalliana cruza
essas duas curvas nos prec¸os p0 e p1, pois:
xM(p0,m) = xh(p0, v(p0,m)) = xh(p, u0)
xM(p1,m) = xh(p1, v(p1,m)) = xh(p, u1)
Suponha que o prec¸o diminuiu: p0 > p1 (a mudanc¸a melhorou o bem-estar do consumidor:
V C, V E e ∆EC sa˜o positivas). Como a func¸a˜o de utilidade indireta e´ decrescente nos prec¸os,
temos que v(p0,m) = u0 < u1 = v(p1,m). Como u0 < u1, enta˜o a demanda Hicksiana para u0 esta´
abaixo da demanda Hicksiana para u1: dado um n´ıvel de prec¸o qualquer, se o indiv´ıduo consome
menos do bem 1, ele obte´m uma utilidade menor. Essa relac¸a˜o e´ ilustrada na figura abaixo.
A figura abaixo deixa claro que:∫ p0
p1
xh(p, u0)dp︸ ︷︷ ︸
V C
≤
∫ p0
p1
xM(p)dp︸ ︷︷ ︸
∆EC
≤
∫ p0
p1
xh(p, u1)dp︸ ︷︷︸
V E
,
ou seja,
V C < ∆EC < V E
4
6
-
x
p
xh(p, u1)
xh(p, u0)
xM (p,m)
p1
s
p0
s
VE
EC
VC
Se considerarmos um aumento do prec¸o do bem, a relac¸a˜o acima continua va´lida. Vamos
mostrar isso. Suponha que o prec¸o aumentou: p0 < p1 (a mudanc¸a piorou o bem-estar do con-
sumidor: V C, V E e ∆EC sa˜o negativas). Como a func¸a˜o de utilidade indireta e´ decrescente nos
prec¸os, temos que v(p0,m) = u0 > u1 = v(p1,m). Como u0 > u1, enta˜o a demanda Hicksiana para
u0 esta´ acima da demanda Hicksiana para u1: dado um n´ıvel de prec¸o qualquer, se o indiv´ıduo
consome menos do bem 1, ele obte´m uma utilidade menor. Note que isso e´ o contra´rio do que
obtivemos no caso de uma queda do prec¸o do bem. A figura abaixo ilustra essa relac¸a˜o.
6
-
x
p
xh(p, u0)
xh(p, u1)
xM (p,m)
p0
s
p1
s
5
Como a ordem de integrac¸a˜o e´ de p1 a p0 e nesse caso temos que p0 < p1, os valores para V C,
V E e ∆EC sa˜o negativos. Logo,∫ p0
p1
xh(p, u0)dp︸ ︷︷ ︸
V C
≤
∫ p0
p1
xM(p)dp︸ ︷︷ ︸
∆EC
≤
∫ p0
p1
xh(p, u1)dp︸ ︷︷ ︸
V E
,
equivalente a seguinte integrac¸a˜o:
−
∫ p1
p0
xh(p, u0)dp︸ ︷︷ ︸
V C
≤ −
∫ p1
p0
xM(p)dp︸ ︷︷ ︸
∆EC
≤ −
∫ p1
p0
xh(p, u1)dp︸ ︷︷ ︸
V E
,
Portanto, no caso de um bem normal, teremos sempre V C < ∆EC < V E. A demonstrac¸a˜o
de que relac¸a˜o ana´loga vale para bens inferiores e´ feita do mesmo modo, lembrando que nesse caso
a derivada da demanda Marshalliana e´ maior do que a derivada da demanda Hicksiana. Portanto,
se o bem for inferior, vale a seguinte relac¸a˜o:
V E ≤ ∆EC ≤ V C.
Em ambos os casos, bens normais e bens inferiores, a variac¸a˜o no excedente do consumidor
esta´ entre as duas medidas mais apropriadas do bem-estar de um consumidor, V E e V C. Isso
mostra que o EC e´ uma boa medida para mudanc¸as no bem-estar do consumidor. Veremos abaixo
que, se a utilidade for quaselinear no bem analisado, as treˆs medidas sera˜o iguais.
3 Func¸o˜es Quaselineares
Quando as treˆs medidas sera˜o iguais? Quando a utilidade for quaselinear no bem. Nesse caso,
como vimos anteriormente, a demanda do bem depende apenas do prec¸o desse bem, se a renda
for grande o suficiente. Portanto, o efeito-renda e´ zero e, pela equac¸a˜o de Slutsky, a demanda
Marshalliana e´ igual a` demanda Hicksiana. Vamos investigar isso mais detalhadamente.
O problema primal do consumidor com utilidade quaselinear e´:
max
x1,x2
g(x1) + x2 s.a. p1x1 + p2x2 = m
Esse problema e´ equivalente a:
max
x1
g(x1) +
m
p2
− p1
p2
x1.
6
Vamos assumir que a renda e´ grande o suficiente para que o consumo de x2 seja positivo. Nesse
caso a soluc¸a˜o e´ interior e a CPO para o bem 1 e´:
g′(xM1 ) =
p1
p2
O problema dual do consumidor para utilidade quaselinear e´:
min
x1,x2
p1x1 + p2x2 s.a. g(x1) + x2 = u0
Esse problema e´ equivalente a:
min
x1
p1x1 + p2(u0 − g(x1))
Vamos assumir que a renda e´ grande o suficiente para que o consumo de x2 seja positivo. Nesse
caso a soluc¸a˜o e´ interior e a CPO para o bem 1 e´: dada por:
g′(xh1) =
p1
p2
As demandas Hicksiana e Marshalliana do bem 1 sa˜o portanto iguais e dependem apenas dos
prec¸os dos bens. Essa e´ uma propriedade geral das func¸o˜es quaselineares (lembre-se que temos que
ser cuidadosos aqui: na verdade, a demanda na˜o sera´ independente da renda para todos os valores
da renda, pois se a renda for muito baixa, o consumidor na˜o conseguira´ comprar nada do bem).
O efeito-renda para o bem 1 e´ nulo: uma variac¸a˜o na renda na˜o altera a quantidade consumida do
bem 1. Enta˜o o efeito total de uma mudanc¸a de prec¸os e´ igual ao efeito substituic¸a˜o, pois o efeito
renda e´ nulo. Como as curvas de demanda Marshalliana e Hicksiana sa˜o iguais, enta˜o temos que as
integrais das demandas Hicksiana e Marshalliana sa˜o iguais, o que resulta em V C = ∆EC = V E.
Graficamente, as curvas de indiferenc¸a de uma func¸a˜o de utilidade quaselinear sa˜o “vertical-
mente paralelas”: para qualquer quantidade do bem 1, as inclinac¸o˜es de duas curvas de indiferenc¸a
diferentes sera˜o iguais (o caminho de expansa˜o da renda, a partir de um certo n´ıvel de renda, sera´
uma reta vertical). Isto e´ consequeˆncia de o efeito renda ser nulo, pois o valor marginal da quan-
tidade consumida do bem na˜o depende da renda.
Portanto, se o efeito renda na demanda de um bem e´ pequeno, enta˜o a V C e a V E sa˜o
parecidas, e a variac¸a˜o no EC e´ uma boa aproximac¸a˜o para os dois. Para a maioria dos bens, na˜o
e´ uma aproximac¸a˜o ruim negligenciar o efeito renda, pois a parcela da renda gasta com cada bem
e´ pequena, para a maioria dos bens consumidos.
Por que ∆EC na˜o e´ uma boa medida de bem-estar quando o efeito renda e´ grande? Por que
∆EC e´ calculado usando a demanda Marshalliana, que na˜o mante´m a utilidade constante quando
7
o prec¸o do bem varia. Uma mudanc¸a no prec¸o do bem causa uma mudanc¸a no n´ıvel de renda real,
que altera o bem-estar do consumidor.
Ja´ sabemos que no caso de utilidade quaselinear, V C = ∆EC = V E. Mas qual o valor dessas
medidas nesse caso? A demanda inversa do bem e´ g′(xM1 ) = p1/p2. Se o prec¸o do bem 1 aumentou
de p˜1 para pˆ1 , pˆ1 > p˜1 (e a demanda do bem mudou de x˜1 para xˆ1), a variac¸a˜o no excedente do
consumidor (e nesse caso ∆EC = V E = V C) e´:
∆EC =
∫ p˜1
pˆ1
xM1 (p1)dp1 = −
∫ pˆ1
p˜1
xM1 (p1)dp1
Podemos calcular a variac¸a˜o no excedente do consumidor tambe´m usando a demanda inversa,
onde, nesse caso, obtemos:
∆EC = −
[∫ x˜1
xˆ1
p1(x1)dx1 + (pˆ1xˆ1 − p˜1x˜1)
]
= −
[∫ x˜1
xˆ1
g′(x1)dx1 + (pˆ1xˆ1 − p˜1x˜1)
]
= − [g(x˜1)− g(xˆ1) + (pˆ1xˆ1 − p˜1x˜1)]
Exemplo: Seja u(x1, x2) = lnx1 + x2. Suponha que a renda seja grande o suficiente para que as
soluc¸o˜es sejam interiores e que o prec¸o do bem 2 e´ R$ 1,00. A CPO para o problema primal do
consumidor e´:
g′(xM1 ) =
p1
p2
⇒ 1
x1
= p1
Suponha que o prec¸o do bem 1 aumenta de p˜1 = R$ 2, 00 para pˆ1 = R$ 3, 00. A variac¸a˜o do
excedente do consumidor e´:
∆EC =
∫ p˜1
pˆ1
xM1 (p1)dp1 = −
∫ pˆ1
p˜1
xM1 (p1)dp1 = −
∫ 3
2
1
p1
dp1 = ln(2)− ln(3) ∼= −0, 41
Podemos calcular a variac¸a˜o no excedente do consumidor tambe´m usando a demanda inversa.
Nesse caso, como o prec¸o do bem 1 aumenta de p˜1 = R$ 2, 00 para pˆ1 = R$ 3, 00, enta˜o x˜1 = 1/2
e xˆ1 = 1/3. Logo, temos que:
∆EC = − [g(x˜1)− g(xˆ1) + (pˆ1xˆ1 − p˜1x˜1)]
= − [ln(1/2)− ln(1/3) + (3× 1/3− 2× 1/2)]
= ln(1/3)− ln(1/2) = ln(2)− ln(3)
Ou seja, para compensarmos o ind´ıviduo pelo aumento do prec¸o do bem 1, devemos aumentar
a sua renda em R$ 0, 41.
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Vamos agora calcular a V C e a V E para checar se sa˜o realmente iguais a ∆EC. A utilidade
indireta dessa func¸a˜o de utilidade quaselinear e´:
v(p1, p2 = 1,m) = ln(1/p1) + (m− 1),
ja´ que x2 = m−p1x(p1) = m−p1(1/p1) = m−1, pois normalizamos o prec¸o do bem 2 em R$ 1, 00.
Vamos omitir o argumento p2 na func¸a˜o de utilidade indireta para simplificarmos a notac¸a˜o.
Usando a definic¸a˜o impl´ıcita de V C obtemos:
v(pˆ1,m− V C) = v(p˜1,m) ⇒ ln(1/pˆ1) + (m− V C − 1) = ln(1/p˜1) + (m− 1),
e, portanto,
V C = ln(1/pˆ1)− ln(1/p˜1) = ln(1/3)− ln(1/2) = ln(2)− ln(3)
Usando a definic¸a˜o impl´ıcita de V E obtemos: que:
v(pˆ1,m) = v(p˜1,m + V E) ⇒ ln(1/pˆ1) + (m− 1) = ln(1/p˜1) + (m + V E − 1)
e, portanto,
V E = ln(1/pˆ1)− ln(1/p˜1) = ln(1/3)− ln(1/2) = ln(2)− ln(3)
Obtemos enta˜o que V C = ∆EC = V E, como quer´ıamos mostrar.
Leitura Recomendada
• Varian, cap. 14 - “O Excedente do Consumidor.
• Pindick e Rubinfeld, cap. 4 - “Demanda Individual e Demanda de Mercado”, sec¸a˜o 4 -
“Excedente do Consumidor”.
• Hicks, John. Value and Capital. Oxford University Press. Ler a ”Note to Chapter II -
Consumer’s Surplus”.
• Nicholsone Snyder, cap. 5 - “Income and Subsitution Effects”, sec¸a˜o 8 - “Consumer Sur-
plus”.
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