04 Consumidor Exercícios Resolvidos

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Exercícios Resolvidos
01) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja $ 4, do bem y seja $ 5 e a renda do consumidor seja $ 500, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
02) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: ; , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y) e (alfa) é um parâmetro fixo que defini a preferência relativa do consumidor por cada bem, caso o preço do bem x seja , do bem y seja e a renda do consumidor seja M, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
03) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde é a quantidade consumida do i-ésimo bem e (alfa i) é um parâmetro fixo que defini a preferência relativa do consumidor pelo i-ésimo bem,, caso o preço de cada bem seja e a renda do consumidor seja M, qual é a quantidade consumida de um bem i qualquer por este consumidor?
04) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde é a quantidade consumida do i-ésimo bem e (alfa i) é um parâmetro fixo que defini a preferência relativa do consumidor pelo i-ésimo bem, , caso o preço do bem seja $ 2, , e a renda do consumidor seja $ 1200 então, caso o governo estabeleça um racionamento com base no qual ninguém possa comprar mais do que 5 unidades do bem o que aconteceria com este consumidor? Ele ficará melhor, pior ou não seria afetado? E se o racionamento fosse de 10 unidades do bem ?
05) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde é a quantidade consumida do i-ésimo bem, caso o preço dos bens sejam: , e e a renda do consumidor seja $ 1800 então, caso o governo estabeleça um imposto de $ 2 sobre o preço do bem e utilize os recursos arrecadados para comprar o bem e entregar a este mesmo consumidor (como um benefício social), este consumidor ficará melhor, pior ou em igual situação em relação a situação anterior, na qual não havia imposto e o consumidor não recebia unidades extras do bem ?
	06) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade:, onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja $ 2, do bem y seja $ 4 e a renda do consumidor seja $ 1000, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
	07) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja , do bem y seja e a renda do consumidor seja M, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
08) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja , do bem y seja e a renda do consumidor seja M, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
09) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja , do bem y seja e a renda do consumidor seja M, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
10) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja $ 4, do bem y seja $ 5 e a renda do consumidor seja $ 1000, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
11) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja , do bem y seja e a renda do consumidor seja M, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
	12) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde x, y e w são as quantidades consumidas de cada bem (x, y e w), caso o preço do bem x seja $ 1, do bem y seja $ 1, do bem w seja $2 e a renda do consumidor seja $ 800, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de cada bem?
13) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja $ 1, do bem y seja $ 3 e a renda do consumidor seja $ 800, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de cada bem?
14) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde x, y e z são as quantidades consumidas de cada bem (x, y e z), caso o preço de cada bem seja $ 1 e a renda do consumidor seja $ 722, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de cada bem?
	15) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde x, y e z são as quantidades consumidas de cada bem (x, y e z), caso o preço do bem x e seja $ 1, do bem y seja $ 2 e do bem z seja $ 2, e a renda do consumidor seja $ 500, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de cada bem?
16) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x e seja $ 2, do bem y seja $ 3, e a renda do consumidor seja $ 1200, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de cada bem?
17) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), a e b são parâmetros constantes positivos, caso o preço do bem x e seja , do bem y seja , e a renda do consumidor seja M, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de cada bem?
18) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde x, y e z são as quantidades consumidas de cada bem (x, y e z), a e b parâmetros constantes positivos, caso o preço do bem x e seja , do bem y seja , do bem z seja e a renda do consumidor seja M, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de cada bem?
19) Suponha um consumidor com a seguinte utilidade: , onde é a quantidade consumida do i-ésimo bem, , é um parâmetro constante positivo que determina a importância de cada bem na função utilidade, caso o preço do i-ésimo bem seja e a renda do consumidor seja M, então qual será a quantidade ótima a ser consumida de um bem i qualquer?
	20) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade intertemporal: , onde é a quantidade consumida no período atual e é a quantidade consumida no período futuro, a renda do consumidor é $ 100 nos dois períodos, e a taxa de juros entre um período e outro é de 25%. Sendo assim qual é o montante gasto em consumo por este consumidor no período atual e no futuro? E se os juros aumentarem para 50%?
21) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade intertemporal: , onde é a quantidade consumida no período atual e é a quantidade consumida no período futuro, θ (téta) é um parâmetro que representa a impaciência do consumidor (), a renda do consumidor é M nos dois períodos, e a taxa de juros entre um período e outro é de r%. Sendo assim qual é o montante gasto em consumo por este consumidor no período atual e no futuro?
22) Suponha que seja a função utilidade intertemporal de um consumidor, onde é a quantidade consumida no período atual e é a quantidade consumida no período futuro, θ (téta) é um parâmetro que representa a impaciência do consumidor (), a renda do consumidor é M nos dois períodos, e a taxa de juros entre um período e outro é de r%. Sendo assim qual é o montante gasto em consumo por este consumidor no período atual e no futuro?
23) Suponha um consumidor cuja função utilidade seja dada por , onde R representa a renda (fruto das horas de trabalho) e L representa o lazer (fruto das horas de ócio) e que possua 16 horas por dia para dividir entre trabalho e lazer, caso o salário por hora seja de $ 1, quantas horas esse consumidor ofertará de trabalho por dia? E se o salário por hora subir para $ 1,5? 
24) Suponha que e sejam as demandas dos bens x e y para um determinado consumidor, caso a renda deste consumidor seja $ 1.000 e sejam os preços dos bens x e y respectivamente, então calcule o efeito renda, substituição e o efeito total no consumo dos dois bens caso o preço do bem x diminua para $ 2,5. 
25) Suponha que o preço do bem x seja , do bem y seja e a renda do consumidor seja M, qual será a demanda Hicksianados bens x e y caso seja a função utilidade deste consumidor (onde é um parâmetro fixo que defini a preferência relativa do consumidor por cada bem e x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y)) e o nível de utilidade a ser alcançado seja ?
26) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde é a quantidade consumida do i-ésimo bem e (alfa i) é um parâmetro fixo que defini a preferência relativa do consumidor pelo i-ésimo bem,, caso o preço de cada bem seja e a renda do consumidor seja M, qual é a quantidade consumida de um bem i qualquer por este consumidor?
27) Suponha um consumidor com a seguinte função utilidade: , onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem (x e y), caso o preço do bem x seja , do bem y seja e a renda do consumidor seja M, qual será a quantidade ótima a ser consumida dos bens x e y?
28)
29)
30)
SOLUÇÕES:
01) Esse problema pode ser resolvido por substituição de variáveis, mas é preferível resolver por Lagrangeano, por ser um método aplicável a casos mais complexos, tomando e a RO do consumidor como então, montando o Lagrangeano:
 
Basta derivar o Lagrange em relação às variáveis de interesse, no caso apenas x e y.
 
 
Igualando os lambda’s:
 
Substituindo essa relação na RO obtêm-se as quantidades ótimas de x* e y*, quantidades que maximizam o nível de utilidade do consumidor dado sua RO, são elas:
 
Para confirmar que essas quantidades ótimas respeitam a RO basta substituir esses valores na mesma:
 
Para saber o nível de utilidade alcançado por essa cesta de consumo basta substituir x* e y* na função utilidade:
 
02) Esse problema também pode ser resolvido por substituição de variáveis, mas é preferível resolver por Lagrangeano, por ser um método aplicável a casos mais complexos, tomando , com e a RO do consumidor como então, montando o Lagrangeano:
 
Basta derivar o Lagrange em relação às variáveis de interesse, no caso apenas x e y.
 
 
Igualando os lambda’s:
 
Substituindo essa relação na RO obtêm-se as quantidades ótimas de x* e y*, quantidades que maximizam o nível de utilidade do consumidor dado sua RO, são elas:
 
 
Para confirmar que essas quantidades ótimas respeitam a RO basta substituir esses valores na mesma:
 
Para saber o nível de utilidade alcançado por essa cesta de consumo basta substituir x* e y* na função utilidade:
 
Essa é uma expressão literal, que serve para calcular genericamente o nível de utilidade a partir de qualquer valor específico das variáveis de interesse, se for considerado que M = 500, , e então é obtido o mesmo resultado que do exercício 1. Se for considerado que M = 1000, e então os valores seriam:
 
E o nível de utilidade alcançado seria:
 
A vantagem da expressão literal é que possibilita calcular rapidamente os valores das variáveis de interesse a partir de quaisquer parâmetros dados para as variáveis explicativas!
03) Esse problema é um dos casos em que, embora também possa ser resolvido por substituição de variáveis, é mais fácil resolver por Lagrange. Primeiramente, é útil observar que: , para os que não conhecem o símbolo Π (π (pi) maiúsculo), ele representa um produtório, uma sequencia de multiplicações entre os argumentos da função, uma função desse tipo é conhecido como Cobb-Douglas, para esse caso de n bens a RO do consumidor fica da seguinte forma: e deve ser igual a M (a renda do consumidor), sendo assim: 
1º) Montando o Lagrangeano
 
2º) Não é necessário derivar o Lagrange para todos os n x’s, derivando em relação aos 3 primeiros já é possível notar o padrão da derivação e generalizar para qualquer x. Sendo assim, derivando o Lagrangeano com respeito a alguns x’s específicos obtêm-se: 
 						(1)
								(2)
 						(3)	
								(4)
 						(5)
								(6)
 
 						(7)
								(8)
 
 						(9)
								(10)
3º) Igualando os lambda’s de cada derivação acima obtêm-se:
Da equação 2 com a equação 4:
 					(11)
 								(12)
Da equação 2 com a equação 6:
 					(13)
 								(14)
Da equação 2 com a equação 8:
 					(15)
 								(16)
Da equação 2 com a equação 10:
 					(17)
 								(18)
4º) É fácil perceber o padrão da relação entre qualquer um dos n bens e o bem , encontradas a partir da igualação dos lambda’s, trocando essas relações na restrição orçamentária obtém-se a quantidade consumida do bem e a partir daí a quantidade consumida de qualquer bem.
 			(19)
Simplificando:
 					(20)
Multiplicando ambos os lados por :
 					(21)
Evidenciando :
 						(22)
A expressão dentro do parênteses é o somatório de todos os , sendo assim: 
 									(23)
Dessa forma a quantidade ótima do bem que o consumidor em questão consumirá é:
 									(24)
Sendo assim, a quantidade ótima consumida do i-ésimo bem é:
 							(25)
Com base na expressão acima é possível calcular a quantidade ótima de qualquer bem consumido por este consumidor que consome n diferentes bens, suponha que M = 1000, , e , a quantidade ótima a ser consumida desse i-ésimo bem é:
 								(26)
A equação (25) é muito útil, vale a pena guardar na mente, tanto para exercícios de microeconomia quanto para concursos públicos!!! Importante ressaltar que tal equação só serve para resolver problemas que envolvam uma função utilidade do tipo , para outros tipos de função é necessário calcular o Lagrange!
NÃO SE PREOCUPE, UM EXERCÍCIO COMO ESSE NÃO CAI NA PROVA (a não ser na VS), CONSTA NESSA LISTA DE EXERCÍCIOS APENAS PARA DEMONSTRAR A EQUAÇÃO 25, QUE REPRESENTA A DEMANDA DO CONSUMIDOR COM UMA UTILIDADE IGUAL A INDIDACA ACIMA, UMA FUNÇÃO MUITO UTILIZADA EM LIVROS DE ECONOMIA E QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS, DECORE ESSA EQUAÇÃO!
04) Com base na questão 03 é possível afirmar que a quantidade ótima que o consumidor em questão deseja comprar do bem seria de:, caso o governo racione a compra desse bem a no máximo 5 unidades por pessoa então esse consumidor ficaria em pior situação, pois ele desejaria comprar uma quantidade maior, é possível afirmar que ele utilizaria o dinheiro restante para comprar outros bens que também o satisfazem, mas isso ele já poderia fazer sem o racionamento do governo, não o fez justamente por preferir comprar 8 unidades do bem , dessa forma, o racionamento do governo levaria este consumidor a uma perda de satisfação, o que levaria este consumidor a compensar tal perda de alguma forma, comprando do mercado negro, pedindo para alguém entrar na fila e comprar para ele, subornando o vendedor, roubando, ou alguma outra forma, talvez até mesmo aceitando a perda de satisfação em respeito ao racionamento do governo! Caso o racionamento do governo fosse de 10 unidades do bem então não haveria problema, pelo menos não para este consumidor, pois ele já se dispõe a comprar espontaneamente menos que essas 10 unidades, de tal forma que ele não seria afetado pelo racionamento do governo. 
05) Com base na questão 03 é possível afirmar que este consumidor desejaria consumir as seguintes quantidades ótimas de cada um dos 5 bens em questão:
 
 
 
 
 
Dessa forma, o nível de utilidade alcançado por este consumidor seria de:
 
A partir dessa situação de equilíbrio inicial o governo estabelece um imposto de $ 2 sobre o preço do bem então esse bem passa a custar $ 4, e nesse caso a quantidade consumida dos bens passa a ser:
 
 
 
 
 
Como o governo arrecada $ 2 em impostos por cada unidade do bem adquirida por este consumidor então a arrecadação do governo é de $ 400, como o governo utiliza esses recursos para comprar o bem , que custa $ 1, e entregar esses bens ao próprio consumidor então o governo compra 400 unidades de e o consumidor passa a consumir 600 unidades do bem (200 que ele compra mais 400 que recebe do governo), dessa forma o nível de utilidade deste consumidor passa a ser:
 
Um nível de satisfação (ordinal) menor do que o obtido antes dos impostos e do recebimento do bem , dessa forma o consumidor está em pior situação com os impostos e com o recebimento do bem . E essa é uma regra geral, sempre que há restrições a liberdade de escolha do consumidor este fica em pior situação em termos desatisfação. Importante notar que essa cesta de compras já poderia ter sido adquirida pelo consumidor, ele não o fez justamente por não desejar tal cesta. 
Muitos são os motivos que levam o governo a fazer uma politica como essa, que é mais comum e realista do que possa parecer, desde apoio aos produtores do bem , passando pelo apoio a cultura nacional, caso em que o bem é importante para a cultura nacional, fomento a questões de saúde, caso em que o bem é considerado saudável, até a pura e simples corrupção, em qualquer caso os consumidores ficam em pior situação numa situação como essa! Alguns exemplos: Filmes nacionais ou orquestra sinfônica tocando “gratuitamente” em praça pública, vale revistas, distribuição “gratuita” de camisinhas pelas ruas, distribuição “gratuita” de alimentos para pobres, entrada “franca” (“grátis”) em museu ou teatro, entre outros!
06) Essa função utilidade é conhecida em economia como sendo de elasticidade de substituição constante[footnoteRef:1] (CES – constant elasticity substitution), é mais uma função que pode ser resolvida por substituição de variáveis, mas tal método é tão trabalhoso quanto o Lagrange, de tal forma que é preferível resolver por Lagrange, considerando: e a RO:. Então, montando o Lagrangeano: [1: Um assunto não abordado no presente curso, consta o nome aqui apenas para ciência.] 
Derivando parcialmente em relação a x:
 
		
Derivando parcialmente em relação a y:
 
		
Igualando os dois lambda’s (λ):
	
Substituindo essa equação na restrição orçamentária (RO):
 
Para conferir se esses valores respeitam a RO basta substituí-los na mesma:
 
Para saber o nível de satisfação obtido por este consumidor basta substituir os valores encontrados para x e y na função utilidade:
 
07) Esse é exatamente o mesmo problema do exercício 06, apenas tratado de forma literal, sendo: e a RO então, montando o Lagrangeano:
						(1)
Derivando parcialmente em relação a x:
 						(2)
							(3)
Derivando parcialmente em relação a y:
					(4)
							(5)
Igualando os dois lambda’s (λ):
				(6)
								(7)
									(8)	
						(9)
Substituindo a equação 9 na RO obtêm-se:
							(10)	
							(11)
							(12)
Daí que:	
							(13)
Essa é a quantidade ótima de “y” a ser consumida por este consumidor, esta é uma expressão literal, o valor numérico varia de exemplo para exemplo, dependendo dos valores de . Substituindo a equação 13 na 9 obtêm-se a quantidade ótima de x.
						(14)
Daí que:
 							(15)	
Por exemplo, se for considerado que então se têm exatamente o resultado do exercício 06.
Outro exemplo: Considere que , e , sendo assim, qual a quantidade ótima de x e y?
						(16)
Analogamente: . Caso tudo mais permaneça constante, porém Px diminua para 0,5 então qual passa a ser a quantidade ótima consumida de x e y?
 					(17)
 					(18)
Com base nesse exemplo é possível ver que essa função utilidade apresenta o efeito fundamental da substituição entre os bens, a queda do preço do bem x levou o consumidor a reduzir a quantidade consumida do bem y e consumir mais do bem x, o que não acontece numa função utilidade do tipo Cobb-Douglas, sendo assim essa função CES é mais realista que a Cobb-Douglas.
Para confirmar se as equações 13 e 15 respeitam a RO e avaliar o valor da utilidade é melhor utilizar, em vez das expressões literais, valores específicos para as mesmas!
Esse exercício 07 é mais interessante que o exercício 06, por ser literal permite generalizar o resultado para quaisquer valores de , além disso permite ver que o não pode ser um valor qualquer, deve sofrer uma restrição, pois para que a Taxa Marginal de substituição (TMS) de uma função CES esteja de acordo com o que prevê a teoria econômica então: 0 < ρ < 1, caso contrário a curva de indiferença (ou isoquanta, no caso da teoria do produtor) terá a curvatura “errada” (será côncava), para perceber isso é importante lembrar que na matéria foi visto que a TMS é, em geral e em condições normais, decrescente (em módulo), e para que a TMS de uma função CES seja decrescente à medida que diminuímos a quantidade de y e aumentamos a quantidade de x então ρ deve estar entre zero e um. Pois:
 					(19)
	Dessa forma se ρ < 0 a TMS seria formada por uma razão de y/x e com isso seria decrescente, mas a taxas crescentes, o que vai contra a teoria economia, se ρ > 1 a TMS seria formada por uma razão de x/y e com isso não seria decrescente, o que também vai contra a teoria, dessa forma, para que a função CES represente uma função utilidade adequadamente é necessário que 0 < ρ < 1.
NÃO SE PREOCUPE, UM EXERCÍCIO COMO ESSE NÃO CAI NA PROVA (a não ser na VS), CONSTA NESSA LISTA DE EXERCÍCIOS APENAS PARA DEMONSTRAR AS EQUAÇÕES 13 E 15, QUE REPRESENTAM A DEMANDA DO CONSUMIDOR COM UMA UTILIDADE IGUAL A INDIDACA ACIMA, UMA FUNÇÃO QUE EXIBE ASPECTOS ATRATIVOS À TEORIA ECONOMICA: Utilidade crescente a taxas decrescentes e possibilidade de substituição entre os bens.
08) Essa é uma função utilidade para a qual não é possível aplicar a metodologia de substituição de variáveis, para resolver esse problema é necessário utilizar o método de Lagrange, sendo: e a RO igual a: , então:
 							(1)
Para facilitar as contas é melhorar utilizar, em vez da raiz, o expoente 0,5, dessa forma o Lagrangeano fica:
 							(2)
Derivando pela regra do quociente:
 						(3)	
			(4)
 						(5)
			(6)
Igualando os lambda’s:
 				(7)
 								(8)
Substituindo a relação dada na equação 8 na RO obtêm-se o x ótimo:
 	(9)
Substituindo a relação dada na equação 9 na equação 8 obtêm-se o y ótimo:
 			(10)
Para conferir se essas expressões respeitam a RO basta substituí-las na mesma:			
 				(11)
Para saber o nível de satisfação obtido por este consumidor é preferível utilizar valores específicos para x e y, mas literalmente o resultado é:
 							(12)
								(13)
						(14)
 					(15)
A equação 15 dá o nível de utilidade alcançado pelo consumidor ao consumir as quantidades ótimas indicadas nas equações 9 e 10, mas como dito anteriormente é preferível utilizar valores específicos para calcular esse nível de utilidade:
Por exemplo: Considere que: e M = 1000, quais são as quantidades ótimas e o nível de utilidade alcançado por este consumidor.
 								(16)
 								(17)
Para calcular o nível de utilidade alcançado por este consumidor basta jogar os valores das equações 16 e 17 na função utilidade, não é necessário calcular a equação 15! Sendo assim:
 
Lembrando que a função utilidade é puramente ordinal, não representa nenhuma unidade de medida, esse número só serve para ser comparado ao nível de utilidade gerado por outra cesta de consumo.
NÃO SE PREOCUPE, UM EXERCÍCIO COMO ESSE NÃO CAI NA PROVA (a não ser na VS), CONSTA NESSA LISTA DE EXERCÍCIOS APENAS PARA DEMONSTRAR AS EQUAÇÕES 9 E 10, QUE REPRESENTAM A DEMANDA DO CONSUMIDOR COM UMA UTILIDADE IGUAL A INDIDACA ACIMA, UMA FUNÇÃO QUE EXIBE ASPECTOS ATRATIVOS À TEORIA ECONOMICA: Utilidade crescente a taxas decrescentes e possibilidade de substituição entre os bens.
09) Essa é uma função utilidade que representa preferências quase lineares, não é possível resolver tal problema com substituição de variáveis, é necessário utilizar o Lagrange, dado , a RO é , sendo assim o Lagrange é:
		
		
Igualando os lambda’s:
 
Ou seja, a quantidade consumida do bem x, o bem para o qual o consumidor possui preferência quase linear, independe da quantidade consumida do bem y e da renda do consumidor, só depende dos preços relativos entre y e x, ou seja, a equação acima já indica o x*. Substituindo a expressão acima na RO obtêm-se:
Daí que:
	
A equação acima indica a quantidade ótima a ser consumida do bem y por este consumidor que possui preferências quase lineares pelo bem x, a quantidade consumida do bem y depende da renda do consumidor e do preço do bem y, para confirmar se essas quantidades ótimas respeitam a RO do consumidor basta substituir os valores na RO:
 
Com base no x* e no y* é possível perceber que variações na renda não afetam o consumo do bem x, apenas do bem y, para que haja variação no consumo do bem xé necessário que haja variação nos preços relativos entre x e y, isso pode ser visto no gráfico abaixo.
x
y
x
y
 
Preferências quase lineares para o bem x significa que o consumidor deseja uma determinada quantidade do bem x, uma quantidade maior quase não acrescenta satisfação ao consumidor, uma quantidade menor gera uma perda de satisfação muito grande, de forma que o consumidor deseja uma quantidade ótima ou um valor muito próximo deste, ele só se dispõe a ter mais x, o bem de preferencias quase lineares, se ele ficar relativamente muito barato em relação a y, um bem normal, o exemplo clássico de bens de preferências quase lineares são os bens públicos: iluminação pública, polícia, exército, as pessoas em geral desejam uma determinada quantidade de bem público, para se disporem a pagar por mais só se o preço for muito barato, ou em outras palavras, se o que elas abrirem mão em termos de bens privados for muito pouco em troca de uma quantidade muito grande dos bens públicos.
Para bens públicos a TMS é igual a:
 
10) Sendo: , a RO é: . Montando o Lagrangeano:
 
		
		
Igualando os lambda’s chega-se a algo impossível: . Isso significa que esse problema não pode ser resolvido pelo Lagrangeano, isso se deve ao fato dessa função utilidade representar bens substitutos, e por isso a CI é uma linha reta, de forma que a solução se dá como uma solução de canto, na qual a condição de tangência entre CI e RO não ocorre, veja o gráfico abaixo. É fácil ver que a CI é uma reta, basta calcular a inclinação da CI, que é a TMS, , ou seja, a inclinação da CI é constante é igual a , isso significa que o consumidor está disposto a trocar de y por 1 unidade de x ao longo de toda CI, sendo assim a inclinação da CI não varia, e por isso é uma reta. 
Dessa forma, para resolver esse problema é necessário realizar uma análise gráfica do problema. Observando o gráfico abaixo é possível ver que, como a inclinação da RO, que é dada pelos preços relativos é menor que a inclinação da CI, que é dada pela TMS, a RO é mais vertical que a CI, então a solução de canto se dá numa situação em que são consumidos zero unidades do bem x e todo o orçamento é alocado na compra do máximo de quantidades do bem y. Sendo assim:
E o nível de utilidade alcançado é:
 
y
x
RO
CI
Se o consumidor comprasse o máximo de x compraria:
 
E o nível de utilidade alcançado é:
 
Claramente menor, ou seja, este consumidor só comprará o bem y, para sair dessa situação somente se houver uma variação nos preços relativos ou na preferência, como a preferência muda muito lentamente então apenas uma diminuição nos preços relativos, em módulo,, é que levaria o consumidor a deixar de comprar y e passar a comprar x. Caso a inclinação da RO se torna igual a inclinação da CI então qualquer combinação de x e y seria possível!
11) Como no exercício 10 a função utilidade: , representa bens substitutos, sendo assim a CI é uma linha reta, cuja inclinação é dada pela TMS, que no caso é medida como: , como a RO é dada por: , então a inclinação da RO é dada pelos preços relativos, que são: , dessa forma para saber qual bem, x ou y, este consumidor consumirá é necessário saber os valores específicos de: a, b, e . A regra será:
Se então o consumidor só consumirá o bem x. E a quantidade que será consumida será: .
Se então o consumidor só consumirá o bem y. E a quantidade que será consumida será: .
Se então o consumidor pode consumir qualquer combinação possível entre x e y.
12) Essa questão pode parecer que envolve bens substitutos, mas não! Devido a presença dos produtos (termos cruzados) entre x e y, y e w, interessante chamar atenção para o termo (–yw), como é negativo isso indica que o consumo conjunto de y e w é um malefício para este consumidor! Enfim, sendo e a RO igual a , então o Lagrangeano fica (essa questão também não dá pra resolver por substituição de variáveis!):
 
		
		
		
Igualando o primeiro e o terceiro lambda’s:
	 
Já se obtém a quantidade ótima de y (y*). Igualando os dois primeiros lambda’s: 
 
Substituindo a relação acima, entre x e w, e o valor ótimo de y na RO, obtêm-se:
 
Para confirmar que essas quantidades ótimas respeitam a RO basta substituir esses valores na mesma:
 
Calculando o valor da no ponto ótimo:
 
	
13) Como nos exercícios anteriores essa função parece representar bens substitutos, mas duas observações se fazem necessárias, primeiro: o termo elevado ao quadrado, pode parecer que isso vai contra a teoria econômica, pois teoricamente a utilidade cresce a taxas decrescentes, mas esse termo ao quadrado entra com sinal negativo na função utilidade de tal forma que se trata de um bem mal, por isso esse termo elevado ao quadrado não vai contra a teoria, segundo: como o termo y é um male então a CI é positivamente inclinada, pois como visto na matéria para que o consumidor consuma um bem que reduz sua satisfação ele exige mais do bem que lhe agrada, sendo assim quanto mais y o consumidor tiver mais x ele exigirá, com isso a TMS é positiva: , o que torna a CI positivamente inclinada. Como a RO é: , então o problema novamente não pode ser resolvido por lagrange, pois:
 
 
 
Igualando os lambda’s chega-se a algo impossível: 1 = -1. Novamente, para resolver esse problema é necessário realizar uma análise gráfica do mesmo. Observando o gráfico abaixo é possível ver que a inclinação da RO, que é dada pelos preços relativos é negativa, o que é normal, ao passo que a inclinação da CI é positiva, então a solução de canto se dá num ponto em que são consumidos zero unidades do bem y e todo o orçamento é alocado na compra do máximo de quantidades do bem x. Sendo assim:
y
x
RO
CI
Crescimento da 
Utilidade
 
E o nível de utilidade alcançado é:
 
14) Este é mais um problema envolvendo bens substitutos, dessa vez 2 bens substitutos propriamente ditos, x e y, e um bem mal, z, de tal forma que, como visto nos exercícios anteriores, a resolução por Lagrange não é possível, o ideal é a análise gráfica, mas como há 3 variáveis um gráfico tridimensional pode não tornar clara a solução, então considerando separadamente o gráfico das variáveis duas a duas temos o gráfico abaixo.
Para desenhar esses gráficos é necessário considerar que os preços relativos entre cada dupla dessas 3 variáveis é -1, ou seja, a RO entre cada dupla de variáveis é uma linha reta com inclinação igual a: , ao passo que a TMS entre cada uma dessas duas variáveis é:
 
 
 
y
x
z
z
x
y
CI
CI
CI
RO
RO
RO
Dessa forma, com base no gráfico acima é possível ver que a solução entre x e z é uma solução de canto (gráfico do meio), de forma que só o bem x é consumido, a solução entre z e y também é uma solução de canto (gráfico à direita), de forma que só o bem y é consumido, enquanto no gráfico à esquerda é possível ver que a solução entre y e x é também uma solução de canto, de forma que apenas o bem x é consumido, sendo assim: y = z = 0, substituindo esses valores na RO obtêm-se:
 
E o nível de utilidade alcançado por este consumidor é:
 
Apenas para confirmar que esse exercício não pode ser resolvido por Lagrange, considere:
 
 
 
 
Igualando o primeiro e segundo lambda se chega ao absurdo de: 2 = 1, igualando o primeiro lambda com o terceiro se chega a outro absurdo, que é: 2 = -2. Enfim, o problema não pode ser resolvido por métodos matemáticos clássicos, apenas por métodos gráficos!
15) Um último exercício sobre bens substitutos, agora com 3 bens substitutos, para resolver esse problema é necessário considerar a relação dois a dois entre cada um dos três bens (x, y, z), para tal é necessário ter a inclinação da RO e a TMS entre cada dupla desses 3 bens, sendo assim:
, ao passo que a RO entre y e x possui inclinação igual a: .
, ao passo que a RO entre z e x possui inclinação igual a: .
, ao passo que a RO entre z e y possui inclinação igual a: . 
Dessa forma, com base nos números acima, é possível desenhar o gráfico abaixo. Nele é possível ver que a relação entre z e y (gráfico da direita) é tal que a inclinação da RO é menor (em módulo) que a inclinação da CI, ou seja, aRO é mais horizontal que a CI, de tal forma que há uma solução de canto na qual será comprado zero unidades de z e o máximo de unidades de y. 
Pela relação entre z e x (gráfico do meio) a inclinação da RO é menor (em módulo) que a inclinação da CI, ou seja, a RO é mais horizontal que a CI, de tal forma que há uma solução de canto na qual não será comprado zero unidades de z e o máximo de unidades de x. 
Porém, na relação entre y e x (gráfico à esquerda) a inclinação da RO é igual a inclinação da CI, de tal forma que qualquer combinação entre y e x ao longo da RO, ou da CI, garante ao consumidor o mesmo nível de satisfação, sendo assim qualquer combinação entre y e x ao longo da RO, ou da CI, pode ser escolhida:
y
x
z
z
x
y
CI
CI
RO
RO
Ou seja, a única certeza que se tem é que z = 0, com relação à x e y é possível calcular as quantidades máximas de cada um, basta considerar que um dos dois é igual a zero na RO, sendo assim:
 
 
Mas, como qualquer combinação entre x e y é possível, então:
 
E o nível de utilidade que este consumidor obtém pode ser medido tanto em relação à x quanto à y, calculando em relação à x obtêm-se:
 
16) A expressão não é passível de derivação, sendo assim esse problema não pode ser tratado através do Lagrange! Para resolver este problema é preciso perceber que se trata de bens complementares, que geram ao consumidor um nível de utilidade que é dado pelo menor valor entre 4x e 5y, sendo assim o consumidor deseja, para alcançar o maior nível de satisfação, maximizar o menor desses dois valores, para tal é necessário que haja igualdade entre 4x e 5y, pois se 4x for grande e 5 y pequeno o nível de utilidade será pequeno, dessa forma: . Substituindo essa relação na RO () obtém-se: 
. 
E dessa forma o nível de utilidade alcançado pelo consumidor será de:
 
17) Como indicado na questão anterior a expressão não é passível de derivação e esse problema, de bens complementares, não pode ser tratado por Lagrange, sendo assim é necessário igualar , substituindo essa expressão na RO () obtêm-se:
 
Supondo que a = 4, b = 5, , e M = 1200 obtém-se os mesmos valores de (x*, y*, U) da questão anterior!
18) Novamente esse é um problema de bens complementares, dessa vez envolvendo 3 bens. Seguindo o que foi feito nas duas questões anteriores é necessário igualar os três argumentos da expressão do valor mínimo, sendo assim:
 
 
Substituindo essas expressões na RO:
 
Tirando MDC:
 
Daí que:
 
 
Supondo que a = 1, b = 2, c = 3 e que e M = 1000 obtém-se:
 
 
 
E o nível de utilidade alcançado por este consumidor seria:
 
19) Um último problema envolvendo bens complementares, dessa vez generalizando para n bens. Não é necessário igualar todas a n possíveis combinações de termos da expressão, igualando alguns termos já se torna possível perceber o padrão da relação entre eles, igualando alguns termos com o enésimo termo obtêm-se:
 									(1)	
 									(2)
 									(3)
 
 									(4)
 
 								(5)
Substituindo essas expressões na RO:
 			(6)	
Tirando MDC
 					(7)
Equiparando o produtório do enésimo termo com os demais:
 					(8)
Com algum algebrismo:
 	(9)	
 			(10)
Se chega em :
 				(11)	
Como então:
 					(12)
 				(13)
A equação 13 dá a forma literal de resolução de um bem qualquer em um problema de bens complementares. 
Um exemplo numérico: Suponha que ,, , , , e M = 1000. Qual a quantidade ótima a ser consumida do bem ?
 
Esse é o mesmo exemplo numérico utilizado no exercício anterior, e o bem é o bem z do exercício anterior! 
20) Esse exercício diz respeito a maximização intertemporal de utilidade do consumidor, pode ser resolvido normalmente pelo Lagrange, sendo: então o consumidor deve alocar sua renda entre os dois períodos, presente e futuro, de forma a que o custo atual de seu padrão de consumo iguale o valor presente de sua renda, como sua renda é de $ 100 em cada período e a taxa de juros é 25% então: , o valor presente da renda desse consumidor é $ 180, dessa forma sua RO é dada por: , pois o total de despesa deste consumidor no período atual, mais o valor presente de suas despesas no futuro deve ser igual ao valor presente de sua renda, sendo assim o Lagrangeano fica:
 
 
 
Igualando os dois lambda’s obtêm-se:
 
Substituindo essa relação na RO obtêm-se: 
 
Ou seja, este consumidor ganha $ 100 no período atual, mas só gasta $ 54, poupa a diferença de $ 46 para ser consumida no futuro, o que lhe renderá os juros de 25%, sendo assim no futuro o consumidor obterá sua renda de $ 100 mais o valor futuro dos $ 46 poupados no presente, ou seja: , com isso o consumidor gastará no período futuro $ 157,50.
Caso a taxa de juros suba para 100%, supondo que a função utilidade do consumidor permaneça inalterada então o valor presente de sua renda passa a ser de:. Sendo assim, o Lagrangeano fica da seguinte forma:
 
 
 
Igualando os dois lambda’s obtêm-se:
 
Substituindo essa relação na RO obtêm-se: 
 
	Ou seja, um aumento na taxa de juros leva o consumidor a consumir menos hoje e mais no futuro, isso é uma regra geral da economia, valido para pessoas que tem dinheiro ou não, a elevação de juros não representa apenas um aumento no custo do financiamento para pessoas que querem dinheiro emprestado para comprar algo, representa também um aumento no custo de oportunidade do dinheiro para pessoas que tem dinheiro para gastar, com juros altos pessoas que tem dinheiro são levadas a não gastar para aplicar o dinheiro no setor financeiro e com isso obter um ganho elevado com a taxa de juros alta! Exceções a essa regra só existem para pessoas cujo efeito renda é maior que o efeito substituição, ou seja, para pessoas que consideram o valor presente da renda um bem de Giffen!
21) Como a renda do consumidor é M então: , como não foi dado o valor nem da renda nem dos juros então o exercício deve ser resolvido de forma literal. Considerando r em termos decimais o Lagrangeano fica da seguinte forma:
 
 
 
Igualando os dois lambda’s:
 
Substituindo essa relação na RO obtêm-se: 
 
Um exemplo numérico: Supondo que VP = 180, M = 0,25 e obtém-se o mesmo resultado numérico que no exercício anterior. 
22) Como a renda do consumidor é M então: , como não foi dado o valor nem da renda nem dos juros então o exercício deve ser resolvido de forma literal. Considerando r em termos decimais o Lagrangeano fica da seguinte forma:
 
 
 
Igualando os lambda’s:
 
Substituindo essa relação na RO obtêm-se:
 
Supondo que VP = 180, M = 0,25 e obtém-se e .
23) Um consumidor (trabalhador) qualquer obtém utilidade a partir da renda e do lazer, o primeiro é fruto das horas de trabalho, o segundo é fruto das horas de ócio (não trabalho), quanto maior um menor o outro, ou seja, o consumidor tem uma restrição em termos de horas disponíveis ao trabalho e ao lazer, sendo T as horas de trabalho, L as horas de lazer e H o número total de horas disponíveis em um dia (supondo 8 horas de sono têm-se que H = 16) então: . O objetivo de um consumidor racional é obter o mais alto nível de renda e lazer possível, que sua restrição de horas o permita, a renda do consumidor nada mais é do que o número de horas trabalhada vezes o salário por hora, , onde w é o salário por hora, dessa forma: e sendo assim a restrição horária do consumidor pode ser reescrita como: . Sendo assim, analogamente ao exercício 8, onde foi utilizado x e y, considere que M = x e L = y, além disso a restrição pode ser considerada como sendo: e , de tal forma que esse problema já foi resolvido anteriormente, reveja o problema 8, os valores ótimos são:
 
 
Sendo que as horas de trabalho são . Caso o salário suba para $ 1,5 então:
 
 
Sendo que as horas de trabalho são .
24) Dado , então as demandas iniciais são:
 
 
Para M = 1.000, e as demandas finais são:
 
 
Sendo assim, com a variação nos preços o efeito total (ET) da variação dos preços sobre a quantidade demandada foi:
Para o bem x: 320 – 50 = 270
Para o bem y: 20 – 50 = -30
Para calcular os efeitos substituição e renda é necessário calcular a renda que o consumidor deveria ter,após a variação dos preços, de forma que seu poder de compra ficasse inalterado, para tal: , como a variação no preço do bem x foi -7,5 (= 2,5 - 10) e a quantidade consumida inicialmente do bem x foi 50 então para compensar o consumidor pela variação do preço é necessário retirar dele 50*(-7,5) = -375, sendo assim a renda do consumidor deveria ser: M’ = 1000 – 375 = 625, de forma que seja possível calcular a variação na quantidade consumida dos bens x e y desconsiderando o impacto da variação dos preços sobre o poder de compra do consumidor. Fazendo isso as quantidades demandadas seriam:
 
 
Essas seriam as quantidades consumidas dos bens x e y por esse consumidor sem que a variação dos preços tivesse alterado seu poder de compra, sendo assim, para calcular o efeito substituição basta comparar essas quantidades hipotéticas com as quantidades consumidas inicialmente, para calcular o efeito renda basta calcular as quantidades efetivamente consumidas após a variação dos preços com essas quantidades hipotéticas, sendo assim:
Para calcular o efeito substituição:
 
 
Para calcular o efeito renda:
 
 
Ou seja, pra o bem x o efeito renda e substituição foram não negativos, no sentido de que a quantidade demandada, pelos dois efeitos, aumentou com a redução do preço do bem x, enquanto para o bem y o efeito substituição foi positivo e o efeito renda foi negativo, sendo que o efeito substituição superou o efeito renda.
25) A demanda Hicksiana é obtida através da minimização da despesa do consumidor, restrita a determinado nível de satisfação a ser obtido, para tal o Lagrangeano é da sequinte forma:
 								(1)
Otimizando em relação a x e y obtém-se:
 									(2)
										(3)
 								(4)
										(5)
Igualando os lambda´s obtém-se:
 									(6)
 										(7)
Trocando essa relação entre x e y na restrição orçamentária obtém-se:
 										(8)
 									(9)
 									(10)
A equação 10 indica a quantidade ótima a ser consumida do bem y, substituindo essa expressão na equação 7 obtém-se:
 						(11)
A equação 11 indica a quantidade ótima ser consumida do bem x. As equações 10 e 11 são as expressões da demanda Hicksiana deste consumidor para os bens x e y. Essas equações indicam que a quantidade ótima a ser consumida de cada bem depende do nível de utilidade a ser alcançado, do preço dos bens (vetor de preços) e da participação de cada bem no padrão de utilidade do consumidor, α.
26)
27)
28)
29)
30)
15