Unidade 02 TRCM

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Unidade 02 - Introdução à Condução
LEI DE FOURIER (Equação da Taxa de TRC por Condução)
É uma lei fenomenológica; ou seja, foi desenvolvida a partir 
da observação do fenômeno ao invés de deduzida a partir de princípios 
fundamentais.
Ao se modificar o material (por exemplo, trocando o metal 
por madeira), verifica-se que a proporcionalidade encontrada continua 
válida. Entretanto, para os mesmos valores de A, de ∆x e de ∆T observa-
se que o valor de qx é menor na madeira do que no metal. Isto sugere 
que a proporcionalidade pode ser convertida numa igualdade pela 
introdução de um coeficiente característico do material.
k- condutividade térmica [W/m.K]
x
TAqx ∆
∆α
x
TAkqx ∆
∆−=
Figura 2.1 - Experiência de condução de calor em regime permanente.
Introdução à Condução
No limite, quando ∆x → 0, tem-se que a taxa de TRC por 
condução é dada por:
e o fluxo de calor por:
NOTA: O sinal negativo é necessário pois a TRC ocorre sempre no 
sentido das temperaturas decrescentes e k é um valor positivo.
O fluxo de calor é uma grandeza direcional, ou seja, sua 
direção é sempre normal às superfícies de temperatura constante
(isotermas).
dx
dTAkqx −=
dx
dTk
A
qq xx −==′′
Figura - Relação entre o sistema de coordenadas, a direção do 
fluxo de calor e o gradiente de temperatura.
Introdução à Condução
Reconhecendo que o fluxo de calor é uma grandeza vetorial, 
a equação mais geral da Lei de Fourier toma a seguinte forma:
onde ∇ (nabla) é o operador tridimensional Del e T(x,y,z) é o campo 
escalar de temperaturas.
Outra forma da Lei de Fourier é dada por:
onde é o fluxo de calor numa direção n normal a uma isotérmica.
O vetor do fluxo de calor pode ser resolvido em suas 
componentes; assim, em coordenadas cartesianas:
onde:
Cada uma dessas expressões relaciona o fluxo térmico, por 
unidade de área de uma superfície, ao gradiente de temperatura na 
direção perpendicular à superfície.
Essas equações são válidas para um meio isotrópico; nele, o 
valor da condutividade térmica é independente da direção.
nq ′




∂
∂+∂
∂+∂
∂−=∇−=′′
z
Tk
y
Tj
x
TikTkq
rrr
n
Tkqn ∂
∂−=′′
′
zyx qkqjqiq ′′+′′+′′=′′
rrr
z
Tkq
y
Tkq
x
Tkq zyx ∂
∂−=′′∂
∂−=′′∂
∂−=′′
Introdução à Condução
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
a) Condutividade térmica de sólidos, líquidos e gases
Pela Lei de Fourier, a condutividade térmica é definida por:
De modo geral, a condutividade térmica é maior nos sólidos 
do que nos líquidos, sendo, por sua vez, esta maior do que nos gases. 
Essa tendência deve-se principalmente às diferenças de espaçamento 
intermoleculares.
( )xT
qk x∂∂
′′−=
Figura 2.4 - Domínio das condutividades térmicas de diversos 
estados da matéria em temperaturas e pressões normais.
Introdução à Condução
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Nos sólidos
Na concepção moderna da estrutura dos materiais, um sólido 
é constituído de elétrons livres e por uma rede de átomos com arranjo 
espacial periódico.
Assim, o transporte de energia térmica se deve à
sobreposição de dois efeitos: movimento de elétrons livres e ondas de 
vibração na rede. Como esses efeitos são aditivos:
Nos metais puros: ke >> kl .
O valor ke é inversamente proporcional à resistividade 
elétrica, que nesses materiais é baixa. Valor de kl é desprezível.
Nas ligas metálicas: ke > kl .
A resistividade elétrica é bem maior do que nos metais puros 
e a contribuição de kl para k não é desprezível.
Nos sólidos não-metálicos: kl >> ke .
O valor de k é determinado principalmente por kl , que 
depende da freqüência de interações dos átomos da rede.
Materiais cristalinos como o quartzo (rede bem ordenada) 
têm k maior do que materiais amorfos (vidro).
Em materiais como o diamante e o óxido de berílio, o valor 
de kl é tão grande que excede o valor de k de bons condutores, como o 
alumínio.
le kkk +=
Introdução à Condução
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
A figura abaixo mostra a dependência de k com a 
temperatura para alguns sólidos metálicos e não metálicos.
Introdução à Condução
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Nos sistemas isolantes
Isolamentos térmicos são sistemas constituídos por materiais 
de baixa condutividade térmica. Nesses sistemas, o material sólido 
(fibras, pós e escamas) está finamente disperso num espaço de ar 
(qualquer outro gás ou vácuo).
Sua condutividade térmica efetiva, depende da 
condutividade térmica e das propriedades radiativas da superfície do 
material sólido, e também da natureza e da fração volumar do espaço 
vazio (ar).
A densidade mássica (massa de sólido/volume total) é um 
parâmetro muito importante do sistema, e depende da maneira pela qual 
o material sólido está agregado.
Isolamento Celular:
Os pequenos espaços vazios estão isolados uns dos outros 
pelo material sólido fundido, formando um elemento rígido.
Ex: espumas, isopor, lã-de-vidro.
Isolamento Refletivo:
Compostos por multicamadas de folhas delgadas (películas) 
com refletividade elevada para devolver o calor à fonte emissora.
O espaçamento entre as camadas é calculado de modo a 
restringir o movimento de ar (dentro da própria camada e entre camadas 
adjacentes).
Introdução à Condução
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Nos fluidos
Nos fluidos (gases e líquidos), o espaçamento intermolecular 
é maior do que nos sólidos. Isso torna o movimento das moléculas mais 
caótico e reduz o transporte de energia térmica.
Gases
A teoria cinética dos gases é usada para explicar a 
dependência da condutividade térmica de um gás com a temperatura, a 
pressão e sua natureza química.
De modo geral, a condutividade de um gás aumenta com a 
elevação de temperatura em pressões normais (figura abaixo) e com a 
redução da massa molecular.
Introdução à Condução
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Líquidos
As condições moleculares associadas ao líquido são mais 
difíceis de descrever e os mecanismos físicos para explicação da 
condutividade térmica não são ainda bem entendidos.
Em geral, nos líquidos não-metálicos, a condutividade 
térmica diminui com a elevação da temperatura ou da massa molecular 
(exceções: água e glicerina) e não é afetada pela pressão.
Os líquidos metálicos são usados em aplicações que exigem 
fluxos térmicos elevados, pois sua condutividade térmica é muito maior 
do que dos não-metálicos.
Introdução à Condução
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
b) Outras propriedades relevantes
Geralmente, são denominadas de propriedades termofísicas. 
Incluem as propriedades de transporte ( k - condutividade térmica em 
TRC e ν - viscosidade cinemática em transferência de momento) e a 
propriedades termodinâmicas ( ρ - densidade e cp - calor específico) que 
se referem aos estados de equilíbrio do sistema.
O produto ρ cp [J/m3.K], denominado capacidade calorífica 
volumar, mede a capacidade de o material armazenar energia térmica. 
Em geral, sólidos e líquidos são bons armazenadores (ρ cp >1 MJ/m3.K); 
já os gases, são pouco apropriados (ρ cp≈ 1 kJ/m3.K).
A razão entre a condutividade térmica e a capacidade 
calorífica é uma propriedade importante denominada difusividade 
térmica [m2/s].
Esta propriedade mede a relação entre as capacidades de o 
material conduzir e acumular energia térmica. Quanto maior o valor de 
α mais rápida é sua resposta ao ambiente térmico e vice-versa. 
Materiais com α pequeno levam mais tempo para atingir outras 
condições de equilíbrio térmico.
pc
k
ρ=α
Introdução à Condução
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DO CALOR
Numa análise de condução o objetivo mais importante é
determinar a distribuição de temperatura no meio, resultantes das 
condições impostas em suas fronteiras. Conhecida essa distribuição, o 
fluxo de calor em qualquer ponto do meio ou de suas fronteiraspode ser 
calculado pela Lei de Fourier.
Utilidade da distribuição de temperatura:
a) Determinação de tensões, expansões e deflexões térmicas 
para avaliação da integridade estrutural;
b) Otimização da espessura de materiais isolantes;
c) Verificar a compatibilidade entre revestimentos ou 
adesivos especiais e o material.
Figura - Volume de controle infinitesimal, dx dy dz para análise 
de condução em coordenadas cartesianas.
Introdução à Condução
A equação de conservação da energia, para o VC diferencial é dada 
por:
onde:
Substituindo os termos no balanço de energia, tem-se:
e como:
dz
z
qqq
dy
y
q
qq
dx
x
qqq
z
zdzz
y
ydyy
x
xdxx
∂
∂+=
∂
∂+=
∂
∂+=
+
+
+
dzdydx
t
Tc
qqqdzdydxqqqq
p
dzzdyydxxzyx
∂
∂=
=−−−+++ +++
ρ
&
acumuladasaigeradaentra EEEE &&&& =−+
dzdydxqEgerado && = dzdydxt
TcE pacumulada ∂
∂= ρ&
zyxentra qqqE ++=& dzzdyydxxsai qqqE +++ ++=&
Introdução à Condução
dzdydx
t
Tc
dzdydxqdz
z
qdy
y
q
dx
x
q
p
zyx
∂
∂=
=+∂
∂−∂
∂−∂
∂−
ρ
&
z
Tdydxkq
y
Tdzdxkq
x
Tdzdykq
z
y
x
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−=
A equação do balanço de energia, assume a forma:
As taxas de condução de calor podem ser dadas pela Lei de Fourier:
Substituindo essas parcelas na última forma da equação do balanço 
de energia, e dividindo por dx dy dz, tem-se:
t
Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x p ∂
∂=+


∂
∂
∂
∂+



∂
∂
∂
∂+


∂
∂
∂
∂ ρ&
FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE 
CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS
Introdução à Condução
SIMPLIFICAÇÕES DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO
1) Condutividade térmica constante
2) Regime permanente
3) Unidimensional sem geração de energia
NOTA: Esta última simplificação mostra um resultado importante: 
Em regime permanente unidimensional e sem geração de energia, o 
fluxo de calor é constante.
pc
k
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T
ραα =∂
∂=+∂
∂+∂
∂+∂
∂ ,12
2
2
2
2
2 &
0=+


∂
∂
∂
∂+



∂
∂
∂
∂+


∂
∂
∂
∂ q
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
&
0=


dx
dTk
dx
d
0=′′
dx
qd x
Introdução à Condução
COORDENADAS CILÍNDRICAS
COORDENADAS ESFÉRICAS
t
Tcq
z
Tk
z
Tk
rr
Tkr
rr p ∂
∂=+


∂
∂
∂
∂+



∂
∂
∂
∂+


∂
∂
∂
∂ ρφφ &2
11
t
TcqTk
r
Tk
rr
Tkr
rr
p ∂
∂ρ=+


θ∂
∂θθ∂
∂
θ+


φ∂
∂
φ∂
∂
θ+


∂
∂
∂
∂ &sen
sen
1
sen
11
222
2
2
Introdução à Condução
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Estabelecem matematicamente as condições físicas 
existentes nas fronteiras do meio e, quando a situação é dependente 
do tempo, as que existem num certo instante inicial.
A equação da condução é de segunda ordem nas 
coordenadas espaciais e são necessárias duas condições de contorno 
para cada coordenada espacial. Esta equação é de primeira ordem no 
tempo, e portanto basta que uma condição inicial seja especificada.
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