Retas Concorrentes

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1-
Conceitos primitivos
     São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 
retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
   
planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
	
	                           
 
Axiomas
      Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
     Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos
2
Retas Concorrentes
Retas concorrentes são duas retas que têm direções diferentes(ou seja: não são paralelas) e que, portanto, têm um único ponto em comum.
Retas Paralelas
Duas retas distintas no plano são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum.
 - RETAS DISTINTAS:
São duas retas diferentes com a uma mesma distancia sem nenhum ponto em comum ... 
r-------------------------------------- 
s--------------------------------------
Retas Reversas: duas retas distintas são reversas se, e somente se não existe plano que as contenha
Em geometria, são consideradas reversas duas retas se, e somente se:
não se intersectarem;
não forem paralelas entre si.
Equivalentemente, duas retas são reversas se, e somente se, não forem coplanares.
Retas Coincidentes
- retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.
Ângulo entre retas reversas 
Ângulo reto é aquele que obrigatoriamente tem a característica de 90°(graus) e também é um ângulo formado quando uma semirreta, tocando em um ponto de uma outra reta, cria dois ângulos iguais e perpendiculares
Retas perpendiculares: são retas que se interceptam formando um ângulo reto. Retas perpendiculares são, portanto, um caso especial de retas concorrentes. Na cena abaixo estão representadas duas retasconcorrentes. O parâmetro "ângulo" determina o ângulo entre as duas retas que aparecem na cena.
 
Retas Ortogonais: São retas que não se encontram, mas suas projeções formam um ângulo reto. 
Determinação de Planos 
– por 3 pontos não colineares;
– por uma reta e um ponto fora dela;
– por 2 retas concorrentes;
– por 2 retas paralelas distintas.
Posições relativas entre retas
Podem ser concorrentes, paralelas ou reversas.
a) Concorrentes: duas retas distintas são concorrentes se, e somente se, tiver um único ponto comum.
b) Paralelas: duas retas distintas são paralelas se, e somente se, forem coplanares e não tiverem ponto comum.
c) Reversas: duas retas distintas são reversas se, e somente se não existe plano que as contenha.
3)
1- Posições relativas entre retas e planos 
- Reta contida no plano: Quando todos os pontos de uma reta pertencem a um plano, dizemos que essa reta está contida no plano 
Posições relativas. Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço: Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum. ... Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum.
2- Posições relativas de dois planos
Planos concorrentes: são planos que possuem pontos comuns.
A intersecção entre dois planos concorrentes é sempre uma reta.
Paralelos distintos 
Dois planos são ditos paralelos distintos sempre que não tiverem ponto em comum
Paralelos coincidentes 
Denominaremos de paralelos coincidentes quando dois planos tiverem todos os pontos em comum. 
4- 
Reta perpendicular ao plano 
Consideramos uma reta perpendicular a um plano, se ela for perpendicular a todas as arestas do plano que passam pelo ponto onde ela o corta. Este ponto onde ela corta o plano denominamos de “pé da perpendicular”. Assim, 
Retas perpendiculares
Duas retas r e s são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos “retos”.
5- Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0 
Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s. 
Para a reta r, temos: 
x - y = 0 
y = x 
Portanto, mr = 1. 
Para a reta s, temos:
Portanto, ms = -3/4 
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas: 
Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8. 
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas. 
Para a reta r, temos: 
y = 3x + 4 
mr = 3 
Para a reta s, temos: 
y = – 2x + 8 
ms = – 2 
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos: