Físico-Química - Levine, 6 Ed., Vol. 2, Cap. 17 - Mecânica Quântica (Completo)

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ii
. 
į ï Į Į Ţ-į ï Į ś ľ ïyĮH įįfïlom o dı 1úlll obedl en lo às ıeis da m cānica cıás ica A enzrgia do elétron é þ sūınatório de sua energia cinética e da energia potencial de atraçiio eletrostática elétron nūcleo Ąm ecānica clássica m ostra que a energia depende do raio da órbita C om o a energia ć quillllizada, apenas certas órbitas sāo peFm itidas B ohr usou um postulado final para seleciunar il\órbitas perm itidas A m aioria dos livros dá esse postulado com o (5 ) A s órbitas pemlilidu,sāo aquelas para as quais o m omento anguıar ıï ı, vr do elétron se iguala a ıı// 2rr onde ılıcv sāo a m assa e a velocidade do elé[ron r é o raio da órbita e iı - 1 2 3 N u realidadeB ohr utilizou um postulado dilierente que é m enos arbitr? io que 5 m as m enos simples tlcenunciar O postulado utilizado por B ohr é equivalente a 5 e é om itido aqui(Se você estivercurioso, veja K arpluf e P tırıer seçāo 1 4 )
C om esse postulado B ohr deduziu a seguinte expressāo para os níveis Ue energia do : īln
m o de H : E = Iıı
, 
e4/8?ii/l n onde e é a carga do próton e a constante elétrica E n oĽ orc nalei de C oulom b (13 1 ) P ortan to B ohr previu que R /zc - Iıï e 4/bebo 2 e R = m . 4/8 ? ?h]c Asubstituição dos valores de I/ı
. e /ł £{】 e c deu um resultado em bon7 acordo con7 o valur cĮ
penm ental da constante de R ydberg Indicando que o m odelo de B ohr fom ecıa os níveis Ucenergia do H correios
M uito em bora a teoria de B ohr seja historicam ente im portante para o desenvolvimentoda teoria quântica os postulados 4 e 5 sāo de fato Iinlsos e a teoria de B ohr roi suplantada
em 1926 pela equagāo de Schrödinger que oferece um a im agem correta do coïTtporlamenlo
eletrô nico em átom os e m oléculas A inda que os postulados 4 e 5 sejam Falsos os postuladosı 2 e 3 sāo consistentes com a m ecānica quântica
區爾 A H IPÓTES E D E D E B R O G U E
m ais ? um elélron e a m oléculas N o en tanto todas as tentativas par a obter os espectros detais sistem as com a ulilizaqūu de extensōes da teoria de B ohr lracassaram G radativaınenïeficou claro que existia um erro Fundam ental na teoria de B ohr O fato de a teor in de Bohrfuncionar para o H é algo com o um acidente
U m a ideia fundam ental no sentido de resolver essas dificuldades Foi proposta pelo Fisicofrancês L ouis de B roglie ( 1 89 2 19 87 ) O Fato de uïTı gńs de átom os ou m o1Ġ culas aquĽcitlnem itir radiaçiio de apenas certas [requências m oslr\ que as energias de átom os e moltculas
sao quim lizadas, sendo perm itidos apenas certos valores de energia A quanlizaqāo dn ncp. IĴnão ocorre na m ecānica clássica ; um a partĺcuıa pode ter uualtluer energia na meciinia clās
sien A quantizaçāo realm ente ocor e no ïììovım enlo ondulutório por exem plo ulli, \ condm antida fixa em cada extrem idade Leni m odos quantizados dc vibraqiio t F ig 17 · 1 A cordapode vibrar em sua lrequência I'undaınental u cIL1 s\ıa prim eira frequência harmônia' p En1sua segunda TreĹjuência hurm ćinica 3 u elc A s ľ rcquêncinx luĽ uıizadas entre esses múltiplosinteiros de u nāo siio pcrm ititlux
de partícula a m atćria tam bćm ıem um a nattırcza dual A lém dĽ m ostr ar um com pm tı\orenlosim ilar ao de unia pa]tícula uin clć tron tam bém pnLIcrin apresentar com portam en[l, sente Ihante ao de unia onda : o co mportam ento ondulaiório sc ınanilestariu nos níveis cle encrgiJquantizada de elćtrons em átom os e ınoléculus M anter fixas as cxlrem idatles dc ullla corJirquantiza suas rrequências vibracionais D e m aneira sem eıhantc conlinar um elétı on em un\ātom o quantiza suas energias
D B roglie obteve unia equaçiio para o com prim ento dc onda A associado cţìm llm\lpartlcuıa m ater iaı rnciocinundo em anaıogia co m os rciıons T em os E t. . , / rï \ l\riJespecial tlu relatividade de E instein d6 a energia de um M ton com o E
. . .
- pc n , Iť /] ,
' ''
m om ento tlu lßton e r ć u velocidade da luz Igualando essas duas expressōes para ErNobtem os llp - pc M as ıı - c/A em : in ıï c/À = pc Ľ À = / I/p parit um fóton pnr analogia
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L
de B rogıie prop
ôs que um a partfcula m a[eriaı com um m om eı1to p teria um com prim ento
de onda À dado por
M nic« qum lç ı
0 mom ento de unia paM cula com um a veıocidade ľ , m uito m enor do que a velocidade da
I é p = m ľ onde nı é a niassa da partfcuıa cm repouso
0 com pń m ento de on? de de B roglie de um eıétron se m ovendo com I, O x ] 0 ú m ls é
6 6 X 10 3 4 1 s
大 = 
(9 1 x 10 3 l kg) ( 1 0 X ı0 6 m /s) 
= 7 X ı0 Io m = 7 Ă
Segundt】 hannðnico
\ /
?
Prim eiro hannöııico
Esse comprim ento de onda é da ordem de grandeza das diınensōes m oleculm es e indica que
os efeitos ondulatários sāo im portantes em m ovim entos eletrônicos em átom os e m oléculas
para um a partícula m acroscópica de m asm I O g se m ovendo a 1 0 cmls um ciĵlculo sem e
】hante? A = 7 × 10
7 cm O tam anho extrem am enlepequenode入 (quercsu]ladacon\lante F . ndam c. ral
sãu obsen áveis para o m ovim ento de objetos ınacroscópicos
A ousaiJa M pótese de ? B m glie I'oi experim entalm ente conFirm ada em 19 2 7 por D avis
son e G erm er Q ue obw r aram efeitos de U ifraçāo quando um feixe de elétrons era renetido
a panir ? um cristal de N iG P T hom son observou efeitos de difraçāo quando os elétrons
auaressavam unia placa hna de m etalV eja a F ig 17 3 E leitos de dilraçāo sem elhantes lêm
sido obsew ados com nêutrons prátons átom os de hélio e m oléculas de hidrogênio o que
inä ca que a M pótese de de B roglie se apıica a todas as particulm nm leriais nio apenas aos
eléuons U m a aplicaçāo do com portam ento ondulatório de partĺculas m icroscópicas é o uso
dc? fração de elétrons e difraç ão de nêu[rons para obter estruturas m olecuıares (Seçõ es 2 3 9
e 23 10 )
O s elêuons apresentam com portam ento corpuscular em alguns experim entos (por exem pıo
os eĮ perim em os de raios catódicos de J J T hom son, Seç ão 18 2 ) e com portam ento ondu
laiıĵń o em outros experim entos C onform e se observou na S egāo 17 2 os m odelos de onda
particula são incom patíveis um com o outro U m a entidade nāo po? ser onda e partfcula
C om o podem os explicar o com portam ento aparentem ente contraditório dos elÉlrons? A rante
da dificul? de é a tentativa de descrever enıidiıdes m icroscópicas com o elétrons utilizando
conceitos desenvolvidos a partir de nossa experiência no m undo m acroscápico O s conceitos
d orda e particula foram desenvolvidos a partir Ua observaçāo ? objetos em larga escaıa
e não existe qualquer garantia de que sejam inteiram ente apliciveix em escala m icroscápi
ca Sob cenas condiçōes experim entais um eıétron se com porta com o unia partícula S ob
outras condiçães E le se com porta com o um a onda N u enlanĮo um eléiron niin é nei17 unia
panícula nem um a onda É algo que nāo pode ser descrito adequadam ente em tcm los de um
modelo que podem os visualizar
L ma situaçāo sem elhante é válida para a Juz que apresenta propriedades de onda cm cer
tas situaçōes e propriedades de partícula em outnıs A luz origina w no m undo m icrosctĵpi
Co de Ĥ om os e m oléculas e nāo pode ser inteirum en[e cornpreendida em term os de m odeıos
vjsualizáveis pela m ente hum ana
A in? que tanto elé[rons quanto Iuz exibam unia aparente dualidade onda purtlcula Hń
diferenças significativas entre essas en\idaue\ A Iuz viaja īı vcıocidatle ľ no vìcuo c os [\\
lims ? o m m a\sa em repouso O s zléuons sem pre viajam com vclocidudcs m enoıT s tlue ť
e ıêm m assa em repouso nāo nula
H X ibraç\
F igura ı7 3
A nćis dc difraçāo observadosquando eıć[rons atra' " a m um a
placa m etálica fina poıicń sıalina
'
/
.
b 0 pRıN CípIO D A ıN C E R T EZA
A apareme dualittade ontla partícuıa tla m atéria e da radiaçāo im pñ e certos lim ites às infor
M Į sçö % que podem o\ obıcr a respeito tle um sistem a m icroscópico C onsidere um a partícuıa
j T ulT W ópica dæ locando sc na dircqîio v S uponha Llue m edim os a coordenada r tla partícuıaa pasw r atravć ç de unia li nda c \ treita de largura w e incidir sobre unia (ela H uores
eEn e (F ıg ı7 4 ) Se vem o\ um ĺxlnlo na lela podcıTlos csıar certos de que a partícuıa airıves
W a rm Portanto M edim os a coordcn ıda r no m om ento de prisar pela lenda com unia
c \ io h A ntes da m edição a partícula tinha vcıocidade ľ , iguaı a zero c m om cnıo p,
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4
na fenda
rnıı
. 
I¢ual i\ ltro ni \ tllw çllu \ C unıo ıı part[cuta m icroscópica tem propriedatle\ onuuıaı
ËerĤ dilral4ıtııı Iuı fcndn, A s IM w ıuli ns Lıc ligu raq de difraçāo de e lét roll \ em u mat
e cnı lcınl ; ı \ ıın\llı11ı ; ı \ ūn tlntlax cıl\ C Jiinsson A m J P Iıvs 42 4 (19 74 )
ı) ırr 画室西 u ć ıı tli \ pcÆūN \ıv tıïnu undu cm tom o de um obstáculo U m a partícuıa cı & \iĽit pa.\aria diretm ııumc pt In Iı nLIn c 1ı111 I\ iĮ e dc tais partfculas aprew ntaria um cx pa lh il m Ħıu decoıï rpnm cı11ı] \ ınntlc cıcs lıtingisscın u tela U nia onda que patsa peıa fenda sc aliugiuá dariduma Iìgur : ı tlc tillnıqñu A curva na Ħg ı7 4 m ostra a inıen\idade da onda em vius ponih Ļlcıa O \ m ixiıııo\ c inlnin\us ľ Lmııum U ;\ intcrlizrėncia construtiva e Uestrutiva entre a\ onđa\qucw uńginam tıc vńriux purlcx tlıı ıı ndn A interferência reslılta da superposição tlc dua \ nhda\quc w pn\pugiıM almavćs ua ınesm a ırgiān dn espaço Q uando as ondas w tāo cm (tri\
,ocorrcndnjun\ax) ıTcoıT c inıĽ rľĽ ıť ncia Ľ \m struïiva coın as am plirudes se som ando
, dando ıïïrraonda m ail n)rlc Q unn\ln ux unLIas cslio linn đe f ue (cris[as de um a onda coincidindo corn vil]Ędiı w gun[la oııdiı) ı\L'orı intcı lı¢nciu dı?\lm tiva e a intensidade é dim inufda
O \ prim cirn\ m ĺnim cts (pum us P ť Q ) em um a figura de diFraçño Ue fenda única ocorre【ħcm ıocais \ obre iı ıcln H H U L us \ \ nLıas quc se originam na parte superior percorrem meio comPrim cnıo dc ontlu u ı11L nux uu u ın ; ıis que ondas que se originam no m eio da fenda Etsasontlas c\tāu enıin cxnlum cm c rl1ıa U L raw e se cancelam D e m aneıra sem elhante ondasque w originain cın uına dist : inciu 1/ abuixtì U u parte superior da fenda canceıam onda queW originam il uı1 tli\ Einciu tl ubaixn Lio centro da fenda A condiçāo para o prim eiro mini
que ČP - A I' C tnm ) u UisEìnciu que vai da fenda a{é a tela é m uito m aior que o āngulodarcntĮa n ānguln A ı\td qĮ ıaw zcm e os iingulos P A C e A C P sāo quase 9 0 ° cirtla um Senassim n ñngulu A C ı) ć Ľ sscncialınem e de 9 0 ° C ada um dos ângulos P D E e D A C é igual a90o m enns o £ingtıln A D C E sses Juis ñngulos siio portanto iguais e foram m arcados comeT em o \ \ cn n = ric/Ãii. ţ \/ţ \ ľ _ 入/\ ľ O ângulo e em que ocorre o prim eiro m fnimo dedilraçau ć tlatlu pur sen U = A /\ ľ
Paru u111o P ullculn m icm sct\pica qlıe passa pela renda a dirraçāo na fenda m udará adireÇāo dc m nvim cntu tl:ı pırlicuıa U ına panícula dirratada pelo āngulo e e que atinge a teıaemP nu Q terá uın com ptm cntc ť uo m om ento na fenda dado por p. - p sen Ħ !F ig 17 4) ondeP t n m om cnıu tla pıırılculu A cun u Ue intensidade da F ig 17 4 m ostra que a partĺcula temmaior pmhahiıidndc Uc scr tlilratnLIu por um āngulo localizado na faixa de e a + e onde eĆ n ānguıo tlo priınciro m inim o Uc dirraçño Sendo assim a m ediçāo da posiçāo produz umaincerteza no v : \ınr Uc p, dnuo por p scn tl ( p sen e) = 2p sen e E screvem os Į p. - 2p sen eOncic ap, tlń \ inľ Ľ r lcla cm ı1【)sso conhecim ento de p, na fenda V im os no parágrafo ante
ap. - 2lt/w A inecr lela cm ııos\o L tìnhecim ento da coordenada x é dada pela largura da fen
ritjr quc sen II = À/w cm ñu Jp, - 2pl/ı\ A relaçăo de de B roglie (ı 7 8 ) dá 入 - lrlp : assĵm
A m es U ; 1 m cdiçao N iïu tlnham os quaıquer conhecim ento da coordenada ţ da particulLm as xahĺam ox tıuc cla uslava se desıocando na direçāo v e Dessa form a Tínham os p, - (1
Ï « tdı
二二 メJ j P '" 节 pł
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:i Ħ
Entāo a
ntes da m ediçāo, 3 x = oo e ap - 0 A fenda de ıargura \r tlava a coordenada r com
un» in
cerıeza w (& r - w ) m as apresentava um a incerteza J p, - 2o/w em p. R eduzindo a
ıugunı H 
da fenda Podem os m edir a counlenada x tāo exatam ente quanto nos agradar m as
à medida q
ue r - w ĺica m enor ap - 2 0 lita m aior Q uanto m ais sabem os a respeito
de ť N Teno
s sabem os a respeito tlc p. A m ediçāo introduz um distúrbio incontroıáveı e im
p \ i s iv 
e ı no sistem a m udando p, em unia quantitlade desconhecitla
A inda que tiv
éssem os anaıisado apenas uıTı experim ento, a análise de m ui tos outros expc
rimenıos 
leva à m esm a conclusāu o produto das incertezas em t e p, de unia partícula está
na or
dem de grandeza da conslame Ue Planck ou m aior
孑忑滔德■国■
M ceinica Q uAntioı
E \te é o princ
ipio da incerteza, descoberto por H einsenberg em 19 2 7 U m a pruva geral
quanton
ìecânica de ( ı 7 9 ) roi dada por R obertson em 19 29 D e m aneira sem elhante, tem osĮ )p. z he ı į p z h
O pequeno tam anho de /ı tom a o princípio da incerteza sem t luaıquer consequência para
partfc ◆ as 
m acroscópicas
M EC ÃN ıC A qU ÃN TıC A
0 raio de que elétrons e outras partículas m icroscópicas apresentam com purtaınenlo on
du[atťirio beni coıTıo corpuscuıar indica que os elétrons nīo ohedecen ī\ m ceñnica clássica
A nlecānica clássica foi form uıada a panir do com portam ento observado de objetos m acros
cápicos e nāo se aplica a partfcuıas m icroscópicas A fom ia com o a m ecânica obedece aos
sistemas m icroscópicos é denom inada m ecânica quānıica unia vez que o eıem ento chave
dessa área é a quantizaçiio da energia A s leis da m ecānica quāntica Foram descobertas por
Heisenberg B om e Jordan em 19 2 5 e por S chrädinger em ı 9 2 6 A ntes de discutir essas leis,
considerem os alguns aspectos da m ecânica clássica
M ecânica C ıássica
0 movim ento de um sistem a m ecânico clássico unidim ensionaı de um a partfcula é governa
do pela segunda lei de N ew ton F = nïa - nı£/
zx/d12 P ara obter a posiçiio ţ da partfcula com o
uma íunçao do tem po, essa equaç ão diferencial tem de ser integrada duas vezes em relação
ao tempo A prim eira integração dá dx/dte a segunda integraçio dát C ada integraçāo apre
senıa um a constante de integração arbitrária Portanto, a integração de F = nza dá um a equa
ção para ( que contém duas constantes desconhecidas cl e c ; tem os x
- ßl c1 cl) ondefé
algum a função P ara avaliar cl e c2 , precisam os ? duas inrorm açõ es a respe
ito do sistem a
Se sabemos que em um certo tem po /[J a partïcula estava na posiçño xn e t
inha velocidade
1"m então c, e c podem ser avaliadas a partir das equações xo
- R lm cl ť 2) e ľ H - J (i. cı, C) ,
ondef é a derivada defem relaç ão a ı A ssim , desde que conheqam os a ĺbrqa F e il posiçāo
e velocidade (ou m om ento) iniciais da partícula, podem os utilizar a segunda ıei de N ew ton
para predizer a posiçāo da partícula em qualquer tem po futuro
U m a conclusāo sem elhante
mantém se válida para um sistem a clássico tridim ens
ional de m uitas partículas
O estado ? um sistem a na m ecānica clássica é definido pela espec
ificaçiio ? todas as
ıinæ atuantes e todas as posiçōes e veıocidades (uu m om enlo£) U us pH lícu
ıas V im os no
Parágrafo anterior que o conhecim ento do estado pręsenle 
de um sistem a na m ecānica clás
sica possibilita predizer seu estado futuro com cer
teza
O princípio da incerteza de H eisenbergEq (17 9 ) ınostra q
ue a especificação sim ultânea
dc posiçāo e m om ento é im possíveı para unia partícu
la m icroscópica L ogo, o conhecim en
to necessário para se especificar o estado de um s
istem a na ıneciinica cıássica niio pode ser
obtido na teoria quāntica 0 estado de um sihtem
a na ınecānica quiintica tem portanto de
envoıver m enos conhecim ento a respeito do sistem a do que na m ec
iinica cıássicu
M ecânica Q uântica
Ųa mecânica quântica, o estado de um sistem a 
é definido por um a nınç ilu H ııH c H - ' " " \ ľ
majjjscuıa) cham aua ? função de estado ou funçāo 
de onda dependente dn tem po (C om o
Pante da definiçāo do estado, a funçio energia potencial v tam
bém deve ser especificada ) V
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■■回国姨
» ıbd* 1 7 é unia função das coordcnatlas dłı \ parlfıuıa\ tlı ı ti\ ıcm a c fuıı
ia vcz u ue o estado pode 
t
com o tem po) é m m hć m un]iı lunţ āu U t) ıť ıï ıpıï ı
ı¢ıf cxcï npıo Para urn si« em a de h
cuıas v = v(R ı I il r ľ - I ) ı\ntle lı ľ ł ı 
e rı \ . z \ ao m c
oordenada\ Ua\ pw <ı
l c 2 R. . pe c t i v a ı 1 n Z A funçlkl tlc c+ tutju cııı : e r :ı ć uıııa grantĮelil com pleta i\ to é ' ·
f + ig ondeíL? R sāo f\ınçtk \ rcilı \ tıa w ı n ï ı«lť ¢\iłtlil+ C 
lcınlx) c i æ A fiınç M de e
Ć unia en[itlade ablra m a i V anıuw er nıai\ ıııtjc c0 ın¢ı V e
\ lli relacio nado a Proprił
n 
A funç ão de e\ ï ado varia conı n ıcInpo par
łı unı si\ ıcın ı de n piullLu
ıas a m ecánica q
tica poţ tula que a equaçāo quc govcnta c
{ırıın I vtıria t( \ı1\ I Ć
：苷一 宗器· ，帶)
N essa equaç ão h (h conado ) ć a cum
ıınıc dc P liınck dividida por 2 1r
tju panícula ı; e ľ ć a energia Ħ\ıcııc
iiıl \ll, \ 1\ ıo11]o C ınılo ı energia ptnencial ć a enel
devida à posiç ãu U J Ji pilnícula\ V ıį unhııuıl\ iııi tıu\ c(nH
dcn:ıtlh diı. P unfĽ ulab Alémdih
vpode variar con] o [em pu w un] lï llï Uı 
cxıť ln ınıınlc aplicado variar com o tem po S
do a. H im \ gcmuïıncnıc ć unıa ĺ unçiln U aų Ľ ¢ nn dcï ıH LIJ \ tliı\ lxlrl
iculu \ Ľ du tem po ľ é oþn
das torça\ ų ue aıuam m l . i\ lcınu \ cjl ;i ïıl (2 17 ) (jh pU
nlll\ na E q (17 10 ) Signjficam
A E ų ( 17 1o) , um a Ľ tíuuç iH tlifcrcnciaı purciul Ľ (nnp
licaLıa P ara a m aioria dos probłe
m as dc que o prcscnıc ïivm irala N Ĵ lı w nj nccc\ \ iri[l tu
iliziır a ( I 7 1 0 ) por isso N āo entr
em pânico
O conceito da funçāo decs[adu 'ılcaıï tl ( 17 IO ) ı[ ï r nrriuprescntaLIos pelo fĺsicoaustriaco
m in Schriidinger (18 8 7 19 6 1) em ı9 26 A Iĺ tl( ı 7 I O ) Ć u Ľ [luiıqāo de S chrödinger dF
pendcntedo tem po S chriilJinger lbi inų pirutln pela Iıiptilcxc tlĽ LIĽ lłn ıglic para buw ar uma
equaçāu m u[em £tica quc w aiw m clıïuw c il \ ctluuçilcx tlilL rcnciaih quc regem o m o \ imemo
ondulattiriu e quc live \ w snıuçūeh LIuĽ dwcrıı II \ rıívĽ i \ U cncrgiu pcrm ilidos Je um sIM e 
m a quán[ico U hando a relaçūo tlu dc ıJrr ilic A / I/p c cer ıu \ iırgum cnıtH de pıausibilidauk
S chrödjngerpropôs a E ų (17 in) ? l utlll:ıç ìłıintlĽ pcnUcı]lĽ dĽ rĽ m pn Ľ orrelata ( 17 24 ) \ i, Y
a seguir E \ w s argum ento \ tïĽ plan \ ihiïiłl ; ltï lt? urn ınniıitlus nu prcw ntc livro D eve se en[a 
tizar que clm s argun】cnın \ podem na ıncllı[n Ua« hipdıcses liM er a equaçāo de S chrödinia
pilrecer pluu \ I \ elE ın n? nhum w nıidtı ulĽ h pınlcm w r utili / uLIın purn deduzir ou pru \ ar a
equaçĎo Uc Schrädinger A etıuaqiïo tlu Scbr{\uingcr ć ulı1 ptn ruludtı luntlam enral da mecã
nim qujntica e nāo pude scrtlcduzid;l A ıM irı 1111 llliC acrĽ tlilnm us que ela w ja \ erdadeirJ
é que suas previsōes m ostraın cxĽ clcnıe uc( ï R \ l(ı coılı ru\ ulıltlus cxpcrim cnĮais Podersea
argum entar que a equaçāo de S chrildingcr ıcın lilli) ıırui\ u vcr coın a cvoluçāo da ciência
e tecnoJogia do século X X tJn que uuaıtlucr nuira [lĽ »cnhcr ı : 1 tln risica (Jerem y Bernstein
C ranks Q uaırtc, anti ı/zr C i) \/Iın ť B asic ıltm kx 1 yt)1 p 54 )
11882 19 70 1 e P ascal Jonlan (190 2 ıt)M )) tlc\cnvolvcr 111ı ııllm hJnı1a tïĽ m eciinica quântica ha\eadaem
entidades mafem£licaĽhamadn\ m aıril? s unuı nm lril ć um mliıınıo ııangular de númerns mam ze'
sāo adjcionada\ c m uïlipljcadiïx de w (m ín c61111 cuR ıns rcgr a\ A m ľ ¢rillirn nuıır IĹ ıtı/ tlĽ \ c cienl
i. T»
é inteiram ente etiuivulente à furına dc SĽhmtliı1ger pıuu zl rnĽiniil tluñırrica lque é rntluenienmt e
cham a(la dc linttinhu olıdil/imirirl) N iiu vani[w Uiw llıir H rnucìrricu nutlricial neqlc livru
Schrüdinger lam hćm onlrihuiu papl l ıılcvłiniĽ ı c\ ıuıí\ licu pıriı n rclali\ itlatlc e para a 
ıcona
da visăo de colt \ uïćM dc c \ ïar pniluntıum clılť inlc rcxuuo cnı liln\nria N tr epĺtogu dc > ctl li \ ro
ue
1944
, 0 qttť É ViĄtı? Schrĉidingcr cscrcvcll : E nlđn vnm tlw cr w nilo pntlcm o \ tirar a c? ncluiå,
'
coneta e niiu cuntradiıtiria tlas duas prcm iħsiıb scguilrtcs : (i) M cu corpo lunciuna com o ulli ntı ca
ni · n
puro de ac(m ıo com a\ L eis da N nlurcla (ii) N n ť nıiınlu eu \eipor experiência uirctl inť
fu[śv I
qtıe e\lou dirigindo m cu\ nm vim cntus A tinica inıbrEncin pohslveJ uesw s uois fatos èachu Q
ue
eu cu nu niais ampıo significado tla pnıavrn quero tlizer M Ua iTıcnıc consciente que a
lguma w
z
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disse ou senıiu o eu sou a pessoa se houver iııgum u, que controla u m ovim ento dus ilomos? aconlo com as L eik da N atureza- A viLıa c os aillores ue schriklingcr estilo relutauo\ eın wM m ìrc Sc/łriitıinger V id£ı ť P ells¢ulrcıntJ C am bridge U ni vcrsiry press 19 89
A equaqiin de S chr[\dinger dependente da ıem po ( 17 1 0 ) cunlém u prim eira derivada deV enl reıaçāo a r e unia ıinica integraçāo cm relaçiiu ao tem po nos dń \ı, portanto
, a integraçāo de (17 ]0 ) intr nduz apenas uı11a constullc Uc inlĽ graçāo ųue pode ser avaıiadu se W éa) nhecido em aıg\ım in« anıe inicial ï .. S endü axsiın , ctm hecentln o cstadu uuanlomeciinicoinjciaı ı(X. .. ı o) e a energia potenciaı V putleınos usar ( 1 7 l (ı) paru prctli/ er o csıadoquantom ecānico luturn A cquavño dc Schrtidingcr depentlente tlo lem pu ć a unï oga quantoınecānica da segunda ıĽ i dc N ew tnn qLIc per m ile que o eslatlu I'uluro de um sistem a na
mecānica clássica seja previsto a parıir dc seiı estudo presente N o cnlanlu Ingo verem os
que o conheciıncnto ılo es[adu cm m ecānica qu£intiĽ a geralm ente cnvulvc um conhecim ento
somente de prohabililIaLÌ cs E ın vez de cerıczas, com u na m ccinica clássica
Q uaı é a reıaçiin entre ıneciinica tjuntica c m ecñnicu clńxsiĽ u! «) Ľ xpcr im cnto m 【) stru que
coW s m acrosc\\picos obedeceın il m ecānicn clássica (Uestle quc a sua vcïucidatJe seja m ui
to m enor que a vclocidutle da luz) P ortanto esperam os que no lim ite tla m ecsnica clássica,
ao be considerar lr - n a cquaçān tlc S ehr 心山 nger U cpcnLIcnte dn tem po deva w reduzir à
segunda lei ? N ew ton Issu foi dem onstrado por E hreníest em 19 2 7 : para a deınonstraçāo? U 1renıėst T eja P ark seç ăo 3 3
M Ľcñnira Oulica
Signifıcado F isico da F unção de E stado W
O ńginalınente S chrödinger concebeu \p com o a anplitude de algum ıipo de onda que estava
associada com o sistem a L ogu łìcou claro que essa interpretaqāo estava en ada P or exem
plo para um sistem a de duas pa[lfculas V é unia lunçūo das seis coordenadas espaciais x. .
yþ .. r ť c ao pısso quc um a onda que se m ove pelo espA ço é unia runçn tle apenas
uês coordena? s espaciais A correta interpretaçiio nsica ? 'lı foi dada por M n B om em
1926 B om postulou que ıV I dá a densidade de probabilidade t】e encontrar as partículas
em ? ıenninados locais no espago (A s densidades de probabiıidiıtle para as velocidades das
muıtkuıas foram discutidas na S eçāo 14 4 ) P ara ser ruais preciso xuponha tłue um sisıem a
de unia partiula tenha a funç ão ? estado V (ť , v ı) no tem po I C onsitlere J prohuhili? unia m ediçāo da posiçāo da partfcula no tem po r
'
encontrar as particulas com suas
coordenadas r v e nos intervalos infinitesim ais de Y . a ť + tLI de y. a ť .. + dv e Jc a
:, + d Re\pectivanıente E ssa é a probabilidade de encon? ar a partícuıa em unia m inúscula
ægião do espaço com a fom la de um a caixa retangular no ponto (ť . ť . .) e tendo lados dt
dţ e d (Ħg 17 5 ) 0 postuıado de B om é que a probabilidade é dada por
- łv(x. . v. . zu, ıll tlrtiľ t/ (ı7 in
* F igura ı7 S
oM c o lado e*łum )o ık ( 17 ı2 ) representa a pm bahilidade de a part
fcuın scr encnntm da na tim a can a \ nlinuesinu ı no h w o
cnxada Fi& 17 5
ÐU ııpLO ı7 . ı probahlııdade 【lĽ st cncım tn ır um ı\ piırıícu
ıu
礴 目
qw N o Ic« 中 o ı
'
. a funçäo dc estado de uın sistem a 
de uma parıfcuıı scj\
r = (2!Ħ (ı)' 4 ť W
" / · ı$- ' un? ť - 2 nm
N m naM M « m fnm = Io " m I ıcmtine a pnqlahiıitıc \ıc ilm a m c
diqlo \ta po
$W d= pm icuıa 116 J tctnpn ı' encontrar a w tk ula cm 
\m iu ntinuw ula rrgio cubica
m W ı cm ł - t2 nnl v - ıO nm c
- 0 e Ľ o1l\ cada 11m Ut). Im ll\ \ m cdlntĮo
Q A )Ł ¢ï ıı de c[nı\ĺnirncnw
A dia tc u(i(H nm ê ınuiıu m cnıırquc u vaıt\r? t
c um a \ anaç hıdc O tıt)ł lım
ta* ııaı 4M 1 m J ı\ ct* m lend a\ nan m aı terar a l
lm sidade de pnıłu hili\l« k ı 
\ ırl H #m li
\ e pm anso ė um a ı>oı ap?o\im*1 considcnır o intcrva
kJ O o» ł nm a nno
 ¢ «i liıw \ł?. 2 paı *scf¢qıcr a b
iıidaık desejada cqtmo ?
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 pımlo lr? lvl 2 dr ď y tlz - (2/rr# ) 30 , a\
' ' ) 3 + ŕ ) ı dr dy dz
- 1 2 0 0 X 10 9
ICxercfcio
(tı) E m que ponto a densidade de pnŔbabilidade é um máx
im o para V do presen te exem
11ln 1 R cxpnnda impıesmen[e olhando IvI (b) R efaça o cálcu
lo com r m odificado para
scu valor m ĺnim o na m inúscula regiāo cúbica e E n[âo com x m o
dificado para seu valu,
m iîxiıno ï1a regiāo C om pare os resultados com aqueıe e
nconuado quando é utilizado o
V alor central de ť IR esposlas (a) N a origem (b) ] 2 0
3 × 10 9 , 1 19 7 X 10
9 ]
A Ihnçāo de estado \ıï é unia funçāo com plexa e I
V I è o vaıor absoluto de w Seja tÞ.
/ r i (m def c sito funçōes reais e i = O vaıor a
bsoıuto de '$é definido por hÞl s
U t q )" Para ilm a grandeza realg é zero e o vaıor a
bsoluto se lorna (fzyJ
nilìc « ïo uxuuı de valor absoluto para um a grandeza real
O com plexo conjugado uı* ue V
ć delinicio pur
y * = f ig onde 4ı = f+ ig (]7 13) ◆
Piıra obter rlï * substituím os i por i sem pre que ele ocorre em 
rp O bserv e que
poIJi i _ I portanto em vez de ıvl
l podem os escrever V
# 1}ı A grandeza IV I _ V * V ·
+ 9 
2 ć real e nāo negativa conform e um a densidade de probabilidade lem que ser
E m un] sistem a de duas par[ĺcuïas IV (r l v l . l v ! ï
' )ï dr ı dť , d , tır dľ tl é a
probabilidade de N o tem po / a partícula J estar em um a m inıĵ scuıa região com a iorm a de
tım a caixa re[anguJar localizada no ponlo (ľ , ľ l r) e ter djm ensōes tlr. D ľ , e [/ . e a partĺ
cuJa 2 estar sim uJtaneam ente em um a regiāo com a form a de um a caixa em (ľ ľ ) com
Uim cnsōes tlr ď )b e t/ A jntepretaçāo que B om íez de V ? resultados inteiram ente con
sisıcn[cs co m o experim ento
Para U m sistem a unidim ensjonal de um a pu1ícuıa IV (ť R)l dr é a probabiıidade de a par
IíL ula estar entre x e x + t/r no tem po / A probabilidade de ela estar na regiāo entre a e bé
enconlruda pelo som atório das probabilidades infinitesim ais no intervalo que vai de a alé b
tJando , integral definida
'
I'ııl' tlr A ssi n7
A pm babilidade dc encun[rar a particula em aıgum lugar no eixo dosr tem que ser ! pürtanto
, 11 . r - I Q uando u' ,alislhzaessaequaçño Diz sĽ quea f. n çii' " ' " : Ţĺ
,
Ijziıda A condiçiīn tlu nornıaliznçiio P J R H U m sistem a tridim ensional de unia P A rt tJb Ć
X \ \
Para uıīl sistema tridimensional de n panfculas a integral de IV I sob todas as 3/ı cŁ \ ï rdcnadas
ť i. , , cada uma integrada desde æ até ac
, 
é igual ; I ı
A integral em (17 J6) é uma integral múï[ipla E . " " " " ' " . pl" " ı 11 (, İ ! . . ľ ltlï d\
pńmeim se integrajtr, y) em relaçāo a R (rratandov como um a conxtante) enm ı o\ limites (
um a partĺtuıa sistem a unidim ensional (17 15) ł
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˜
：鹗回国国国目
L
prinle
iro in[egra\Tıos em ıeluçiju a r tratando v e cu111o Ľ û nsĮ antcs cm seguidŁ integram os
enl relaçiio a y
Trittantln z com o constante e NnalmenteIntegrıłm os cm æ lação aexigência de nonnalizu \ ūo ı 【rcquenlem eme escń ta com u
lųıl dT -
(ı7 ı7 ) *
M a M - rjuāg¢iw
onde fdr é unia notaçiio sim pliricada que representa a im cgal deli)ıitıa no intervalo com
pleto de (o
das as coordenadas espaciais do sistem a pm um sistenıa tridim ensional de um a
nada [Eq ( 17 ı6 ) ] 
partĺcu}a f dr inlplica unia integral tripla sobre x y e Indo de 3c M é ? c para cada coorde
por substituiçāu, é fácil ver que, xe V ıį a soıuçāo de t ı7 10 1 E nıāo cv tam bém é onde
c é uma constante arbitririu A ssim hi sem pre unia cunM antc m uıtipıicaliva arbitrária em
cada soluçįio de ( 17 10 ) O valm dessa constante é esce, ıhido de hm la a satisfazer il exigên
cia de nom ializaçiio ( 17 ]7 )
A partir Ja funçiio de estado V , potlem os calcular as pn\babiıiJadch dos vios resultados
possíveis quando é feita um a m ediç ño de posiçñıì no sistem a D ť 1J lo o trabaıho de D e B orn
é ınais ger al do (łue isso A contece que \ ıı dá inıunnaç , ic. a re\ 【w iıo do resultado de um a
meJiçño de qıta/rfuť ľ propriedade do sisıem u N ūo sim pıesm ente da posiçāo por exem plo seV t conhecida podem os calcular a probabilidade de cada reultadu possível quando ıi leita
uma m ediçāo de p. a com ponente r do m om ento O m esm o è verdade para um a m eđigāo da
energia ou , Io m oıncnto angular etc (O procedim ento para calcular essas probabilidades a
partir de 4 está discutido em L e \ine xeç io 7 6 )
N āo se deve pensar na funçāo de estado \i' com o unia onda lisien E m vez disso V é um a
entidade ınateınática abstraia que di infonnaçōes sobre ı) estado do sistem a T udo o que se
p · wie saber a respeito do sistem a em um dado estado está contido na funçāo de estado 'V E m
vez de dizerm os D estado descri to pela lunçāo V podem os sim plesm ente dizer u estado
y" A s iníorm açōes fornecidas por 4 sño as probabiıidades para os possíveis resuıtados de
mediçōes das propriedades físicas do sistem a
A Ihnçāo de estado descreve um sistem a físico N os C apítulos ı 7 a 20 o sistem a geral
mente seri um a partícula átom o ou m olécula P ode se [ amtm considerar a funçāo de estado
Je um sistem a que contêm um grande nūm ero de m o1écuıas por exem plo um m oı de algum
composto iso será feito no C apíıulo 2 I que \ ersa sobre m echica esta[ística
A m ecānica clássica é um a teoria determ infstica que nos pem rire predizer as trajetórias
exaıas kitas peıas partículas do sistem a e nos diz onde eıas es[arāo em qualquer tem po futu
ro Em contraste, a m ecânica quāntica dá apenas as probabilidades ? encontrar as partículas
em vinios locais no espaço O conceito de trajeıö ń a para um a particula fica bastante obscuro
em um sistem a quantom ecānico dependente do tem po e desaparece em um sisıem a quanto
mecānico independente do tem po
\
. 
-
ą 
ß
: 
◆
A lguns fıiósofos ıêm utilizado o princípio de incerteza Ue H eiw nberg e a nı1[ureza nāo determ inística
da m ecānica quāntica com o argum entos a favor du ıivrc arbıtrio hum ano
natureza probabilíhlica da m ecânica quiinrica perturbu u m uilo\ lï siL? os incıusive E inķ tcin
rödinger e dc Brogıie. Einstein ew' eveu em ı 92 6 :" me ciinica quntica diz ınuıN, a \?
tralm cnıe niio nos aproxim a tlc m arıeira algum a do \ cgrcth\ dı D ť u> A 4 ualquer \ uhl\ \ ı \ ıolı cu n
vclxid«tde quc E lc nāujoFa tlado\ Q uando aıguć m apm iuu pm E in \ t¢ın ul \ c o prL\priu E in \ tcın
ıınha intnxluıi 山) probabilidade na ıcoria cıuāntica quandt) inıtw ť ıtļ u a im cıl \ ıJ IU L de uin u nJ a
ıum inosa cın umı l» qucna rcgiJo tlu e \ paţ o co ıntt pniıx}N ı{ìnaı\ pr\ìh\hiııdTtlc \ lč ¢ ncom rar um
fıfton natıucla rcgiăo E in\ lcin re\lxm dcu L Inta ho J plaJ a nJ t\ u c\ ť w T RĦ'ııLı\ cu m l\nlJ l T C u uėn
cta ı E qw cicnli\ ta\ acreditavam quc a m et ānica qu intiL J nıu t\ìrı1tcıJ um J
ic\ crıç iL\ co nıplclJ
da rcali妇女 fhica N o cntam o, as tcntlıiva\ U t \ uh\ ııtuir J m vL jm cJ 4 ujnlıL a ĦW U llił lct
ìnJ
女论 tm ınluica w bjacenïc fraca\ sarum ĺ 'arece ha \ er unıa aıcat[ Wdc l\lndanï cnlaı na nJ turera
cm nlvcı n ıi c
ıttgııno
O cıııı* , um listcrna quant{rm ť cānico é descrim rxw w a funç ăı) de cstatıd 
ìp que ć unia
W dn tcm pu c das c(x\rdenadiı\ espaciais das particuıa$ du H \ lcm J A íunçño dc c\ tntıu
inform açö e» a rehpeiıo dah pn ) habiıi\ıa? s dox resultadth Jc mixliq\ lciı\ \ n«1 bıqle Pnr eıcm pło, quiındo ć lita tłlīlil ınediçāo tla w ıção tīn um H hlcn \ a dc unia particuıa
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国■■■図■画ib
c4 pub ıT
m l¢n alo?ı ? ra x ¢lr
De ť a ť + dv e dez a
- + dćdadawıv(X y ı )F drdyd Ą
cı) ntrar aç partıculas 6
ï 11 alguni ıtıgar 
é I a runç ãtı tle e
statlo cslá norm
alizada sig n ifı c andĺ
r m Įcnle «ıo tem po ( 
17 ıo) Q ue pem r
itc que o esta
do { funç ño } íulum 
seja calcuıado a pall,
do e\u do ıfunço ) pre\ en[e
W . 7 A EquA çÃO D E 
scH R öD ıN G E R ıN D EP
E N D EN T E Do T E M pO
daç partkul carregadas do 
sistem a e são intlepe
ndenles do tcnìpo
P ortanto a energia m
du tem po a eq uaç ão 
de schrödinger dep
endente tlo tem p
° ( 17 10 ) tem soluçōes da lorna
da \ n parıfculas efé um
a certa funçāo do te
m po V am os 
dem onstrar isso para um sistema
" ŕ xxuxx a l de unia parLiculacom V independente de ı a Eq (17 ı0)
fica
V arnas procurar por so
luções de ( 17 18 ) que 
tenham a fonrla
V (ズ Ï ) 一 只/)砂红)
(17 ı9}
T cm o\ 矿中/rl\
J = ßı) ďvth J e atp/rll = Q (x) üyn/I
A subsliluiçāo em (17 18) seguida da
di vitıäo porjlþ = V dá 
1 t/f (I) (17 20)兰 ユ 空 十 巾 ) ー
み
一 E
2m M x) dxz i İ (t) dt
onde 0 pariım etro E foi deĺinido com o E 
= { fili) f' { tyP t)
D a definição de E ele é igual a um l 
runçiio soınenıc de l e portanto é in
dependente de
x N o enlJ nlo (1 7 2o) m osıra que E 
= 0/2m)ı1. " (R V ıl,( R ) + V(x), que é um a runçāo apenai
de ı c ć inderx ndenre dc I L ogo E ć inJepen
ucnte de / bern com o independente de \ e ıem
qw w r puÆ ınto um a con 
\ ıim te U m a vez que a consıante E lem as m esm as 
dim ensōes de
V ela tcnı a\ djï nen$ifes dc energia A ınecānica qu
iintica postula que E ć de fato a energia
«jo Ï 17 2o) d' " r = Ą iJEflł) . que se inıegra em Inf = iE mt + C P ortanto f·
? 
( e t
ıid* = A ť ' tmï onde A = ť ' é unia conslanle arbitrária A constante A po
de ser incluida
corno parte do fator (x) em (17 19 ) ; assim , nõs a om i[im os 
dejE ntão
A E ų (17 20) tam bém dá
que ć a equaçāo de schrödinger (independente dn tem po) para um sistem a unidim
ensional
de un】a partiuïa A Eq(17 22) pode scr resnlvida para rp quando a runçāo energia Į'lìïe
ncial I
Vfx) tiver sido especificada
para urn sistem a tridim ensional de ıı partĺculas, o m esm o prtìedimen[rJ que cn Iuz
iu Ī -
Eqs (1 7 19), (17 2 1) c (17 22) ?
(17 23)
onde a ıunçâo é detenninada resolvendo se
蝴
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(]7 24 ) «
A ų alus · ics rp para a ctluaţ iiu dĽ S chrü 山 nger independcnlc do tem po ( 17 24 ) sūo as I'unçōes
dc onda (independentes do tem po) O cxta\lın para os tluais v é dado por (17 2 3 ) são
chum ıLIos tıe estados estaciunńrin\ V aınow er ĹIU pura uo1 dado sistem a hń m uitas di
rentes soıuçōes paru ( 17 2 4 ) com U ircrcntex xoluçiies correhpundcndo a dilĖrentes valores
da energiu E E m gerala ncCaniĽu quanıiĽ a dii arunas pr nhahiliĹlH les c nūo certezas para o
resultado de um a m ediç ão N u onlm 11n, ouandu um sistem a está eo1 lim estado estacinnio,
é certo que unia m ediçiin de sua energia dará o valor da energia particular que corresponde à
runçāo de onda 1l · Uu sistem a D ilcrentes sistem as lĉ nı uiferen[cs tbrm as puril a Iunqño ener
gia poıencial V (ť . . . ), e isso leva a direıentcs conjuntos dc lunçōes dc onda e energias
perrnilidas quando ( ı 7 2 4 ) ıi rcsuYvidu paru dilrentes sisıem as T udo isso licará m uix claro
peıos exem plos nas duas seções a seguir
Para um esıado estacionário a tlcnsidade de probabilidade 1ıIZ tica
lw ļ _ lji2 · (jiþ)Y = pıÞ# fų, = emlAwıe'E " " = eulþ* t/, = llþl' (17 2 5 )
onde usam os (17 Iı)) ( 17 2 ı ) e a iuentidade
LIıP1* _ T · lı, *
(Probl17 19 ) P orıanlo para um estado eslacionńrio p ]il_ llþ12 que é independente do tem
po P ara um estado estacionário a densidade Ue probabilidade e a energia sāo constanıes com
o tem po N o entanto N iio existe qualquer im plicaçāo dc que as partículas do sistem a estejam
em repouso em um estado estacinnário
A contece que as pm babili LbdĽ s para os resullaĹlos U c m ediçōes dc qualquer proprieda
de física envolvem I\ple unia vez que " I' I = llessas probabilidades sāo independentes do
ıempo para um estado estacionrio A \ xim o lutor e 'm em (17 2 3 ) é de pouca consequênciĄ
ea paile essıciaï da JunçiirJ de estado para lim esrudo estacicntcirio Is aftï nçiio de onda in
depem lerrıe t1ťı ıeırıpo ıþ( ţ . ) P ara um estado estaciunńrio a condiçāo de norm alizaç ão
(]7 17) torna seflıÞl dT - 1 ondelt/T representa a integral dennida sobre todo o espaço
funçāo de onda · Þ de um estado estuciunáľ in de energia E [em que satisfazer à equaçāo
de Schrödinger independente do tem po ( ı 7 2 4 ) N o entan to a m ecānica quān tica posıuïa que
nem todas as [unçōeų uue satisf arem a ( 17 2 4 ) ×ūN perm itidas com o 1unqōes de onda para o
sistem a A lém de ser um a solução de ( 17 2 4 ) um a lunçāo de onda tem quĽ atender às três
condiçōes seguintes (u) A runç ño de onda lem que ser univnca (b) A ľ unçāo de onda tem
que w r continua (c) A funç ão de onda tem que ser quadraticam ente integriivelA con
diçāo (a) significa que lem um e apenas um valor em cutla panlo no cslìaqu A ľ unçiio da
Fıg ı7 6u que tem valores tnúıtiplos eıTı alguns pom os nāo é um a ľ unçiio de onda possível
Para um sistem a unidim en\ionil] Ue um a parılcu]a A conĹliçīio (b) xigni[ic \ quc ,/, niiu J i
quaisquer saıtos de valor U m a funç ão com o a da F ig 17 ĥ b é descartada A condiçāo (ľ )
significa que a integral sobre todo o espaçol ¡ıp1 z dT ć um niìm cro ıinin) A lunçiio ľ (Ħg
17 6ť ) nāo é quadraticam enle integrávclpois \
'
tlï ( ť ' / 5 ) - " ( - ) = " A Ľ t \ n
dçäu (r) perm ite que a funçāo de onda seja m uııiplicuua por unia com lanıc que a nnrm nlizn
isto é Quc Iaça f 13 dr - 1 ıS e ıp ė um a holuç ñu tla ctıuuqiu Lıc 5 Ľ hrüuinger ( 17 24 ) E nM o
hÞ lam bć m ć. onde k ć uına constante qualquer veja o P roblı 7 2 0 ı D il sc que 山 nn runçūo
que obedece as condiç õ es tn ) (h) C (ť ) Ć henı cum purtada
C omo E ucorrc com o um parâm etro intletcrm inaun na ctłuııç äo tlc S chrö tlinger ( ]7 24 )
uj soıuçöes ıp quc sio cnconıradas peıa re\oıuç【O dc ( ı7 14 ) tıcpcndcriitr Ue E com o um pa
rāmletm 中 = *tī. . E ) A « m \ccc que * ł
i bern coTnp¢}rtcu
fłctnirulure\ de E ť \du esses \ ıaltırť s qı4r sūo os niveis de ť rıcrgıa penniritlo s U m exem plo
? dado na xeqāo \ cpuintc
Esıarem os inıcrc \ \ uJt ıxirıciN m ente nos estađmi estacionārins de áıom nq e m ol & uıas
m s esıies cs ◆ os m o o \ nbris de clıergin ïxrm ilido\ P am um a coliño cntm dum m oıėm la\
O u para uM ı m uM cula exp JM a aos cam N s cl¢trictīe m agnćlico oscilanıcsvurianckr nn tcm rx
\ k x - om aw
图ー
ヒ
ノ
ー
一
一
一
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四国園國獻嫌：
P
C = = ı? ? rmnllaçBo cktm«niıgticaa ctwrpiı fw
ltrw ial \ dcp tx
le tlo lcnıïx\ c deve w lid
« (łn 
ı
Ħ uq a{ı ılc schrtuinger ï m\kntc tk\ tcınp
ıt e w ï ıı\ c\tiMı\ ltñu eţ taciunńriofb
E m llm a¢um o ou m nı« uıa iwrlıa Il cncrgiiı po
ırnt inl v e indqlentlenlc do tempo c : \łų
rna ıx c\ ı \ lir cm um ıatıt\ ť · ıaL i\ \ nirn?
tlc onda e a\ cncrgıaq lx\ \ * f \ ci \ tlc 11ı11 c \ ıNo??
pela rcw luţ åo ııa cquaçJn ? hnldingcr ındclw ndcn
tc U ııltınpo ( ı7 24 ) e pela e w n ılq ak
nas daquela \ w ıw quc \ āo unl \ IK ı \ c{m ıfnua \ c tıua
dm ticaıncnte integrā \ Ľ i,
冬 衣
ıı 川
O · ł
F igura 1 7 7
F unçao energia N tcnciaı para unıil
partfcuıa cm unia ciıixa uıridim cn 
sionaı
0 7a A P A R TMcuLA EM U M A C A IX A U N ıD IM E N S ıO N A L
A inınxluç åo à ánica tłuiinıica na \ tluaţ uılim aţ seçtfcs ć bastanıe ahţ trata Para ajudìr łtom ar a \ i? ia \ da m ecānıca tłuántica m aı \ inteıigívcis a prıtscnte scç£io exiım iniı os extad8
c \ Uctonrio \ dc um \ ı \ lem a \ ım pıı \ um łı purtĺıtılłı ım ıım iı caixa unidlm ensionaııYv
\ ignifıca um a tinica parlicub n\iLT uw ńpica tlc n\a\ \ ı nł w m o vcntlo em unia dirrıen \ 6oī c
sujeita à fbnçiıo cncria p)lcncıiıı dJ ï ig I 7 7 A energia potencial é zcro puA r entre oc,l(rcgiãn ıh c ć ınlinıla cm n uln \\ ıix ıı\ (rcgit\c\ ı c lıl)
para (} S I S u
oc piını ť < (}c para r > a
ľ {
E \ w cncTıa pı ııcncıaı ct wrlìniı a parıfcuıa a w ınover nil rcgiău cnlrt O e a no eixo dosr N cnhun
hi»ıcım ı real lern V tJn \lnıple\ uuanı«} a lig I 7 7 m as a parlícuııı cı11 um a caixa pode ser U
cuintı um ï ıı¢ltı \ im pıcţ p riı tratar o \ clćlron \ pi cln m olćtutas conjugadas (Seç ão 19 ı]ıV an\n \ n(l\ rcringlr a co n\ itlL rır o 5 c\ latk»\ energia con\ lantc os estados cslacionirini I»iłra c \ w \ c \ tudo \ a \ lunyic \ tlc «m da V (indepcndcnlcs do tcm po) siio detem rinada)
uına parlltula é 
ctluiłç ão tlc S chnidingcr ( 17 2 4 ) quc para um sisteına unitlim en\ional đc
ħz d 2
+ Vq = E ıP (172ó)
C om o unia partfcula nào Ix ) de lcr energia inlinila tem que scR nula a prob lhilidade deencouırar a partfcula nahi rcgiōc \ ï e Illonde V ć infinito Portanto a densidade de probabilib &112 e Uo ınesıno m odo lem que ser zcm nessas regiões : ı = O e ıll 0 ou
ıP = O Pam x < O c parax > a (1727ı
D entro da caixa (regiāo Iı) V ć zero e (17 2 6 ) fica
d 2 2m E
；戸 一 二不厂沪 Para O 匹 x 竺 a (ı7 》
P ara resolver essa equação, precisam os de um a runqño cuja segunda derivnd\ 11os dê a m¢vm a função de volta novam en te, poréın m ultiplicada por um a constante D l \ ñ \ I un, ōesque ecoınportam dessa m aneira sāo a funçān seno e a lunção cosseno, então va[11oq tentar con1
''
um a soluçāo
* · A scn rx + B cos sx
onde A B , re S são constantes A diferenciaçao de IP dá cFwdxï = P scn rr B ť coq
i\
A substitujçäo da tentativa de solução (17 28) dá
A r2 sen rx a¢ cos s x - 2m E liZA sen rx 2nï E lizB cos s\ (17
QÏ
(17 2 8) é
se considerarm os r - s - (2m E ylz ft 1
, a Eq (ı7 29 ) é satisfeita portanto a 5ol u çâ 
ll ılt I
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Q - A sent (2m E )
', 2 6 Irj + B cosi (2m E ) ı12/ : ' t ; para o s x s a (17 30 )
ĺkđuçM m
ais form aı do que esta m ostra que ( ı7 30 ) é realm ente a soluçño geral da
M . Snï ca quıntica
U P a uferencial ı 1 7 2 8 )
do funç
ões de onda aceiLiveis A pena \ são pem rilida \ as lunç(ies hem com portadas A so
8 3o da eq 
ua çāo de Schrädinger para a parıfcula na caixa é a funçāo delinida por ( 17 27 ) e
i30 1 onde A e B sāo cons
tantes arbitrárias de integração P ara essa funçāo ser contínua a
M de onda 
dentro da caixa tem que tender a zero nas duas extrem idades da caixa pois
ti a zer
o fonı da caixa T em os que exigir que em ( 17 3 0 ) tenda a zero à m edida que
- O c à medi? qu
e [ ー a Fazendo r - O e Ur = O em (17 30 ), obıem os O = A sen O + B
g ı O + ß ı E ntāo B = 0 P ortanto
s U "
ıP = A seni (2ınE ) ı/zh 1 R ] para O s r s a ( ı7 3 ı )
e . °ndo x - tı e rp 
= O em (17 3 1 ) obtem os O = seni (2ınE )" 2 hı a] A funçāo sen w é igual
*zero quan
do w ê O , rr ï Z n . ï nn , enlāo tem os que ter
(2ınE )" / : 'a - ï nn (17 3 2 )
substituição de (1
7 3 2 ) em (]7 3 ] ) dá ı/ı = A sen ( ï nrr x/a) = ţ A sen (nnltl ) pois sen
) - n 0 uw 
de /ı em lugar de /ı m ultiplica ů por lC om o A é arbitrio isso nāo
dá uma solução diferen
te ? solução Ļ n de m odo que näo há necessidade ? sc considerar
gs valores ų ı
A ıém disso o valor II - O tem que ser descartado pois tom aria Q = O em to
dos os lugares (Probl
17 2 6 ), signifıcando que nio há qualuucr probabilidade de encontrar
yi particula na ca
ixa Portanto A s funç ões de onm perm itidas são
Q = A sen (nr x/u) para o ś r a , onde n - I 2 3 ( 17 33)
A resoluçāo de (17 32 ) para E pos\ibilila a determ inaçāo das energias perm itidas
Iı 
ZhZ
onde foi usado li = /ı/2 T A penas esses valores de E tom am ıþ um a 
funçāo bem com portada
icontinua) por exem plo, a F ig 17 8 representa gralicam ente aqdada por ( ]7 2 7 ) e (
17 3 1)
\ E = (I, 1yh
ı/8m az D evido à descontinuidade em x - a, essa nūo ć um a runçāo de onda
iceitável
Coniinar a partfcula para estar enıre O e a exige que Q seja zero em r
- O c x - tı, c isso
: quantiza a energia U m a anaıogia ć a quanlizaçāo do\ m odos v
ibracionais Ĺle unia corda
\ ocorre quando a corda é m antida fixa em am
bas as extrem idades O s níveis de energia
117 34) sāo proporcionais a ltz e a separaçāo entre nĺveis adjacen
tes aum enta à m edida que
naumenta ĺ Fig 17 9 )
F igura ı7 8
R eprew ntaqiio grálica da soıuçāo
da equaçiio tle S chriĵdinger para a
partícuıa em um a caixa com E
( ıı) lı/8 rruł E ssa soıuçāo é des
continua em x a
n aumen【a ? rg 1 / y) 
O valor da constanteA em ¢ dada por (17 3 3) é determ inado a partir da condiçāo 
de nor
alizaçāo (]7 17) e (17 2 5) f lıþlı dr = l cono ıþ = 0 fora da caixa, precisam os apenas
而让 grar de O até a, e
n - 4
- j lı'' lzdr -
° 
W l°" lA r, 
° 
scn ,"
Uma tabeıade integrais m ostra queí sen
z cxdx = x/2 ( I/4 c) sen 2cr, e encontram os LĄI 
=
¢?jayc A constante de norm alizaçã o Å pode ser considerada com o qua
ıquer nLim ero que
lenhao valor absoıuto (2/a)" 2 poderíam os tom ar A = (2/a)
"
, ou A = (2/a)
" z ou A = i (2/tï )"
(onde i = ) etc E scoıhendo A = (2/a) m , obtem os
n ·
n ·
Pan um sistem a unidim ensionaı de um a partfculĄ tM r) 1
2 dx é um a probabilidade C om o os \ atro nlveis Je cneqgia m ais
a$ Probabilidades nāo possuem unidades, ¢ (x) tem que ter d
im ensōes de com prim ento
liz
, haixns de linia parïícııla cm um a
tauno é verdade para ıp em (17 35 )
caixa unidim ensitìnal
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B ţ
C ıpi自do 卫? A s Iunqťies ue estat
lo para os esta
tlos cstacioni
lr ius tla parlfuu
la em uına caixa são dada» por 1 1 7 ıı)
( 17 2 1) e (17 15 ) C O no 
V t
ExE M pLo 1 7 2 cálculo 
do coınprim ento 
de onda de um a transiçăo
T , 1 i n c o com prinTento de onda da ıuz em itida qu
ando unia partfcula de 1 x 1o 21 g
em uına caixa unidim erl
siona) de 3 Å vai do nível n 
2 ao n 1
o cornprim cntu de on
da À pode ser de[cnn
im ıdo a partir da frequênc
ia p A grande
za /v ć u energia do tbton em
itido e é iguaı à rlferm (
a de energia entre os dois nlveia
envolvidos na transiç ão [E q (
17 7 ) ]
みダ 双。r* rior E . fılrior
2铋ソ8/n口2 向 8 1m ı
2 じ ジ 3h/只ln口2
ontïe (ï 7 34 ) foi apıicada O em preg
o de À = d v e 1 Å 三 1 0
ıo m [E q (2 8 7 ) ] dá
8m ů 2ť 8(1 X 10
3 0 kg) (3X 10
Io ITı) 2 (3 X 10 
8 m /S ) 
1 x 10 7 m
À 
1/1 33(66 66 X 100
3434 1 ss)
(A m assa m é a do elétron e o com pr
im ento de onda se encontra no u
ltravioleta )
E xercfcio
(a) para unia parlfcuJa de n7assa 9 ] 
x 10 3 1 kg eın unia certa caixa unidim ensionaı
a tnınsiçiio de II 3 para n 2 ocolre e
m u 4 0 x 1 0
" s
1 D eterm ine o compri
m ento diı caixa (R ew oslcl : 1 o7 nm ) (b) M ostre qu
e a frequência da transição de uma
partfcula em um a caixa un
idim ensional de n 3 para 2 é 5/3 vezes a frequência?
ıransiçiio de 2 para 1
= X " y
V am os com parar as visões da m eciinica quānĮica com a m ec
ânica clássica C lassicamen 
ıe a pur rícula pode se deslocar pela caixa com qualquer energ
ia nāo negativa ; E . .. .. . . Ħtde
ser qualquer núm ero acim a de zero (A energia potenciaı 
é zero na caixa E ntāo a energia da
particuJa é inteiram ente cinética S ua velocidade \ pode ler qualquer valor nāo negaıivo ?
m odo que į H ıv pode [er qualquer valor nāo negativo ) E m term os de m ecānica quånticĄ a
energia pode assum ir apenas os valores dados pur (17 3 4) A energia é quantizada na mecâ 
nica quântica enquanto é contínua na m ecānica clássica
C lassicam en[e a energia m fnim a é zero Q uantom ecanicam ente a parıfcula em uma cal 
xa IcM unia energia m ĺnim a que ć lnaior que zero A energia /ı2/8nıa é a energia do ponto
zero S uiı exillência é um a consequência do princípio da incerteza S uponha que a parıfcub
pudesse ler energia zero Jń que sua energia é inteiram ente cinética en[āo sua veıoci
dadc \
e m om ento / /ıı' ,
- p, seriam zero C om pt conhecido com o zero d i 11certera 3p, é zero
eo
princípio dn incerteza A r Ap. Z / I 而 & r - cc N o en[an[o sabem os que a partíclııa esı
á em
algum lugar eıllre ľ - O e ť _ a entiio īr niio pode exceder a Sendo asų lm um a encrg
ił
zero t impossível parir unia pur tícula em lım A caixa
O s estados estacionrios ? uına partícula o111 um a caixa silo especilìcadoų đando se 11 
\ J 
lor do nıim cr u inteiro N eïn (17 35 ) o núm ero ıl é cham aLIo de n\inıero qu : intico O ella
? energia m ais baixa (lr- ı ) ć n estado hındıım cntalE sııdos coIT1 energia major q
ut o
estado ıijndım enfal sāo dL nom inndos estados excitados
A Fig 17 1o é a reprw en[açāo grM ica das ĺunçtie dc ondu łl · e das uen · itlade\ de pw
buhilidade Il para os três primeiros csrados cstacionńrios U J partícula cnl Įlllla calla
P
que T vai de O a a Ue m odo que Q ć m etade de um ciclo dc uına funçāo scn\tıtl¡l
cla\sicarntnte todıs as posições para a pa11íctıla nilcaixa sño igualnlcnlť ! 1 n \\ :iv
isQuJ»
loım cmicam en[e a densidade de probahilidadc nāo é unifbrm c ao longo du , ,m łpr
imcn[tl'
b
caixa m as m o \ lra usciJaçi)es N o limite de um nıĵmero quInıico Iï m tıilo uiro il\ 
(1 \ cıh\iť
cm rıH ocomem cada vez thais próxim as e, por lìm Ticam indeıecıi\ ci: \w o , í
1m . ıH 1n
oť a\'
◆
Scanned by CamScanner
M ecūnica Q . Ĥ nnca
F igura 1 7 ı0
F unções de onm e densidades de
probabilidade para os tr?s prim ei
ros estados estacionários da płutf
cula em um a caixa
X
resuıtado clássico da densidade de probabilidade uniform e A relação 8m tı2E fh2 _ n2 m ostra
que para um si stem a m acroscópico (E ¡ll e a tendo m agnitudes m acroscópicas), n é m uito
gfande De m odo que o lim ite de n grande é o lim ite clássico
U m ponto para o qual ú O é cham ado de nó O nıĵ m ero de nos aum enta de para cada
aum ento de Iz A existência de nõ s é surpreendente do ponto de vista clássico P or exem plo
para o estado n 2 é 山行 ciı entender com o a partícula pode ser encontrada na m etade es
querda da caixa ou na m etade direita m as nunca no centro O com portam ento de partfculas
microscópicas (que têm um aspecto de onda) não pode ser racionalizado em term os de um
m odelo que pode ser visualizado
A s funç ões de onda itr e as densidades de probabilidade l¢l 
2 estāo distribuídas por todo o
com prim ento da caixa D e form a m uito sem elhante a um a onda (com pare as F igs
17 IO e
ı7 2 ) N o entanto a m ecânica quântica não afırm a que a própń a partícula está distribuM a
com o um a onda um a m ediç ão da posiçāo dará um a localizaçāo definida para a partícula
É
a funçāo de on? 4i (que dá a densidade de probabilidade lıpl 
2) que fica distribuída no espaço
e obedece a um a equação de on?
: 
: 
:
. 
.
)
EX EM P L0 17 3 C iilcuıos de probabilidade
目回国■ 目
fü) P ara o estado fundam ental de um a partícula em um a caixa un
idim ensional de com
prim ento a determ ine a Ħobabilidade de que a part
ĺcula esteja no intervalo de 1 0 0 0 1 a
centrado no ponto x = a/2 (b) para um estado es
tacionário da partícula em unia caixa
com nıim ero quāntico n ew reva (m as nāo ca
lcuıe) um a expressiio para a probabili
dade de a partfcula ser encontrada entre a
/4 e u/2 (c) P ara um estado estacionário da
partfcula em um a caixa qual é a probabilidade 
de a partlcuıa scr encontrada na m
etatlc
pw ï ııp r ln A pfıa¢}
(u) A ? nsidade ? probabili? dc (a probab
iıitlade por uniŁıatle de com p
ń m ento) é
igtıal a \ A Ħg ı 7 ı 0 m osua que IıH
2 para /ï = ı ć esw ncia
ım cnte com lantc tiobre
todo o pcquenfssim o intervalo ? 0 0 0
2u entJo, p°dem u \ Ľ t ] nsidcrar c
š st inter alo
com infinitesim al e tom ar tu 2 dr com o a prc»babiıidade t
ıcsejada P ara It = 1 a Eq
(17 35i dá W = (Ľ a) senz (n xld}C om x = a/2 c dr 
= 0 0 0 2cł a prohabilidatle Ć IQı
(b) D a fxł( 17 ı5 1 a proiıidadc ? a partícula cx
iar entre os pontos c e d Ć
M dr M as p$F = \ para um estado estacionáń o [ĺ q(17 Znjtlc n
\odo que a
tPlob* ilidale. JH dr A probabilitlatje de$iejada é J
. 
(2 /(ł) sen (m rR/ł) . on
de
. 
(}?3 S) tali p= a + :
'
1¢a? R
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C = I }
m ć tn vo cm to N O ılo ıxm l
o nicdiano tla caixa
de ıT \ ldo quc as prc}babiıidades de esh(ri P ara ca
da estado ? itacionár
iio da particxıla cın 
um a caix 0 gráfico de ı \ ' £ *
¢ia$ nıctadesi cq uenla e d
ireita ă o iguais sen
do cadiı urna [gua] a 0 5
E xercfcio
para o estado n 2 tle unia w icu
ıa em um a caixa tle com p
rim ento a (a } deterïnjne
a pn x) abiıidiıde ? a par
tfcula estar no interva
lo de 3 0 0 0 1 5u centrado cm r ° at8
(b) determ ine a probabiıidade 
de a partícula estar e
ntre x = 0 e x a/8 (R e\puslu (a)
0 o0 ı0 (b) 8 1/4 ?r O 0 4 5 4 )
S e rþ
, 
e v. sāo funções 
de unda de unia panfcula em um a ca
ixa com nıĵ m eros quåmico, n
/i
,
O bwwa se (Probı 17 2 9 ) que
onde - (2/a )" sen (n, t/a) c d, - (2/tı)
" sen (iı, n t/a) D iz se que as funçōesfe g sāoor
lrıgnnai* quundnfŤ g t/T - 0 onde a inıegral é unia integral deĺinida em rodo o intervalo
tlaţ ctnirdenadm espaciais pode se m ostrar que U nas funç · ìcs d onua que currexpondem a
lifercnıc \ n] \ cl \ tJe energia de un7 sisıem a quantonrecānico siio ortogonais (S eçāo 17 16 )
H T S . pA R T IcuLA E M uM A C A ıX A T R ıD ıM E N SıO N A L
A particula cm unia caixa tridim ensionaı é unia partícula de niassa in confinada a pem lane
ccr denım drJ \ nlum e de unia caixa devido a um a energia potencial inlinita ronı da caixa O
m ail \ im pïes do« form atos de caixa para se ıidar é um paralelepĺpedn retangular A energia
lx)tencıaï ponanm é V = 0 para ponlos em que 0 S x s n O s ľ S b e ü s s c e V = .
cm qualquer outro lugar A s dim ensōes ? caixa slid u , b c ť N as S eçōes 2 0 3 e 2 ı6 esw
histeına w rá utilizado para dar os níveis de energia para o m ovim ento U anslacionaı ? mo 
lécula\ tle gás ideal em um recipiente
V am u\ re\uïver a equaçāo de S chrödinger independente du len po para as funçōes de onda
de um c\ udu m tacion? io e suas energias C om o V= cc I'ora da caixa é zero ıora tla caixa
exaıarnen[c com o para o pm blem a uniuim unį ional correspontlen[e D enrro da caixa, V = O
c a equuqão de Schrädinger (17 2 4 ) tica
V am os supor que existem soıuções de (]? 3 7) que lêm a Iorına X (x) YO ) Z (c), onde X (r) ê
um a função Ĺle x som ente e Y e Z sāo runçōes de y e z P ara um a equaçāo diferencial parcial
arbi trária em geral niin ć possível determ inar soluções em que as variiiveis estão presentesem fatores separados N n en tanto pode se provar m a[em aticam ente que, se conseguim losencontrar soluçiĵes beın coïnportadas pirra (] 7 3 7) que tenham a rom la X (x) Y (ľ ) Z ( ), enliionão há quaisquer uu[ras soluções bem comportadas e então terem os encontrado a soluçãogeral de (17 37 ) N ossa suposiçio é, dessa ĺorm a,
A diferenciaçāo parcial de (] 7 3 8) dá
A S U b×lituiçāo em (l 7 3 7) seguida da divisāo por X (x)Yb)Z ( ) = 1/, dá
2ln X fir) 2m Yb ) 2m Z (z)
- E ( ı7 39)
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Seja Ą = (hz/2ırı) X
" (xyx (x) E ntão (17 3 9 ) dá
lz2 X
" (X ) lt 2 y b) 1 2 Z " (Z ) 
( 17 4 0 )
A partir de 
sua deFiniç ão E . é unia lhnç ão exclusiva de x N o entanto a relação Ą = a E +
hıy/2nıY 
+ ltzz" / 2tnz em ( 17 4 0 ) m ostra que E é independente de x portanto E , é um a
constan
te e tem os a partir de (17 4 0 )
(fı 2/2m ) X " (x) = E , X (x) paı a O ś x ś a ( 17 4 1)
Meciin° Q uĤ nucJ
A E ų ( ı7 4 1) é igual à equaç ão ? S chrödinger ( 17 2 8 ) para unia partfcula em uına ca
i
xa unidimens
ional se X e E , em ( 17 4 1 ) sĵ o identificados com e E respectivam ente E m
(17 28) A lém 
disso, a condigāu de que X (x) seja contínua exige que x(t) = O em r - O e
em t - a, um
a vez que a funç ão de onda tridiınensional é zero Inra da caixa E ssas sāo as
mesmas ex
igĉ ncias às quais ıÞ em ( ı 7 2 8) tem que satisfazer P ortanto as soıuçōes bem com
portadas 
de (17 4 ı ) e (17 2 8) sāo as m esm as S ubstituindo e E em (ı7 34 ) e ( 17 3 5) por X
e E . obtenros
onde o mim ero quāntico é cham ado de n .
A E q ( 17 39) é simétrica com respeito a x y e z
de m odo que u m esm o raciocĺ nio que
deu (17 4 2 ) dá
onde, por anaıogia colTI (17 4 0 )
A dm itim os na E q (17 3 8) que a funç ão de onda ¢ é o produto 
de f aldres separados X (r),
yib') e Z (z) para cada coordenada T endo determ
inado X Y e Z LE qs ( 17 4 2), (\ 7 4 3 ) e
(17 44 ) ] tem os com o funçōes tle onda de um estado estac
ionário para um a partícula em um a
caixı tridim ensionaı retangular
sen ūcniru uil L iı\ A " ? · ,
nJ rz
A sEqs (17 39 ) (17 4 0 )e (17 4 5 )dāo E 
= E
, 
+ E
, 
+ E c n eınpregode(17 4 2 )a(\7 )
para E . E , e E dá os níveis de energ
ia perm itidos co mo
As grandet E
. . 
E
, 
e E são as energias cinéticas associa
das com n m ovim ento nas direções
ł, yeiprocedim ento empregado para resoıver (17 37 ) ć cham ado de separaç
āo de varM veis
A s condições para as quais ele é válido sāo discut
iJas na Seçiio ı7 II
A função ? onda tem tres núm eros tıuanıicos porque esse 
é um pn\hıem a tń diınensiomtl
O s númcıus quānticos n . . II, e ız variam in
dependenıcm ente lini du out
ro O estado du partĺ
oııa ıla caixa é especificado dando sc valores para ıı. . Il, c 
ıı O cstatıo fundam ental é rı, -
Scanned by CamScanner
æeıiŁ,
C · plM ° 1 7
/ 
:j 
a 
.
F igura ı7 ıı
D en» idad{% tlc pruhahrıidm ıc ıĻ \rł\
trés eħtatlıj \ Ue uıı1a piu ıícuıd C ıt\
ıim a L aıxa bıJ ım cn \ ional ť ujłı*
Uim en\l\eį lĉ m um a prolx»rçiltp dc
2 1 0 \ c\ lado\ \ ao łþiı Ų' ı c ųrr ı
oncic O b suhcrito\ tuo o$ \ aıttıť \
dc n e n
n
. 
= ı n
! 
= 1
n
x 
= 2 n 
y
- 1
F igura 1 7 1 2
R epresentação gM rica de ll 
2 para
os estados + lı e Ølz tle um a caixa
bidim ensionaı com b 2u
para uı11o partfcuıa em unia ca
ixa retangular bi
dim ensional com lados a e 
h o m esmoproct
tlim cnĮn uuc ıJeu ( 17 4 6 ) e ( 1
7 4 7 ) dá
ıj · = (4/ab)" sen (n. Rrxía) sen (N , T ť /
b) Para O Ś r Ś a, O s y s b f174 & 1
e E = oı/8m ) (ıłya2 + Iı7b') para um a caixa 
tridimensional o m b = 2tt a F ig 17 I I m%
lra a variação da densidade de pro
babilidade full na caixa p
ara três estados Q uanto mai【r
a densidade dos ponıos em um a regi
ão, m ajor o valor 
de lıp[' A F ig ]7 12 m ostra grM icoļ
ıridim ensionais de rtÞl pilr a O S dois esta
dos m ajs baixos A altura 
da sU Perflċ ie acimadu
planH ľ dá o valor de IQ I no pon
lo (x, ľ ) A F ig ] 7 ı 3 é um g
ráfico tridim ensional de
ġ
para o chiudo n , - 1 N ,
- 2 ; é positivo na m etade da ca
ixa negativo na outra metadec
zero sobre a linha que separa essas duas m e
tades A Fig 17 14 m ostra represen\açöes grá 
licas tıe contorno a li constante para o estado Iı.
- 1 ıı
j
- 2 : os contornos m ostrados 55o
aquele para os quais li / ltþl.. J . - 0 , 9 (os dois círcu
los m ais internos), 0 7 0 5 0 3 e 0 I
ontle 14 1. . . . é o valor m á×jm o de Il E sses contornos 
orrespondem a ı¢lllıF l. . . - 0 Bl
0
, 
4 9
, 
0
, 
2 5 0 0 9 e 0 0 ]
Ħııo D EG EN ER E SC ĒN CıA
S uponha que os lados da caixa tridim ensional da últim a seção tenham com prim entos iuais
◆ - b = c E ntāo, ( 17 4 6 ) e ( ı 7 4 7 ) ficam
F igura 1 7 ı3
Reprewnttçāo gráfica de ¢lł para
utīia partícula em um a caixa bidi
m cnţ lnna] com b = 2a
E = (, Ï + ı, i + N Vı/8m a (17 501
V am os usar subscri[os numéricos em ų · para especilicar os valores de N / ı c /ıy O es\a
dlT
m ais baixo t łþı. . com E = 30 2/8ıntr2 os estados u' r. I , e , têm cada um EnergiaiuJl
a 60 278m H M esm o que lenlm m a ıL1esıTla energia, esses estados sāo diferentt\ C om N ,
- Ī
2 e n - I O estado U' H tem densidade de probabilidade igual a zero de en l\n[rar J p
anl
cula em x - a/2 (veja a Fig ı7 1o) m as o estado ıplzl tem unia densidade u · rhabilid
1, lť
máxim a em r - a/2
O s term os " estado" e " nfveı de energia
" (êm significados diferentes em ı11 .inica tl
ujn 
tica U m estado estacionário é especificado dando a ĺ unĻiio de onda qlr C ' Id ib difer
ente
é unı estado diferente um nfveı de energia é especificado dando o valor tı : energia
Cada
valor diferente ? E é um níveı de energia diferente O s três estados diknï 1\L . iþlľ ¢, ;
'
ihı2 de unia partfcula em um a caixa pertencem ao m esm o nlve] de energia. 6/, smo
A Fig
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Figura ı7 ı4
Rcpnwnraqãa g
rM ica dc contorno \ a Iıpl
comıante para D e
. TaJ . . Da Frg 17 13
2 1ı ı2 ı 1ı2
ııı
0 -
F igura 1 7 1 5
O \ w te c ų h c\taL ionini«
ĥ fc o1 trĉ * níţ eis
de energiat m aıt baixo \ de um a partícuıa em
um a caım cıibıca O \ nıim ert» do os valores
nıim erm quàmico \ 11 n e n
17 ]5 m ostra os estados esıacionios e niveis de energia m ais baixos de um a partfcula em
uma caixa cúbica
D iz se que um nível de energia que correspon? a m ail de um estado ć dĽ # enerado O
número de diferentes estados pertencentes ao níveı ê o grau de degenerescência do nivel
0 nivel 61ı2/8nıa de uına parıícula em um a caixa cıjbica ć três vezel degeneratlo A dege
nerescência de um a partícula em um a caixa surge quando ax dim ensōes ? caixa se tom am
iguais A degenerescėncia geralm ente surge da sim etria do sistem a
ıE . 11 oP ER A D O R ES
O peradores
A mecânica quântica é m ais convenientem ente form ula? em term os de operadores U m
operador é um a regra para transform ar um a dada íunç ão em outra lunç ão Por exem plo,
o operador dldr transform a um a I
'
unçāo em suA prim eira derivatla (d/d×ytï ) f
'(x) S eja
 o sĺmbolo de um operador arbitrário (V am oıi utilizar um circunflexo para denotar um
operador) Se  transform a a funçioj(x)na I'unçāo g (x) ew revem os Âßx) g (x) S e  é o
operador dfdr E ntao g (x) = f(x) S e A é o operador m uıtipıicaçāo por 31 então g(r)
31 4x) Se  = ıog E ntão g (x) = loj(O
A som a de dois operadores  e B é defınida por
Oi + ÈM r) = ÀR x) + Èr j (x)
Por exem plo (In + dld×yT ) = ınßx) + (dl? ) ßx) = Inßr) + f(x) D e m aneira sem elhan
te (Â Èytx) = ÂÃ r) B ßx)
O qtıadrado de um operador é definido por 1
21x) - Â[ÂR x) ] Por exem plo
ponanu, (d¢d×y_ ď ld¢
O Produto de dois operadores é definido por
(ÀÈ) 】f (x) = À[Êf (x) ] (17 52) *
A n olaçāoÅlÈjtr) ] significa que prim eiranlente aplicam os o operadoF È il runçāoR 9 paraobter unıa nova função, e entāo apıicam os o operador A a essa nova funqiioM is operadoies são iguais se produzem o m esm o resuıtado quando opernndo em um af mçh mił Ë - ć se e som ente se B f = cfpara toda funçāoj
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■■■贸然
c m o ı7 E X E M P L0 1 7 4 Álgebra dos operadtï res
sejam os operadores à e B definidoti com o 
 x e È = tilä r (a) D eıerm ine ( , â
(x3 + cos x) 3b) D etem rine ÂÉ](r) e 
ÉÂR r) O s operadores ÂÈ , ÊÃ sūo iguais? Z
D eterm ine ÀÈ ÉÃ
(a) usando a definiçāo (ı7 5
1) ? sorna de operadores lem os
oi + È) H + cos r) ( · + d{dx) ŕ + cos r)
r
4 + x cos x + 3l sen x
(b) A defınição (17 5 2 ) do pro
duto de operadores d£i
スÈ其r) 一 /i【É只ズ)】一 r[(刀tlx)ノ乙ズ)】一 xt广レ)】 xf
'红)
N este exem plo ÀÉ e â produzem resultados diferentes quan
do operam s obrejtx)
de m odo que ÂÉ e Éłi não são iguais nesse caso N a multipıicaão de operadores a
ordem pode im portar
(c) para determ inar o operador ÀÉ ÉÂ exam inam os o resultado de aplicálo a
um a funçāo arbitrM aßx) T em os (ÂÈ ÉÂM r) = ÂM ÉÃF · (Jgr + n = 1
onde foram usados a deíiniç ão da diferença de opera
dores e os resultados de (b) U ma
vez que (ÂÉ ÉiMx ) ıj (x) para todas as funç õ esA x) a definição de igualdade
de operadores dá
onde foi om itido o sinal de m ulLipıicação após o ı com o é costum e
0 operador liÉ É é cham ado de com utador de  e É e é sim bolizado por Éj
【Â 旬一 ÂÈ カ云
E xercĺ cio
Sa Ř = e Ś = ď ld ť ţQ ) D eterm ine (Ř + Ś) ůr ł + 1/r) (b) D eterm ine ŘśW x) e
śkj(x) (c) D eterm ine [R S ] [R espostas: (a) Ä 6 + ] 2 ×2 + × + 2 3 (b) ť f(x) 2j{x) +
4 1 (x) + r F (x) ; (c) 2 4x (dfdA H
O peradores em M ecânica Q uântica
E m m ecânica quântica cada propriedade írsica Ue uIT1 sisten7a possui um operador corres
ponden te O operador que corresponde a p. a com ponente r Uo n7om ento de um a particu]Łé po\ruJado com o Ui/I) (a/ar), com operadores sem eıhantes parl p, e p
onde p é o o perador quanil)m ec5nica paraa proprie 出出 c / ı, ei = R O operador que conesPonde à coonıenada R de lim a pilrttĹ uJa é a inultiplicaçño por11 e o upcrudor qu cLrrrespondcaj{x y, z), ondelé qualquer Tunçäo é a m ullipïicaçiio por aquela lunçāo Scntlo n \ im
P ara determ inar o operador quc corrc\ ponLIc a qualquer outra propriedade l【, ca Escrevem os a expressão da m ecânica clissica puri uqlIclu propriedade com o um a lu l. io Je 1oordenadas cartesianas e m om entos correspondentcx e entiio substituím os as L tl , rL[cnadas emom entos por seus operadores corrcpondentes (17 5 3 ) e (17 54 ) por exem plo a energia ?um sistem a de um a parıicula é o som arťirio de suas energias cinética e potencial
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pafa expfe
\ w E ) fnı \ um a fumāo ıJori m om entos e coordenadas observam os que pt = nı\ .
= m ť p = im Pbnanto
E 一 S 姓 歹イ p ) V 1(ı 罗 こ ı) 一 H (ı7_5*
◆ 
M ' " C a q« inu. *
A expressão p
ra J energia L \ um a funçã o de coordenadas e m om entos é cham ada de ha
nıiltoniano 
H do sıį tem a [? W k H am ilton ( 18 0 5 I 86 5 ) Q ue reform uıou a segunda lei de
S N 【olı em term {ķ ? H ] O uv \ E łłT 1 T 3 ) e i2 1 dá
assim P = 4
- à /? ť e P ÏFzm lĥ tzm ) à /rłť D e ( 17 5 4 ) o operador de energia poten
cial é sim plesm ente a m ultipli 0 por \ lx Y ı) (T em po é um parâm etro em m eciinica
qtıānńcL e n
ĵ o M \ tem po \ S ut+stituindo pî pĴ p! e v em ( ı7 5 5 ) por seus ope
radores obtem ? m m o O F Ę r ık ou operador ham illoniano para um sistem a
tk um J pm icula
m econom izar tem ĺ ıı) 【ıa definim os o operador ıapıaciano 17 (lë se del ao
quadrado ) por r = łðť l ļ \z i / e escrevem os o operador ham iltoniano de um a
partĺcuıa com o
onde nca entendido o s ı & muıtpłi \ após V
Para um sistem a ? m uim Į w? lcu I e ÞJ (M i) M ðxı para a parlícuıa I e o ope
rador ham iltoniano é tk ilm ente \Į e« rıninM n co m o
:
)
ðł
디 一 
州 硝 耐 
(17 5 9 ) *
cum ? finiçōes sem elhantes para V - R ï O s lerm os em ( 17 5 8 ) sāo os operadores para as
energias cinéticas ? ti panicuıas I n e a energia potenciaı do sistem a
D e (17 5 8 ) venna que a cquaão ıļ e S chrö dinger dependenıe do tem po ( ı7 10 ) pode ser
escrita com o
h av
丁lr
村中 (ı7 6 0 )
ea cquaço de Sch1ōdingcr indepm dım te do tem po ( ı7 24 ) pode ser escrita com o
籽み ー 石方 (17 6 ı)*
unde V em (17 6 1) ć independente do tem po com o h um conjunto com pleto dc funções de
onda e en xgias de estado esracionario w wwtidati (l7 6 1 ) frequentem ente e escrita com o h
= E¢. onde o subslcriıoj identifıca as \ M as fuōes «le onda (estados) e suas energias
Q ıasdo um operador È aplicado à funç ãof【cm com o re \ ultado a runçiiojm as m uıtipli
cada pela constante c isto qı» ndo
白歹一 cf
diz« quefć um a aıï lofım ç io de È com autovalor C (N o entanto a funçiiof O em todoıugar tıão Ć pernıitida Ln m o tım a am ofunç ão ) A s funçōes de onda em ( 17 6 1 ) sño autnfunÇōes do operıdor ham iı[oniano iįr os aııtovalores a$ energias perm itidas E
A dgebra dos oradores difere da H gebra com um D e I? E I E q ( 17 6 ı ) 1 nãio sePode concluir que H = E ir é um operador e E é um nıim ero e os dois niio siio iguais
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ı · aH
C r k ı? obser e por excm pıo Que (古屋r)ť
' 2 ť h M as tutte 
£ 2 N o E xem pıo 1 7 4 c nnj
m os que (ÄÈ ÉÂYTx) - 1 J(\ ) tpiıra , i = r c 
l) - dtdť ) C conclufnıos que A b 84 .
E ntrcıanto a reıaçāo (dlttr)e
' ' 2 ť ' se apıica apena
s à funç ão e 
· e essa funçāo nūo podt
w r *uprim ida
EX E M P L0 1 7 5 A utofunçõ es
vıtrifique diretam ente tlue 
tiú = E para a partfcuıa em 
um a caixa unitlim ensional
pmblcna unidim ensionaıA s 
funçtfes de onda s
āo dallas por ( 1 7 3 5 ) com o ¢ = (2)a) n
w n (m rTla) T em os aplican«
lo ( ı2 7 ) e ( ı 7 I ı )
加 二 去 爿() ' sc n 쒸 一 為 () 
'
Ċ ギ) sc n 平
E 車
um a vez que E = n lï
ï /8m Q ı [E q ( ı 7 34 )] 
E xercfcio
verifique sc a funçāo A e
t onde A e k sāo constantes
é unia autofunçāo do operador
þ Q ual é o autovalor? (R esposta : k
h)
O s operadores que correspon
dem a grandezas físicas em 
m ecânica quāntica sāo ıineares
U m operador ıinear L é aque
ıe que satisfaz às duas equaç
ōes seguintes para todas as run
çðesfeg e todas as constantes (
心 午 幻 讨十 乙慰 亡 认cll一 cL T
dor iłl«lx é linear pois (ala×}{f + g) ðpñx + aglðx e (?
lðx) (cD = c ðpðx O OPeraÏ Ï éélliinear poiissJf + g . + 
S e a funçāo 4ı satislhz iı equaçiio dc S chrödinger 
independente do tem po H Eq E ntāo
funçJo ( d'' " mbém satisl? onde c é qua
lquer constante A prova disso segue 
do Ihto de o
opcm dor ham iııoniano Ř ser um operador linear T em os lj (c ) = cl) 
= cE = E {cın A
liblï nlade para m ul 山川 car por um a cons{ante nos possibiıila nonna
lizar tp
M ediçāo
A m ultiplicação de liQ = E [E q ( 17 6 1 ) ] por ? "
u* d5 e 'm Ĥ H ıP = E r '/ " I/, P ara uïn esta
do esıacion£rio H nāo envolve tem po e e
'm * H i/ı - lite 'FNA) U sando U r = (
t ' Jr tEq
(17 2 3 ) jTem os
厅中 一 E 叼
enao, v é um a autofunçâo de / i com aĮılovalor E para um estado estacionio L m estu
J,l
esracionáriolem unia energia definida e a m ediçāo da energia do sistem a scïnprc 
duá um
valor previsfvel único quando o sistem a esï Ĵ em um esıado estac
ionihio Pur exem pl1' Panl
o estado cstacionńrio / 1 - 2 ? um a partlcuıa em um a caixa a m ediçiio da enel gi1 
· crnpR
dani o resultado 2 2/ıl/8nrtız [E q ( 17 34 ) ] 
O quc dizer a respeito de outras propriedades diferentes da energial 
Im agine qtıť u op
č
ratlor M corresponde à propriedade M A m ecānica quāntica postula que ç ? a Im rť r
hJ , /¢ ť t
lado V do sisrem o é uma au
tcr 1o qııť um a m ediçiio de M darti o valor c com o resuiladt) TserËo dados exem p
\tw tplando
considcram ros o m ornento angular na Seçiio ı8 4 ) Se \ Ir nño é um a irutofunçūo dc
\ıo11 
tāo o resultado da ınediçāo de M nāo pode ser previsto (N o entanto, as pmbabiıitludcų tl
as
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\ uios r
e« ıırarlos pm sívcis de um a m « liţ äo de M poıkm ser caıcuıatlas a partir ? V , m as
ı 山\ 
de com o iwto é feito é omitidiL ) Pariı estałlos estacioninios a parte essenciaı de
V t a funq
ão ? onda ıp independente do tempo e ¢ substitui V na afim lati \ a ern itálico no
prc«
n 【e parágrafo
\ n « aka
V alorť s M éd
ios
A partir 
{ı4 38) o vaıor médio dc t para um sistem a quantom ecânico unidim ensional ?
uma p« tic
ula é igual a rg( \ ) dr onde g (x) ć a ? miidade ? pn) babiıidade đe encontrar a
particu
la cntrex ex + clr M as o postulado de B om (Seção 17 6 ) ? g(r) = 1r(t) I
l portanto
(u - ĺ l'ır ır) i
'
tlt C om o IV IÏ . 'ır · 'V tem os <r) = u l r' ' tlt - r iw dr onde
foi cmprega? (1
7 54 )
E o que dizer xobre o valor médio de um a propriedade lísica arbitrāria M para um s
istem a
quantom e
cānico geral? A m ecânica quim tica postula que o vaıor médio de qualquer proprie
dade fĺsica M em um sistem a cuja função de estado é V é dado por
(M ) = V * M V tlT (17 6 2)
arde Ai ć o operador para a propń cda? M e a inrcgral ć um a 
integral definitla sobre todo o
espaço E m ( ı7 6 2 ) M opera em 
V produzindo o resultado M 中 Quc ë uına iunqāo A funçūo
iv ć então m ultiplicada por V * e a runção resultante V 
· »)V é integrada eın tođa a fai
xa ms coordenadas espaciaiv do sistem a
Por exem plo a Eq ( 17 5 3 ) dá o uperador p, com o
ji- (li/i) ivðx e o valor médio de p. para um a par
tfcuta cm um siħtem a ıritlim ensionaı cuja
funçāo de estado ć
'lı ć O) ,) = d H /i) 'ır (av / ar) tlrdvdz
O valor médio de M ć a média dos resultado ? um n
ūm ero m uito grande dc m edições
? M feitas cm sistem as idēnticos cada um tlas qua
is no m esm o estado 'lı ıogo antes da m c
Se V éum a autoĺ unçāo de Ai com aulovalor c enıāo )ii
uı = r'ır e{17 62) tica (M ) = İ 'lı"
 ıı dT - f uı+ cv tLT- ď 4ı*ı dr- c , ois V está norma l
izada. sse rcsuıtado faz wn tido,
uma vez que conform e observado na 
últim a subseção c ć o único rew ltatlo possive
l de ima
◆ ediçāo deM w M 4
ı = ru ı 
1 ı '"ıþ IEq (17 23 ) I C om o Jii nāo afeta o fatorPara um estado estacionário. V é igual a e
e , Ĥ * tem os
Portanto para um estado estacion
ário
(M } = dŕ Q tlr (]7 63) 
*
H EM P L0 1 7 6 V alor m édio
T particula em um estado estacionário em um a caixa unidim ensiona
ıdê a ex
para um problem a unidim ensiona
l de um a partlcula tlr tŁr
C om o 1 2 \ 2 ; te
m os
ぴ〉一 眇\ 沪ぬ ー プ却1 
2 dr + ：łw1 2 屋て +
ー
パ沪I余
Pois W ıP = IM Z [E q (17 14 ) ] para x < O e x 
> a tem os ıp = O [E q (17 2 7) ] e
? ntro
da caixĄ ¢ = (21a) U 2 sen (nn xlü) [E q (17 35 ) ] Portan
to
印 * 初W = eiLi洫中·初， 园 /
r中 = ，b I'，
山 '中·初中 = 中毒初巾
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# ti]a 0 0 S C ıLA D O R H A R M ŌN ıco uN ıD ıM EN SıoN A L
o ariıa
dor harm iinico unidiıncnsional é um nodeıo ūtiı parii [ruttr ua \ ibnıçh) uc u\ı\a
ćcuıa diatćim ica (S eqāo 2 0 3 ) Tam bém sendo reıevante para U t htudu das \ ibraçs de
n» ) l& u
las poıiatñ m icas (S eqāo 2 0 8 ) e cristais (Seqāu 2 3 12 )
h$H m . Rlų * a
Tratam ento 
C ıássico
A Ĥ tes de ex
anrinar uın osciıadur harm ô nico atravćs ua ınecānica quūnticu n \ ıN \\ ) o M i
aılıenlo 
cıássico C onsidere unia partíĽ uıu de niassa Iıı que sc ınu \ c cın u m uim cnsān e é
» alda para a 
origem das coordenadas por um a força prnporĽ ionuı au c\l Jcsl\ų u11t nll\ J
da origem F = kr onde k é cham ada de constante de rurť u Q u u\dL\ \ ı p)siti\ o a
fÆ a está na 
direçāo t e quando r é negativo F está na diresIu + \ U nt cw ınplo ıīsico ê
uma nlasa presa 
a uına m ola seni atri to , sendo ţ o deslocam ento 1 pdıtit Ja ıxìsiçāo ? c4 ui
litırio D e (2 17 1
F - dvltlr, onde V é a energia potencialSendo assint D V ŕtir - Łľ e
V - 4 1 1
3 + ť A e\ colha do zero de energia potencial é arbitrinia E scolhendo a Ľ on> tanle de
in \ o ť com o zero, tem os (F ig 17 ı6 )
V = : JL Ľ 117 7 1)
A segunda ıei de N ew ton F 
= m a dii nı ďxfd = kr A soluqăo para essa uaçāo dife
m ia] é
como pode ser constatado pela substituição na equaçāo 
diferencial (Probt17 5 2 ) E m (17 7 2 )
A ebsāo constantes de integraçāo O w aloresminĹimo e m ĺ nim o da runçūo sent) 55o + ı e ı
entãoacoordenadax da partícula oscila entre 
+ A e A A éa cm rplirınlť Jo m o \ im cnto
O jw rirdo T ([au) do oscilador ć o tem po ne
cessário pidra uln cicıo com pleto de osciıaçāo
pba um ciclo de oscilaçāo o argum ento da função seno em (
17 7 2 ) tem de auınentar em 2 T
vez que 2 é o período de um a funçāo seno
P ortanto o periodo satiķ ıhz 1 Łk/ırıì
" T -
: = E r - 2 nlm /k)" A rrequência véo inverso do per
fodo e ć igual ao u 1 o de \ ibm çães
por segundo (u - I / T ) ; assim
, - ŕ )'" (17 73 1*
A energia do oscilador harm ônico 
é E = K + V = ţ ırr i + jL\J O em prego de (17 7 2 )
paıa r e de v. - dxldı 
= (k/nry" A cos [ (k/tır)
" 2 ï + bl leva a (Probıı7 5 
l17 7 4 )E = Ŝ KA 2
A Eq(17 74 ) m ostra que aenergia c
lássica pode ter qualquer va
lor nūo negativo À m « ıida
que a partícula oscila, suA energia c
inética e energia potenc
iaı variam continu unenıe M as a
C ïassicam ente a partícula está lim
itada à regiio A ś 1 ś A Q u
ando a purticula chega
em x - A ou x - A , suA veıocidade 
é zero (um l vez que ela inver 
tc uu dircçiiu de m oli
mmıo em + A e A ) e suA energia potencia
l é um máxim o sendo igua
l u ļ ÅA S t a particu\a
Sequesemoveraıémdex- İ A , suae
nergiapolencialaum entariaacin\ade ţ k \ Isso
ė imw sivel para um a partfcula cláss
ica A energia tota
l ıi ļ kA e a energia cinhica nāo é
negativĄ de m odo que a energia potenc
iaı (V = E Jņ nilo pode ex
ceder u energia total
Ħw ı7 1 6
A energia poıeocial p aï a
um \ barm & U n tınidım en
N L snaı
Agora vam os ao tratam ento quantom ec
ânico A substituiçāo 
de ľ = ţ kť em (17 26 ) Ji a
tqıiaçāo de Schrödinger independente 
do tem po com o
h? dz (17 7
W no nrť \ , tt» livm {veia ulgun7 texto de q
ufm ica quântica)
A quiE xiııninam os os
Ą loınçäu da equação de schrödinger (] 7 7
5) para o oscila
dor harm ônico é com plica
da c está
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Rl#ı
包围圈自阳 区万
F igura 1 7 1 7
N ívci\ ? cncT gia de um ıłw ılaidł) r
hairn«inico um dim cnţ iunal
召
尹
w l (n a » e que s
ol u\x) es qua
iJ ra ti cam c n
ı e InlcgráveiR (
sq #o 17 7 ) pqn fı}
, t
lió cxiqeni para m w gu
intıs \ aıones 
tl¢ E
cm quc t
ı · (} ı 2 (h 
ıp
intcin )ţ nāo negatı \ t) s IN āo n r
ntbnda m sln
ìtx tıos tipogri
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