Resistência dos Materiais UFRGS - APOSTILA Diagramas

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ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco) 
 
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5 TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES INTERNAS 
 
 
A seguir, se verá duas abordagens diferentes para se traçar os diagramas de 
solicitações internas em estruturas: de forma analítica, i.e., determinando-se funções que 
definem as solicitações para trechos da estrutura; e por inspeção, baseando-se as 
determinações de pontos que definem os diagramas nas características do carregamento e 
nas relações entre as solicitações. 
 
 
Abordagem Analítica: 
Para o traçado dos diagramas de solicitações internas de um elemento estrutural 
segundo uma abordagem analítica, primeiramente devem-se determinar as funções que 
definem cada uma destas solicitações internas ao longo do elemento. Para a determinação 
destas funções, pode-se lançar mão de duas técnicas que usam o método das seções: 
calcular diretamente o efeito das forças, à esquerda ou à direita, na seção de corte; ou usar 
as equações de equilíbrio da mecânica. A grelha abaixo é utilizada para ilustrar as duas 
técnicas. 
 
Empregando-se o método das seções no trecho BC da grelha, e considerando-se 
somente as ações e reações à esquerda, obtém-se: 
 
Assim, calculando-se diretamente o efeito destas ações e reações à esquerda da 
seção de corte, obedecendo-se a convenção de sinais para a determinação de solicitações 
positivas e negativas, obtém-se que: 
 
V(x) = 10 – (5)(2) = 0 
M(x) = (10)(x) – (5)(2)(x – 2) = 20 
T(x) = – (5)(2)(1) = – 10 
5 
10 
2 2 
A 
B F 
x 
5 
10 10 
10 
10 
2 
2 
2 
2 2 
A B 
C 
D 
E 
F 
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Para empregarem-se as equações de equilíbrio da mecânica, indica-se os sentidos 
positivos das solicitações pertinentes na seção de corte para, em seguida, empregarem-se as 
equações de equilíbrio com parcelas positivas segundo as direções indicadas. O desenho 
abaixo reproduz o anterior, porém com as solicitações pertinentes indicadas. 
 
Assim, o cálculo das funções de solicitações na seção de corte fica: 
 
+↓ ∑ F = 0 : – 10 + (5)(2) + V = 0 ⇒ V = 0 
+ ∑ M = 0 : – (10)(x) + (5)(2)(x – 2) + M = 0 ⇒ M = 20 
+ ∑ T = 0 : + (5)(2)(1) + T = 0 ⇒ T = – 10 
 
confirmando os resultados anteriores. O próximo passo, após a determinação de todas as 
funções para cada trecho da estrutura, seria o traçado dos diagramas propriamente dito. 
 
 
Abordagem algébrica ou “por Inspeção”: 
Para o traçado dos diagramas de solicitações internas de um elemento estrutural 
segundo uma abordagem “por inspeção”, deve-se saber identificar importantes “pistas” que 
são dadas pelo carregamento da estrutura analisada, pela vinculação externa e interna, bem 
como por relações existentes entre os próprios diagramas e o carregamento dado. Estas 
“pistas” são, em sua grande parte, dadas por estas relações, que são comentadas a seguir. 
 
a) Relações entre carga distribuída, força cisalhante e momento fletor: 
Admitindo que o corpo indeformável ilustrado abaixo (e que representa uma 
estrutura qualquer submetida a cargas e reações vinculares) esteja em equilíbrio, utiliza-se 
o método das seções para isolar um segmento de comprimento ∆x entre os pontos B e C 
onde não ocorrem cargas concentradas nem binários. 
 
D 
x 
A 
w 
∆x 
C B 
5 
10 
2 2 
A 
B F 
x 
M 
T V 
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Este segmento é exibido na figura abaixo. Para que o seu equilíbrio seja mantido, as 
solicitações internas mostradas são necessárias. A carga distribuída pode ser substituída 
por sua equivalente concentrada que, dependendo da forma da distribuição, imputará 
diferentes valores para a constante k mostrada. Por exemplo, se a distribuição de carga for 
constante, k valerá 1/2. 
 
Aplicando-se as duas equações da estática abaixo, obtém-se que: 
 
+↑ ∑ Fy = 0 : V – (V + ∆V) – w(x) ∆x = 0 ⇒ ∆V / ∆x = – w(x) 
+ ∑ M0 = 0 : – M – V ∆x + (M + ∆M) + w(x) k ∆x2 = 0 ⇒ ∆M / ∆x = V – w(x) k ∆x 
 
Fazendo-se com que o comprimento ∆x seja tão pequeno quanto se queira, as 
variações tornam-se diferenciais e o termo multiplicado por dx pode ser desprezado, 
resultando, as duas expressões em: 
 
∫−=⇒−=
C
B
BC dxxwVxwdx
dV )()( 
∫=⇒=
C
B
BC VdxMVdx
dM
 
 
Logo, a integral da carga distribuída (área sob a curva) com o sinal trocado é igual à 
variação do cortante no trecho considerado, sendo esta variação positiva se a carga tiver 
sentido negativo (para baixo). Ainda, a integral do diagrama cisalhante no trecho (área sob 
a curva) é igual à variação do momento fletor no mesmo trecho. Outro aspecto a 
considerar, analisando as expressões com diferenciais, é que a declividade dos diagramas 
de cortantes e de momentos fletores são dados, respectivamente, pelos valores de carga 
com o sinal trocado e pelos valores do diagrama cisalhante. 
Fora do trecho BC da estrutura aparecem, além da carga distribuída considerada até 
agora, também cargas concentradas e momentos de binários aplicados. O efeito de cada 
um destes tipos de carregamentos é esclarecido a seguir. 
 
V 
V + ∆V 
M 
M + ∆M 
∆F = w(x) ∆x 
k ∆x 
∆x 
0 
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b) Descontinuidades nos diagramas de força cisalhante e momento fletor: 
Isolando-se um segmento da estrutura antes do ponto B, onde aparece uma carga 
concentrada, e excluindo-se, para efeito de análise, a carga distribuída, obtém-se a situação 
ilustrada abaixo. Uma equação de equilíbrio vertical também pode ser escrita: 
 
+↑ ∑ Fy = 0 : V – (V + ∆V) – F = 0 ⇒ F = – ∆V 
 
 
Isolando-se o segmento de estrutura onde aparece o momento de um binário 
aplicado, tem-se a situação abaixo, donde também se pode escrever uma equação de 
equilíbrio: 
 
+ ∑ M0 = 0 : – M + (M + ∆M) – M0 – V ∆x = 0 ⇒ M0 = ∆M 
 
 
Das equações escritas, se conclui que as cargas concentradas e os momentos de 
binários provocam variações ou descontinuidades nos diagramas de cortante e momento 
fletor, respectivamente, nos seus pontos de aplicação. 
 
Com as informações coletadas, se consegue traçar os diagramas de V e M sem 
determinar suas funções. Isto é mostrado na seqüência a seguir, onde o mesmo exemplo 
que ilustrou a abordagem analítica é usado novamente. Para a determinação de cada 
vértice dos diagramas, fez-se um caminhamento sempre da esquerda para a direita, 
obedecendo-se sempre a convenção de sinais. As duas barras transversais, no entanto, 
tiveram seus diagramas de momentos fletores determinados da direita para a esquerda. 
V 
V + ∆V 
M 
M + ∆M 
∆x 
M0 0 
V 
V + ∆V 
M 
M + ∆M 
∆x 
F 
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Como se vê, ambos os diagramas 
são obtidos integrando-se áreas e somando-
as algebricamente aos valores nos pontos 
anteriores. Para o diagrama de momentos 
fletores, nota-se as descontinuidades nos 
pontos de encontro das barras transversais 
com o eixo longitudinal. Estas 
descontinuidades estão em conformidade 
com o diagrama de momentos torçores: 
5 
10 10 
10 
10 
2 
2 
2 
2 2 
A B 
C 
D 
E 
F 
+ 10
+ 10 + 0
– 10
+ 10 + 0 – (5)(2) 
+ 10 + 0 – (5)(2) 
+ 10 + 0 – (5)(2) + 0 
+ 10 + 0 – (5)(2) + 0 – 10 
 Ou: –10 + 0 
+ 10 + 0 – (5)(2) + 0 – 10 + 0 
 Ou: –10 + 0 + 0 
+ 10 + 0 – (5)(2) + 0 – 10 + 0 + 10 
 Ou: –10 + 0 + 0 + 10 
V 
+ 
+ 
– 
– 
0
0 + (10)(2)
0 + (10)(2) + 0 
0 + (10)(2) + 0 – (10)(2)
M 
0 – (10)(2)/2
0 – (10)(2)
0 
0 
– 
– 
+ 
+ 
+ 
T 
+ 
– 
–10
-10 + 20