esforço cortante

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Prof. Franklin Delano 
Esforços 
Cortantes 
e 
Momento Fletor
Equações e diagramas de esforço 
cortante e momento fletor.
Por exemplo, viga simplesmente apoiada com um 
pino em uma extremidade e com um rolete na outra:
fig_05_19
fig
_
0
5
_
2
0
fig_05_21
Forças internas desenvolvidas em membros estruturais
Para projetar um membro estrutural ou mecânico, é preciso conhecer
a carga atuando dentro do membro, a fim de garantir que o material
possa resistir a essa carga.
As cargas internas podem ser 
determinadas usando o 
método das seções.
Para ilustrar esse método, considere a viga 
na figura abaixo. Quais as forças internas 
que atuam na seção a-a em B?
Ao seccionar a viga em a-a , as cargas internas que atuam em B 
serão expostas e se tornarão externas no diagrama de corpo 
livre de cada segmento.
O diagrama de esforços cortantes é um gráfico
que descreve a variação dos esforços cortantes
ao longo das seções transversais da estrutura.
A convenção adotada para o desenho do
diagrama é tal que valores positivos de
esforços cortantes são desenhados do lado das
fibras superiores da barra e negativos do outro
lado.
De acordo com a terceira lei de Newton, essas cargas 
devem atuar em direções opostas em cada segmento, 
conforme mostra a figura abaixo:
Aqui as direções foram escolhidas aleatoriamente. 
A verdadeira direção deve sair das condições de 
equilíbrio SFx=0 SFy=0 e SMB=0
Em duas dimensões, mostramos que existem três 
resultantes de carga internas:
O diagrama de esforços cortantes é um gráfico que descreve a variação dos 
esforços cortantes ao longo das seções transversais da estrutura. A convenção 
adotada para o desenho do diagrama é tal que valores positivos de esforços 
cortantes são desenhados do lado das fibras superiores da barra e negativos do 
outro lado. No caso da viga biapoiada com carga concentrada, o diagrama é 
determinado para as duas situações (1) e (2) mostradas acima, resultando em 
uma descontinuidade no ponto de aplicação da carga: 
fig_05_23
Em 3D as componentes x, y e z dessas cargas 
aparecem na figura abaixo:
Os engenheiros geralmente usam uma convenção de sinal para
informar as três cargas internas N, V e M.
N positiva se causa tração
V positiva se causa giro no sentido horário
M positiva se causa curvatura para cima
fig
_
0
5
_
2
2
Antes que o membro seja seccionado, pode ser preciso primeiro
determinar suas reações de apoio, de modo que as equações de
equilíbrio possam ser usadas para solucionar as cargas internas
somente depois que o membro for seccionado.
Procedimentos para análise
Procedimentos para análise
Equações de equilíbrio
Os momentos devem ser somados na seção. Desse modo, as 
forças normal e cortante na secção são eliminadas, e podemos 
obter uma solução direta para o momento.
Se a solução das equações de equilíbrio gerar um escalar negativo,
o sentido dessa quantidade é oposto ao que é mostrado no
diagrama de corpo livre.
Equações e diagramas de esforço 
cortante e momento fletor.
As funções de esforço cortante e 
momento fletor serão válidas
somente dentro das regiões de O até a 
para x1, de a até b para x2 e de b a L para 
x3. Se as funções resultantes de x forem 
desenhadas, os gráficos serão chamados 
de diagrama de esforço cortante e 
diagrama de momento fletor:
Determine todas as forças reativas e momentos 
de binário que atuam sobre a viga e resolva 
todas as forças em componentes que atuam 
perpendiculares e paralelos ao eixo da viga.
Reações de suporte
Funções de esforço cortante e momento fletor
Especifique coordenadas separadas x tendo uma origem na 
extremidade esquerda da viga e estendendo-se para regiões da 
viga entre forças concentradas e/ou momentos de binário, ou onde 
a carga distribuída é contínua.
Seccione a viga a cada distância x e desenhe o 
diagrama de corpo livre de um dos segmentos. Cuide 
para que V e M apareçam atuando em seu sentido 
positivo, de acordo com a convenção de sinal. 
Observações:
Força cortante: descontinuidade no diagrama
devido a uma carga concentrada no ponto C
(reação de apoio)
A diferença (ou a soma dos módulos) dos
valores de força cortante, à direita e à esquerda
do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN)
representam a carga concentrada naquele ponto
(reação de apoio VC=18,9kN)
Momento fletor: descontinuidade da inclinação
no diagrama devido a uma carga concentrada no
ponto C (reação de apoio)
Após a determinação das reações nos pontos de apoio, 
divide-se a viga em segmentos de acordo com a distribuição 
dos carregamentos conforme figura.
Onde"x" é a coordenada genérica de qualquer 
ponto ao longo da viga. O diagrama de corpo 
livre para o primeiro trecho (0 ≤ x < 1) é 
conforme representado a seguir.
R1 = 1,6 K
MR1 = 2,4 KN
Análise Esq > dir 0< x < 6
∑ Fy = 0 1,6 – V = 0 V = 1,6 KN
∑ MR1 = 0 M -1,6x = 0 M = 1,6 x
X=0
X= 6
Análise Dir > Esq 6 < x < 10
∑ Fy = 0 V+2,4 = 0 V= -2,4 kN
∑ MR2 = 0 - (2,4)(10 – x ) + M = 0 
M = 2,4 (10 – x) 
M = 24 – 2,4 x 
X=6
X= 10
Determinação dos esforços solicitantes
As equações de equilíbrio determinam as condições
da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita
da seção transversal estudada.
Exemplo
apoio fixo A:
deslocamentos
restritos vx e vy
apoio móvel C:
deslocamento
restrito vy
x
y
C
B
A
4,0 1,5 m
5,0 kN/m
8,0 kN1
VA Vc
HA
8,0 kN
Reações de apoio
Equações de equilíbrio
x
y
27,5 kN
RA
Rc
HA
4,0 1,5 m
 
kNRRM
kNRRRRF
kNHF
CCzA
CACAy
Ax
9,1804.
2
5,5
.5,27:0
5,2705,5.5:0
0,8:0












kNRR CA 6,89,185,275,27 
8,0 kN
Carga distribuída 
transformada 
em força concentrada 
fictícia
Fq = 5,0 x 5,5=27,5 KN
Esforços solicitantes
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)
Equações de equilíbrio
x
y
10,0 kN
RA
2,0
MB
mkNMMRM
kNVkNVVRF
kNNNHF
BBAzB
BBBAy
BBAx
.2,70
2
0,2
.0,2.0,50,2.:0
4,10,106,800,2.0,5:0
0,80:0






VB
NB
HA
ESCOLHA 
DE UMA 
DISTÂNCOA 
QUALQUER
Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de coordenadas: 0 < s < 4,0 m
equações de equilíbrio
x
y
5,0.s
RA
s
MS
2.5,2.6,80
2
..0,5.:0
.0,56,8.0,56,80.0,5:0
0,80:0
xxMM
x
xxRM
xVxVxVRF
kNNNHF
SSAzS
SSSAy
SSAx






VS
NS
s
HA
Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios
Para s=0:
Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):
0,0.5,2.6,8
6,8.0,56,8
2 

xxMM
kNxVV
AS
AS
mkNxxMM
kNxVV
esqSS
esqSS
.6,50,4.5,20,4.6,8.5,2.6,8
4,110,4.0,56,8.0,56,8
22
,
,


2.5,2.6,8 xxM S 
xVS .0,56,8 
Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de a coordenada s: 4,0 < x < 5,5 m
x
y
5,0.x
RA
s
MS
2.5,2)0,4.(9,18.6,8
0
2
..0,5)0,4.(.:0
5,27.0,5
.0,59,186,80.0,5:0
0,80:0
xxxM
M
x
xxRxRM
xV
xVxVRRF
kNNNHF
S
SCAzS
S
SSCAy
SSAx








VS
NS
s
RC
HA
mkN
xxxMM
kNxVV
dirCS
dirCS
.6,50,4.5,2)0,40,4.(9,180,4.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
5,75,270,4.0,55,27.0,5
2
2
,
,



Esforços solicitantes para o trecho CD, em
balanço
Para s=4,0:
Para s=5,5 (seção extrema do balanço):
0,05,5.5,2)0,45,5.(9,185,5.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
0,05,275,5.0,55,27.0,5
2
2



xxxMM
xVV
DS
DS
Diagrama dos esforços solicitantes
As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos
esforços solicitantes seguindo algumas convenções:
Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados
abaixo do eixo de abcissa x
8,6
11,4
7,5+
_
+
7,2
5,6
+
_
B
1,4
V (kN)
M (kN.m)
Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga.
Equações analíticas e diagramade esforços
Equações analíticas
Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada 
seção transversal;
Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao 
longo do elemento estrutural ou da estrutura como um 
todo;
Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em 
função da coordenada x, onde são representados os 
valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção 
transversal de referência em posição genérica.
As funções obtidas são contínuas para carregamentos 
contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou 
reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da 
estrutura.
Determine o esforço cortante interno e o diagrama 
de momento fletor.
2
2
2
083,0233,1
0233,1
3
)25,0(
.0
25,023,1
.0
xxM
x
x
xM
M
xV
Fy







xM
KNV
x
xxM
xx
x
xM
M
XV
xV
Fy
767,133,7
767,1
42
50,023,2667,0
0233,1)2
3
2
(1
2
2
)2(1
.0
23,2
0233,11)2(1
.0
2













KNmM
mx
827,1
54


Determine a força normal, o esforço cortante interno 
e o momento fletor nos pontos C e D da viga. 
Assuma que o apoio em B seja um rolete. O ponto 
C está localizado logo à direita da carga de 40 kN
Exemplo 1
Determine a força normal, o esforço cortante e o momento fletor nos pontos D 
e E da viga. O ponto D está localizado à esquerda do suporte de rolete em B, 
onde o momento de binário atua.
sa
m
p
ro
b
_
0
5
_
1
4