Trabalho de calculo númerico

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THAIS CORDEIRO PRATES UFFS – CERRO LARGO – 2017-2 CÁLCULO NUMÉRICO-EAS 01/11/2017 
 
NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA: parte da primeira avaliação 
[1] Determine a raiz real aproximada com 4 casas decimais da equação: 
2 2 2 0xx e x   
 
[a] Defina o intervalo que localiza a raiz. Faça o gráfico. 
[b] Calcule a raiz aproximada pelo método de Newton. 
[2] Resolver o sistema linear 
Ax b
 definida algebricamente: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 5.5
3 3 6.5
4 7.5
x x x
x x x
x x x



  
    
  
 
[a] Escolha os valores das constantes 
, ,  
 (cada aluno tenha diferentes dados) tal que a matriz dos 
coeficientes seja diagonalmente dominante. Nos seguintes métodos pode utilizar SCILAB com 
410 
. 
[b] Resolver pela fatoração 
LU
; [c] Pelo método de Gauss-Seidel 
[3] Calcule aproximadamente por interpolação linear, quadrática e Lagrange: 
1
50
tan
1 2
x
dx
x

. 
Aqui, cada aluno escolhe os pontos correspondentes à função do integrando (não se considera dados iguais). 
[4] A Tabela abaixo mostra os dados da população da prefeitura de Chapecó (IBGE) 
 
[a] Sugere-se que mude a escala dos dados da tabela: para o ano 
1900
10
i
Ano
x


 e para a população 
10000
i
População
y 
. 
[b] Faça o gráfico destes pontos (em nova escala) com auxílio de uma calculadora gráfica, por exemplo, 
DESMOS 
[c] Aplique o ajuste de curva para esses dados (ajustar um polinômio linear ou quadrático ou regressão 
polinomial). Faça o gráfico da curva de ajuste aos pontos dados. Utilize o programa SCILAB. 
[d] cada aluno lhe corresponde calcular a população para o ano 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 e 2017 
logo compare com previsão do IBGE e calcule o erro relativo. 
 
 
THAIS CORDEIRO PRATES UFFS – CERRO LARGO – 2017-2 CÁLCULO NUMÉRICO-EAS 01/11/2017 
 
NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
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[1]- f(x)= 
2 2 2 0xx e x   
 
[a]- Para encontrar as raízes de f(x) , separou-se a função em duas funções de tal forma que f(x)=g(x)-h(x): 
𝑥2𝑒−𝑥 + 𝑥2 − 2 = 0 
𝑒−𝑥 =
2
𝑥2
− 1 
Sendo g(x)= 𝑒−𝑥 e h(x)= 
2
𝑥2
− 1 
 
 Calculou-se as raízes da função h(x): 
2
𝑥2
− 1 
2
𝑥2
= 1 
𝑥 = ±√2 
 Assim podemos admitir que as raízes da função estão entre [−√2; √2]. O gráfico da função g(x) e 
h(x) está apresentado a seguir na figura 1. 
 
Figura 1: Gráfico das funções g(x) e h(x). 
Elaborado em: SYMBOLAB 2017. 
 
 
THAIS CORDEIRO PRATES UFFS – CERRO LARGO – 2017-2 CÁLCULO NUMÉRICO-EAS 01/11/2017 
 
NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
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Para definir melhor o intervalo de cada raiz criou-se uma tabela de valores dentro dos intervalos 
[−√2; √2], e nesta observamos onde ocorre a mudança de sinal da f(x): 
Tabela 1 - Tabela de valores [−√2; √2] 
x -√2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 √2 
f(x) 1.718 0.064 -0.984 -1.601 -1.911 -2 -1.927 -1.733 -1.442 -1.072 -0.632 -0.126 0.486 
 
Houve mudança de sinal nas f(x) entre [-0.8;-0.6] e [1.2; √2] logo estes serão os intervalos que contém 
as raízes da f(x). 
- Raiz 1 entre [-0.8; -0.6] 
- Raiz 2 entre [1.2; √2] 
 
O Gráfico da f(x) foi obtido a partir do uso da calculadora gráfica SYMBOLAB, e está ilustrado a 
seguir na figura 2. 
 
Figura 2: Gráfico da f(x). 
Elabora em: SYMBOLAB 2017. 
 
 
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[b]- Para calcularmos as raízes pelo método de Newton precisa-se analisar o valor da f(x) em um determinado 
ponto inicial, assim como o valor da derivada de primeira ordem f’(x) deste mesmo ponto, da seguinte forma: 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
 
O ponto inicial (x0) da interação deve ser algum do intervalos [a; b], e para selecionar este deve-se 
analisar o produto entre a função e a da derivada de segunda ordem da função, a fim de se escolher o ponto 
inicial correto, tal qu: 
- Se 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓′′(𝑎) > 0 inicia-se a interação com x0= a 
- Se 𝑓(𝑏) ∗ 𝑓′′(𝑏) > 0 inicia-se a interação com x0= b 
 
 Desta forma: 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑒−𝑥 − 𝑥2𝑒−𝑥 + 2𝑥 
𝑓′′(𝑥) = −4𝑥𝑒−𝑥 + 2𝑒−𝑥 + 𝑥2𝑒−𝑥 + 2 
 
- Para a raiz entre [-0.8; -06] 
 
𝑓(−0.8) ∗ 𝑓′′(−0.8) = 0.9598 
𝑓(−0.6) ∗ 𝑓′′(−0.6) = −10.2 
 
Assim para esta, escolheu-se x0= - 0.8, pois 𝑓(−0.8) ∗ 𝑓′′(0.8) > 0 
 
Interação 1: 
 𝑥1 = (−0.8) −
𝑓(−0.8)
𝑓′(−0.8)
= (−0.8) − (
0.06435
−6.585212
) = −0.7902 
 
Interação 2: 
 𝑥2 = (−0.7902) −
𝑓(−0.7902)
𝑓′(−0.7902)
= (−0.7902) − (
0.00053
−6.4395
) = −0.7901 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
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Interação 3: 
 𝑥3 = (−0.7901) −
𝑓(−0.7901)
𝑓′(−0.7901)
= (−0.7901) − (
−0.00012
−6.4380
) = −0.7901 
 
Nesta interação nota-se que o valor f(x) chega bem próximo a zero, assim x começa a convergir para 
um determinado valor, ou seja pouco oscila, ou nem se que oscila entre as interações, logo a raiz da f(x) entre 
[-0.8; -0.6] corresponde a: 
𝑥1 = −0.7901 
 
- Para a raiz entre [1.2; √2] 
𝑓(1.2) ∗ 𝑓′′(1.2) = −0.2008 
𝑓(√2) ∗ 𝑓′′(√2) = 0.7766 
 
Assim para esta, escolheu-se x0= √2, pois 𝑓√2 ∗ 𝑓′′(√2) > 0 
 
Interação 1: 
 𝑥1 = (√2) −
𝑓(√2)
𝑓′(√2)
= (√2) − (
0.48623
3.02983
) = 1.2537 
Interação 2: 
 𝑥2 = (1.2537) −
𝑓(1.2537)
𝑓′(1.2537)
= (1.2537) − (
0.02042
2.77447
) = 1.2463 
Interação 3: 
 𝑥3 = (1.2463) −
𝑓(1.2463)
𝑓′(1.2463)
= (1.2463) − (
−0.00007
2.76272
) = 1.2463 
 
Nota-se que também na terceira interação o valor da f(x) está próximo de zero e x começa a convergir, 
ou seja não tem mudança significativa no resultado, logo a raiz da f(x) entre [1.2; √2] corresponde a: 
𝑥2 = 1.2463 
 
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NOTA: Este trabalhoserá entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
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[2] – Seja o sistema: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 5.5
3 3 6.5
4 7.5
x x x
x x x
x x x



  
    
  
 
[a]- Para a matriz ser diagonalmente dominante, para todas as linhas desta, o valor na diagonal principal em 
módulo tem que ser maior que a soma dos módulos dos demais valores desta linha. Sendo assim, escolheu-se 
os valores das constantes = = =20, pois: 
 
20 2 −2
−3 −20 3
4 1 20
 ↔ 
|20| > |2| + |−2|
|−20| > |−3| + |3|
|20| > |4| + |1|
 
 
Assim, obtive-se seguinte sistema linear: 
20𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = 5.5 
−3𝑥1 − 20𝑥2 + 3𝑥3 = −6.5 
4𝑥1 + 𝑥2 + 20𝑥3 = 7.5 
 
[b]- Para resolvermos o sistema por fatoração LU, devemos considerar que: 
𝐴𝑥 = 𝑏 
𝐿𝑈𝑥 = 𝑏 
𝐿𝑦 = 𝑏 
𝑈𝑥 = 𝑦 
Sendo o sistema Ax=b: 
 
A= 
20 2 −2
−3 −20 3
4 1 20
 b = 
5.5
−6.5
7.5
 
 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
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Para construirmos a Matriz U de forma manual, deve-se transformar a matriz A em uma matriz 
diagonal superior, utilizando coeficiente (m) para zerar o necessário, da seguinte maneira: 
 
U= 
20 2 −2
−3 −20 3
4 1 20
 𝑚1 =
−3
20
 𝐿2 = 𝐿2 − (𝑚1 ∗ 𝐿1) 
 
 
U= 
20 2 −2
0 −197 10⁄
27
10⁄
4 1 20
 𝑚2 =
4
20
 𝐿3 = 𝐿3 − (𝑚2 ∗ 𝐿1) 
 
 
U= 
20 2 −2
0 −197 10⁄
27
10⁄
0 3 5⁄
102
5⁄
 𝑚2 =
3/5
−197/10
=
−6
197
 𝐿3 = 𝐿3 − (𝑚3 ∗ 𝐿2) 
 
 
U = 
20 2 −2
0 −197 10⁄
27
10⁄
0 0 4035 197⁄
 = 
20 2 −2
0 −19.7 2.7
0 0 20.4822335
 
 
Após definir a matriz U, deve-se definir a matriz L. Onde para esta basta criar-se uma matriz diagonal 
inferior, onde os elementos da diagonal sejam iguais a 1 e os demais elementos inferiores correspondentes aos 
valores dos coeficientes de m1, m2 e m3. Da seguinte forma: 
 
L=
1 0 0
 −3/20 1 0
4/20 −6/197 1
 = 
1 0 0
−0.15 1 0
0.2 −0.034569 1
 
 
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As matrizes LU podem ser construídas computacionalmente com o auxílio do SCILAB, executando-
se a função LU. A função utilizada no SCILAB está ilustrada a seguir, assim como os resultados obtidos por 
esta, após introduzir no ambiente as matrizes A e b. 
Figura 3: Ambiente SciNotes, função LU. 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Ambiente SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
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Após encontrar as matrizes L e U, realizou-se a operação 𝐿𝑦 = 𝑏 , para encontrar os valores de y1,y2 
e y3 na forma manual: 
 
1 0 0
−0.15 1 0
0.2 −0.034569 0
 
𝑦1
𝑦2
𝑦3
 = 
5.5
−6.5
7.5
 
 
Sendo assim: 
𝑦1 = 5.5 
 𝑦2 = −5.675 
𝑦3 =6.2271574 
 
Após encontrar os valores de y, resolveu-se o sistema aplicando a operação Ux=y, para encontrar os 
valores de x1, x2 e x3, da seguinte forma: 
 
20 2 −2
0 −19.7 2.7
0 0 20.4822335
 
𝑥1 
𝑥2 
𝑥3 
5.5
−5.675
6.2271574
 
 
Sendo assim: 
 𝑥1 = 0.272428748 
 𝑥2 = 0.329739777 
 𝑥3 = 0.304027263 
 A solução deste sistema pode ser obtida de maneira manual, conforme apresentado anteriormente, ou 
computacionalmente através do SCILAB, posterior aos passos ilustrados nas figuras 3 e 4, seguem os 
comandos necessários para a solução final do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Ambiente SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
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 O erro absoluto deste método pode ser calculado através da subtração dos valores da matriz b e da 
Matriz A*X, onde X representa os valores de x1, x2 e x3: 
𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝑏 − 𝐴 ∗ 𝑋 
𝐸𝑟𝑟𝑜 = 
5.5
−6.5
7.5
 − 
20 2 −2
−3 −20 3
4 1 20
 
0.2724287
0.3297398
0.3040273
 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜 = 
0
0
0
 
 
[c]- Pelo método Gauss-Seidel com ɛ < 10−4, aplica-se a aproximação inicial ao cálculo de x1=(0,0,0) e em 
seguida já se utiliza esse novo valor de x1 no cálculo de x2, isto é: x2=(x1,0..0) e assim por diante. Para resolver 
o sistema conforme este método, primeiro é necessário isolarmos uma variável de cada equação, conforme 
apresentado a seguir: 
20𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = 5.5 
−3𝑥1 − 20𝑥2 + 3𝑥3 = −6.5 
4𝑥1 + 𝑥2 + 20𝑥3 = 7.5 
 
𝑥1 =
5.5 − 2𝑥2 + 2𝑥3
20
= 0.275 − 0.1𝑥2 + 0.1𝑥3 
𝑥2 =
−6.5 + 3𝑥1 − 3𝑥3
−20
= 0.325 − 0.15𝑥1 + 0.15𝑥3 
 𝑥3 =
7.5 − 4𝑥1 − 1𝑥3
20
= 0.375 − 0.2𝑥1 − 0.05𝑥2 
 
𝑥1 = 0.275 − 0.1𝑥2 + 0.1𝑥3 
𝑥2 = 0.325 − 0.15𝑥1 + 0.15𝑥3 
𝑥3 = 0.375 − 0.2𝑥1 − 0.05𝑥2 
 
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Após isolar-se cada uma das variáveis, deve-se efetuar a primeira interação utilizando x=(0,0,0), depois 
x=(x1,0,0) ; x=(x1,x2,0); x=(x1,x2,x3) e assim sucessivamente até chegarmos no erro desejado, conforme 
apresentado a seguir. O critério de parada depende do erro absoluto, quando se atinge este, pode-se parar as 
interações. O erro absoluto deste método é dado por 𝑒𝑟𝑟𝑜 = max |𝑥 − 𝑥𝑖| . 
1º interação: 
𝑥1 = 0.275 − 0.1(0) + 0.1(0) = 0.275𝑥2 = 0.325 − 0.15(0.275) + 0.15(0) = 0.28375 
𝑥3 = 0.375 − 0.2(0.275) − 0.05(0.28375) = 0.3058125 
No caso da primeira interação x=(0,0,0) o erro vai corresponder ao maior valor das interações: 
𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0.3058125 
 
2º interação: 
𝑥1 = 0.275 − 0.1(0.28375) + 0.1(0.3058125) = 0.2772063 
𝑥2 = 0.325 − 0.15(0.2772063) + 0.15(0.3058125) = 0.3292909 
𝑥3 = 0.375 − 0.2(0.2772063) − 0.05(0.3292909) = 0.3030942 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 
|𝑥2 − 𝑥1| = 
|𝑥1
2 − 𝑥1
1| =
|𝑥2
2 − 𝑥2
1| =
|𝑥3
2 − 𝑥3
1| =
 
 0.00221
0.04554
0.00272
 
Assim o erro corresponderá ao valor máximos destas subtrações: 
𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0.04554 
 
3º interação: 
𝑥1 = 0.275 − 0.1(0.3292909) + 0.1(0.3030942) = 0.2723803 
𝑥2 = 0.325 − 0.15(0.2723803) + 0.15(0.3030942) = 0.3296071 
𝑥3 = 0.375 − 0.2(0.2723803) − 0.05(0.3296071) = 0.3040436 
 
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𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 
|𝑥3 − 𝑥2| = 
|𝑥1
3 − 𝑥1
2| =
|𝑥2
3 − 𝑥2
2| =
|𝑥3
3 − 𝑥3
2| =
 
 0.00483
0.00032
0.00095
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0.00483 
 
4º interação: 
𝑥1 = 0.275 − 0.1(0.3296071) + 0.1(0.3040436) = 0.2724436 
𝑥2 = 0.325 − 0.15(0.2724436) + 0.15(0.3040436) = 0.3297400 
𝑥3 = 0.375 − 0.2(0.2724436) − 0.05(0.3297400) = 0.3040243 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 
|𝑥4 − 𝑥3| = 
|𝑥1
4 − 𝑥1
3| =
|𝑥2
4 − 𝑥2
2| =
|𝑥3
4 − 𝑥3
2| =
 
 0.00006
0.00013
0.00002
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0.00013 
 
5º interação: 
𝑥1 = 0.275 − 0.1(0.3297400) + 0.1(0.3040243) = 0.27242843 
𝑥2 = 0.325 − 0.15(0.27242843) + 0.15(0.3040243) = 0.32973938 
𝑥3 = 0.375 − 0.2(0.27242843) − 0.05(0.32973938) = 0.304027345 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 
|𝑥5 − 𝑥4| = 
|𝑥1
5 − 𝑥1
4| =
|𝑥2
5 − 𝑥2
4| =
|𝑥3
5 − 𝑥3
4| =
 
 0.000015
0.000006
0.00003
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0.000015 
 
 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
Como 0.000015 < 10−4, pode-se parar as interações. Ou seja a solução para o problema por Gauss-
Seidel com ɛ < 10−4, corresponde a: 
𝑥1 = 0.2724284
𝑥2 = 0.3297394
𝑥3 = 0.3040273
 
 
A solução para este sistema também pode ser encontrada de forma computacional, usando o SCILAB 
e executando a método de Gauss-Seidel, onde o comando está apresentado a seguir: 
 
Figura 5: Ambiente SciNotes, Função Gauss-Seidel. 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
Após executar este comando, aparece no ambiente SCILAB um espécie de tabela, onde a primeira 
coluna corresponde ao número de interações necessárias para atingir aquele erro, as colunas seguintes aos 
valores de x1,x2 e x3 e o erro correspondente a cada uma destas interações na última coluna. 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
 
 Figura 6: Ambiente SciNotes SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
[3]- Seja a integral :
1
50
tan
1 2
x
dx
x

 
Para calcularmos o valor aproximado de uma integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 , deve-se selecionar pontos entre os 
intervalos [a; b] da função. Para interpolação linear deve-se considerar apenas dois pontos, assim 
encontraremos um polinômio de primeiro grau, para interpolação quadrática, três pontos, onde encontraremos 
um polinômio de segundo grau, e para criarmos os polinômios de Lagrange pode-se escolher n valores. Sendo 
assim considerou-se os seguintes pontos: 
x 0 0.25 0.5 0.75 1 
f(x) 0 0.254844 0.514167 0.631758 0.519136 
Para interpolações deve-se montar uma matriz A tal que: 
A= 
1 x1 𝑥12
1 x2 𝑥22
⋮ ⋮ ⋮ 
1 x 𝑥𝑛2
 
𝑎0
𝑎1
⋮
𝑎𝑛
 = 
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥2)
⋮
𝑓(𝑥𝑛)
 
Onde 𝑎0, 𝑎1 . . 𝑎𝑛 representa as constantes de um polinômio 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 … + 𝑎𝑛𝑥
𝑚. A solução desta matriz 
pode ser encontrada por diversos métodos computacionais (utilizando SCILAB ou outros) ou manuais 
(escalonamento, método da inversa). 
 
Para interpolação linear, consideramos os pontos (1;0.519136) e (0;0): 
1 0 
1 1 
 𝑎0
𝑎1
 = 
0
0.519136
 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
 𝑎0 = 0 
 𝑎1 = 0.519136 
Assim: 
𝑃1(𝑥) = 0.519136𝑥 
∫ 0.519136𝑥 𝑑𝑥 = 
0.519136𝑥2
2
 
1
0
1
0
= 0.259568 
Para encontrar este polinômio por interpolação linear de maneira computacional usando o SCILAB, criou-se 
a matriz A e aplicou se o método direto, onde z representa os valores das constantes do polinômio. Os 
comandos necessários para este fim seguem ilustrados na figura 7. 
Figura 7: Ambiente SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
Para interpolação quadrática, consideramos os pontos (1;0.519136), (0.5;0.514167) e (0;0): 
1 0 0 
1 0.5 0.25 
1 1 1
 𝑎0
 𝑎1
𝑎2
 = 
0
0.514167
0.519136
 
 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
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escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
 𝑎0 = 0 
 𝑎1 = 1.537532 
 𝑎2 = −1.018396 
 
𝑃2(𝑥) = 1.537532𝑥 − 1.018396𝑥
2 
∫ 1.537532𝑥 − 1.018396𝑥2 𝑑𝑥 = 
1.537532𝑥2
2
−
1.018396𝑥3
3
 
1
0
1
0
= 0.4293007 
 
Para interpolação de Lagrange, considerou-se os mesmos pontos. Esta interpolação é dada por: 
𝑃𝑛(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥𝑖 − 𝑥1)(𝑥𝑖 − 𝑥2)
(𝑓(𝑥𝑖)) + ⋯ 
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥𝑛 − 𝑥1)(𝑥𝑛 − 𝑥2)
(𝑓(𝑥𝑛)) 
Sendo assim, considerou-se quatro pontos para criar um polinômio de Lagrange de terceiro grau, sendo eles 
(1;0.5191361), (0.75;0.631758), (0.25;0.254844) e (0;0): 
 
𝑃3(𝑥) =
(𝑥 − 0.75)(𝑥 − 0.25)(𝑥 − 0)
(1 − 0.75)(1 − 0.25)(1 − 0)
(0.5191361) + 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 0.25)(𝑥 − 0)
(0.75 − 1)(0.75 − 0.25)(0.75 − 0)
(0.631758)
+
(𝑥 − 1)(𝑥 − 0.75)(𝑥 − 0)
(0.25− 1)(0.25 − 0.75)(0.25 − 0)
(0.254844) +
(𝑥 − 1)(𝑥 − 0.75)(𝑥 − 0.25)
(0 − 1)(0 − 0.75)(0 − 0.25)
(0) 
 
𝑃3(𝑥) = 0.8732𝑥 + 0.897626𝑥
2 − 1.25169𝑥3 
 
∫ 0.8732𝑥 + 0.897626𝑥2 − 1.25169𝑥3 𝑑𝑥 = 
0.8732𝑥2
2
+
0.897626𝑥3
3
 
1
0
−
1.25169𝑥4
4
1
0
 
∫ 0.8732𝑥 + 0.897626𝑥2 − 1.25169𝑥3 𝑑𝑥 = 
1
0
 0.422886 
Para realizar a interpolação de Lagrange de forma computacional, utilizou-se o SCILAB. Para isto é necessário 
executar a função Lagrange conforme a figura 8. Após executada a função, basta introduzir no ambiente Scilab 
as coordenadas dos pontos x e y, e dar o comando Lagrange ilustrado na figura 9. 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
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escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
 Figura 8: Ambiente SciNotes, função Lagrange. 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
 
 
Figura 9: Ambiente SCILAB. 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
Para P4(x), considerou-se todos os cinco pontos para criar um polinômio de Lagrange de quarto grau, sendo 
eles (1;0.519136), (0.75;0.631758), (0.5;0.514167), (0.25,0.514167)e (0;0): 
𝑃4(𝑥) =
(𝑥 − 0.75)(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 0.25)(𝑥 − 0)
(1 − 0.75)(1 − 0.5)(1 − 0.25)(1 − 0)
(0.5191361) 
+
(𝑥 − 1)(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 0.25)(𝑥 − 0)
(0.75 − 1)(0.75 − 0.5)(0.75 − 0.25)(0.75 − 0)
(0.631758) 
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escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
+ 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 0.75)(𝑥 − 0.25)(𝑥 − 0)
(0.5 − 1)(0.5 − 0.75)(𝑥 − 0.25)(0.5 − 0)
(0.514167) 
+
(𝑥 − 1)(𝑥 − 0.75)(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 0)
(0.25 − 1)(0.25 − 0.75)(0.25 − 0.5)(0.25 − 0)
(0.254844) 
+
(𝑥 − 1)(𝑥 − 0.75)(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 0.25)
(0 − 1)(0 − 0.75)(0 − 0.5)(0 − 0.25)
(0) 
𝑃4(𝑥) = 0.75774𝑥 + 1.6288733𝑥
2 − 2.48327𝑥3 + 0.6157867𝑥4 
∫ 0.75774𝑥 + 1.6288733𝑥2 − 2.48327𝑥3 + 0.6157867𝑥4𝑑𝑥 
1
0
 
=
0.75774𝑥2
2
+
1.6288733𝑥3
3
−
2.48327𝑥4
4
+
0.6157867𝑥5
5
1
0
 
= 0.424167 
Este polinômio também pode ser encontrado computacionalmente da mesma forma que o anterior, mas agora 
introduziu-se no ambiente SCILAB todos os cincos pontos (x,y) conforme ilustra a figura 10. 
 
Figura 10: Ambiente SCILAB. 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
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Afim de verificar qual polinômio se ajustou melhor a função criou-se os gráficos de cada um dos 
polinômios encontrados sob o gráfico da f(x) entre o intervalo de [0; 1]. Através disto pode-se avaliar qual 
polinômio seria o mais indicado para a aproximação. Os polinômios que melhor se ajustaram a função foram 
𝑃3(𝑥) 𝑒 𝑃4(𝑥), isto deve-se ao fato de que quanto mais pontos usamos na criação de um polinômio, melhor este 
ira descrever a f(x), fato esse que pode ser verificado na figura 7. Logo a melhor aproximação para o valor 
real desta integral é dado por 𝑃3(𝑥) 𝑒 𝑃4(𝑥). 
 
Figura 7: a) Gráfico do polinômio P1(X) encontrado por interpolação linear sob a f(x); b) Gráfico do polinômio P2(X) encontrado por interpolação 
quadratica sob a f(x); c) Gráfico do polinômio P3(X) de Lagrange sob a f(x); d) Gráfico do polinômio P4(X) de Lagrange sob a f(x). 
Elaborado em: DESMOS, 2017. 
 
 
 
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NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
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[4] [a] - Aplicou-se as mudanças de escala sugeridas: 
 
Tabela 2: Crescimento da População de Chapecó desde 1960 (escala adaptada). 
Ano 6 7 8 9.1 9.6 10 10.7 11 
População 5.2089 4.9865 8.3768 12.305 12.9794 14.6967 16.4803 18.3561 
*Escala adaptada. 
 
[b]- Utilizando a calculadora gráfica DESMOS, criou-se o grafico dos pontos em nova escala: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11: Gráfico do Crescimento da população de Chapecó desde 1960, em escala adaptada. 
Elaborado em: DESMOS 2017. 
 
[c]- Analisando a distribuição de pontos, pode-se assimilar o comportamentos dos pontos com o de uma função 
quadrática. Assim aplicaremos o ajuste da curva para um polinômio quadrático ou seja: 
𝑦 = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 
 
Matematicamente este ajuste é dado por: 
[𝑀𝑡. 𝑀]𝑥 = 𝑀𝑡. 𝑦 
 
Sendo 𝑀𝑡 a matriz transposta de M, e M corresponde matriz: 
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M= 
1 x1 𝑥12
1 x2 𝑥22
1 𝑥3 𝑥32
1 𝑥4 𝑥42
1 𝑥5 𝑥52
⋮ ⋮ ⋮
1 x 𝑥𝑛2
 
 
Assim criamos a matriz M de forma manual: 
M = 
1 6 36
1 7 49
1 8 64
1 9.1 82.81
1 9.6 92.16
1 10 100
1 10.7 114.49
1 11 121
 
 
 Para obtermos a [𝑀𝑡 . 𝑀] de maneira manual criou-se uma matriz da seguinte forma: 
[𝑀𝑡 . 𝑀] = 
𝑛 Σxi Σ𝑥𝑖2
Σxi Σ𝑥𝑖2 Σ𝑥𝑖3
Σ𝑥𝑖2 Σ𝑥𝑖3 Σ𝑥𝑖4
 = 
8 71.4 659.46
71.4 659.46 6265.35
659.46 6265.35 60892.7203
 
 
 Após encontrar o produto [𝑀𝑡 . 𝑀], o outro lado da igualdade 𝑀𝑡. 𝑦 pode ser obtido com uma matriz 
estruturada da seguinte forma: 
[𝑀𝑡 . 𝑦] = 
Σy
Σxi. y
Σ𝑥𝑖2. 𝑦
 = 
93.3897
894.97435
8760.7203
 
 
 Definidos os produtos acima, pode-se resolver o sistema. A solução deste pode ser feita de qualquer 
forma, entre elas o método da inversa, escalonamento, etc. Sendo o sistema linear: 
 
8 71.4 659.46
71.4 659.46 6265.35
659.46 6265.35 60892.7203
 
𝑎0
𝑎1 
𝑎2
 = 
93.3897
894.97435
8760.7203
 
 
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Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.comAssim: 
𝑎0 = 6.1168984
 𝑎1 = −1.8990913
𝑎2 = 0.2730259
 
Logo o polinômio quadrático do ajuste é: 
𝑦 = 6.1168984 − 1.8990913𝑥 + 0.2730259𝑥2 
 
Utilizando a calculadora gráfica DESMOS, fez-se o grafico dos da curva y sob os pontos da tabela 2: 
 
 
Figura 12: Ajuste da curva y do Crescimento da população de Chapecó desde 1960, em escala adaptada. 
Elaborado : DESMOS 2017. 
 
 O ajuste da curva também pode ser realizado computacionalmente com o auxílio do SCILAB, 
onde os comandos estão ilustrados a seguir. Primeiro deve-se adicionar ao ambiente os valores de x e y e dar 
o comando plot(x,y,’r*’) para que este trace os pontos no gráfico, sendo estes representados pelo asterisco (*) 
vermelho. Após procedemos com os demais comandos necessários para formar a matriz [M], a matriz [𝑀𝑡 . 𝑀] 
representada por [X], a matriz 𝑀𝑡 . 𝑦 representada por [b] e encontrar as constantes [z] do polinômio. 
 
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 Figura 13: Ambiente SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
 
 
 Figura 14: Janela gráfica SCILAB, Gráfico: Pontos com escala adaptada. 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
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 Figura 15: Ambiente SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
Sabendo que os valores de z correspondem as constantes do polinômio, obtemos a seguinte curva: 
[𝑦 = 6.1168984 − 1.8990913𝑥 + 0.2730259𝑥2] 
 Para fazer o gráfico da curva de ajuste aos pontos, primeiro deve-se criar um conjunto de números 
(B) entre os intervalos de x que variem entre si, neste caso usou-se número de 6 a 11 com intervalos de 0.1 
entre si, onde este e demais comandos seguem ilustrados. Após criar este conjunto, aplica-se este na curva de 
ajuste, assim obtemos valores de x e y, e criou-se o gráfico. 
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 Figura 16: Ambiente SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
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 Figura 17: Janela gráfica SCILAB 
Fonte: SCILAB 5.5.2, 2017. 
 
[d] Para calcular a população para os anos de 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 e 2017, basta inserimos na 
os anos (x) na equação da curva de ajuste. Porém para isto, devemos aplicar o fator de escala recomendados 
no enunciado nestes valores de x, de forma que: 
𝑥 = 11.1; 11.2; 11.3; 11.4, 11.5; 11.6; 11.7 
 
𝑦(11.1) = 6.1168984 − 1.8990913(11.1) + 0.2730259(11.1)2 = 18.676506 
𝑦(11.2) = 6.1168984 − 1.8990913(11.2) + 0.2730259(11.2)2 = 19.094445 
𝑦(11.3) = 6.1168984 − 1.8990913(11.3) + 0.2730259(11.3)2 = 19.519844 
𝑦(11.4) = 6.1168984 − 1.8990913(11.4) + 0.2730259(11.4)2 = 19.949704 
𝑦(11.5) = 6.1168984 − 1.8990913(11.5) + 0.2730259(11.5)2 = 20.385024 
𝑦(11.6) = 6.1168984 − 1.8990913(11.6) + 0.2730259(11.6)2 = 20.825804 
𝑦(11.7) = 6.1168984 − 1.8990913(11.7) + 0.2730259(11.7)2 = 21.272046 
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 Assim, basta aplicar o fator de escala de maneira contrária para obtermos os valores reais de ano e 
população correspondente. Os resultados ajustados para nova escala estão apresentados na tabela 3. 
Tabela 3 - Crescimento da população de Chapecó de 2011 a 1017. 
Ano 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 
População 186.765,06 190.954,45 195.198,44 199.497,04 203.850,24 208.258,04 212.720,46 
 
 O IBGE, nos disponibiliza apenas a estimada para a população de Chapecó-SC para 2017, 
correspondendo a 213.279 habitantes. A partir desta estimativa calculou-se o erro relativo, considerando: 
𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
‖𝑥 − 𝑥𝑖‖
‖𝑥‖
 
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
‖213.279 − 212.720,46‖
‖213.279‖
 
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = 0.0026188 
 
 
 
 
THAIS CORDEIRO PRATES UFFS – CERRO LARGO – 2017-2 CÁLCULO NUMÉRICO-EAS 01/11/2017 
 
NOTA: Este trabalho será entregue na forma digital em Word e PDF colocando figuras, equações e textos em forma individual. 
Data de entrega 01/11/2017. Colocar o nome do aluno no cabeçalho. Considera-se procedimento justificado e resultados. Os dados 
escolhidos pelos alunos sejam diferentes. Enviar para jorge.palacios.felix@gmail.com 
 
Referências 
BAUDIN, M. Introduction to scilab. Disponível em: http://forge.scilab.org/index.php/p/docintrotoscilab/. 
Acessado em 28 de out. de 2017. 
GUIDI, L.F. Notas da disciplina cálculo numérico. Disponível em: 
http://www.mat.ufrgs.br/~guidi/grad/MAT01169/calculo_numerico.pdf. Acessado em 27 de out. de 2017. 
IBGE CIDADES – CHAPÉCO/SC. IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de População e Indicadores 
Sociais, Estimativas da população residente com data de referência 1º de julho de 2017. Disponível em: 
https://cidades.ibge.gov.br/xtras/perfil.php?codmun=420420. Acesso em 29 de out. de 2017. 
 
Softwares e sites utilizados: 
SCILAB 5.5.2 
SYMBOLAB - https://www.symbolab.com/ 
DESMOS - https://www.desmos.com/