slides aula 02 Raciocinio Logico

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Raciocínio Lógico
Aula 2
Prof. André Roberto Guerra
Organização da Aula
� Operações
• Operações lógicas sobre 
proposições
• Construção de tabelas-verdade
Operações Lógicas
� A lógica clássica é governada por três 
princípios (entre outros). São eles: 
• Princípio da Identidade
• Princípio da Contradição
• Princípio do Terceiro Excluído
� Princípio da Identidade: 
• Todo objeto é idêntico a si mesmo
� Princípio da Contradição: 
• Dadas duas proposições 
contraditórias (uma é negação da 
outra), uma delas é falsa
� Princípio do Terceiro Excluído: 
• Dadas duas proposições 
contraditórias, uma delas é 
verdadeira
2
� Tendo como base esses princípios, as 
proposições simples são ou 
verdadeiras ou falsas - sendo 
mutuamente exclusivos os dois casos 
� Daí dizer que a lógica clássica é 
bivalente
Tabela Verdade
� Dada uma expressão proposicional, e 
os valores lógicos das proposições 
simples que a compõe, utilizando a 
ordem de precedência é possível 
calcular o valor lógico da expressão
� Para determinar o valor (verdadeiro
ou falso) das proposições compostas 
(moleculares), conhecidos os valores 
das proposições simples (atômicas) 
que as compõem são utilizadas 
tabelas-verdade
� Tabela Verdade da proposição 
composta é uma tabela na qual são 
apresentados todos os valores verdade 
possíveis de uma proposição 
composta, para cada combinação dos 
valores verdade das proposições 
componentes
� Cada linha da Tabela corresponde a 
uma possível combinação dos valores 
lógicos das proposições componentes; 
como são dois os valores lógicos, 
existem, para n componentes, 2n
combinações possíveis
3
� Possui dois tipos de colunas: 
• Colunas para as proposições 
componentes (onde são distribuídos 
os valores V e F de forma a incluir 
cada possível combinação)
• Colunas para as operações (onde 
os valores V e F são obtidos pelas 
operações)
� Assim, se a expressão possui n
componentes e m operações, a Tabela 
terá m + n colunas
� Para determinar unicamente a Tabela 
Verdade são estabelecidas algumas 
convenções para sua construção
� Para as colunas:
• 1. Dispor as proposições 
componentes em ordem alfabética
• 2. Dispor as operações na ordem de 
precedência determinada (com 
parênteses)
� Para as linhas:
• Alternar V e F para a última coluna 
• Alternar V V e F F para a penúltima
• Alternar V V V V e F F F F para a 
antepenúltima coluna componente
� Prosseguir dessa forma, se houver 
mais componentes, sempre dobrando 
o numero de Vs e Fs para cada coluna 
à esquerda
Exemplo: a expressão proposicional
(p → q) ∨ ~ ((p ↔ r) → ~ r)
� 1. Tabela Verdade da "negação": 
~p é Verdadeira se e somente se p é 
Falsa
4
� 2. Tabela verdade da "conjunção": 
é Verdadeira se e somente se os 
conjuntos são Verdadeiros
� 3. Tabela verdade da "disjunção": é 
Falsa se e somente os disjuntos são 
Falsos 
� 4. Tabela verdade da "implicação": é 
Falsa se e somente se o antecedente 
é Verdadeiro e o consequente é Falso
� 5. Tabela verdade "bi implicação": 
a bi implicação é Verdadeira se, e 
somente se seus componentes são ou 
ambos Verdadeiros ou ambos Falsos
� 6. Tabela verdade “OU Exclusivo”: 
É importante observar que "ou" pode 
ter dois sentidos na linguagem 
habitual: inclusivo (disjunção) v e 
exclusivo v onde:
p v q significa ((p v q) ^~ (p ^ q))
� 6. Tabela verdade "OU Exclusivo“:
5
� Número de linhas de uma tabela 
verdade: 
• Cada proposição simples (atômica) 
tem dois valores (V ou F) que se 
excluem. Para n atômicas distintas, 
há tantas possibilidades quantos são 
os arranjos com repetição de 2 
elementos n a n
� Segue-se que o número de linhas da 
tabela verdade é 2n. Assim: 
• Para duas proposições são 22 = 4 
linhas
• Para três proposições são 23 = 8 
linhas
• Para quatro proposições são 24 = 16 
linhas
� Exemplo: 
� A tabela verdade da fórmula 
((p v q) → r) terá 8 linhas, como 
segue:
• Variáveis / Proposições: 3 (p q r)
23 = 8 linhas
� Exemplo: Construir a tabela verdade 
da fórmula:
((p v q) → ~p) → (q ^ p)
Aplicação
� Construir as tabela verdade das 
fórmulas a seguir
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)3
0
6
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
1
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V 3
2
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
F
F
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
3
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V
V F
F
F
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
4
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V
V F
F V
F F
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
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p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V
V F F
F V F
F F F
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
6
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
7
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
7
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
3
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p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V
V
F
F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
3
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p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V
V F
F V
F F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
0
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V V
V F F
F V F
F F F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
1
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F V
V F V F
F V V F
F F V F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
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p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F V
V F V F
F V V F
F F V V
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� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
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p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F F V
V F V V F
F V V V F
F F V F V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
4
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F F F F F
V F V V V V V
F V V V V V V
F F V F V V F
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
5
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F
V F F
F V V
F F V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
6
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F F
V F F V 
F V V F 
F F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
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p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V F
V F F V V 
F V V F F 
F F V F V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
8
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V F F
V F F V V V 
F V V F V F 
F F V F V V
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� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
9
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V V F F
V F F F V V V 
F V V F F V F 
F F V F F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
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0
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F F V V F F
V F F F F V V V 
F V V F F F V F 
F F V F F F V V
� Software de apoio didático Truth Table
Constructor
• www.brian-borowski.com/Software/Truth/
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Síntese
Raciocínio Lógico
� Aula 2 – Operações
• Operações lógicas sobre 
proposições
• Construção de tabelas-verdade
Referências de Apoio
� SANT'ANNA, A. S. O que é um 
Axioma. Capítulo 3 - Barueri SP: 
Editora Manoele , 2003.
� http://www.pucsp.br/~logica/
FIM