Lista 3 Gabarito

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
 
EAE 308 – Macroeconomia II 
2º Semestre de 2011 – Diurno 
Professores: Gilberto Tadeu Lima e Pedro Garcia Duarte 
 
Lista de Exercícios 3 – Gabarito Sintético 
 
 
[1] 
 
[a] 
2/ [ / ( )] 1A NK AN s g g   
; 
/ 1Y AN 
; 
/ 0Y ANg 
; 
/ 4%Y Ng 
; 
6%Yg 
 
 
[b] 
2/ (4 / 5)K AN 
; 
/ 4 / 5Y AN 
; 
/ 0Y ANg 
; 
/ 8%Y Ng 
; 
10%Yg 
 
 
[c] 
2/ (4 / 5)K AN 
; 
/ 4 / 5Y AN 
; 
/ 0Y ANg 
; 
/ 4%Y Ng 
; 
10%Yg 
. As pessoas estão 
em melhor situação em [a]. Embora os níveis tecnológicos sejam os mesmos em [a] e [c], o 
nível de capital por trabalhador efetivo é mais elevado em [a]. Por conseguinte, o produto 
por trabalhador é igualmente mais elevado em [a]. 
 
[2] 
 
[a] Se a localização geográfica afetar, por exemplo, as condições climáticas, ela pode vir a 
influenciar o nível tecnológico (
A
). 
 
[b] Tende a afetar o capital humano (
H
) e, se influenciar a produtividade da pesquisa, 
possivelmente (
A
). 
 
[c] Tende a afetar (
A
), já que maior proteção tende a encorajar atividades de P&D. No 
cado de patentes, porém, tende essa maior proteção tende a limitar a difusão tecnológica. 
 
[d] Se estimular a difusão tecnológica, por exemplo, pode vir a afetar (
A
). 
 
[e] Tende a afetar (
A
), (
K
) e (
H
). Baixas alíquotas tendem a afetar o retorno (líquido de 
impostos) do investimento em capital físico e humano, além de tenderem a estimular gastos 
em P&D. 
 
[f] No caso da infraestrutura de transporte, por exemplo, (
A
) e (
K
) podem ser afetados 
positivamente. 
 
 
 
2 
 
[g] Na ausência de progresso tecnológico, um menor crescimento populacional resulta em 
um nível mais elevado do produto por trabalhador no equilíbrio estacionário. Quando há 
progresso tecnológico, por sua vez, o produto por trabalhador cresce à mesma taxa que o 
progresso tecnológico no equilíbrio estacionário. Reveja a resposta [1][c] acima. 
 
[3] 
 
[a] (
Y Ng g
) representa a taxa de crescimento do produto por trabalhador e (
K Ng g
) 
representa taxa de crescimento do capital por trabalhador. 
 
[b] 
3( ) 2K N Y N Ag g g g g   
 
 
[c] Basta aplicar a equação anterior aos dados da Tabela 12.2. Na análise dos resultados, 
basta utilizar os resultados teóricos derivados no capítulo. 
 
[4] 
 
[a] Não. Inicialmente, vamos normalizar (1) por 
L
, com que obtemos 
1y k A 
. Quando 
expressamos esta última em termos de taxa de crescimento, obtemos 
ˆ ˆˆ (1 )y k A   
. Por 
sua vez, (3) revela que a constância de 
K
 requer a constância de 
/Y K
, sendo que a 
constância desta última razão implica a constância de 
/y k
. Por outro lado, a constância 
desta última razão significa que 
y
 e k estão crescendo à mesma taxa. Logo, segue-se que 
ˆ ˆˆ
y k Ay g k g A g    
. No equilíbrio estacionário, portanto, ao longo da trajetória de 
steady state, o produto por trabalhador (renda per capita da economia, 
/y Y L
) e o 
capital por trabalhador crescem à mesma taxa que a tecnologia. Uma vez que 
0Ag 
, a não 
ocorrência de progresso tecnológico (ou seja, 
0Ag 
) implica que não ocorre crescimento 
sustentado e contínuo no longo prazo. 
 
[b] Quando 
0Ag 
, segue-se que 
k
 deixa de ser constante no equilíbrio estacionário, ao 
contrário do que ocorre quando 
0Ag 
. Logo, temos que escrever a equação diferencial 
básica do modelo em termos de outra variável: 
/k K AL
. Note que 
/k k A
. Esta última 
será constante no equilíbrio estacionário pois 
k A yg g g 
. Reescrevendo a função de 
produção em termos de 
k
, obtemos 
y k
, em que 
/ /y Y AL y A 
. Por sua vez, note 
que ˆ ˆˆ ˆk K A L   . Combinando esta última com a equação que descreve a acumulação de 
capital, obtemos 
/ ( )Ak dk dt sy n g d k    
. A representação gráfica dos termos desta 
última expressão no espaço (
,y k
) pode ser feita com facilidade. Logo, existe um nível de 
k
 ao qual este é estacionário no longo prazo. No equilíbrio de longo prazo, por sua vez, o 
valor de equilíbrio de 
y
 é determinado pela função de produção e pela condição dada por 
0k 
. Esses valores de equilíbrio, respectivamente, 
*k
 e 
*y
, são: 
 
 
3 
 
 
1/(1 )
*
A
s
k
n g d

 
  
  
 
 
e 
 
/(1 )
*
A
s
y
n g d
 
 
  
  
 
 
Portanto, variações na taxa de poupança ou na taxa de crescimento populacional afetam o 
nível do produto por unidade de trabalho efetivo, 
y
, mas não a taxa de crescimento desta 
última no equilíbrio de longo prazo, a qual é dada por 
Ag
. 
 
[5] 
 
[a] Normalizando essa função de produção por 
K
 e lembrando que 
/k K N
, obtemos a 
expressão 
0,81 k  
. Logo, dado que 
ˆ ( / )Kg K I K      
, a taxa (líquida) de 
crescimento do estoque de capital é representada por 
0,80,05 0,15Kg s k     
. Sendo 
assim, 
( )Kg f k
 é uma hipérbole retangular: 
0
lim K
k
g

 
 e 
lim 0,05K
k
g


. Ou seja, 
enquanto a assíntota vertical é o próprio eixo correspondente, a assíntota horizontal é uma 
reta cujo intercepto no eixo vertical é igual a 
0,05
. 
 
[b] Observe inicialmente que uma propriedade importante dessa função de produção é que 
o produto marginal do capital, 
/PmgK Y K  
, não tende para zero conforme a relação 
capital-trabalho, 
/k K N
, tende para o infinito. De fato, temos que 
lim 1
k
PmgK


. Com 
s n 
, portanto, a relação capital-trabalho não se tornaria estacionária, crescendo a uma 
taxa dada por 
s n 
. O estoque de capital, por sua vez, cresceria à taxa 
Kg s  
. Ou 
seja, ignorando o equilíbrio estacionário no qual 
*k  
 (que ocorreria se 
s n 
), a 
relação capital-trabalho se tornaria estacionária a um nível dado por 
*0 k  
 se, e 
somente se, 
s n 
. É bastante instrutivo comparar a função de produção deste exercício 
com aquela suposta na questão 3 da Prova 2, da qual resulta 
0,50,2Kg k

 (vale dizer, 
( )Kg f k
 é, portanto, uma hipérbole retangular, com assíntotas coincidentes com os 
eixos: 
0
lim K
k
g

 
 e 
lim 0K
k
g


. No presente exercício, portanto, a acumulação de capital 
não está sujeita a retornos decrescentes. 
 
[c] Essa proposição é incorreta. Pela representação gráfica descrita no item anterior, dado 
que 
0,05Kg 
 quando 
*0 k  
, segue-se que a relação capital-trabalho não se torna 
estacionária quando 
0,05n 
. 
 
 
 
4 
 
[6] 
 
[a] {
 
 
 
 
 
} e ̇ {
 
 
 
 
 
} ( ) 
 
Para 
 
 
 : ̇ 
 
 
 ( ) (ou seja, ̇ é a diferença de duas funções lineares 
em ). 
 
Para 
 
 
 : ̇ 
 
 
 ( ) (ou seja, ̇ é a diferença de uma constante e uma 
função linear em ). 
 
 Faça o mesmo gráfico do Solow para analisar o estado estacionário ( ̇ ): agora a 
função “ ” é uma reta partindo da origem e crescendo linearmente com até atingir o 
valor de ⁄ (quando ⁄ ), sendo uma constante a partir de então. 
 
 
[b] Existe um único estado estacionário estável (desconsiderando a origem, que é instável) 
quando . Neste caso, um aumento em s tem os mesmos efeitos que no 
modelo do Solow padrão: aumenta e de estadoestacionário (efeito de nível), sem 
impactar a taxa de crescimento de estado estacionário. Consumo cai permanentemente no 
momento do aumento de s. 
 Quando e há infinitos estados estacionários (múltiplos 
equilíbrios). 
 
 
[7] Basta seguir a apresentação do Jones do modelo de Romer, para o caso de ̇ (p 
é um parâmetro). 
 
[a] ( )
 e ̇ ( ) 
 
[b] [
 ( )
( )
]
 
 
 e ( )
 
 
[c] 
 ̇
 
 (
 
 
) 
 Em estado estacionário: 
 Gráfico semelhante ao do Jones. O equilíbrio é estável. 
 
[d] Função 
 ̇
 
 (
 
 
) sofre rotação para cima e para a esquerda (ou seja, continua 
passando pela origem). A taxa aumenta temporariamente e retorna a seu estado 
estacionário anterior. Logo a razão (
 
 
) diminui ao longo do tempo até atingir seu novo 
estado estacionário, inferior ao inicial. 
 
 
 
5 
 
[e] Denote o produto per capita por ̂. Logo (você tem que ter encontrado a expressão de 
 no item [b] apenas como função de parâmetros e substituí-la na equação a seguir – 
lembre-se que o gabarito é sintético!): ̂ 
 
 
 . 
 O que maximiza ̂
 é o que equilibra os dois efeitos de um aumento em : a redução 
do produto devido à redução de ( ) , com o aumento na taxa de crescimento 
(captado pelo termo que aparece antes do L na equação acima): 
 
 ( )
( ) 
 
 
cuja solução é: 
 
( ) 
 .