aula MUV 1

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Prof. Leonardo Motta 
Colégio Naval (CN) 
 
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV) 
 
 
1. ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA (am) 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo Δt sempre positivo, concluímos que o sinal de am é o mesmo de Δv. 
 
 
A unidade de aceleração escalar U (Vm) é o quociente entre as unidades de velocidade e de 
tempo. 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
2. ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA (a) 
A aceleração escalar instantânea num dado instante t é o limite para o qual tende o quociente 
Δv/Δt, calculado entre t e t´, quando t´ tende (se aproxima) de t, ou seja, quando Δt tende a zero. 
Simbolicamente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
3. MOVIMENTO ACELERADO E MOVIMENTO RETARDADO. 
 
 Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade escalar instantânea é 
crescente. Nesse caso, a velocidade escalar e aceleração escalar possuem mesmo sinal, 
isto é, ambas são positivas ou ambas são negativas. 
 Exemplos: 
 
 
 Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade escalar (instantânea) é 
decrescente. Nesse caso, a velocidade escalar e aceleração escalar possuem sinais 
contrários, isto é, uma é positiva e a outra negativa. 
 Exemplos: 
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4. DEFINIÇÃO DE MUV. 
 
É aquele em que a aceleração escalar (instantânea) é constante e diferente de zero 
 
a = cte ≠ 0 
 
Desse modo, o móvel sofre variações de velocidade iguais em intervalos de tempos iguais, sendo 
então a aceleração média igual à aceleração instantânea. 
 
5. GRÁFICO a x t 
 
 
6. EQUAÇÃO HORÁRIA DE VELOCIDADE [v(t)] 
 
 Vamos fazer a dedução da eq. 
Tomando t0 (origem dos tempos) = 0, a velocidade correspondente nesse instante v0 e v a 
velocidade num instante t qualquer vem: 
 
 
 
 
 
 

 
 
Observações: 
 A função v(t) referente ao MUV como podemos perceber é de 1º grau 
 Toda vez que fornecemos uma Equação horária devemos indicar as unidades. 
 
7. GRÁFICO V x t 
Uma vez que a função é de primeiro grau ( ), o seu gráfico é uma reta. 
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8. PROPRIEDADE GERAL DO GRÁFICO V x t 
 
 
Do cálculo temos que: a “área” entre o gráfico e o eixo das abscissas (tempo), calculada entre 
dois instantes t1 e t2, expressa a variação de espaço (deslocamento) entre t1 e t2. 
 
9. EQUAÇÃO HORÁRIA DE POSIÇÃO [S(t)] 
 
 Vamos fazer a dedução da eq. 
Como sabemos, o deslocamento ΔS entre os instantes 0 e t, corresponde à “área” do gráfico v x t 
entre os instantes 0 e t. a “área” corresponde à “área” de um paralelogramo. Temos então: 
 
( )( )
 
 Como ΔS =S – S0 e v = v0 + a t vem: 
[( ) ] 
 
 

 
 
 
 
 
 
10. EQUAÇÃO DE TORRICELLI 
 4 
 
 Vamos fazer a dedução da eq. 
Já vimos que no MUV temos: 
( ) ( ) 
 
 
 
 isolando t na eq (I) e substituindo na eq (II) vem: 
 (
 
 
) 
 
 
(
 
 
)
 
 → 
 
 
 
 
 ( 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → 
 
 
 
 → 
 
 
 
Observações: 
 A expressão obtida agiliza os cálculos em situações que não envolvem a variável tempo (t). 
 Observe atentamente os sinais: da aceleração (a), do deslocamento (ΔS) e da velocidade (v), de 
acordo com o sentido da trajetória. 
 
11. DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA VELOCIDADE MÉDIA (Vm) 
Consideremos uma partícula em movimento, numa trajetória qualquer, em relação a um dado 
referencial. A figura a seguir corresponde ao diagrama horário de posição (gráfico espaço x tempo, S 
X t) dessa partícula. 
 
 
Por definição a velocidade média (vm) é dada por 
 
 
 
 
 
, a qual como podemos ver, 
corresponde ao coeficiente angular da reta secante (
 
↔ ) ao gráfico. 
 
12. DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
(V) 
Consideremos agora o gráfico S x t a seguir: 
 
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Tomemos uma seqüência de intervalos de tempo (Δt1, Δt2, Δt3,...) de tal maneira que cada um deles 
seja menor que o seu antecedente, isto é, Δt1 < Δt2 < Δt3,... 
Como sabemos, o coeficiente angular de cada uma das retas secante ao gráfico (
 
↔ 
 
↔ 
 
↔ ...) 
corresponde às velocidades médias (vm1, vm2, vm3, ...), nos respectivos intervalos de tempo (Δt1, Δt2, 
Δt3,...). 
Nota-se que, à medida que esses intervalos de tempo vão diminuindo (t se aproxima de t0, ou seja, 
Δt -> zero), os pontos P1, P2, P3... se aproximam de P0, e as retas secantes (
 
↔ 
 
↔ 
 
↔ ...) 
tendem à tangente que passa por P0. 
Como a velocidade instantânea por definição é 
 
 
 
 
 
 [derivada da posição (S) em relação ao tempo(t)] 
 
Vem que: a velocidade instantânea em t = t0 corresponde ao coeficiente angular da reta 
tangente ao gráfico S x t em P0. 
 
Observação 
 O coeficiente angular da reta coincidirá com a tangente do ângulo que a reta forma com o 
eixo das abscissas, somente se os eixos das ordenadas e abscissas estiverem na mesma 
escala! 
 
13. DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
(a) 
 
Seguindo raciocínio análogo, a aceleração escalar instantânea num determinado instante t0, 
corresponde ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico v x t, em t = t0