FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL 2 (43)

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QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-6)
࠭ando necessário, use π = 3, 14 e g=10 m/s2
(1) (1,00 pt) Duas cordas A e B possuem o mesmo comprimento e a mesma densidade linear, mas a corda B está
submetida a uma tensão maior que a corda A. A Fig. 1 mostra quatro situações, de (A) a (D), nas quais existem ondas
estacionárias nas duas cordas. Em que situação existe a possibilidade de que as cordas A e B estejam oscilando com
a mesma freqüência natural?
Figura 1
(a) Situação A.
(b) Situação B.
(c) Situação C.
(d) Situação D.
(e) Em nenhuma das situações existe a possibilidade de que as cordas A e B oscilem com a mesma freqüência
natural.
(2) (1,00 pt)Uma onda senoidal é produzida em uma corda comuma densidade linearµ = 2× 10−7 kg/m. Enquanto
a onda se propaga, a energia cinética K dos elementos de massa ao longo da corda varia. A Fig. 2(a) mostra, em um
certo instante, a taxa de energia cinética dK/dt em função da distância x ao longo da corda. A Fig. 2(b) é semelhante,
exceto pelo fato de que esta mostra a taxa dK/dt em função do tempo t para um dado elemento de massa situado
em um certo ponto. Nos dois casos, a escala do eixo vertical é definida por Rs = 10 W.Qual é a amplitude da onda
expressa em metros?
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Figura 2
(a) 1/π.
(b) 1/(2π)
(c) 1/(2
√
2π).
(d)
√
2/π.
(e) 1/(
√
2π).
(3) (1,00) Você está parado em x = 0 m, ouvindo um som que é emitido com freqüência f0. A Fig. 3 representa a
freqüência ouvida durante um intervalo de 4 segundos. Qual das alternativas abaixo descreve a fonte sonora?
Figura 3
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(a) A fonte se move da esquerda para a direita e passa por você em t = 2 s.
(b) A fonte se move da direita para a esquerda e passa por você em t = 2 s.
(c) A fonte se move em sua direção, mas não o alcança. Depois ela inverte seu sentido
de propagação em t = 2 s.
(d) Ela se distancia de você até t = 2 s. Depois inverte seu sentido de propagação e passa
a se mover em sua direção, mas não o alcança.
(e) A fonte está em repouso.
(4) (1,00) O gráfico da Fig. 4 mostra a aceleração a(t) de uma partícula que executa um movimento harmônico
simples. Seja A a amplitude do movimento, pode-se dizer que:
Figura 4
(a) No ponto 2 a partícula está na posição x = A e no ponto 6 a partícula está na posição x = −A.
(b) Nos pontos 4 e 8 a velocidade da partícula é nula.
(c) No ponto 4 a velocidade da partícula é negativa.
(d) No ponto 8 a partícula está na posição x = −A.
(e) No ponto 5 a partícula está entre x = 0 e x = A.
(5) (1,00) Considere um sistema bloco-mola que está ligado verticalmente a um teto, o qual pode ser instalado em
diferentes planetas. Seja yT0 e ωT0 a posição de equilíbrio e freqüência angular de oscilação do sistema bloco-mola,
respectivamente, no caso do teto ser instalado na Terra. Por outro lado, yM0 e ωM0 são as mesmas quantidades no
caso do teto ser instalado em Marte. A aceleração da gravidade em Marte é aproximadamente 2,5 vezes menor que
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na Terra. Pode-se dizer que
(a) yT0 > yM0 e ωT0 = 2, 5ωM0 .
(b) yT0 < yM0 e ωT0 =
√
2, 5ωM0 .
(c) yT0 > yM0 e ωT0 =
√
2, 5ωM0 .
(d) yT0 = yM0 e ωT0 = ωM0 .
(e) Nenhuma das anteriores.
(6) (1,00) Um oscilador fracamente amortecido perde 2,00 por cento de sua energia em cada ciclo. Pode-se dizer
que:
(a) O fator de qualidade Q é de 50π.
(b) Se sua freqüência de ressonância é ωR = 600π Hz, a semilargura do pico de ressonância (∆ω = γ) é ,
aproximadamente, 6 s−1.
(c) O fator de qualidade Q é de 100π. E, se sua freqüência de ressonância é ωR = 600π Hz, a semilargura do
pico de ressonância (∆ω = γ) é 3 s−1 aproximadamente.
(d) O fator de qualidade é muito pequeno em comparação com a freqüência natural do sistema.
(e) Quando o oscilador é excitado por uma força externa senoidal, o sistema entra em ressonância para freqüên-
cias da força externa muito maiores que a freqüência natural do sistema.
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QUESTÃO DISCURSIVA
ATENÇÃO: A solução dessa questão deve ser feita no caderno de provas devidamente identificado com nome,
NUSP e turma.
(7) [4,0 pt] As partículas 1 e 2 da Fig. 5(a) estão ligadas uma à outra bem como a paredes verticais através de
molas, todas elas de constante elástica k. As partículas 0 e 3 estão fixadas nas paredes e não podem se movimentar.
Inicialmente, as partículas (todas elas de massa m) estão na posição de equilíbrio, com as molas tendo um compri-
mento d (que coincide com o comprimento natural). Aplica-se à partícula 1 uma força horizontal F(t) = F0cos(ωt),
fazendo o sistema oscilar longitudinalmente. Seja ηi, com i = 0, 1, 2, 3, o deslocamento da partícula i em relação
à posição de equilíbrio. Ao oscilar, cada partícula experimenta uma força de arrastro do ar proporcional à sua
velocidade, sendo ρ a constante de proporcionalidade.
Figura 5
PARTE I
(a) (0,5) Obtenha as equações que descrevem o movimento do sistema da Fig. 5(a).
(b) (1,0) Obtenha as equações do movimento para as coordenadas normais e identifique as freqüências naturais
desses modos.
(c) (1,0) Obtenha a solução para as coordenadas normais (não é necessário especificar condições iniciais).
PARTE II
(d) (1,0) Suponha agora que começamos a adicionar mais e mais partículas de massa m ligadas por molas de cons-
tante elástica k, comomostra a Fig. 5(b), até um total deN partículas. Novamente, as partículas 0 e N+ 1 estão
fixadas nas paredes. Quando o sistema está em equilíbrio, as partículas estão separadas a mesma distância s
(que coincide com o comprimento natural das molas). O sistema pode oscilar longitudinalmente. Desprezando
a força F(t) = F0cos(ωt) e as forças de arrastro, obtenha a equação do movimento para uma partícula i em
uma posição qualquer entre a partícula 1 e N. Para N = 2, escreva as equações para i = 1 e i = 2 e compare
com as equações obtidas no item (a).
(e) (0,5) Considere agora a situação onde o número N de partículas adicionadas é muito grande e, por tanto, s
é muito pequeno. Nesta situação, é conveniente escrever a equação do item (d) em termos da densidade
µ = m/s e do módulo de Young Y= ks e substituir ηi → η(x, t), com η(x, t) o deslocamento sofrido pelas
partículas na coordenada x no instante t. Assim, por exemplo, ηi+1 → η(x + s, t). Usando o formulario
proporcionado, obtenha a equação do movimento (ELIMINANDO a dependência em s). A que corresponde a
equação que você obteve?
a) Consideremos o sistema da Fig. 1, onde as part´ıculas, todas de massa m, esta˜o ligadas
por molas de constante ela´stica k e comprimento natural d. O sistema pode oscilar
longitudinalmente. Seja ηi, i = 0, 1, 2, 3, o deslocamento da part´ıcula i em relac¸a˜o a`
posic¸a˜o de equil´ıbrio. As part´ıculas 0 e 3 esta˜o fixadas nas paredes verticais, portanto,
elas na˜o podem se movimentar, logo temos η0 = η3 = 0. Ale´m das forc¸as ela´sticas
como consequ¨eˆncia das molas que ligam as part´ıculas, a part´ıcula 1 esta´ submetida a
uma forc¸a externa horizontal ~F (t) = F0cos(ωt)xˆ. Para cada uma das part´ıculas, ao se
movimentarem, existe uma forc¸a de arrastro proporcional a` velocidade, ~Fρ,i = −ρη˙ixˆ,
i = 1, 2. Para obtermos as equac¸o˜es de movimento, podemos usar a segunda Lei de
Figure 1:
Newton. Quando a part´ıcula 1 e´ deslocada a uma distaˆncia η1 da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio,
a extremidade da mola 1 ligada a` part´ıcula 1 realiza sobre ela uma forc¸a ~Fmola 1,1 = −kη1xˆ.
Como consequ¨eˆncia desse deslocamento, a extremidade esquerda da mola 2, que esta´ ligada
a` part´ıcula 1, exerce tambe´m uma forc¸a sobre a part´ıcula 1 dada por ~Fextr. esq. mola 2, 1 =−kη1xˆ. Quando a part´ıcula 2 e´ deslocada a uma distaˆncia η2 da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, a
extremidade direita da mola 2, que esta´ ligada a` part´ıcula 2, exerce uma forc¸a restauradora
~Fextr. dir. mola 2, 2 = −kη2xˆ. Pela terceira Lei de Newton, teremos na part´ıcula 1 uma forc¸a
igual em mo´dulo a ~Fextr. dir. mola 2, 2, mas de sentido contra´rio. Assim, como a acelerac¸a˜o
da part´ıcula i e´ ~ai = η¨ixˆ (com i = 1, 2), a equac¸a˜o que descreve o movimento da part´ıcula
1 e´
mη¨1 = −kη1 − kη1 + kη2 − ρη˙1 + F0cos(ωt)
= −2kη1 + kη2 − ρη˙1 + F0cos(ωt). (1)
Dividindo a equac¸a˜o por m e introduzindo as quantidades ω0 =
√
k/m e γ = ρ/m, a
Eq. (1) pode ser escrita como
η¨1 = −2ω20η1 + ω20η2 − γη˙1 +
F0
m
cos(ωt). (2)
Seguindo o mesmo racioc´ınio, quando a part´ıcula 2 e´ deslocada a uma distaˆncia η2
em relac¸a˜o a` sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, a mola 3 exerce uma forc¸a sobre ela dada por
1
PSUB 2015 – Prova elaborada pelo professor Alberto Martinez Torres
Gabarito das questões múltipla-escolha: 1-D; 2-A; 3-D; 4-E; 5-E; 6-B.
Questão Discursiva
~Fmola 3, 2 = −kη2xˆ. A extremidade direita da mola 2, que esta´ ligada a` part´ıcula 2, ex-
erce a forc¸a ~Fext. dir. mola 2, 2 = −kη2xˆ. Quando a part´ıcula 1 e´ deslocada a uma distaˆncia
η1 da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, a extremidade esquerda da mola 2 exerce uma forc¸a
~Fextr. esq. mola 2, 1 = −kη1xˆ sobre a part´ıcula 1. Pela terceira lei de Newton, sobre a part´ıcula
2, temos uma forc¸a igual em mo´dulo a ~Fextr. esq. mola 2, 1, mas de sentido contra´rio. Assim,
a equac¸a˜o que descreve o movimento da part´ıcula 2 e´
mη¨2 = −kη2 − kη2 + kη1 − ρη˙2
= −2kη2 + kη1 − ρη˙2. (3)
Dividindo esta equac¸a˜o por m, temos
η¨2 = −2ω20η2 + ω20η1 − γη˙2. (4)
Assim, as equac¸o˜es que descrevem o movimento das part´ıculas do sistema sa˜o:
η¨1 = −2ω20η1 + ω20η2 − γη˙1 +
F0
m
cos(ωt),
η¨2 = −2ω20η2 + ω20η1 − γη˙2, (5)
obtendo um sistema de equac¸o˜es acopladas.
Outra maneira de obtermos as equac¸o˜es do movimento seria, por exemplo, assumir
que as part´ıculas 1 e 2 sa˜o deslocadas no sentido +xˆ e, com isso, determinamos o novo
comprimento das molas, uma vez que o sistema oscila. Seja di o novo comprimento da
mola i, enta˜o
d1 = d+ η1, (6)
d2 = 2d+ η2 − d1, (7)
d3 = d− η2. (8)
Sem perda de generalidade, podemos assumir que d2 > d e, portanto, a segunda mola
exerce uma forc¸a no sentido +xˆ sob a part´ıcula 1 e no sentido −xˆ sob a part´ıcula 2.
Agora podemos calcular a deformac¸a˜o de cada mola em relac¸a˜o a` posic¸a˜o de equil´ıbrio e
escrever as equac¸o˜es do movimento. Levando em considerac¸a˜o a forc¸a externa que atua
na part´ıcula 1 bem como as forc¸as de arrastro, temos
mη¨1 = −k(d1 − d) + k(d2 − d)− ρη˙1 + F0cos(ωt),
= −kη1 + k(η2 − η1)− ρη˙1 + F0cos(ωt),
mη¨2 = −k(d2 − d)− k(d− d3)− ρη˙2
= −k(η2 − η1)− kη2 − ρη˙2.
Obtendo dessa forma as mesmas equac¸o˜es do movimento.
2
b) Para obtermos as equac¸o˜es para as coordenadas normais do sistema e as frequ¨eˆncias
naturais associadas a essas coordenadas, temos que desacoplar o sistema de equac¸o˜es (5).
Para isso podemos somar e subtrair as duas equac¸o˜es do movimento determinadas no
item (a), obtendo
soma : η¨1 + η¨2 = −ω20(η1 + η2)− γ(η˙1 + η˙2) +
F0
m
cos(ωt) (9)
subtrac¸a˜o : η¨1 − η¨2 = −3ω20(η1 − η2)− γ(η˙1 − η˙2) +
F0
m
cos(ωt). (10)
Introduzindo as coordenadas
q1(t) ≡ 1
2
[η1(t) + η2(t)]
q2(t) ≡ 1
2
[η1(t)− η2(t)], (11)
podemos escrever as equac¸o˜es (9) e (10) da seguinte maneira:
q¨1 + ω
2
1q1 + γq˙1 =
F0
2m
cos(ωt), (12)
q¨2 + ω
2
2q2 + γq˙2 =
F0
2m
cos(ωt), (13)
onde ω1 = ω0 =
√
k/m e ω2 =
√
3ω0 =
√
3k/m. As coordenadas q1 e q2 desacoplam o
sistema de equac¸o˜es obtidas no item (a) e, por essa raza˜o, sa˜o as coordenadas normais do
sistema. Assim, ω1 e ω2 sa˜o as frequ¨eˆncias naturais associadas a essas coordenadas.
c) As equac¸o˜es (12) e (13) descrevem movimentos harmoˆnicos forc¸ados e amortecidos.
A soluc¸a˜o dessas equac¸o˜es e´ formada pelas correspondentes partes homogeˆneas, que sa˜o
soluc¸o˜es, respectivamente, de
q¨1 + ω
2
1q1 + γq˙1 = 0, (14)
q¨2 + ω
2
2q2 + γq˙2 = 0. (15)
Como o sistema oscila, temos amortecimento subcr´ıtico, portanto γ/2 << ω0 e a soluc¸a˜o
destas equac¸o˜es e´
q1h(t) = Ae
− γ
2
tcos(ω˜1 + φ1), (16)
q2h(t) = Be
− γ
2
tcos(ω˜2t+ φ2), (17)
onde ω˜1 =
√
ω21 − (γ/2)2, ω˜2 =
√
ω22 − (γ/2)2 e A, B, φ1, e φ2 sa˜o constantes que
dependem das condic¸o˜es iniciais.
3
A soluc¸a˜o particular associada as Eqs. (12) e (13) sa˜o, respectivamente,
q1p(t) = A1(ω)cos(ωt+ ψ1), (18)
q2p(t) = A2(ω)cos(ωt+ ψ2), (19)
onde
A1(ω) =
(F0/2m)√
(ω21 − ω2)2 + γ2ω2
, tg[ψ1(ω)] = − γω
ω21 − ω2
(20)
A2(ω) =
(F0/2m)√
(ω22 − ω2)2 + γ2ω2
, tg[ψ2(ω)] = − γω
ω22 − ω2
. (21)
Assim, a soluc¸a˜o final sera´:
q1(t) = q1h(t) + q1p(t) = Ae
− γ
2
tcos(ω˜1 + φ1) +
(F0/2m)√
(ω21 − ω2)2 + γ2ω2
cos(ωt+ ψ1),
q2(t) = q2h(t) + q2p(t) = Be
− γ
2
tcos(ω˜2t+ φ2) +
(F0/2m)√
(ω22 − ω2)2 + γ2ω2
cos(ωt+ ψ2).
d) Consideremos agora o sistema da Fig. 2, onde desprezamos as forc¸as de arrastro e
Figure 2:
a forc¸a externa F (t). Seja ηi o deslocamento em relac¸a˜o a` posic¸a˜o de equl´ıbrio para a
part´ıcula i, e ηi−1, ηi+1 a mesma grandeza para as part´ıculas i−1 e i+1, respectivamente.
Quando a part´ıcula i e´ deslocada a uma distaˆncia ηi da posic¸a˜o de equl´ıbrio, seguindo o
mesmo racioc´ınio do item (a), a extremidade direita da mola i, que esta´ ligada a` part´ıcula
i, realiza uma forc¸a ~Fext. dir. mola i,i = −kηixˆ sobre a part´ıcula i. A extremidade esquerda
da mola i + 1 exerce uma forc¸a ~Fext. esq. mola i+ 1,i = −kηixˆ sobre a part´ıcula i. Pela
terceira lei de Newton, tambe´m temos as forc¸as +kηi−1xˆ e +kηi+1xˆ na part´ıcula i. Assim,
a equac¸a˜o que descreve o movimento da part´ıcula i e´, pela segunda lei de Newton,
mη¨i = −kηi − kηi + kηi−1 + kηi+1
= −2kηi + kηi−1 + kηi+1. (22)
4
Dividindo pela massa m das part´ıculas e introduzindo ω0 =
√
k/m, obtemos
η¨i = −2ω20ηi + ω20ηi−1 + ω20ηi+1. (23)
O caso N = 2 corresponde com a situac¸a˜o analisada no item (a) se desprezarmos a forc¸a
externa e as forc¸as de arrastro.
Para i = 1, a Eq. (23) resulta em
η¨1 = −2ω20η1 + ω20η0 + ω20η2. (24)
Como a part´ıcula 0 esta´ fixada na parede vertical, η0 = 0, e, com isso, obtemos
η¨1 = −2ω20η1 + ω20η2. (25)
Esta u´ltima equac¸a˜o e´ ana´loga a` Eq. (2) fazendo F0 = 0 e γ = 0.
Para i = 2, a Eq. (23) estabelece que,
η¨2 = −2ω20η2 + ω20η1 + ω20η3. (26)
Como a part´ıcula 3 esta´ fixada na parede vertical, η3 = 0 e, assim, obtemos
η¨2 = −2ω20η2 + ω20η1. (27)
Esta u´ltima equac¸a˜o e´ ana´loga a` Eq. (4) fazendo γ = 0.
(e) Se o nu´mero N for muito grande, como explicado no enunciado do problema, e´ conve-
niente escrever a equac¸a˜o do movimento em termos da densidade µ = m/s e do mo´dulo
de Young Y = ks. Para isso somente temos que fazer a substituic¸a˜o m = sµ e k = Y/s
na Eq. (22), obtendo
µη¨i =
Y
s2
[−2ηi + ηi−1 + ηi+1] . (28)
Como estamos assumindo N muito grande, podemos substituir ηi → η(x, t), ηi+1 →
η(x+s, t). Assim, ηi−1 → η(x−s, t). Realizando essas substituic¸o˜es na Eq. (28), obtemos
µ
∂2η
∂t2
=
Y
s2
[−2η(x, t) + η(x− s, t) + η(x+ s, t)] . (29)
Como η = η(x, t), a derivada temporal η¨i e´ substitu´ıda por ∂
2η/∂t2. Podemos reescrever
a equac¸a˜o (29) como
µ
∂2η
∂t2
=
Y
s
[
η(x+ s, t)− η(x, t)
s
− η(x, t)− η(x− s, t)
s
]
. (30)
5
Usando o formula´rio, para s << |x|, podemos relacionar cada um dos termos da direita
da Eq. (30) com derivadas parciais,
∂η
∂x
∣∣∣∣∣
(x,t)
' η(x+ s, t)− η(x, t)
s
, (31)
∂η
∂x
∣∣∣∣∣
(x−s,t)
' η(x, t)− η(x− s, t)
s
. (32)
Assim, podemos escrever a Eq. (30) como
µ
∂2η
∂t2
=
Y
s
∂η
∂x
∣∣∣∣∣(x,t)
− ∂η
∂x
∣∣∣∣∣
(x−s,t)
 . (33)
Usando novamente o formula´rio, para s << |x|, o termo da direita da Eq. (33) esta´
relacionado com a seguinte derivada parcial:
∂2η
∂x2
∣∣∣∣∣
(x,t)
' 1
s
∂η
∂x
∣∣∣∣∣
(x,t)
− ∂η
∂x
∣∣∣∣∣
(x−s,t)
 , (34)
obtendo assim
µ
∂2η
∂t2
= Y
∂2η
∂x2
. (35)
Esta e´ a equac¸a˜o de uma onda longitudinal gerada em uma corda ela´stica de densidade
µ que e´ propagada no meio com velocidade v =
√
Y/µ. Assim, uma corda ela´stica onde
as part´ıculas do meio vibram longitudinalmente pode ser considerada como um conjunto
muito grande de osciladores acoplados oscilando longitudinalmente.
6
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FORMULÁRIO
λn =
2L
n
, comprimento de onda associado ao modo n. (1)
φ(x, t) = kx±ωt+ δ, fase da onda. (2)
dK
dt
=
dK
dx
v, com K a energia cinética e v a velocidade de propagação. (3)
A(w) =
F0/m√
(w20 − w2)2 + γ2w2
. (4)
sin ϕ =
−γw√
(w20 − w2)2 + γ2w2
, com ϕ a constante de fase da solução estacionaria (5)
cos ϕ =
w20 − w2√
(w20 − w2)2 + γ2w2
(6)
Q =
2π
∆E/E
(7)
∂ f
∂x
∣∣∣∣∣
(x,t)
≃ f (x+ a, t)− f (x, t)
a
, |a| << |x| (8)
∂2 f
∂x2
∣∣∣∣∣
(x,t)
≃ 1
a
⎡⎣∂ f
∂x
∣∣∣∣∣
(x,t)
− ∂ f
∂x
∣∣∣∣∣
(x−a,t)
⎤⎦ , |a| << |x| (9)