AulaTeorica 11 Integrais Indefinidas

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Integrais 
Indefinidas 
Universidade Federal de Santa Catarina 
Campus Joinville 
Prof. Thales M. Souza 
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Conteúdos da Aula 
 Função primitiva; 
 Integral indefinida; 
 Construção da tabela de integrais. 
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Função Primitiva )()(' xfxF 
 Proposição: 
 Seja F(x) uma função primitiva da função f(x). Então, se c 
é uma constante qualquer, a função 
 
 
 também é primitiva de f(x). 
 Definição: 
 Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) 
em um intervalo I, se, para todo x  I, temos: 
cxFxG  )()(
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Função Primitiva 
 Exemplo 1: 
 𝐹 𝑥 =
𝑥3
3
 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2. 
De fato, 
𝐹′ 𝑥 =
1
3
∙ 3𝑥2 = 𝑥2 = 𝑓 𝑥 . 
 As funções G 𝑥 =
𝑥3
3
+ 4 e H 𝑥 =
𝑥3
3
+ 3 também são 
primitivas da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2, pois 
𝐺′ 𝑥 = 𝐻′ 𝑥 = 𝑓(𝑥). 
 
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 Proposição: 
 Se f’ (x) se anula em todos os pontos no intervalo I, então 
f é constante em I. 
 
 Proposição: 
 Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo 
I, então existe uma constante c tal que G(x) = F(x) + c, 
para todo x  I. 
 
Função Primitiva 
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Função Primitiva 
 Exemplo 2: Sabemos que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ′ = cos 𝑥 . 
 Logo, 
𝐹 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 . 
 
 E toda primitiva de 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 é da forma: 
𝐺(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐 
para alguma constante 𝑐. 
 
 
 
 
 
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Integral Indefinida 
 Definição: 
 Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é 
chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada 
por 
)()()()( ' xfxFcxFdxxf 
cxFdxxf  )()(
Da definição de integral indefinida decorre que: 
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 dxxf )(
- representa a família de funções primitivas 
da função integrando 𝒇(𝒙). 
Família de primitivas da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1. A constante C 
neste caso assumi os valores -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. 
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Integral Indefinida: Propriedades 
 Proposição: 
 Sejam f, g: I  IR e K uma constante. Então: 
  dxxfKdxxfKi )()( )(     dxxgdxxfdxxgxfii )( )( )()( )(
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Tabela de Integrais 
 Vamos montar a tabela de integrais a partir da tabela 
de derivadas: 
1)()( '  xfxxf
)()( '' xgyxgy    cxgdxxg
xgxg
)()( 
:é indefinida integral a e )( de primitiva uma é )(
'
'
 

cxdx
xfxxf
1:é indefinida integral a e
 1)(' de primitiva uma é )(
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 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑘𝑥 ⟹ 𝑦′ = 𝑘; 
 Logo, 
∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑥𝛼 ⟹ 𝑦′ = 𝛼𝑥𝛼−1; 
 Se 𝑦 =
1
𝛽+1
𝑥𝛽+1 ⟹ 𝑦′ =
𝛽+1
𝛽+1
𝑥𝛽 = 𝑥𝛽. 
 Logo, 
 ∫ 𝑥𝛽𝑑𝑥 =
𝑥𝛽+1
𝛽 + 1
+ 𝑐, 𝑠𝑒 𝛽 ≠ −1 
 
 
 
 
 
  cxgdxxgxgyxgy )()( logo ),()(
'''
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 Exemplo 3: 
 
∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 
 
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 = 
 
∫ 𝑥2
3
𝑑𝑥 = 
 
∫ 𝑥5 +
1
𝑥3
+ 4 𝑑𝑥 =
 
 
 
 
 
 
1
3 + 1
𝑥3+1 + 𝑐 =
1
4
𝑥4 + 𝑐 
∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =
1
−2 + 1
𝑥−2+1 + 𝑐 = −
1
𝑥
+ 𝑐 
∫ 𝑥
2
3𝑑𝑥 =
1
2
3
+1
𝑥
2
3
+1 + 𝑐 =
3
5
𝑥
5
3 + 𝑐 
 ∫ 𝑥5 + 𝑥−3 + 4 𝑑𝑥 
 
=
𝑥5+1
5+1
+ 𝑐1 +
𝑥−3+1
−3+1
+ 𝑐2 + 4𝑥 + 𝑐3 
=
𝑥6
6
−
1
2𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑐 
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 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = ln 𝑥 ⟹ 𝑦′ =
1
𝑥
; 
 Logo, 
 
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝑐, 𝑥 ≠ 0 
 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑒𝑥 ⟹ 𝑦′ = 𝑒𝑥; 
 Logo, 
 ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
  cxgdxxgxgyxgy )()( logo ),()(
'''
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 Exemplo 4: 
 
∫
1
𝑥
+ 𝑥 𝑑𝑥 = 
 
 
 
 
 
 
∫ 5𝑒𝑥𝑑𝑥 = 
 
 
 
 
 
∫
1
𝑥
+ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 
= ln |𝑥| +
2
3
𝑥3 + 𝑐 
5𝑒𝑥 + 𝑐 
= ln |𝑥| + 𝑐1 +
𝑥
3
2
3
2
+ 𝑐2 
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 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑦′ = cos 𝑥 ; 
 Logo, 
 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐 
 
 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = cos 𝑥 ⟹ 𝑦′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥; 
 Logo, 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
  cxgdxxgxgyxgy )()( logo ),()(
'''
 
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 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 ; 
 Logo, 
 ∫ sec2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 
 
 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = cotg 𝑥 ⟹ 𝑦′ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥; 
 Logo, 
 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥 = −cotg 𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
  cxgdxxgxgyxgy )()( logo ),()(
'''
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 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 ; 
Logo, 
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐 
 
 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = co𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑦′ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥; 
Logo, 
 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥 = −co𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
  cxgdxxgxgyxgy )()( logo ),()(
'''
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 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑦′ =
1
1−𝑥2
; 
Logo, 
∫
1
1−𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐 
 Da tabela de derivadas: 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑦′ =
1
1+𝑥2
; 
 Logo, 
 ∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
  cxgdxxgxgyxgy )()( logo ),()(
'''
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 Exemplo 5: Calcule: 
∫ 3 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
 
 Solução: 
∫ 3 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = 
 
 
 
 
 
 
= 3∫ sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
= 3𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐2 
= 3𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 
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 Exemplo 6: Calcule: 
 
sec2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑑𝑥 
 Solução: 
 
 
sec2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
= 
1
cos 𝑥
.
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 𝑑𝑥 
= sec 𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 
= sec 𝑥 + 𝑐 
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
sen 𝑥 
 
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 Exemplo 7: Calcule: 
 2cos 𝑥 +
1
𝑥
𝑑𝑥 
 Resposta: 
 
 2cos 𝑥 +
1
𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
= 2sen 𝑥 + 2 𝑥 + 𝑐 
IMPORTANTE: 
TABELA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS 
DISPONÍVEL NO MOODLE PARA AUXÍLIO NA 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS. 
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Exercícios: 
1) Calcule as integrais indefinidas: 
𝑎) 
𝑑𝑥
𝑥3
 𝑏) 
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
 𝑐) 𝑥3 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑) 
𝑥2 + 1
𝑥2
 𝑑𝑥 𝑒) 
ln (𝑥)
𝑥𝑙𝑛(𝑥2)
 𝑑𝑥 
 
2) Determine a função 𝑓 tal que 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + cos 𝑥 + 𝑐 
 
3) Encontre uma função 𝑓 tal que 𝑓′ 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,
 𝑒 𝑓 0 = 2.