Cálculo II - Aula 2 - INTEGRAIS

Prévia do material em texto

Cálculo II 
Aula 2 - INTEGRAIS 
Professora: Mariah Rissi Leitão 
E-mail: rissi.mariah@gmail.com 
INTEGRAIS 
 
No Cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para 
determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge 
naturalmente em dezenas de problemas, como na física por exemplo. 
 
O processo de calcular a integral é chamado de integração. Existem alguns 
tipos de integrais. Veremos alguns desses tipos: 
 
  INTEGRAL INDEFINIDA 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 
 
 INTEGRAL DEFINIDA 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
𝒃
𝑨
 
INTEGRAIS INEDFINIDAS 
Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar 
a própria função. 
 
Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e 
quer saber a posição desse corpo em um determinado tempo futuro. 
 
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado 
antiderivação ou integração indefinida. 
 
DEFINIÇÃO 
 
Dizemos que uma função F é primitiva ou antiderivada de uma função f em 
um determinado intervalo se F’(x) = f(x), para cada x do intervalo. 
INTEGRAIS 
 Uma função 𝐹 é uma primitiva (ou antiderivada) de 𝑓(𝑥) no 
intervalo 𝐼 se 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 em 𝐼. 
 
Exemplo: Quem é uma primitiva da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 ? 
 Conhecendo-se a regra básica de derivação da potência, 
 tem-se que 𝐹 𝑥 = 𝑥3. 
 
 Além de 𝐹1(𝑥) = 𝑥
3, note que: 
 𝐹2(𝑥) = 𝑥
3 + 53 também é uma primitiva de f, assim 
 como 𝐹3(𝑥) = 𝑥
3 – 21. 
 A família de todas as primitivas de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 é representada por 
𝐺(𝑥) = 𝑥3 + 𝐶, onde C representa genericamente uma constante. 
INTEGRAL - NOTAÇÃO 
A operação de encontrar a família de todas as primitivas de uma função 
é chamada de integral indefinida (ou primitivação) e é representada na 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A diferenciação e a integração são operações inversas, no mesmo 
sentido de que a divisão e a multiplicação são operações inversas. 
INTEGRAIS INDEFINIDAS 
PROPRIEDADES 
INTEGRAIS INDEFINIDAS 
EXERCÍCIOS 
GABARITO 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
Considere a região delimitada pelo gráfico da função 𝑓(𝑥), o eixo 𝑥, e 
as retas verticais 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como calcular a área da região de delimitada pelo intervalo 
 𝐼 = [𝑎, 𝑏]? 
INTEGRAL DEFINIDA 
 Se dividimos um intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] em uma coleção finita de 
subintervalos de I que não se sobrepõem e cuja união é o próprio I, 
teremos: 
INTEGRAL DEFINIDA 
A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada pelo 
somatório das áreas de cada um deles, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 = lim
𝑛→+∞
 𝑓(𝑥𝑘)
𝑛
𝑘=1
∆𝑥 . 
E para resolvermos isso utilizamos a integral definida! 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
Definiremos a integral definida, cuja origem foi a formalização matemática 
da ideia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de 
funções. 
Definição 
 
 Seja uma função 𝑓(𝑥) definida e 
contínua num intervalo real [𝑎, 𝑏]. A 
integral definida de 𝑓(𝑥), de 𝒂 até 𝒃, é 
um número real, e é indicada pelo 
símbolo: 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
= lim
∆𝑥 →0
 𝑓(𝑐𝑘)(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)
𝑛
𝑘=1
 
 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
= lim
∆𝑥 →0
 𝑓(𝑐𝑘)
𝑛
𝑘=1
∆𝑥𝑘 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
 O símbolo 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é lido como “integral de 𝑎 até 𝑏 de 
𝑓 𝑥 𝑑𝑥”. 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL 
DO CÁLCULO 
Como Resolver uma integral definida??? 
 
O teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de 
derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma 
função contínua 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ, podemos calcular a sua integral definida 
 
 𝑓 𝑡
𝑏
𝑎
𝑑𝑡. 
TEOREMA 
 
 Se f é contínua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste 
intervalo, então 
 𝒇 𝒕
𝒃
𝒂
𝒅𝒕 = 𝑭(𝒕) 
𝒃
𝒂
= 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 . 
 
EXERCÍCIOS 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 Integral por substituição; 
 
 Integral por partes; 
 
 Integral por substituição trigonométrica; 
 
 Integral de Funções Racionais por Frações Parciais; 
Uma forma de resolver as integrais é aplicando propriedades de integração. 
Mas nem sempre essas propriedades são suficientes para achar a solução. 
Para isso existem técnicas de integração para solucionar as integrais. São 
elas: 
INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO 
 
A integral por substituição consiste em transformar o integrando, que é uma 
função composta, em um integrando mais simples através de uma mudança 
de variável. 
 
Esta regra é uma aplicação da regra da cadeia (para derivação) ao 
contrário: 
 
Exemplo: 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥2 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥2 ↔ 2𝑥 cos 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 + 𝐶 
INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO 
REGRA DA SUBSTITUIÇAO 
 
 
 
 
 
 
 Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) é uma função derivável cuja imagem é um 
intervalo 𝐼 e 𝑓 é contínua em 𝐼, então: 
 
𝑢 = 𝑔 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 𝒇 𝒈 𝒙 𝒈′(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇(𝒖) 𝒅𝒖 = 𝑭 𝒖 + 𝑪 
 𝒇 𝒈 𝒙 𝒈′(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭𝒈(𝒙) + 𝑪 
INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO 
 EXEMPLO 1 
 
 
 
 𝟐𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏
𝟓𝟎
 𝒅𝒙 
PASSO 1: Escolher a função 𝑢 e calcular sua derivada (𝑑𝑢); 
 
 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝟏 → 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
PASSO 2: Reescreva a integral em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢, e calcule; 
 
 
 
 
PASSO 3: Troque a variável 𝑢 em 𝐹(𝑢), por 𝐹(𝑥); 
 
 ***SOLUÇÃO: 
 𝒖𝟓𝟎 𝒅𝒖 = 
𝒖𝟓𝟏
𝟓𝟏
+ 𝑪 
 
 
𝒙𝟐 + 𝟏
𝟓𝟏
𝟓𝟏
+ 𝑪 
 
INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO 
 EXEMPLO 2 
 
 
 
PASSO 1: Escolher a função 𝑢 e calcular sua derivada (𝑑𝑢); 
 
 𝒖 = 𝟓𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙 ∴ 𝒅𝒙 =
𝒅𝒖
𝟓
 
 
PASSO 2: Reescreva a integral em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢, e calcule; 
 
 
 
 
PASSO 3: Troque a variável 𝑢 em 𝐹(𝑢), por 𝐹(𝑥); 
 
 ***SOLUÇÃO: 
 𝒆𝒖
𝒅𝒖
𝟓
 = 
𝟏
𝟓
 𝒆𝒖 𝒅𝒖 =
𝟏
𝟓
𝒆𝒖 + 𝑪 
 
 
𝟏
𝟓
𝒆𝟓𝒙 + 𝑪 
 
 𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙 
EXERCÍCIO 
GABARITO 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
Após estudarmos a técnica da Regra da Substituição percebemos que 
existem algumas integrais que não conseguimos resolver com esta regra 
como por exemplo: 
 
 
 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥, 1 − 𝑥2 𝑑𝑥 … 
 
 
Para calcular tais integrais, precisamos de técnicas mais elaboradas, e uma 
dessas técnicas é o método de integração por partes. 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
A Integração por partes é, basicamente, a volta da Regra do Produto (para 
derivadas). Assim, vamos retomá-las: 
 
Se quisermos diferenciar uma função do tipo 
 
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 , 
fazemos 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓′(𝑥) 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
Mas daí temos que 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓′(𝑥) tem a primitiva ou antiderivada sendo 
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 . Assim podemos reescrever a fórmula acima em termos de integral 
indefinida como 
 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝐶 
Separando a soma e reorganizando os termos, obtemos: 
 
 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝐶 
 
 𝒇 𝒙 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒇′(𝒙) 𝒅𝒙 
Que é a fórmula de integração por partes. A constante C pode ser omitida, pois está 
embutida na integral inicial. 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
A integração por partes é uma técnica que permite calcular integrais onde aparece o 
produto de duas funções de tal forma que não seja possível aplicar a técnica de 
substituição. O objetivo é obter uma integral mais simples que a inicial. 
 
REGRA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Uma forma mais usual de escrever a fórmula 
 
 𝒇 𝒙 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙, 
é considerando 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑣 = 𝑔 𝑥 . Então 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 e d𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥. Com 
isso usando a regra de substituição, a fórmula da integração por partes se torna: 
 
 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗𝒅𝒖. 
INTEGRAÇÃO PORPARTES 
 EXEMPLO 1 
 
 
PASSO 1: Identificar 𝑢 e 𝑑𝑣: 
 
 𝒖 = 𝒙 𝒆 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 
 
PASSO 2: Calcular 𝑑𝑢 e 𝑣: 
 
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒆 𝒗 = 𝒅𝒗 → 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 +
𝑪 
𝒔𝒆𝒓á 𝒐𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒂
 
PASSO 3: Aplicar a fórmula e calcular: 
 
 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 
 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝑪 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 EXEMPLO 2 
 
 
PASSO 1: Identificar 𝑢 e 𝑑𝑣: 
 
 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 𝒆 𝒅𝒗 = 𝟏 𝒅𝒙 
 
PASSO 2: Calcular 𝑑𝑢 e 𝑣: 
 
𝒅𝒖 =
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 𝒆 𝒗 = 𝒅𝒗 → 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 +
𝑪 
𝒔𝒆𝒓á 𝒐𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒂
 
PASSO 3: Aplicar a fórmula e calcular: 
 
 𝒍𝒏 𝒙𝒅𝒙 →
𝑷𝒐𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒕𝒐 𝒏𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂:
 𝒍𝒏 𝒙 . 𝟏𝒅𝒙 
 𝒍𝒏 𝒙. 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙𝒍𝒏 𝒙 − 𝒙
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 = 𝒙𝒍𝒏 𝒙 − 𝒙 + 𝑪 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 EXEMPLO 3 
 
 
PASSO 1: Identificar 𝑢 e 𝑑𝑣: 
 
 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒆 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝒅𝒙 
 
PASSO 2: Calcular 𝑑𝑢 e 𝑣: 
 
𝒅𝒖 = −𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝒗 = 𝒅𝒗 → 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 +
𝑪 
𝒔𝒆𝒓á 𝒐𝒎𝒊𝒕𝒊𝒅𝒂
 
PASSO 3: Aplicar a fórmula e calcular: 
 
 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 
 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒆𝒙(−𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 EXEMPLO 3 – Resolvendo: 
 
 
Voltando para a integral inicial, temos: 
 
 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 − −𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 
 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙
∗∗
= 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒅𝒙
∗∗
 
𝟐 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪 
 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒅𝒙 =
𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 
𝟐
+ 𝑪 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
 
GABARITO 
 
 
INTEGRAÇÃO TABULAR 
Vimos que integrais da forma 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 , nas quais 𝑓 pode ser derivada 
repetitivamente até se tornar zero e 𝑔 pode ser integrada repetitivamente sem 
dificuldade, são candidatas naturais a integração por partes. Entretanto, quando são 
necessárias muitas repetições, os cálculos podem ser trabalhados. Em situações 
como essas, existe um meio de organizar os cálculos que poupa muito trabalho. 
Trata-se da chamada integração tabular. Como mostra a seguir. 
 
 
 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
𝒇(𝒙) e suas derivadas 𝒈 𝒙 e suas integrais 
𝑓(𝑥) (+) 𝑔(𝑥) 
𝑓′(𝑥) 
⋮ 
 
(−) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢 
𝑓𝑛 𝑥 = 0 
 𝑢𝑑𝑢 = 𝑣 
INTEGRAÇÃO TABULAR 
𝒇(𝒙) e suas derivadas 𝒈 𝒙 e suas integrais 
𝑥2 (+) 𝑒𝑥 
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 
 
(−) 
 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
𝑓′′ 𝑥 = 2 (+) 
 
𝑒𝑥 
𝑓′′′ 𝑥 = 0 𝑒𝑥 
 EXEMPLO: 
 𝑥2 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝐶 
INTEGRAÇÃO TABULAR 
𝒇(𝒙) e suas derivadas 𝒈 𝒙 e suas integrais 
𝑥3 (+) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 
 
 
(−) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 
𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥 (+) 
 
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑓′′′ 𝑥 = 6 (−) cos 𝑥 
𝑓𝑖𝑣 𝑥 = 0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 EXEMPLO: 
 𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥3 cos 𝑥 + 3𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 6𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 6𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
EXERCÍCIO 
 
 
Utilize a integral tabular para resolver as integrais a seguir. 
 
𝑎) 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑏) 𝑥3𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑐) 𝑥2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑑) 𝑥2 − 5𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑡 = 
GABARITO 
𝑎) 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
𝑏) 𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 6 𝑒𝑥 + 𝐶 
 
𝑐) −
𝑥2
2
cos 2𝑥 +
𝑥
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
4
cos 2𝑥 + 𝐶 
 
𝑑) 𝑥2 − 7𝑥 + 7 𝑒𝑥 + 𝐶