Prévia do material em texto
MAE116 – Noções de Estatística Grupo B – 2o semestre de 2012 Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) Página 1 de 6 http://www.ime.usp.br/~mae Exercício 1 Um medicamento usual para uma determinada doença provoca sonolência em 15% dos pacientes. Um laboratório está pesquisando uma nova fórmula, visando diminuir a proporção de pacientes que sofrem desse efeito colateral. Numa amostra de n=30 pacientes tratados com o medicamento que usa a nova fórmula, 3 relataram sonolência. (a) Formule o problema como um teste de hipóteses. (0,4 pontos) Defina p: proporção de pacientes que sofrem sonolência com o medicamento. Então as hipóteses a serem testadas são: H:p=0,15 e A:p<0,15 (b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II no contexto do problema. (0,6 pontos) Erro tipo I: A conclusão seria que a nova fórmula diminui a proporção de pessoas que sofrem sonolência, mas na verdade não diminui. Erro tipo II: A conclusão seria que a nova fórmula não diminui a proporção de pessoas que sofrem sonolência, mas na verdade diminui. (c) Ao nível de significância de 1%, há evidências de que a nova fórmula provoca sonolência numa proporção menor de pacientes do que o medicamento usual? (0,6 pontos) Binomial com n=30, p=0,15. x Pr x Pr 0 0,0076 7 0,0828 1 0,0404 8 0,0420 2 0,1034 9 0,0181 3 0,1703 10 0,0067 4 0,2028 11 0,0022 5 0,1861 12 0,0006 6 0,1368 13 0,0001 A probabilidade de é zero considerando 4 decimais. Note que: RC 0.0076 } 0.0480 Como o nível de significância pedido é 1%, então a RC= . Como foi observado x=3 pacientes que relataram sonolência e este número não pertence à RC, então não rejeitamos a hipótese nula. Desse jeito, a conclusão é que a nova fórmula não diminui a proporção de pacientes que sofrem sonolência. (d) Quais situações abaixo levam você a rejeitar a hipótese nula? Justifique. (d1) Use os mesmos valores mas aumente de 0,01 para 0,05. (0,4 pontos) Note que RC 0,0076 0,0480 0,1514 Portanto, usando =0,05 tem-se que a RC= . Neste cenário, continuamos não rejeitando a hi- pótese nula, pois x=3 também não pertence à RC. (d2) Use a mesma proporção amostral de pacientes com sonolência mas aumente n de 30 para 150 e use os dois valores de (0,01 e 0,05). (0,4 pontos) MAE116 – Noções de Estatística Grupo B – 2o semestre de 2012 Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) Página 2 de 6 http://www.ime.usp.br/~mae Binomial com n=150, p=0,15. x Pr x Pr x Pr 0 0,0000 14 0,0132 28 0,0396 1 0,0000 15 0,0211 29 0,0294 2 0,0000 16 0,0314 30 0,0209 3 0,0000 17 0,0436 31 0,0143 4 0,0000 18 0,0569 32 0,0094 5 0,0000 19 0,0697 33 0,0059 6 0,0000 20 0,0806 34 0,0036 7 0,0000 21 0,0881 35 0,0021 8 0,0001 22 0,0911 36 0,0012 9 0,0004 23 0,0895 37 0,0006 10 0,0009 24 0,0836 38 0,0003 11 0,0020 25 0,0743 39 0,0002 12 0,0041 26 0,0631 40 0,0001 13 0,0076 27 0,0511 Portanto, RC 0.0075 0.0151 0.0283 0.0494 0.0808 Se =0,01, então RC= e se =0,05, então RC= . Logo, x=15 (i.e., proporção amostral de 10%) pertence à região crítica, se =0,05 e não pertence se =0,01. Portanto, ao nível de 1% de significância não rejeitamos a hipótese nula e ao nível de 5% rejeita- mos. Exercício 2 Sabe-se através de experiências passadas que, se uma determinada máquina estiver ajustada, apenas 5% dos itens produzidos serão defeituosos. Diariamente são inspecionados os primeiros 25 itens produzidos pela máquina. Se o número de itens defeituosos for no máximo 2, a produção continua sem interrupção. Caso sejam selecionados 3 ou mais itens defeituosos pára-se a máquina para que ela seja ajustada. (a) Formule este problema como um problema de teste de hipóteses especificando as hipóteses nula e alternativa. (0,4 pontos) Defina p: proporção de itens produzidos que são defeituosos. H: p=0,05 e A: p>0,05 (b) Quais são os significados práticos dos erros tipo I e tipo II? (0,6 pontos) Erro tipo I: A conclusão seria que a máquina não está ajustada ou seja, parar a produção, mas na verdade a máquina está ajustada. Erro tipo II: A conclusão seria que a máquina está ajustada,ou seja não parar a produção, mas na verdade a máquina não está ajustada. MAE116 – Noções de Estatística Grupo B – 2o semestre de 2012 Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) Página 3 de 6 http://www.ime.usp.br/~mae (c) Qual é a região crítica do teste? (0,3 pontos) RC= . (d) Qual é o nível de significância do teste? (0,6 pontos) Binomial com n=25, p=0,05. X Pr 0 0,2774 1 0,3650 2 0,2305 3 0,0930 4 0,0269 5 0,0060 6 0,0010 7 0,0001 Para os demais valores de x, a probabilidade associado é 0 se for considerado 4 decimais. Assim, a RC= tem um nível de significância de 0,1271 (=1-0,2774-0,3650-0,2305). (e) Se num determinado dia forem observados dois itens defeituosos, qual seria a decisão com base na região crítica obtida no item (c)? (0,6 pontos) Como x=2 não pertence à RC, então não rejeitamos a hipótese nula. Assim, a conclusão seria que a máquina está ajustada. (f) Usando a região crítica obtida em (c), qual é a probabilidade de continuar a produção sem interrupção se a máquina estiver desajustada e a proporção de itens defeituosos for de 20%? E se for de 30%? Essas probabilidades são de que tipo de erro? (0,8 pontos) Binomial com n=25, p=0,20. x Pr 0 0,0038 1 0,0236 2 0,0708 Neste caso, a probabilidade de a máquina continuar em produção (i.e., não rejeitar a hipótese nula) é 0,0982 (=0,0038+0,0236+0,0708). Para o segundo caso, Binomial com n=25, p=0,30. x Pr 0 0,0001 1 0,0014 2 0,0074 Neste caso, a probabilidade de que a máquina continue em produção (i.e., não rejeitar a hipótese nula) é 0,0089 (=0,0001+0,0014+0,0074). Ambas probabilidades estão associadas ao Erro tipo II. Exercício 3 Em um certo município foi feita uma pesquisa em 1995 e constatou-se que 25% das crianças participavam de atividades esportivas nos centros esportivos construídos pela prefeitura. A prefeitura, em 2010, com o intuito de verificar se essa participação se alterou realizou uma pesquisa com 40 crianças e constatou-se que 16 participavam de atividades esportivas. (a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses, especificando quem é p. (0,4 pon- MAE116 – Noções de Estatística Grupo B – 2o semestre de 2012 Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) Página 4 de 6 http://www.ime.usp.br/~mae tos) Defina p: proporção de crianças que participavam de atividades esportivas nos centros esportivos da prefeitura em 2010. H: p=0,25 e A: p 0,25 (b) Ao nível de significância de 10%, qual é a conclusão? (0,6 pontos) Binomial com n=40 e p=0,25. x Pr x Pr 0 0,0000 11 0,1312 1 0,0001 12 0,1057 2 0,0009 13 0,0759 3 0,0037 14 0,0488 4 0,0113 15 0,0282 5 0,0272 16 0,0147 6 0,0530 17 0,0069 7 0,0857 18 0,0029 8 0,1179 19 0,0011 9 0,1397 20 0,0004 10 0,1444 21 0,0001 Para os demais valores de x, a probabilidade associada é 0 se for considerado 4 decimais. Neste caso, a região crítica é da forma RC= . Portanto, P |p=0,25)=0,10 P( p=0.25)=0,05 e P |p=0,25)=0,05. Fazendo as contas, tem-se que P( p=0,25)=0,0432 e P( p=0,25)=0,0962 . P |p=0,25)=0,0263 e P |p=0,25)=0,0545 . Desse jeito, RC= . Como o valor observado X=16 pertence à RC, então rejeitamos a hipótese nula. Portanto, conclui-se que a proporção de crianças que participavam de atividades esportivas nos centros esportivos da prefeitura em 2010 não era a mesma que em 1995. (c) Se a hipótese nula foi rejeitada, estime a proporção de crianças que participam de atividades espor- tivas em 2010, por meio de um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 90%. (0,3 pon- tos) Note que . Assim, um intervalo de confiança aproximado de 90% para p éExercício 4 Suponha que você trabalha em uma empresa que produz certo tipo de biscoito. Como as vendas desse bis- coito vêm caindo nos últimos meses, você decide propor uma mudança na embalagem. Para verificar se os consumidores se sentem mais atraídos pela embalagem nova, você planeja selecionar uma amostra de 20 consumidores e, para cada um, apresentar as duas embalagens e pedir que a pessoa escolha uma. Seja p a proporção de consumidores na população que preferem a embalagem nova. (a) Formule o problema como um teste de hipóteses.(0,4 pontos) Defina p: proporção de consumidores que preferem a embalagem nova. H: p=0,5 e A:p 0,5 MAE116 – Noções de Estatística Grupo B – 2o semestre de 2012 Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) Página 5 de 6 http://www.ime.usp.br/~mae (b) Qual é o significado dos erros do tipo I e do tipo II para esse problema? (0,5 pontos) Erro tipo I: A conclusão seria que a nova embalagem ajuda a aumentar as vendas do biscoito, mas na verdade não ajuda. Erro tipo II: A conclusão seria que a nova embalagem não ajuda a aumentar as vendas do biscoito, mas na verdade ajuda. (c) Qual é a região crítica para um nível de significância de 6%? (0,6 pontos) Binomial com n=20 e p=0,5. x Pr x Pr 0 0,0000 11 0,1602 1 0,0000 12 0,1201 2 0,0002 13 0,0739 3 0,0011 14 0,0370 4 0,0046 15 0,0148 5 0,0148 16 0,0046 6 0,0370 17 0,0011 7 0,0739 18 0,0002 8 0,1201 19 0,0000 9 0,1602 20 0,0000 10 0,1762 Assim, RC 0,0577 0,1316 Desse jeito, RC= . (d) Se 12 dos 20 consumidores entrevistados escolheram a nova embalagem, qual é a conclusão? (0,6 pontos) Como o valor 12 não pertence à RC, então não rejeitamos a hipótese nula. Assim, a conclusão é que a nova embalagem não ajuda a aumentar as ventas do novo biscoito. (e) Se a proporção de consumidores que preferem a embalagem nova for 0,7, qual é a probabilidade de você não mudar a embalagem? E se for 0,9? (0,9 pontos) Binomial com n=20 e p=0,7 x Pr x Pr 6 0.0002 14 0.1916 7 0.0010 15 0.1789 8 0.0039 16 0.1304 9 0.0120 17 0.0716 10 0.0308 18 0.0278 11 0.0654 19 0.0068 12 0.1144 20 0.0008 13 0.1643 MAE116 – Noções de Estatística Grupo B – 2o semestre de 2012 Lista de Exercícios 9 – Teste de Hipóteses I – CASA (Gabarito) Página 6 de 6 http://www.ime.usp.br/~mae Para os demais valores de x, a probabilidade associada é 0 se for considerado 4 decimais. Assim, a probabilidade de não mudar a embalagem se p=0,7 é P(X 12)=0,2277. No segundo caso, Binomial com n=20 e p=0,9 x Pr 11 0.0001 12 0.0004 13 0.002 14 0.0089 15 0.0319 16 0.0898 17 0.1901 18 0.2852 19 0.2702 20 0.1216 Para os demais valores de x, a probabilidade associada é 0 se for considerado 4 decimais. Assim, probabilidade de não mudar a embalagem se p=0,9 é P(X 12)=0,0005.