10ª AULA(Introdução ao Ensino de Determinante)

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9ª AULA
Introdução ao estudo de Determinante
Cálculo de Determinante
DETERMINANTES
Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M ( e indicamos por det M) o número que obtemos operando com os elementos de M da seguinte forma:
1º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 1:
				A = [a11]
O seu determinante é a1.
O determinante de A é notado com det A; então:
				det A = det [a11] = a11
Exemplo: det [4] = 4
2º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2:
				A = 
 o seu determinante é a11 . a22 ( a12 . a21
 Para substituir a notação det = 
 usa(se a notação = 
, na qual se utilizam barras verticais "cercando" os elementos de A.
Então:
																			
3º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3:
	A = 
o seu determinante é:
a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 ( a13 . a22 . a31 ( a12 . a21 . a33 ( a23 . a32 .a11
Obs: Existe para o determinante de 3ª ordem uma regra prática, chamada regra de Sarrus que consiste no seguinte:
1º) repetimos a primeira e Segunda colunas à direita da matriz;
2º) multiplicamos os três elementos da diagonal principal e os das paralelas a esta diagonal;
3º) multiplicamos os três elementos da diagonal secundária e os das paralelas a esta diagonal, e trocamos os sinais destes produtos;
4º) somamos os resultados obtidos.
Ex.: Calcular k para que se tenha 
 = 0.
Primeiro calculamos o determinante:
( k . 2 . k ( ( (1) . 3 . 4 ( 1 . 0 . ((1) + (-1) . 2 . ( (1) + 1 . 3 . k + k . 0 . 4 = ( 2k2 + 3k + 14
Devemos ter ( 2k2 + 3k + 14 = 0 ; logo:
 ( 2
k = 
 
Então, k = ( 2 ou k = 
.
Para calcular(mos determinantes de matrizes quadrada de ordem n 
2, devemos recorrer a seguinte fórmula:
Def. 1: Menor complementar do elemento aij 
 ou simplesmente Menor do elemento aij .
Seja A uma matriz quadrada, de ordem n , n ( 2, e seja aij um elemento qualquer de A. O determinante da matriz de ordem n ( 1, obtida de A suprimindo(se sua i(ésima linha e sua j(ésima coluna chama(se menor do elemento aij e indica(se com Mij.
Exemplos:
1º) Seja a matriz A = 
:
 M11 = 
 = ( 7
 M23 = 
 = 0
Def. 2: Cofator do elemento aij
Seja A uma matriz quadrada de ordem n , n ( 2, e seja aij um elemento qualquer de A . O número:
 
 
Chama(se cofator do elemento aij.
Exemplos
Seja a matriz A = 
 :
 A 22 = ((1)2 + 2 . M22 = ((1)2 + 2 . 
 = 1 . ((1) = (1
 A 21 = ((1)2 + 1 . M21 = ((1)2 + 1 . 
 = ((1) . ((7) = 7
Definição de Determinante
Vimos até aqui a definição de determinantes para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.
Agora, a partir do conceito de cofator, definiremos determinante para uma matriz de ordem n, qualquer.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define(se:
Para n = 1: A = [a11] e det A = [a11] = a11
Para n ( 2 :
A = 
 e det A = 
 =
= a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + ... + a1n . A1n = 
aij . A ij
Então o determinante de um a matriz quadrada de ordem n , n ( 2, é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores.
Exemplos
1º) 
�� EMBED Equation.3 = a11 . A11 + a12 . A12 = 
			 = a11 . ((1)1 +1 . | a22 | + a12 . ((1)1+2 . |a21| =
			 = a11 . a22 ( a12a21
2º) 
 = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13=
 = a11 . ((1)1 +1 . 
 + a12 . ((1)1 + 2 . 
 + a13 ((1)1+3 . 
 = 
= a11 . a22 . a33 ( a11 . a32 . a23 ( a12 . a21 . a33 + a12 . a31 . a23 + a13 . a21 . a32 ( a13 . a31 . a22 
	Note que o resultado acima coincide com aquele da definição dada anteriormente (Regra de Sarrus).
Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n ( 2. O seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
	A demonstração é mais complexa que instrutiva: não a faremos 
Observações:
1ª) Para a matriz A = [aij] n x n podemos escrever :
	
2ª) A escolha da linha (ou coluna) para o cálculo de um determinante deve ser adequada: a fila escolhida deve ser aquela que possua mais zeros. Para cada zero da fila escolhida corresponde um cofator que não precisa ser calculado.
Exemplos:
1º) Consideremos a matriz A = 
 
 Utilizando a 2ª linha para a aplicação do Teorema de Laplace:
det A = a21 . A 21 + a 22 . A 22 + a 23 . A 23 + a24 . A24
det A = 0 . A 21 + 3 . A 22 + 0 . A 23 + a24 . A 24
 zero zero
Note que a escolha feita leva(nos ao cálculo de apenas 2 cofatores; se utilizássemos a 1ª linha, deveríamos calcular 4 cofatores.
det A = � EMBED Equation.3 ��� = a11 . a22 ( a12 . a21
�
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 det A = � EMBED Equation.3 ��� a� EMBED Equation.3 ��� . Apj = � EMBED Equation.3 ���a� EMBED Equation.3 ��� . A� EMBED Equation.3 ���
para todo p, 1 ( p ( n e para todo q, 1 ( q ( n
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