Aula SISTEMAS LINEARES

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SISTEMAS LINEARES 
 
EQUAÇÃO LINEAR 
• Uma equação linear a n incógnita sobre lR é uma equação da 
forma 
 
 
onde a1, a2, a3 , ... an e b são números reais conhecidos e x1, x2, ... 
xn são as incógnitas. 
 
Os números a1, a2, ..., an são chamados coeficientes e b é o 
termo independente. 
 
 
bxaxaxaxa nn ...332211
• Uma solução da equação a1 x1 + a2x2 + ... + anxn = b 
é um conjunto ordenado de números reais ( ) 
para o qual a sentença a1 1 + a2 2 + ... + an n = b é 
verdadeira. 
 
• Conjunto-solução ou conjunto-verdade é o 
conjunto de todas as soluções da equação. 
 
• Uma equação linear a n incógnitas, n > 1, pode ser 
indeterminada ( quando possui infinitas soluções ) ou 
impossível ( quando não possui solução ). 
 
 
n ,...,, 21
• Exemplos 
 
1) Considerando a equação linear x + 2y – 3z = 6 temos: 
 
• Os coeficientes são 1, 2 e –3 e o termo independente é 6. 
• Para x = 5, y = 2 e z =1 temos x + 2y – 3z = (5) + 2(2) – 3(1) = 6; 
logo ( 5, 2, 1) é uma solução da equação. 
• Para x = 4, y = 3 e z = 2 temos x + 2y – 3z = (4) + 2(3) – 3(2) = 4; 
logo ( 4, 3, 2) não é solução da equação. 
 
• Podemos obter soluções da equação atribuindo valores 
para y e para z e depois calculando x. Por exemplo, 
para y = 1 e z = 2 vem x + 2 (1) – 3(2) = 6 , logo x = 10; 
então ( 10, 1, 2 ) é solução da equação. 
• Para y = e z = vem x + 2 - 3 =6 ; então o 
conjunto solução da equação V = { ( 6 - 2 + 3 , , ) 
; lR, lR}. Trata-se de uma equação 
indeterminada. 
 
2) A equação linear 0x + 0y + 0z = 3 não possui solução. É 
uma equação impossível. 
 
 
 
SISTEMA LINEAR 
• Um sistema linear a n incógnitas é um conjunto de 
duas ou mais equações lineares a n incógnitas, 
consideradas simultaneamente. 
• Uma sequência ordenada de números reais é solução 
do sistema se for solução de todas as equações do 
sistema. 
• Conjunto-solução ou conjunto-verdade é o conjunto de 
todas as soluções do sistema. Um sistema linear a n 
incógnitas pode ser classificado em determinado 
( quando possui uma única solução ), indeterminado 
( quando possui infinitas soluções ) ou impossível 
( quando não possui solução). 
 
• Exemplos 
• Considerando o sistema 
 
 
 
• S é um sistema linear de 2 equações a 3 incógnitas; 
• ( 2, 0, 1) é solução de S, porque 
• ( 1, 1, 1) é solução da 1ª equação, pois (1) + (1) + 2(1) = 4, mas não é 
solução da 2ª equação, pois (1) – (1) – 2(1) 0. Então não é solução 
do sistema; 
• S possui outras soluções, como por exemplo ( 2, 2, 0), (2, -2,2), (2, 
10, -4), (2, -4, 3) etc. Logo, S é um sistema indeterminado. 
 
:
02
42
temos
zyx
zyx
S











);(0)1(2)0()2(
)(4)1(2)0()2(
V
V
• Considerando o sistema 
 
 
 
• S é um sistema linear de 3 equações a 3 
incógnitas; 
• ( 1, 3, 2) é a única solução de S; logo é um 
sistema determinado. 
 
:
200
10
6
temos
zyx
zyx
zyx
S









MATRIZES ASSOCIADAS A UM 
SISTEMA LINEAR 
• Consideremos o sistema linear 
 
 
 
 
 
 
• Denominamos matriz completa de S a matriz 
 
 
 
 
 
 
 
onde colocamos em cada linha, ordenadamente, os coeficientes 
e o termo independente de cada equação de S. 
 
 
 










.332211
22323222121
11313212111
...
...
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S
















mmnmmm
n
n
baaaa
baaaa
baaaa




321
22232221
11131211
• A matriz dos coeficientes 
 
 
 
 
é denominada matriz incompleta de S. 














mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa




321
2232221
1131211
REGRA DE CRAMER 
• Dado um sistema linear de n equações a n incógnitas, 
 
 
 
se o determinante D da matriz dos coeficientes for diferente 
de zero, então, S é possível e determinado. A única 
solução é onde Dj, 
j { 1, 2, ..., n } , é o determinante obtido substituindo em D 
a coluna j pela coluna dos termos independentes. 
 










,2211
22222121
11212111
...
...
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S



• Exemplos 
 
• Resolver o sistema 
 
 
 
 
• Temos: 
 
• D = = - 25, Dx = = - 50, 
• 
• 
• Dy = = 0, Dz = = - 125. 
 








.1824
132
72
zyx
zyx
zyx
214
132
121


2118
131
127


2184
112
171

1814
132
721


 
• Então: 
 
 
O conjunto-solução é V = {( 2, 0, 5)} 
.5
25
125
0
25
0
,2
25
50









D
D
ze
D
D
y
D
D
x z
yx