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3ªAULA OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição de Matrizes Dada duas matrizes A e B do tipo m x n , a soma A + B é a matriz m x n que obtemos somando os elementos de mesmo índice das matrizes dadas. Por exemplo, sendo A = temos A + B = Generalizando: Também podemos definir a diferença A – B: Exemplo Sendo A = A + B = Propriedades da adição de matrizes OBS: Se a matriz A e B têm ordem, elas se dizem conformáveis para a adição. 1ª) A adição de matriz é comutativa: para as matrizes A e B, conformáveis para a adição: Demonstração Sejam as matrizes A = A + B = Observe que a adição entre números é comutativa, o que justifica a igualdade acima. 2ª) A adição de matrizes é associativa para as matrizes A, B e C, conformáveis para a adição: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Sejam as matrizes A= [ aij]m x n, B = [bij ]m x n e C = [ cij ] m x n; então: (A + B ) + C = [aij + bij ]m x n + [cij ]m x n = = [( aij + bij ) + cij ]m x n = [ aij + ( bij + cij )]m x n = = [ aij ]m x n + [ bij + cij ]m x n = A + ( B + C ). Observe que a adição entre números é associativa, o que justifica a igualdade acima. 3ª) Existe o elemento neutro. Dada uma matriz A, existe uma matriz X, conformável com A para a adição, tal que: A + X = A Se A = [ aij ] m x n e X = [ xij ]m x n, da condição A +X = A obtemos: aij + xij = aij, e daí, xij = 0. Então, X é a matriz nula de ordem m x n, Om x n: A + O = A 4ª) Existe a matriz oposta Para toda matriz A, de ordem m x n, existe uma matriz X, conformável com a para a adição, tal que: A + X = Om x n Se A = [ aij ]m x n e X = [ xij ]m x n , da condição A + X = 0 obtemos: Aij + xij = 0, e daí, xij = - aij Então, X é a matriz cujos elementos são os opostos dos elementos correspondentes de A; a matriz X, então, denomina-se oposta da matriz A, e se indica com: - A Observe que se A = [ aij ]m x n, então ( – A) = [ -aij ]m x n, e que: A + ( - A ) = 0m x n Note também que – ( - A ) = A. Se A = então – A = Sejam as matrizes A e B, conformáveis para a adição. A diferença de matrizes A – B define-se por: A – B = A + ( - B ) Se A = e B = então: A – B = - = + = = = Formalmente: Sejam as matrizes A = [ aij ]m x n e B = [ bij ] m x n A matriz D = A – B é tal que: D = [ dij ]m x x onde dij = aij – bij Sejam X, A e B matrizes conformáveis para a adição: então, vale a equivalência: X + A = B ( X = B – A Na equação X + A = B, somando-se a matriz (- A) ambos os membros, obtemos sucessivamente: ( X + A ) + ( - A ) = B + ( - A ) X + [ A + ( - A ) ] = b – A X + 0 = B – A X = B – A Então, X + A = B ( X = B – A I Inversamente, para X = B – A, a equação x + A = B fica satisfeita: X + A = ( B – A ) + A = B + ( - A + A ) = B + 0 = B Então, X + A = B ( X + A = B II De I e II vem a tese: X + A = B ( X = B – A . Note então que, numa equação matricial, uma matriz “pode passar” de um membro para o outro da equação, “mudando” o seu sinal.Se A = e B = , determinemos a matriz X tal que X + A = B. Então, do teorema acima: X = B – A = - = MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO POR MATRIZ Dado um número real e uma matriz A do tipo m x n, o produto A é a matriz m x n que obtemos multiplicando por todos os elementos de ª Por exemplo, sendo A = temos (A = . Generalizando: Em particular, para = - 1, a matriz é a matriz oposto de A, ou seja, ( -1) A = - A. Exemplo Sendo A = Propriedades Sejam A e B matrizes de ordem m X n e os números reais . Valem as propriedades: Se A = (� EMBED Equation.3 ��� temos A + B = � EMBED Equation.3 ��� onde cij = � EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ��� A – B = � EMBED Equation.3 ��� A + B = B +A para todo i, 1 ( 1 ( m para todo j, 1 ( 1 ( n Se A = (� EMBED Equation.3 ���onde bij = � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ��� 1ª) 1 . A = A 2ª) (-1) .A = -A 3ª) � EMBED Equation.3 ��� 4ª) 0 . A = � EMBED Equation.3 ��� 5ª) � EMBED Equation.3 ��� 6ª) ( ( + � EMBED Equation.3 ���) . A = � EMBED Equation.3 ��� 7ª) ( . (� EMBED Equation.3 ��� _1054709013.unknown _1054710120.unknown _1054710471.unknown _1054714560.unknown _1054714811.unknown _1054714861.unknown _1054714895.unknown _1054714648.unknown _1054710764.unknown _1054710348.unknown _1054710374.unknown _1054710234.unknown _1054709974.unknown _1054710051.unknown _1054709899.unknown _1023006143.unknown _1023006438.unknown _1023013155.unknown _1023013332.unknown _1023013484.unknown _1023013548.unknown _1054708512.unknown _1023013498.unknown _1023013399.unknown _1023013227.unknown _1023006537.unknown _1023006583.unknown _1023006457.unknown _1023006223.unknown _1023006323.unknown _1023006378.unknown _1023006390.unknown _1023006250.unknown _1023006172.unknown _1023005247.unknown _1023005873.unknown _1023006123.unknown _1023005632.unknown _1023004109.unknown _1023004309.unknown _1023005163.unknown _1023004174.unknown _1023004210.unknown _1023003850.unknown _1023004050.unknown _1023003672.unknown
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