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3ª Aula Inscrição e Circunscrição do Cone na esfera Esfera inscrita no cone Considerando que a esfera inscrita no cone possui r como raio, altura como h e geratriz como g, temos: Ao dividir o cone em partes em um plano que contém seu eixo, o mesmo possuirá um circulo de raio r inscrito num triangulo com dois lados iguais com medidas 2r e altura h proporcionais a g. � No triângulo com lados ABC, temos: Ao comparar o triângulo ADO, retângulo em D pode-se notar uma analogia ao triângulo ABC, retângulo emB. Da conformidade desses triângulos, notamos que AO= h-r, assim: Cone inscrito na esfera A esfera inscrita no cone de raio R possui r como raio e h como altura. Ao dividir os sólidos em partes e colocá-lo em um plano, o mesmo possuirá um triângulo com dois lados iguais VAB de base 2r e altura h no raio R. Assim, Na figura, • (O) = o ponto central da esfera. • (M) = centro da base do cone. Notando que o triangulo OMA é retângulo, teremos: EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Calcule a área da esfera circunscrita ao cone reto de raio 6 cm e altura 18 cm. Solução. Observe que o centro da esfera não coincide com o centro do cone. O triângulo é isósceles e não eqüilátero. Calculamos o raio da esfera pela relação de Pitágoras indicada na figura. 2) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cone eqüilátero cujo volume é . Solução. A altura do cone é a altura do triângulo eqüilátero. O raio da esfera inscrita no cone coincide com o apótema do triângulo eqüilátero. A geratriz do cone eqüilátero (lado do triângulo) vale o diâmetro da base do cone. Utilizando estas informações, temos: 3) Calcule o volume da esfera circunscrita a um cone eqüilátero cujo raio da base mede . Solução. O apótema do triângulo eqüilátero coincide corresponde a um terço da altura, pois vale a distância do baricentro do triângulo à base. Como o triângulo é eqüilátero, o lado vale o dobro do raio do cone. Aplicando as fórmula do triângulo eqüilátero e esfera, temos: 4) Calcular o volume de uma esfera circunscrita a um cone eqüilátero cuja altura mede 16dm. Solução. O cone eqüilátero é aquele em que a secção meridiana é um triângulo eqüilátero. Logo a geratriz vale o dobro do raio (g = 2r). O raio da esfera vale R. i) ii) O ponto O (centro da esfera) está localizado no baricentro do triângulo. Logo a distância “x” entre o centro e a base do cone vale a terça parte da altura: . OBS: Isto pode ser verificado escrevendo R + x = h e resolvendo o triângulo R2 = x2 + r2, substituindo nessa fórmula R = 16 – x. iii) O raio da esfera vale iv) O volume da esfera será Esfera inscrita numa pirâmide regular de base quadrada A esfera inscrita na pirâmide possui r como raio de uma base quadrada, l como base e h como altura. �� INCLUDEPICTURE "http://www.iped.com.br/sie/uploads/21599.jpg" \* MERGEFORMATINET O triângulo VPO, retângulo em P, é considerado idêntico ao triângulo VAM, retângulo em A. Ao fazermos esta comparação, percebemos que VM = g e VO = h – r, assim: _1306663126.unknown _1341589995.unknown _1341593846.unknown _1306664005.unknown _1341589506.unknown _1306663932.unknown _1217010695.unknown _1306662836.unknown _1207858502.unknown
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