Inscrição e Circunscrição de Sólidos em Matemática

Prévia do material em texto

F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Fabrício Maia
assunto: inscrição e circunscrição de sólidos
frente: MateMática i
016.453 - 141803/19
AULAS 62 A 64
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Inscrição e circunscrição de sólidos
Cilindro e esfera
R R = h
2
h
2
R h
h
Cubo e esfera
aR
diâmetro = diagonal diâmetro = aresta
R
a = 2R
R
Octaedro regular e esfera
A
C
B
secção
D
A
C
B2RD
R R
R
a
a
R
V
r
M
V
O
O
a
secçãoVeja:
2
a
2
3
a
2
2
a
2
3
a
r
2
a
2
2
MM
Cone e esfera
h
h
r
h – R R
R
R
R
Tetraedro regular e esfera
h
h
R
R
r
R = 
3
4
 h r = 
1
4
 h
2F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Módulo de estudo
016.453 - 141803/19
Cubo e octaedro regular
b a2 =( )
b
a
=



2
3
b
b a
aa
a
Na figura 2, os vértices do cubo são os centros das faces do 
octaedro regular de aresta a.
Exercícios
01. Determine a altura h do cone reto de área lateral máxima inscrito 
em uma esfera de raio 6 cm.
02. Determine a altura do cilindro de revolução de volume máximo, 
inscrito em um cone de revolução de raio 9 cm e altura 12 cm.
03. Achar a altura h do cilindro de revolução inscrito numa esfera de 
raio R cm= 3 e que tem volume máximo.
04. Em uma esfera de raio R, inscreve-se um tronco de cone de revolução 
cuja base maior é um círculo máximo da esfera. Calcule a altura do 
tronco de tal sorte que sua área lateral seja a maior possível.
05. Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm. 
O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm:
A) 
10
3
 B) 
7
4
C) 
12
5
 D) 3
E) 2
06. Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano 
α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se 
em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a 
ilustração.
α
F
T
A
Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T 
definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse 
círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância 
FT, em decímetros, corresponde a:
A) 10 B) 9
C) 8 D) 7
E) 6
07. Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma joia 
exclusiva. Para isto, imaginou um pingente, com o formato de um 
octaedro regular, contendo uma pérola inscrita, com o formato de 
uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir.
r
Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de comprimento, 
o volume da pérola, em cm3, é:
A) 
2
3
( ) π
 B) 
8
3
π
C) 
8 2
9
( ) π
 D) 
4 6
9
( ) π
E) 
8 6
27
( ) π
08. Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser 
cortado e polido, deu origem a um sólido de 12 faces triangulares 
congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces 
do prisma, conforme representado na figura.
Com base nas informações anteriores, calcule a razão entre os 
valores do sólido e do prisma.
09. Uma peça de ornamentação confeccionada com vidro possui 
a forma de um prisma regular reto, cuja base é um triângulo 
equilátero. Em seu interior, há uma esfera representando o globo 
terrestre, que tangencia cada face do prisma. Sabendo que o raio 
da esfera é r, qual é o volume do prisma?
A) 3 3r B) 2 3 3r
C) 3 3 3r D) 6 3 3r
E) 8 3 3r
3 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
016.453 - 141803/19
Módulo de estudo
10. Considere uma pirâmide regular de altura 
3 6
2
 cuja base é um 
quadrado de lado 3. Calcule
A) o volume da pirâmide.
B) o raio da esfera circunscrita à pirâmide.
11. Um cilindro reto de altura 
6
3
 cm está inscrito num tetraedro 
regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as 
arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm3, 
é igual a
A) 
π 3
4
 B) 
π 3
6
C) 
π 6
6
 D) 
π 6
9
E) 
π
3
12. Em um cone reto de altura 1 e raio da base 1, inscreve-se um 
tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, 
e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. 
Determine o volume do tetraedro.
13. Um cone circular reto de altura H circunscreve duas esferas 
tangentes, como mostra a figura a seguir. A esfera maior tem 
raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume da menor. 
Determine H.
H
14. Seja um cubo regular, no qual os centros de suas faces são vértices 
de um octaedro. Por sua vez, os centros das faces deste octaedro 
formado são vértices de outro cubo. Obtendo consecutivamente 
octaedros e cubos infinitamente, determine a razão da soma do 
volume de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo inicial.
15. A figura a seguir representa uma caixa, com a forma de um prisma 
triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que 
tangencia internamente as cinco faces do prisma.
Admitindo π = 3, determine o valor aproximado da porcentagem 
ocupada pelo volume da boia em relação ao volume da caixa.
Resoluções
01 02 03 04 05
* * * * A
06 07 08 09 10
C E * D *
11 12 13 14 15
D * * * *
* 01: 8 cm
 02: 4 cm
 03: 2 cm
 04: 
2 2
3
R
 08: 
1
4
 10: A) 
9 6
2
 u.v
 B) 6 uc. .
 12: V =
⋅ −( )6 5 2 7
4
 13. 40 cm
 14: 
11
52
 15: 38%
Anotações
SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): ??????? – AUTOR(A): FABRÍCIO MAIA
naldo/REV.: Camilla