CÁLCULO VICTOR

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Módulo ou Valor Absoluto nos Reais
Definição
Seja x є R ; definimos o módulo de x , como sendo
Propriedades :
1)
 
 2)
 
3)
Módulo visto como uma distância :
Exemplos :
a) 
 ( x = 
 ; S = { -9,+9}
�
Observe que -9 e +9 são eqüidistantes da origem ; ou seja , resolver a equação modular acima é determinar quais os números que distam da origem 9 unidades .
Conclusão : 
 representa na reta real a distância de x até a origem .
b) 
( x-4 =7 ou x-4 = -7 ( x = 11 ou x = -3 ; S = { -3 , 11 }.
�
Observe que -3 e 11 são equdistantes de 4 .
Conclusão : 
 representa a distância de x ao valor a na reta real .
4) { x є R/ 
 < a ( a >0 ) } = [ -a , + a ] 
�
5 ) { x є R/ 
 > a ( a >0 ) } = ] - ∞ , -a ] 
 [ a , + ∞ [
�
{ x є R/ 
 < k (k > 0 ) = ] a – k , a + k [ 
7) 
 para todo x real 
Desigualdade Triangular
Quando ocorre a igualdade ?
8) 
Quando ocorre a igualdade ?
9) Um subconjunto A de é dito limitado, se existe um número L>0 de modo que 
�
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) Resolva nos reais :
a) 
b) 
c)
d)
e)
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
Vizinhança Furada nos Reais
Definição
Sejam a Є R e δ Є 
 . Definimos a vizinhança furada de centro a e raio δ , o conjunto 
 .
Observe que d(x,a) < δ com x ≠ a em R é a vizinhança furada .
 
Ponto de Acumulação nos Reais
Definição
Sejam a Є R e A
 
 .Dizemos que a é ponto de acumulação de A se e somente se toda vizinhança furada de a contém elementos de A.
Simbolicamente : a = acm(A) sss 
 .
Exemplos :
Seja A = 
 . 
 a) Verifique se 8 é ponto de acumulação de A .
�
 Observando a figura acima , temos que 8 = acm(A) . O mesmo fato ocorre com 2.
 
 b) Verifique se algum valor do intervalo é ponto de acumulação de A .
�
Logo , qualquer real no intervalo é ponto de acumulação .
 c) Verifique se algum valor que não pertença ao conjunto A é ponto de acumulação de A .
�
 
Logo, nenhum fora do intervalo é ponto de acumulação de A
Obs : o conjunto dos pontos de acumulação de A é 
 .
 
2 ) Seja A = 
 . 
 a) Verifique se 8 é ponto de acumulação .
b) Determine todos os pontos de acumulação de A .
O conjunto dos naturais possui ponto de acumulação ? e os inteiros ?
EXERCÍCIOS
O que seria o conjunto ] 0, 4 [ ( ] 4, 8 [ em termos de vizinhança?
O conjunto dos racionais tem algum elemento que seja ponto de acumulação para os naturais e para os inteiros? E para os racionais? E para os irracionais?
Os naturais são pontos de acumulação para os irracionais?
Um ponto de acumulação tem que pertencer necessariamente ao conjunto em estudo?
Você está em um laboratório tentando verificar se uma determinada grandeza que está no manual ocorre realmente na prática. O que podemos afirmar com relação aos valores medidos em comparação com o que está no manual? (matematicamente)
Seja S = {x / x = 
; n ( 
}, responda:
Algum elemento do conjunto S é ponto de acm (s) justifique.
Algum irracional é ponto de acm (s)? Justifique.
0 = acm (s)? Justifique.
Seja S = {x / x = 
} . Faça um estudo dos pontos de acm (S).
Escreva matematicamente a definição de ponto de acumulação.
Seja S = {x / x = 
} com m ( N. Faça um estudo dos pontos de acm (s).
Como você descreveria a definição de ponto de acumulação para o R2? E o R3? Como seriam essas regiões?
 
Limite da variável x
Definição:
 Sejam A ( R e a ( R; dizemos que a é o limite de x sss ( ( ( > 0 ) ( ( x 
 A ) ( 0 < / x – a / < ( ) e escrevemos lim x = a ou x (a .
Exemplos.
A = { x / x = 
}.
Lim x = 0 pois : | x – 0 | < ( 
 | 
 | < ( ( n² > 
 ( n > 
; o que é sempre possível.
Pergunta: Como você mostraria que lim x não é 1 ?
2) A = { x / x = 
 }, observe que lim x = 0. Justifique.
A = { x / x = n²; n ( N }; (
 lim x = a, para qualquer a ( R. Justifique.
A = { x / x = 
, n ( N }. Mostre que lim x = 4.
Prova: Seja ( > 0 
 | 
 < ( ( 4 + 
 - 4 | < ( ( 
 
.
A = { x / x = ( -1)n . n² ; n 
 N } . Existe o lim x ?
 Nota: Observe que a = acm ( A )
EXERCÍCIOS
Mostre que para x = { x / x = 
 }
temos lim x = 0
Seja x = { x / x = ( -1)n + ( -1 )n+1 ; n ( N }.
Determine lim x, caso exista.
Seja A = { x / x = 
 ; n ( lN } . Determine lim x comprovando.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL (Em um ponto real)
Definição: 
 Sejam f : A ( lR ( B ( lR e a ( lR, dizemos que o limite de f é L ( 
lR quando x 
 a sss ((
> 0) ( 
 
e escrevemos: 
																																																																																																																																																														
									
OBS : 1)escrever 
 é equivalente escrever 
é importante observar que devemos ter necessariamente 
Ex: f (x) = 
NOTAS:
Observe que a medida que nos aproximamos de 2 a função se aproxima de 4 ou seja:
f (2) = 8 e L = 4 ; ou seja o limite da função não é necessariamente o valor da função em x = 2.
A definição de limite não serve para calcularmos o limite e sim para comprovarmos que L = 4, senão vejamos :
f (x) = x + 2 ( x ( 2 ) :
Dem : | f (x) – 4 | = | x + 2 – 4 | = | x – 2 | < ( , ou seja se tomarmos 0 < 
( (, teremos: Seja ( = 
	 0 < | x – 2 | < ( ( | x – 2 | < ( 
 | x + 2 – 4 | < 
 | f (x) - 4 | < ( , daí 
	
 Como você comprova que o limite de f (x) não pode ser 5 ?
Ex: Seja f (x) = 
; Df = lR - 
. Determine lim f (x) e demonstre-o.
x ( 
Solução : 
Comprovação:
Rascunho: | 2x + 1 – 2 | < ( ( | 2x – 1 | < ( ( 
Demonstração: Seja 0 < ( ( 
, façamos 
| f (x) – 2 | < 
, ou seja 
.
EXERCÍCIOS
1) Na definição de 
, a é necessariamente um ponto de acumulação para Df ? E com respeito a L ?
Na definição de limite, se trocarmos os quantificadores, o que aconteceria ? ou seja esta troca alteraria o conceito de limite ?
Na definição de limite, se trocarmos o antecedente pelo conseqüente, no condicional; isto cansaria algum efeito no conceito de limite ?
Mostre que 
.
PROPRIEDADES E TEOREMAS
	Sejam f e g funções reais, tais que:
	lim f (x) = L1 ; lim g (x) = L2 (L1, L2 
lR). Então: 
	
 
 
1) lim [f (x) 
g (x)] = lim f (x) 
 lim g (x) = L1 
L2
 
 
 
 
2) lim [f (x) . g (x)] = lim f (x) . lim g (x) = L1 . L2
 
 
 
 
 
3) lim 
 (L2 ( 0)
4) lim 
 (dentro do campo de existência da raiz)
 
5) lim [f (x)]n = L1n
 
6) lim logb f(x) = logb L1 (dentro do campo de existência)
 
7) 
8) 
	
OBS
Em geral, todas as propriedades da álgebra são válidas. (Todas demonstráveis pela definição)
 TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE
 “O limite quando existe é único” ou seja:
lim f (x) = L1
 
 
lim f (x) = L2
 
 TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL
 Seja lim f (x) = L (L ( lR) , então a função conserva o sinal de L numa vizinhança furada de a.
 
Exemplos Resolvidos:
1) 
2) lim 
	Solução: lim 
 = 
	lim 
 = lim (x2 + 4) (??) ( lim (x2+ 4) = 8
3) lim 
	lim 
4) lim 
 = lim 
 = lim 
 = 23 = 8. 
	 LIMITES LATERAIS
							
lim f (x) = c ; lim f (x) = b
 
lim f (x) =c 
(( 
( 0)(( 
 ( 0) (( x
�� EMBED Equation.DSMT4 )(0 ( x – a ( 
 
| f (x) – L | ( 
)
	Observe que na figura acima: ( lim f (x) (?).
	TEOREMA:
	“ ( lim f (x) sss lim f (x) = lim f (x) ”
	Exemplo: f (x) = 
�
i ) lim f (x) = 4 ii ) lim f (x) = 7
iii ) ( lim f (x).
 2
EXERCÍCIOS
lim 
lim 
lim 
lim 
f (x) = 
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
 0 + 0 – 0
Determine k para que exista lim f (x):
 
	f (x) = 
f (x) = 
; onde 
= maior inteiro menor ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
8) lim 
9) Mostre que: lim f (x) = k para f (x) (constante), quando 
 .
10) lim 
11)lim 
lim 
lim 
lim 
f (x) = 
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
 0 + 0 – 0
Determine k para que exista lim f (x):
 
	f (x) = 
f (x) = 
 ; onde , 
 = maior inteiro menor do que x ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
	 
17) lim 
18)lim 
 
19)lim 
20)lim 
21)lim 
Notas Importantes
1) 
Exemplos :
1)
lim 
2)
lim 
2) 
Exemplo:
	lim 
LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
1) LIMITE INFINITO NUM PONTO ( a real )
 
 
 sss ((M ( 0)((( ( 0)(x ( V*(a, () ( f(x) ( M)
�
Exemplos1)
;2)
�� SHAPE \* MERGEFORMAT �3) Não existe 
 ( why ?)
2) LIMITE FINITO NO INFINITO
 
 ( ((( ( 0)((N ( 0)(x ( N ( f(x) ( V*(L, ())
�
Exemplo :
1) 
 . A prova é feita utilizando a definição .
2)De forma análoga , temos 
 Em geral temos :
 
Devemos observar que o destaque acima não é uma “ igualdade matemática” 
3)
Em geral 
LIMITE INFINITO NO INFINITO
 
 ( ((M ( 0)((N ( 0)(x ( N ( f(x) ( M)
�
De forma análoga , definimos :
 ( ((M < 0)((N < 0)(x < N ( f(x) < M)
�
Exemplos 
1) 
2) 
	
3) 
NOTA
 
E para k < 0 ?
E para k = 0 ?
LIMITE DE UM POLINÔMIO NO INFINITO
Seja 
 = 
(exclusivamente)
Fato idêntico ocorre para 
Obs : 
 1) 
 2) Símbolos de Indeterminação :
Notas :
1)Devemos observar que os termos envolvidos nas parcelas dos símbolos de indeterminação são funções que tendem para os valores em questão .
2) Os detalhes envolvidos serão discutidos nos exercícios em sala de aula .
Quocientes de Polinômios ( x( ± 
) 
OBJETIVO : 
Onde 
�� EMBED Equation.DSMT4 
1) n = m ( 
2) n < m ( 
3) n > m :
 
 
Exemplos : 1)
= 
2)
 
 
3)
 
I ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x(∞ lim f(x)
�
f (x) = 
f (x) = 
f (x) = 
f (x) = 
 �
b) lim f(x)
f (x) = 
f (x) = 
3)f (x) = 
II ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x(∞ lim f(x)
�
f (x) = 
f (x) = 
f (x) = 
f (x) = 
 �
b) para x( - ∞ lim f(x)
 f (x) = 
f (x) = 
5)f (x) = 
�
Função Infinitésima
 
Definição:
A função f é dita infinitésima em x = a (a ( lR ou impróprio)
 sss lim f(x) = 0 ( numa vizinhança furada de a ( lR)
 Exemplo:
	f (x) = x2 – 4, f é infinitésima em a = 2, pois lim (x2 – 4) = 0 
 quando x ( 2 
	Exemplo:
	f (x) = 
 é infinitésima no infinito, pois lim 
 = 0.
	
Definição:
	f : A 
B é limitada sss ( M( 
 tal que ( f (x) ( 
 M ; ( x ( A
 Exemplo:
	f : lR
 lR ; 
 é limitada pois – 1 
 f (x) 
 1
	
Exemplo:
	f : lR
 lR que f (x) = 
 é limitada em lR, pois –1 
 f (x) 
 1.
 TEOREMA
Sejam f e g função reais, tais que:
f é infinitésima em x = a (a ( lR ou impróprio).
g é limitada no seu domínio.
Então: 
	
Exemplo 1:
	
	lim [x . sen 
]= 0, pois f (x) = x é infinitésima em x = 0 e 
 sen
 = g (x) é limitada.
	Observe a que ( lim sen 
 ( why? )
A seguir , o gráfico de g(x) = sen
 em alguns intervalos :
	
A seguir o gráfico de h(x) = x.sen(1/x) , x ≠ 0
Exemplo 2:
	lim (x – 1)2 . cos3 
= 0 ( why? )
gráficos de f(x) = (x – 1)2 . cos3 
 , x ≠ 1 :
 FUNÇÃO CONTÍNUA
CONCEITO
 Uma função é contínua num ponto x = a ( real) quando 
 ou seja :
 
 CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE NUM PONTO
(i) a função deve existir no ponto (( f(a))
(ii) a função deve ter limite no ponto (( limx(a f(x))
(iii) esses valores devem ser iguais (limx(a f(x) = f(a))
Obs.: (i) Se uma dessas três condições não for satisfeita, dizemos que a função é
 descontínua no ponto
 (ii) Uma função é contínua num intervalo [a, b], quando ela é contínua em cada
 ponto do interior desse intervalo ; 
 e 
 
Exemplos :
1) f(x) = 
 limx(2 f(x) = 4 e f(2) = 5 ( limx(2 f(x) ( f(2)
 Observe que se tivéssemos f(x) = 
 A função seria contínua em x= 2 . 
2)Determine k e p para que a função abaixo seja contínua em x=0 :
Observe que devemos ter I) 
 ; logo 
II)f(0)=2k =
 e III) 
LIMITES FUNDAMENTAIS
Limites Trigonométricos
a) 
�
I) 0 < θ < π/2 ( em radiano) ( flecha(PM) < comp(arco AM) < comp(AT) (
sen θ < θ < tg θ ( 1/tg θ < 1/ θ < 1/sen θ ( cos θ < sen θ/ θ < 1 e 
quando θ tende a zero , teremos pelo Teorema do Confronto que 
 . Utilizando conclusão análoga temos que II) 
 ;
E consequentemente 
Consequências :
b) 
 pois 
c) 
 pois
 
Exemplos :
1) 
2) 
3) lim 
 = 1
4) lim 
 = 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) lim 
 = 
lim 
2) lim 
3) lim 
4)L= lim 
L=9 . 
Outros Limites Fundamentais
Seja f (n) = 
; n ( lN*. É possível mostrar que 2 ( f ( n ) < 3 e que f (n) é crescente.
Teorema: “f (n) é uma seqüência crescente e limitada ; logo f (n) tem limite quando n ( (”.
A prova deste teorema encontra-se em qualquer livro de cálculo do curso superior.
com efeito,
=
=
Conseqüência: ( 
; seja então L = 
 L = 
 é um número irracional ( a prova de tal
fato também consta em livros de curso superior ).
Conclusão: 				 ou					
NOTAS
(1) é possível também mostrar que:
 com x ( lR.
Apesar de inicialmente tomarmos f (n) com n ( lN*, estende-se para x ( lR , ou seja:
 .
; se não vejamos:
 ; seja w = - x – 1 Logo w ( + (
 Conseqüências de (1):
.
 lna ( a > 0 ) onde lna = loge a
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 ( símbolo de indeterminação ).
.
.
. (Why?)
 
.
 ( 1 + ( . 
)
 = 
 (Why?)
 
 (Why?)
Uma população cresce 2% ao ano. Determine aproximadamente o crescimento populacional em 1 século. ( em relação à população inicial ).
Seja Po a população inicial, no final de n anos temos P(n) = Po ( 1 + 
)n e com n = 100 ( P(n) = Po ( 1 + 
)100 = Po [ ( 1 + 
)50 ]2 daí P(n) ( Po . e² ( 7,38 . Po.
EXERCÍCIOS
I ) Calcule os limites indicados nos exercícios seguintes:
�
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
 lim 
 lim 
 lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
lim 
24) lim 
25) lim 
26) lim 
27) lim 
28) lim 
29) lim 
30) lim 
31) lim x . sen 
32) lim 
33) lim (x2 – 4) cos 
34) lim 
35) lim 
, quando x tende a zero em graus; e em grados?
36) lim 
37) lim cos 
38) lim 
lim 
 
lim 
lim 
lim 
�
 �
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Uma população cresce 1% ao ano. Determine o crescimento populacional em 2 séculos ( em função da população inicial )
 ; 19) 
 ; 20) 
 FUNÇÕES EQÜIVALENTES
 CONCEITO
 Sejam f e g funções. f e g são eqüivalentes num ponto x0 quando 
, sendo f(x) e g(x) ( 0 numa V * (x0). Indica-se por f(x) ( g(x)
Ex.: 
 ( sen x ( x
 PROPRIEDADES
 Se f1 ( f2 e g1 ( g2 em x0 , temos:
(i) f1.g1 ( f2.g2 e 
(ii) f ( f (reflexiva)
(iii) f ( g ( g ( f (simétrica)
(iv) f ( g ( g ( h ( f ( h (transitiva)
 PRINCIPAIS EQÜIVALÊNCIAS PARA “u( 0”
(i) sen u ( u			(vi) ln (1 + u) ( u
(ii) cos u ( 
			(vii) (1 + u) n ( 1 + nu
(iii) tan u ( xu			(viii) a0 u n + a1 u n-1 + ... + ak u n-k ( ak u n-k
(iv) a u ( 1 + u.ln a			(ix) arcsen u ( u
(v) e u ( 1 + u			(x) arctan u ( u
 
(xi) 
�
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
, a e b ( ( +
2) Calcule os seguintes limites:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
f) 
 g) 
 h) 
 i) 
 j) 
 k) 
 l) 
 m) 
3) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = 
b) f(x) = 
c) f(x) = cos x – [cos x], (x ( [0, (]
d) f(x) = 
e) f(x) = 
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Calcule os 
limites abaixo 
a) 
:
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
�
2) Seja f(x) = 
. Para que valores de a 
 é finito ?
3) Calcule os seguintes limites:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
 i) 
 j) 
k) 
 l) 
 m) 
4) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = (-1)[x](
b) f(x) = 
c) f(x) = 
d) f(x) = 
, (x ( R*
e) f(x) = 
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) a) 4
 b) 2/7
 c) 1/2
d) -1/3
 e) 2
 f) 
g) 1
 h) 1
 i) 1 – 1/n
 j) max(a, b)
2) a) a/b
 b) 2/3
 c) 9/25
 d) -1/2
 e) -2/5
f) 1/e 2
 g) 
 h) 
 i) 
j) 
 k) 
 l) 
m) e
3) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto infinito
 b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2
 c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = (/2 com salto de amplitude 1
 d) contínua em R
 e) descontinuidade evitável p/ x = k( (k ( (-)
 descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
 descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 
 , n ( ( com salto de amplitude 2
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) a) 3/2
 b) 0
 c) 1/9
d) 1
 e) 1/2
 f) 3
g) 1/3
 h) 0
 i) -1/3
 j) 1/4
2) 0 ( a ( 1
3) a) 3
 b) 0
 c) 3/4
 d) 2
 e) 1/8
 f) -1/2
 g) 1
 h) 0
 i) não existe
 j) 
 k) 
 l) ln 2/3
 m) 2/3
4) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k( (*) com salto de amplitude 2(|k|
 b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = -1 com salto infinito
 descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k( + (/2 (k ( (+) com saltos infinitos
 c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k ( Z-) com saltos de amplitude |k|
 descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
 contínua p/ x ( 0
 d) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 1/k (k ( Z*) com saltos de amplitude |1/k|
 descontinuidade evitável p/ x = 0
 e) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2
δ
 8
δ
2
a - δ
a + δ
a
� EMBED Equation.DSMT4 ���
x
x
δ
δ
7
10
2
δ
11
8
2
�
a
L + � EMBED Equation.3 ���
L
L - (
�
a = acm (A)
a = acm (A)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x ( 0 � EMBED Equation.3 ���
x ( 0
x ( 0
x = 0
x ( 0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
b 
(
a
x
c
y
f
� EMBED Equation.3 ���
1
1
0
0
� EMBED Equation.3 ���
?
2
2
?
2
� EMBED Equation.3 ���
Se existe o limite ( L1 = L2
� EMBED Equation.3 ���
x
7
6
2
3
4
-9
+9
0
11
4
-3
-a
+a
0
-a
0
a
� EMBED Equation.DSMT4 ���
lim � EMBED Equation.3 ���
quando x(a
lim � EMBED Equation.3 ��� , quando u(0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x ( 0
x = 0
x ( 0
x ( 0
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a
2
L+(
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M
L
N
M
M
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M
O
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