[Cálculo Numérico] Cálculo Aproximado dos Zeros de Funções Reais (Resumo)

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Ex.: 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 ⇒
𝑥 = 𝜑(𝑥) = 6 − 𝑥2 é 
uma função de iteração. 
 
 
 
CÁLCULO APROXIMADO DOS ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 
 
Teorema: 
 
Para 𝑓(𝑥) contínua em [𝑎, 𝑏]; 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0, existe ao menos um 𝑥 = 𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏]; 𝑓(𝑥) = 0. 
 
 Método da bissecção 
 
Dada a raiz 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) temos as iterações: 
I. 𝑥0 =
𝑎+𝑏0
2
, com {
𝑓(𝑎) < 0
𝑓(𝑏) > 0
 
i. 𝑓(𝑥0) > 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥0) 
ii. 𝑓(𝑥0) < 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑥0, 𝑏) 
 
II. Repete a iteração até |𝑎 − 𝑏| < 𝜖. 
 Obs.: O número de interações é 𝑘 >
log(𝑏−𝑎)−log(𝜖)
log 2
. 
 Método da falsa posição 
 
Dada a raiz 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) temos as iterações: 
 
I. 𝑥0 =
𝑎|𝑓(𝑏)|+𝑏|𝑓(𝑎)|
|𝑓(𝑏)|+|𝑓(𝑎)|
=
𝑎∙𝑓(𝑏)−𝑏𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
 
i. 𝑓(𝑥0) > 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑎0, 𝑥0) 
ii. 𝑓(𝑥0) < 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑥0, 𝑏0) 
 
II. Repete a iteração até |𝑎 − 𝑏| < 𝜖. 
Obs.: 𝜖 é o erro tolerável. 
 
 Método do ponto fixo 
 
Consiste em transformar uma função em uma função auxiliar equivalente, 𝑥 = 𝜑(𝑥) e 
a partir de uma aproximação inicial 𝑥0 gerar a sequência {𝑥𝑘} de aproximações para a raiz 
aplicando a relação 𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘). 
 
• Testa 𝑥𝑘 em 𝑓(𝑥) para verificar se está próxima de zero; 
• |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1| = |𝜑(𝑥𝑘−1) − 𝑥𝑘−1| < 𝜖. 
 
 Método de Newton-Raphson 
 
Escolhida uma aproximação inicial 𝑥0, a sequência de {𝑥𝑘} é dada por 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘)
. 
Obs.: Testa o resultado na função para verificar a aproximação de zero. 
 
 Método da secante 
 
 𝜑(𝑥𝑘) =
𝑥𝑘−2𝑓(𝑥𝑘−1) − 𝑥𝑘−1𝑓(𝑥𝑘−2)
𝑓(𝑥𝑘−1) − 𝑓(𝑥𝑘−2)
 
 
no qual, 𝑥𝑘−1 e 𝑥𝑘−2 são duas aproximações iniciais.