Lista 02- cálculo I - COM GABARITO

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Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 2 - 1o¯ semestre/2016
1. Em cada caso, determine uma equação da reta que passa pelos pontos dados e faça o
gráfico correspondente.
(a) (1, 2) e (2, 1) (b) (1, 4) e (−2, 0) (c) (−1, 3) e (−1,−2) (d) (4,−3) e (2,−3)
2. Determine, em cada caso, os pontos de interseção e esboce os gráficos das retas dadas no
mesmo sistema de coordenadas cartesianas.
(a) y = 2x+ 3 e y = 1− 2x (b) 1− x− y = 0 e x+ y = 4
(c) y = −x− 3 e y = 1−
1
3
x (d) 4y = −2x+ 3 e 5x =
15
2
− 10y
3. Dados o ponto P = (2, 3) e a reta r de equação x+ y+ 2 = 0, determine
(a) a reta que passa por P e é paralela à reta r.
(b) a reta que passa por P e é perpendicular à reta r.
4. Dados os pontos A = (1, 2) e B = (−3, 1), encontre o lugar geométrico de todos pontos
do plano que são equidistantes de A e de B.
5. Determine o ponto da reta de equação 2x−3y+6 = 0 equidistante dos pontos A = (0,−2)
e B = (−4, 0).
6. Calcule a distância do ponto P = (4,−2) à reta que passa pelos pontos A = (−2, 3) e
B = (2, 1).
7. Examinando os declives dos lados, mostre que o triângulo de vértices A = (1, 3), B = (2, 1)
e C = (8, 4) é retângulo e calcule a sua área.
8. Mostre que os pontos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) e (−5, 3) são os vértices de um quadrado.
9. Em cada caso, determine uma equação da circunferência de centro C e raio r.
(a) C = (0, 0) e r = 2 (b) C = (−1, 3) e r = 3 (c) C =
(
1
2
,
5
2
)
e r = 4
10. Verifique se as equações dadas abaixo representam circunferências. Em caso afirmativo,
determine o centro e o raio.
(a) x2 + y2 − 6x+ 4y− 12 = 0 (b) 3x2 + 3y2 − 6x+ 12y+ 14 = 0
(c) 9x2 + 9y2 + 6x− 36y+ 64 = 0 (d) x2 + y2 + 7x− y+ 1 = 0
11. Determine as retas de declive m = 2 que são tangentes à circunferência de equação
x2 + y2 = 5. Faça os gráficos num único sistema de coordenadas.
12. Determine uma equação da circunferência que passa pelos pontos (4, 0), (−1, 0) e (2, 5).
13. Em cada caso, resolva os sistemas de equações e esboce os gráficos das equações.
(a)

x2 + y2 = 16
x−
√
3y+ 4 = 0
(b)

(x+ 1)2 + y2 = 4
(x− 2)2 + (y− 3)2 = 5
(c)

x2 − y2 = 1
x2 + y2 = 7
14. Em cada caso, esboce a região limitada pelas curvas.
(a) y = 3x, y = x2 (b) y = 4− x2, x− 2y = 2
15. Em cada caso, desenhe as regiões definidas pelos sistemas de inequações.
(a)

x2 + y2 ≤ 9
x2 + y2 ≥ 4
(b)

xy ≥ 0
x2 + y2 ≤ 1
(c)

| x | + | y |≥ 1
x2 + y2 ≤ 1
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Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 2 - Gabarito - 1o¯ semestre/2016
1. (a) y = −x+ 3;
−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
A
B
a
(b) y = 4
3
x+ 8
3
;
−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4.−1.
1.
2.
3.
4.
0
A
B
a
(c)x = −1;
−3.−2.−1. 1. 2.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0
C
D
a
(d) y = −3.
−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1. 0
ABa
2. (a) (− 1
2
, 2);
−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
ab
A
(b) Retas paralelas;
−5.−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0
a b
(c)(-6,3);
−7.−6.−5.−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
ab A
(d) Todos os pontos.
−5.−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0
ab
3. (a)y = −x+ 5 (b) y = x+ 1.
4. y = −4x− 5
2
5. (− 3
4
, 3
2
)
6. Reta: y = −1
2
x+ 2 Distância: 8
5
u
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7. Reta que passa por: A e B y = −2x+ 5; B e C y = 1
2
x.
Formam entre si um ângulo de 90 graus. Área: 7, 5u2
8. A distância entre A e B, B e C, C e D, D e A são todas iguais a
√
45, sendo A, B, C e D os
pontos na sequência dada.
Reta entre: (A e B) a : x + 2y = 16; (B e C) b : 2x − y = 2; (C e D) c : x + 2y = 1; (D e A)
d : 2x− y = −13.
Além disso, o ângulo entre as retas a e b, b e c, c e d, d e a são todos iguais a 90 graus.
9. (a)x2 + y2 − 4 = 0 (b)x2 + 2x+ y2 − 6y+ 1 = 0 (c)x2 − x+ y2 − 5y− 19
2
= 0
10. (a)C (3,-2) r=5 (b)C(1,-2) r=
√
1
3
(c)∅ (d)C(− 7
2
, 1
2
) r=
√
23
2
11. y = 2x+ 5 e y = 2x− 5
−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
c
gf
12. (x− 3
2
)2 + (y− 19
10
)2 = 493
50
13. (a)S = {(4, 0), (2, 2
√
3)}
−5.−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0
c
a
A
B
(b)S= ∅
−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
0
c
d
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(c)S={(2,
√
3), (−2,
√
3), (2,−
√
3), (−2,−
√
3)}
−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
c
dA B
C D
14. (a)
−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
a
c
(b)
−5.−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0
c
a
15. (a)(Região mais clara)
−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
(b)(Regiões mais escuras)
−2.−1. 1.
−2.
−1.
1.
0
(c)(Regiões mais escuras)
−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
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