Mecânica I - Poli - P2- 2003

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Departamento de Engenharia Mecânica - Av. Prof. Mello Moraes, 2231 - São Paulo - SP - 05508-900 Brasil - Tel: (011) 3091-5355 - Fax: (011) 3091-1886 
PME2100 – Mecânica A 
Segunda Prova – 21 de outubro de 2003 – Duração: 110 minutos 
Importante: não é permitido o uso de calculadoras 
GABARITO 
(3,0 pontos) 1 – Uma força F é aplicada na cunha A e 
uma força Q é aplicada no bloco B. Os pesos da cunha 
A e do bloco B são desprezíveis se comparados a Q. Os 
coeficientes de atrito estático são (ver figura) µ 1 = 1/4, 
µ 2 = 0, µ 3 = 1/3. Determine o intervalo de valores de F, 
em função de Q, compatível com o equilíbrio. 
 
Solução: 
 
DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE (0,5 ponto) 
Admitindo o caso limite em que o Bloco B tende a 
SUBIR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Admitindo o caso limite em que o Bloco B tende a 
DESCER: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO (1,0 ponto) 
No BLOCO B: 
2323 5
30
5
30 NNNNFx =⇒=−⇒=∑ 
0QFN
5
40F 3at2y =−−⇒=∑ 
Na CUNHA A: 
0FFN
5
30F 1at2x =−+⇒=∑ 
1212y N4
5N0NN
5
40F =⇒=+−⇒=∑ 
No BLOCO B: 
2323 5
30
5
30 NNNNFx =⇒=−⇒=∑ 
0QFN
5
40F 3at2y =−+⇒=∑ 
Na CUNHA A: 
0FFN
5
30F 1at2x =−−⇒=∑ 
1212y N4
5N0NN
5
40F =⇒=+−⇒=∑ 
NA IMINÊNCIA DOS ESCORREGAMENTOS: (0,5 ponto) 
1111 4
1 NNFat == µ ; 0NF 222at == µ ; 3333 3
1 NNFat == µ 
Desta forma: 
FNFNNFNN =⇒=+⇒=−+ 11111 4
1
4
30
4
1
4
5
5
3 
FNNNNNNN
4
3
4
3
4
5
5
3
5
3
3131323 =⇒=⇒=⇒= 
QFQFFQNN =⇒=−⇒=−−
4
3
4
3
3
1
4
5
5
40
3
1
5
4
32 
Portanto: QF
3
4
= 
Desta forma: 
FNFNNFNN 2
4
1
4
30
4
1
4
5
5
3
11111 =⇒=−⇒=−− 
F
2
3NN
4
3NN
4
5
5
3NN
5
3N 3131323 =⇒=⇒=⇒= 
QFQFFQNN =⇒=+⇒=−+
2
52
4
3
3
12
4
5
5
40
3
1
5
4
32 
Portanto: QF
5
2
= 
O intervalo de F compatível com o equilíbrio é: QFQ
3
4
5
2 ≤≤ (0,5 ponto para a resposta final) 
(0,5 ponto se identificar as duas condições de equilíbrio) 
F 
Q 
µ 1 = 1/4 
µ 2 = 0 µ 3 = 1/3 Cunha A 
Bloco B 
3a 
4a 
5a 
. 
Q 
N3 
Fat3 
N2 
 5a 
N1 
F 3a 
4a 
. 
N2 
Fat1 
A 
. 
Q 
N3 
Fat3 
N2 
B 3a 
. 
F 
4a 
5a 
N2 
N1 
Fat1 
A 
 
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(3,5 pontos) 2 – Os discos de centros A e B têm o mesmo raio r e rolam 
sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa no solo, de 
centro O e raio R. O movimento dos discos e da barra AB se dá no plano 
do sistema móvel jiO
rr
, indicado na figura. É dado o vetor de rotação do 
disco de centro A: kAA
rr
ωω = ( Aω constante, jik
rrr
∧= ). 
a) Localize o centro instantâneo de rotação (CIR) do disco de centro A e o 
CIR do disco de centro B. Localize graficamente a posição do CIR da 
barra AB (justifique). 
b) Determine a velocidade Av
r
 do ponto A, o vetor de rotação Ω
r
 da barra 
AB, a velocidade Bv
r
 do ponto B e o vetor de rotação Bω
r
 do disco de 
centro B. 
c) Calcule a aceleração Aa
r
 do ponto A. 
d) Calcule a aceleração Da
r
 do ponto D do disco (de centro A) que está 
em contato com a circunferência fixa. 
Obs.: use a base kji
rrr
 para expressar as grandezas cinemáticas. 
Item b) 
jrjvv AAA
rrr
ω== (0,25 ponto) 
( ) ( ) ( )rR
r
rrR
jrRjvv
jrjvv A
A
AA
AAA
+
=Ω⇒=+Ω⇒


+Ω==
== ω
ω
ω
rrr
rrr
 
( ) krR
rA rr
+
=Ω ω (0,5 ponto) 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )rRririvv
irRivv
B
BBB
BB
−Ω=⇒


−=−=
−−Ω=−=
ω
ω
rrr
rrr
 
( )
( )
( )
⇒
−
+
−=
−Ω
−= k
r
rR
rR
rk
r
rR A
B
rrr ω
ω 
( )
( ) krR
rRA
B
rr
+
−
−=
ω
ω (0,5 ponto) 
( )
( ) irR
rRrv AB
rr
+
−
−=
ω (0,25 ponto) 
Item c) 
O ponto A descreve um movimento circular uniforme: 
( ) ( ) ( ) ⇒++−=+Ω−= irRrR
rirRa 2
22
A2
A
rrr ω 
( )irR
ra
22
A
A
rr
+
−=
ω (0,5 ponto) 
Item a) 
O disco A rola sem escorregar, portanto, o ponto de 
contato D tem velocidade nula e é o CIR desse disco. 
(0,25 ponto) 
O disco B rola sem escorregar, portanto, o ponto de 
contato C tem velocidade nula e é o CIR desse disco. 
(0,25 ponto) 
Determinando graficamente o CIR da barra AB: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Justificativas: 
A velocidade de A é perpendicular a AD. 
A velocidade de B é perpendicular a BC. 
 
Portanto o CIR da barra AB é o ponto O. 
(0,5 ponto) 
Item d) 
( ) ( )[ ]ADADaa AAAAD −∧∧+−∧+= ωωω rr&rrr 
( ) ( ) ( )[ ]irkkirirR ra AAAD
rrrrrrr
−∧∧+−∧+
+
−= ωω
ω 0
22
 
( ) ( ) irR
rrairi
rR
ra AADAAD
rrrrr




+
−=⇒+
+
−=
22
22
22 ω
ωω
ω 
( ) irR
Rra
2
A
D
rr
+
=⇒
ω (0,5 ponto) 
Para maior clareza, foi omitido da figura o
mecanismo que mantêm os discos em contato com
a circunferência fixa. 
r 
r 
R O 
A 
B 
D 
C 
i
r
 
j
r
 
ωA 
. 
O 
A 
B 
D 
C 
ωA 
. 
. 
. 
Av
r
 
Bv
r
 
CIR CIR 
CIR 
i
rj
r
 
 
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(3,5 pontos) 3 – O quadro está preso em um eixo vertical e seu 
vetor de rotação é k
rr
ωω = , e seu vetor aceleração angular é 
k
r
&&
r
ωω = , ambos conhecidos. Um cursor percorre o quadro com 
velocidade relativa v, conhecida e de módulo constante. Use o 
sistema Oxyz, fixo no quadro, para expressar as grandezas 
cinemáticas. Adote o piso como referencial fixo e o quadro 
como referencial móvel. 
a) Considerando o instante em que o cursor está na posição I, 
determine a velocidade relativa, a velocidade de arrastamento e 
a velocidade absoluta do centro P do cursor. 
b) Considerando o instante em que o cursor está na posição I, 
determine a aceleração relativa, a aceleração de arrastamento, a 
aceleração de Coriolis (complementar) e a aceleração absoluta 
do centro P do cursor. 
c) Considerando o instante em que o cursor está na posição II, 
determine a velocidade relativa, a velocidade de arrastamento e 
a velocidade absoluta do centro P do cursor. 
d) Considerando o instante em que o cursor está na posição II, 
determine a aceleração relativa, a aceleração de arrastamento, a 
aceleração de Coriolis (complementar) e a aceleração absoluta 
do centro P do cursor. 
 
Solução: 
 
Item a) 
 
kvv relP
rr
=, (0,25 ponto) 
( ) ( )⇒−∧+=−∧+= iLk0OPvv OarrP rrrrrr ωω, 
jLv arrP
rr
ω−=, (0,25 ponto) 
⇒+= arrPrelPabsP vvv ,,,
rrr 
jLkvv absP
rrr
ω−=, (0,25 ponto) 
Item c) 
 
ivv relP
rr
=, (0,25 ponto) 
( ) ⇒∧+=−∧+= kHk0OPvv OarrP
rrrrrr
ωω, 
0v arrP
rr
=, (0,25 ponto) 
⇒+= arrPrelPabsP vvv ,,,
rrr 
ivv absP
rr
=, (0,25 ponto) 
Item b) 
 
0,
rr
=relPa , pois v é constante (0,25 ponto) 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]⇒−∧∧+−∧+=
=−∧∧+−∧+=
iLkkiLk0
OPOPaa OarrP
rrrrr
&
r
rr&rrr
ωωω
ωωω, 
jLiLa 2arrP
r
&
rr
ωω −=, (0,25 ponto) 
⇒∧=∧= kvk2v2a relPCorP
rrrrr
ωω ,, 
0a CorP
rr
=, (0,25 ponto) 
⇒++−=++= 0iLjL0aaaa 2CorParrPrelPabsP
rrr
&
rrrrr
ωω,,,, 
jLiLa 2absP
r
&
rr
ωω −=, (0,25 ponto) 
Item d) 
 
0,rr
=relPa (0,25 ponto) 
( ) ( )[ ]
( ) ⇒∧∧+∧+=
=−∧∧+−∧+=
kHkkkHk0
OPOPaa OarrP
rrrrr
&
r
rr&rrr
ωωω
ωωω, 
0a arrP
rr
=, (0,25 ponto) 
⇒∧=∧= ivk2v2a relPCorP
rrrrr
ωω ,, 
jv2a CorP
rr
ω=, (0,25 ponto) 
⇒++=++= jv200aaaa CorParrPrelPabsP
rrrrrrr
ω,,,, 
jv2a absP
rr
ω=, (0,25 ponto) 
 
x 
y 
z 
O 
Piso 
ω, ω& 
v
v
Quadro 
Cursor na 
posição I 
Cursor na 
posição II 
L
H 
P 
P