Matemática 1

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Matemática 1
1. ÁLGEBRA:
1.1 ALGEBRA ELEMENTAR
Álgebra elementar é uma forma fundamental e relativamente básica da álgebra. A maior diferença entre a álgebra e a aritmética é a inclusão de variáveis
Conjuntos numéricos
Um conjunto é a união de vários elementos ou objetos. Na matemática, os números são divididos em conjuntos numéricos sendo eles: 
Conjunto de números naturais (N); 
Números inteiros, positivos, do 1 em diante infinito
N= {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos números inteiros (Z)
Números positivos e negativos infinitos
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números racionais (Q)
Números compostos por frações e dízimas 
Q = na b | a, b ∈ Z e b 6= 0 o .
Conjunto dos números irracionais (I) 
Representação decimal e não periódica
I = © x | x ∉ Q ª
Conjunto dos números reais (R)
Todos os números racionais juntamente com os irracionais
R = © x | x ∈ Q ou x ∈ I ª
 Cálculo de expressões numéricas
Uma expressão numérica é uma sequência de operações matemáticas envolvendo números e envolvem todas as operações. Na resolução das expressões numéricas, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:
1ª. Potenciações e Radiciações, na ordem que aparece.
2ª. Multiplicações e Divisões, na ordem que aparece.
3ª. Adições e Subtrações, na ordem que aparece.
Nas expressões em que aparecem sinais de associação eles devem ser eliminados na seguinte ordem: parênteses colchetes chaves.
Potencialização 
O expoente indica quantas vezes um numero é multiplicado por ele mesmo 
Denomina-se potência de base a e expoente natural n, da seguinte forma:
 = a · a · a ·...· a | {z }
Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores
23 = 2 . 2 . 2 = 8
Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo.
2-2 = 1  = 1 . 1 = 1
        2+2     2   2    4
Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1
a0 =1
10000 =1
250 = 1
Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:
an .am =an+m
22 .23 =22+3 =25
45 . 42 = 45 + 2 = 47
Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:
an : am = an = an – m
              am
56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54
             52
92 : 93 = 92 = 92 – 3 = 9-1
             93
Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:
(an)m = an . m 
(74)2 = 74 . 2 = 78
(123)2 = 123 . 2 = 126
Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:
(a . b)n = ( an . bn)
(4 . 5)2 = (42 . 52)
(12 . 9)3 = (123 . 93)
Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:
an . bn = (a . b)n
42 . 62 = (4 . 6)2
73 . 43 = (7 . 4)3
Radiciação
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.
 = 5 x 5 x 5 = 125
3 É o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
5 É o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.
3√27 (Lê-se raiz cúbica de 27)
5√32 (Lê-se raiz quinta de 32)
√400 (Lê-se raiz quadrada de 400)
Soma e Subtração:
Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.
a) 20 6√ 3 + 103 6√ 3 = 123 6√ 3
b) 5√13 – 43 5√13 = 13 5√13
c) 2 3√5 + 8 3√ 5 – 4 3√5 = 6 3√5
Radicais semelhantes após simplificação: Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.
a) 8 √ 6 + 9 √ 24 = 8 √ 6 + 9 √ (22. 2. 3) = 8 √ 6 + (9.2) √ 6 = 26 √ 6
b) 5 3√ 81 - 4 3√ 3 = 5 3√ (33. 3) - 4 3√ 3 = 5.3 3√ 3 - 4 3√ 3 = 15 3√ 3 – 4 3√ 3 = 11 3√ 3
Radicais não são semelhantes: calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.
a) √81 + √25 = 9 + 5 = 14
b) √5 - √2 = 2,24 - 1,41 = 0,82 (valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)
Multiplicação e divisão:
Radicais com mesmo índice: Repete a raiz e multiplica ou divide os radicandos.
a) 3√ 7 . 3√ 4 = 3√(7 .4) = 3√28
b) 5√ 194 : 5√ 97 = 5√ (194 : 97) = 5√2
Radicais com índices diferentes: Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois podemos multiplicar ou dividir os radicandos
a) 3√ 6 . √ 3 = 3x2√ 61x2 . 2x3√ 31x3 = 6√ 36 . 6√ 27 = 6√ 972
b) 3√ 4 : 5√ 8 = 3x5√ 41x5 : 5x3√ 81x3 = 15√ (1024 : 512) = 15√ 2
 Porcentagem
A porcentagem é uma das áreas da matemática mais conhecidas. Praticamente é utilizada em todas as áreas, quando queremos comparar grandezas, estimar o crescimento de algo, expressar uma quantidade de aumento ou desconto do preço de alguma mercadoria. Vemos porcentagem a todo momento e, mesmo quando não percebemos, estamos fazendo uso dela.
A porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100, são chamadas, também, de razão centesimal ou de percentual. Costumam ser indicadas pelo símbolo “%”, lê-se “por cento”.
Podemos representar uma fração na forma fracionária, decimal, ou acompanhada do símbolo %. 4%= = 0,4 
As porcentagens podem ser utilizadas quando queremos expressar que uma quantidade é uma parte de outra, por exemplo, imagine que um produto que custava R$ 80,00 foi vendido a vista, com 5% de desconto. Esse desconto de 5% de R$ 80,00 significa 5 partes das 100 em que 80 foi dividido, ou seja, R$ 80,00 será dividido em 100 partes, e o desconto será igual a 5 partes dessa divisão. 
5% de R$ 80,00 = 5 . = 5⋅0,8=4
Portanto, 5% de R$ 80,00 será R$ 4,00. E esse será o valor a ser descontado.
Poderíamos, também, calcular de outra forma:
5% de R$ 80,00 = 5. = . 80 = 0,05⋅80=4
Daí, concluímos que calcular a% de x, corresponde a fazer: . x 
1.2 VALOR NUMÉRICO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
 Valor numérico de uma expressão algébrica é o resultado que se obtém quando se substitui as variáveis/incógnitas em uma determinada expressão algébrica por valores numéricos e se efetuam as operações indicadas.
Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo: 
Substituir as letras por números reais dados.
Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:
a) Potenciação
b) Divisão e multiplicação
c) Adição e subtração
Calcular o valor numérica de 2x + 3a
para x = 5 e a = -4
2.x+ 3.a
2 . 5 + 3 . (-4)
10 + (-12)
-2
1.3 OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Adição, subtração, multiplicação e divisão de expressões algébricas,
Para adicionar ou subtrair expressões algébricas, basta adicionar ou subtrair os coeficientes (números) dos termos semelhantes (termos que possuem exatamente a mesma parte literal) e conservar a parte literal (letras).
(10x2-4x+7)+(6x2-2x- 3) =
(eliminando os parênteses)
= 10x2-4x+7+6x2-2x-3 =
(agrupando os termos semelhantes)
= 10x2+6x2- 4x-2x+7-3 =
(reduzindo os termos semelhantes
= 16x2-6x+4
Para multiplicar expressões algébricas, multiplica-se cada termo de uma expressão por todos os termos da outra.
Observe que, para multiplicar dois termos algébricos, multiplicam-se os coeficientes e a parte literal separadamente.
(3x+5)·(4x+2) = 3x·(4x+2)+5·(4x+2) =
= 12x2+6x+20x+10
= 12x2+26x+10
Divisão de expressões algébricas por monômios
Para dividir uma expressão algébrica por um monômio, basta dividir cada termo da expressão pelo monômio, dividindo separadamente os coeficientes e as partes literais.
Exemplo:
Divisão algébrica de polinômio por polinômio
Para dividir polinômio por polinômio, podemos proceder de maneira análoga à divisão entre números. Podemos usar, inclusive, a mesma disposição prática do processo, lembrando que:
5x3 + 4 –3x dividido por x2 – x + 1
Primeiramente, escreva o dividendo como soma de parcelas de potências decrescentes de x, colocando0 quando a potência não comparece:
5x3 + 0x2 – 3x + 4
Faça o mesmo com o divisor. Agora, disponha as expressões como em uma divisão de números:
Divida 5x3 (primeira parcela do dividendo) por x2 (primeira parcela do divisor) para obter 5x (primeira parcela do quociente):
Multiplique 5x pelo divisor, mudando o sinal para obter 
-5x3+5x2-5x, escreva este polinômio abaixo do dividendo para somar com ele:
Perceba que o 1º termo foi anulado. Isso sempre deverá acontecer
Divida 5x2 por x2 e irá obter 5.
Depois multiplique 5 pelo divisor, mudando o sinal, para obter –5x2 +5x – 5, escreva este polinômio abaixo do dividendo para somar com ele:
Paramos a divisão quando o expoente do polinômio do resto for menor que o expoente do divisor. A divisão é um processo, isto é, enquanto der para dividir, utilizaremos o método aplicado anteriormente
 Produtos Notáveis, 
Utilizando os produtos notáveis, certamente aceleraremos o cálculo, permitindo o progresso em temas posteriores da matemática. A propriedade distributiva da multiplicação foi determinante para se chegar ao desenvolvimento dos produtos levando-os a sua fase reduzida. Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos. 
O quadrado da soma de dois termos: representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos
O quadrado da diferença de dois termos: Seguindo o critério do item anterior, temos:
(a - b)2 = (a - b) . (a - b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo. Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
O produto da soma pela diferença de dois termos. Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos
(4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2
(x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2
(m + n).(m – n) = m2 – n2
O cubo da soma de dois termos. Consideremos o caso a seguir:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.
Exemplos:
(2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3
(w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
O cubo da diferença de dois termos. Acompanhem o caso seguinte:
(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.
 (a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo
Fatoração E Simplificação
A fatoração de expressões algébricas tem por objetivo representar a soma polinomial de números e incógnitas através do produto de termos.
Com a fatoração do número 27, ele ficou expresso como o produto 3 . 3 . 3 = 27. Esse processo acontece de forma bem semelhante com as expressões algébricas. Quando fatoramos um polinômio, também pretendemos expressá-lo por meio de uma multiplicação.
Qual é o resultado de 1524² – 1523²? Antes que você comece a resolver, saiba que através da fatoração conhecida como “diferença de dois quadrados” é possível utilizar apenas uma adição para chegar à resposta desse cálculo. 
1524² – 1523² = (1524 + 1523) . (1524 – 1523) = (1524 + 1523) . 1 = 3.047
O objetivo da fatoração é simplificar os cálculos. Em geral, a fatoração de expressões algébricas é extremamente útil para simplificar cálculos com polinômios, isentando-nos de muitos cálculos desnecessários.
2. EQUAÇÃO E INEQUAÇÃO:
2.1 EQUAÇÃO E INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Essas expressões são chamadas de algébricas porque possuem pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra. As inequações, por sua vez, são relações semelhantes às equações, contudo, apresentam uma desigualdade.
Enquanto as equações relacionam os termos do primeiro membro aos termos do segundo, afirmando sua igualdade, as inequações mostram que os termos do primeiro membro são maiores ou menores que os elementos do segundo.
Termos de uma equação e de uma inequação
Termo é o nome que se dá ao produto de algum número por alguma letra. Para identificá-los, basta procurar pelas multiplicações separadas por sinais de adição ou subtração. 
4x + 2x – 7x = 16 – 5x
Os termos são: 4x, 2x, – 7x, 16 e – 5x
Membros de uma equação e de uma inequação
Primeiro e segundo membros são definidos pela igualdade nas equações e pela desigualdade nas inequações.
Todos os termos dispostos à esquerda da igualdade ou da desigualdade compõem o primeiro membro de uma equação ou inequação. Todos os termos dispostos à direta da igualdade ou desigualdade determinam o segundo membro de uma equação ou inequação.
Desse modo, dada a inequação:
2x + x – 9x ≤ 15 – 4x
Os termos 2x, x e –9x pertencem ao primeiro membro, e os termos 15 e – 4x pertencem ao segundo.
Igualdade e desigualdade
Ambos determinam relações de ordem entre números e incógnitas. O sinal de igual é utilizado quando se quer expressar a seguinte situação: Existe um valor para as incógnitas que faz com que o resultado dos cálculos propostos no primeiro membro seja igual ao resultado dos cálculos propostos no segundo.
A desigualdade, por sua vez, pode ser representada por um dos quatro símbolos: <, >, ≥ e ≤
Esses símbolos mostram que o conjunto de operações do primeiro membro possui um resultado “menor”, “maior”, “maior igual” ou “menor igual” ao resultado do segundo membro.
Grau
O grau de equações e de inequações pode ser encontrado da seguinte maneira:
Se a equação ou a inequação possui apenas uma incógnita, então, o grau dela é dado pelo maior expoente da incógnita. Por exemplo: o grau da equação 4x3 + 2x2= 7 é 3.
Se a equação ou inequação possui mais de uma incógnita, então, o grau dela é dado pela maior soma entre os expoentes de um mesmo termo. Por exemplo, o grau da equação 4xyz + 7yz2 – 5x2y2z2 = 0 é 6.
Exemplos de equações:
1) 4x = 16
2) 2x – 8 = 144
3) 18x2 = 2x – 8
                  x
Exemplos de inequações:
1) 12x + x2 ≤ 12
2) 144 ≥ 12x + 7
3) 128 – 14x < 12x + 4
2.2 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Equações Incompletas e completas 
A forma geral da equação do 2º grau é ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Dessa forma, os coeficientes b e c podem assumir valor igual a zero, tornando a equação do 2º grau incompleta.
y2 + y + 1 = 0 (equação completa)
2x2 – x = 0 (equação incompleta, c = 0)
2t2 + 5 = 0 (equação incompleta, b = 0)
5x2 = 0 (equação incompleta b = 0 e c = 0)
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20= 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas
Toda equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando a equação de Bháskara:
As equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas de outro modo.
Coeficiente b = 0
Toda equação incompleta do 2º grau, que possui o termo b com valor igual a zero, pode ser resolvida isolando o termo independente. Observe a resolução a seguir:
4y2 – 100 = 0
4y2 = 100
y2 = 100 : 4
y2 = 25
√y2 = √25
y’ = 5
y” = – 5 
Coeficiente c = 0 
Se a equação possui o termo c igual a zero, utilizamos a técnica de fatoração do termo comum em evidência.
3x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em evidência.
x(3x – 1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (3x – 1). A multiplicação desses fatores é igual a zero. Para essa igualdade ser verdadeira, um dos fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos se é o x ou o (3x – 1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
3x –1 = 0
3x = 0 + 1
3x = 1
x’’ = 1/3 → é a outra raiz da equação.
Coeficiente b = 0 e c = 0 
Nos casos em que a equação apresenta os coeficientes b = 0 e c = 0, as raízes da equação do 2º grau incompleta são iguais a zero. Observe a resolução a seguir:
4x2 = 0 → isolando o x teremos:
x2 = 0 : 4
√x2 = √0
x = ± √0
x’ = x” = 0 
 
 2.3 INEQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Inequação do 2º grau na variável x é uma expressão matemática de desigualdade escrita nas seguintes formas redutíveis: 
ax² + bx + c > 0 
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0 
ax² + bx + c ≤ 0 
onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. 
A obtenção do conjunto solução das inequações deve ser determinado de acordo com o sinal de cada função. A seguir determinaremos o estudo do sinal de algumas funções. 
Exemplo 1 
x² – 6x + 8 < 0 
∆ = 4 (duas raízes distintas) 
x’ = 2 
x” = 4 
Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 8, que possui a > 0. Observe o gráfico:
y < 0 → 2 < x < 4 
y = 0 → x = 2 ou x = 4 
y > 0 → x < 2 ou x > 4 
De acordo com o sinal de desigualdade da inequação, o conjunto solução é: S = {x Є R / 2 < x < 4}. 
Exemplo 2 
x² – 6x + 9 > 0 
∆ = 0 (uma única raiz real) 
x’ = x” = 3 
Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 9, com a > 0. Veja o gráfico:
y > 0 → x ≠ 3 
y < 0 → não existem valores 
y = 0 → x = 3 
Portanto, o conjunto solução da inequação é: S = R – {3} 
2.4 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMERIO GRAU
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação.
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 
Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 
Dado o sistema, enumeramos as equações.  
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 
x + y = 20 
x = 20 – y 
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 
 3x   +   4 y   = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
 60-3y + 4y  = 72 
 -3y + 4y   =   72 – 60
       y = 12 
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – y 
x = 20 – 12 
x = 8 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 
Método da adição 
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 
Agora, o sistema fica assim: 
Adicionando as duas equações: 
       - 3x – 3y = - 60 
+     3x + 4y = 72 
                 y   = 12 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 
x + y = 20 
x + 12 = 20 
x = 20 – 12 
x = 8 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 
3. CONJUNTOS:
3.1 CONCEITUAÇÃO E NOTAÇÃO.
A Notação Científica é um conceito simples para representar números muito grandes ou números muito pequenos. Escrevemos esse número baseados em potências de base dez. É um assunto muito abordado no ENEM e no vestibular, não de forma isolada, mas sim inserido nas questões. Pensando em formas simplificas de representação numérica Arquimedes deu o pontapé inicial no estudo da notação científica. Em disciplinas como Física, Matemática e Química, o uso de notação científica é muito comum, pois simplifica na operacionalização algébrica. 
Representação A x 10e 
Onde: A = mantissa. e = ordem de grandeza. 
É válido lembrar que A(mantissa) terá sempre o valor, em módulo, entre 1 e 10.
 – Quando a vírgula se desloca para a esquerda a ordem de grandeza (expoente) é positivo.
 – Quando a vírgula se desloca para a direita a ordem de grandeza (expoente) é negativo. 
Distância média da Terra ao Sol: 150 000 000,0 km. 
Note que a vírgula se encontra no final desse número, e a mantissa deve estar ente 1 e 10. Temos que deslocar a vírgula para a esquerda, de modo que esse número fique entre 1 e 10. Então: 150 000 000,0 –> 1,5 x 108 km. 
Massa do Sol: 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000,0 kg. Da mesma forma do exemplo anterior, temos que posicionar a vírgula de modo que a mantissa fique entre 1 e 10. Então: 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000,0 –> 1,989 x 1030 kg.
-0,012 A vírgula se encontra do lado esquerdo, e temos que deslocá-la para a direita, de modo que a matissa fique entre 1 e 10. Então: -0,012 –> 1,2 x 10 -2 Note que o expoente fica negativo. 
0,004675 - Temos que deslocar a vírgula para o lado direito, de modo que a matissa fique entre 1 e 10. Então: 0,004675 –> 4,675 x 10 -3 Note que o expoente fica negativo.
3.2 SUBCONJUNTO
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 
Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os elementos de B também forem elementos de A. Nesse caso, temos:
Podemos ler essa definição da seguinte maneira: B é subconjunto de A se, e somente se, para todo x, se x pertence ao conjunto A, então x pertence ao conjunto B.
A primeira parte também pode ser lida como B está contido em A. Note que a relação entre esses dois conjuntos é de inclusão, portanto, um conjunto Z pode conter ou não conter um conjunto Z’ ou o conjunto Z’ pode estar contido ou não estar contido no conjunto Z.
Quando a relação é definida para elementos, deveremos usar outra relação, chamada de relação de pertinência: o elemento x pertence ou não pertence ao conjunto Z.
3.3 IGLALDADE DE CONJUNTO
Podemos fazer algumas relações entre conjunto com conjunto, entre conjunto e elemento de um conjunto. Essas relações possuem características específicas e representações próprias. Vamos caracterizar cada uma delas. 
Podemos dizer que dois ou mais conjuntos são iguais se os elementos de um forem idênticos aos dos demais, matematicamente representamos uma igualdade pelo sinal =. 
Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B = {4, 3, 2, 1, 0}, observando os elementos de cadaconjunto percebemos que são idênticos, então podemos 
dizer que A = B (A igual a B). 
Quando comparamos A e B e eles não são iguais dizemos que são diferentes representados assim A ≠ B. 
• Relação de inclusão 
Ao comparamos dois conjuntos perceberemos que eles nem sempre serão iguais, mas em alguns casos alguns elementos sim. Por exemplo: 
Dado o conjunto A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} eles não são diferentes, mas observando o conjunto B veremos que todos os seus elementos estão dentro do conjunto A. 
Essa relação é chamada de inclusão, ou seja, o conjunto B está incluso, contido, no conjunto A. Representada matematicamente por B  A (B está contido em A). 
Dado o conjunto C = {0, 1, 2, 3} e D = {4, 5, 6, 7}, nesses dois conjuntos não é possível aplicar a relação de inclusão, então dizemos que C D (C não está contido em D), assim como D C (D não está contido em C). 
• Relação de Pertinência 
Essa relação é utilizada quando comparamos conjunto com elementos. Quando queremos dizer que um elemento qualquer está dentro de um conjunto ou que ele não está no conjunto, dizemos que ele pertence ou não pertence a esse determinado conjunto, veja o exemplo: 
Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos dizer que - 4 A ( - 4 pertence a A) e que 5 A ( 5 não pertence a A)
3.4 OPERAÇÕES COM CONJUNTO
União, intersecção, diferença e complementação
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos.
Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar.
Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de cada uma delas:
União de conjuntos
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar todos os elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então,
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Intersecção de conjuntos
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum.
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois conjuntos.
Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto vazio.
Dentro da intersecção de conjuntos há algumas propriedades:
1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A
2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é:
     A ∩ B = B ∩ A.
3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
Diferença entre conjunto
Dados o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença.
Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.
Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Conjunto complementar
Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto.
Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, dado um conjunto A e B e o conjunto B e A, então B é complementar em relação a A.
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {6,8}
B  A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {2, 3, 5}.
3.5 APLICAÇÕES
A teoria dos conjuntos visa compreender as propriedades de conjuntos que não estão relacionados com os elementos específicos de que são compostos. Assim, os teoremas e postulados envolvidos na Teoria dos Conjuntos dizem respeito a todos os conjuntos gerais, não importa se os conjuntos são objetos físicos ou simplesmente números. Há muitas aplicações práticas para a teoria dos conjuntos.
A teoria de conjuntos que você aprende no Ensino Médio é bastante importante para a Estatística, para calcular probabilidades de algum evento ocorrer de acordo com a definição clássica de probabilidades. A aplicação mais comum e "palpável" que eu vejo para aquele estudo do Ensino Médio é esta. Entretanto, é muito importante este estudo para fornecer ao professor e ao aluno uma "linguagem comum". Desde Cantor, que criou a Teoria de Conjuntos, tem-se interesse neste estudo (que é bem mais difícil que aquele do Ensino Médio) porque várias teorias da Matemática podem ser fundamentadas na Teoria de Conjuntos. Tanto é que hoje é comum (mais usual mesmo) a gente falar de interseção de retas para se referir ao encontro delas. Ou então reta contida em um plano, ponto pertencente a uma reta. 
4.	FUNÇÕES:
4.1 CONCEITUAÇÃO
Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. Por exemplo, vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão possuir representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de formação y = x².
Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a utilização de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A com os elementos do conjunto B. Observe:
No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os elementos de A estão ligados a pelo menos um elemento de B, então podemos dizer que essa relação é uma função. Dessa forma o domínio é dado pelos elementos do conjunto A, e a imagem, pelos elementos do conjunto B. 
As funções possuem diversas aplicações no cotidiano, sempre relacionando grandezas, valores, índices, variações entre outras situações. Por exemplo, a inflação é medida através da função que relaciona os preços atuais com os preços anteriores, dentro de um determinado período, caso ocorra variação para mais dizemos que houve inflação, e havendo variação para menos, denominamos deflação. A distância percorrida por um veículo depende da quantidade de combustível presente no tanque. Ciências como a Física, a Química e a Biologia utilizam em seus cálculos as propriedades das funções para demonstrarem a ocorrência de determinados fenômenos. Dessa forma, é muito importante obter o conhecimento adequado sobre as propriedades e definições das funções matemáticas.
4.2 IGUALDADE DE FUNÇÕES
Quando duas funções são iguais: serão iguais as funções f e g definidas por f (x) = x −1 e g (x) = ? 
Teorema : duas funções f e g são iguais se e somente se:
f e g têm o mesmo domínio e 
f (x) = g (x) = para todo x do domínio de f. 
O teorema responde a nossa pergunta inicial: o domínio da função f é R e o domínio da função g é R –{-1 } ; logo, as funções não são iguais, pois a condição (i) não é satisfeita. É tentador cancelar x +1 na expressão da função g. Mas lembre-se que somente podemos cancelar expressões seguramente não-nulas, ou seja, somente ocorre para x ≠ −1. Lembrese também que não basta a lei para caracterizar uma função.
4.3 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES ; SOMA, DIFERENÇA E QUOCIENTE
Para definir uma função deve indicar-se o domínio, o conjunto de chegada (no caso das funções reais de variável real é sempre IR) e uma expressão analítica que permita determinar a imagem de cada objeto.
 Neste tema, vamos introduzir algumas operações com funções. Assim como é possível adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números reais, também é possível efetuar as mesmas operações com funções. 
Por exemplo, se f (x) = x e g (x) = 3, Então f (x) + g (x)= x + 3 . 
A nova função y = x + 3 é chamada de Função soma f + g .
Soma de funções
Diferença de funções
Produto de funções
Quociente de funções
4.4 DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃOO domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x  A estiver associado a um elemento y  B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).
Observe o domínio e a imagem na função abaixo.
Outro exemplo: se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2, então temos que:
A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;
A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;
De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2.
Em uma função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. Segundo o conceito de função, existem duas condições para que uma relação f seja uma função:
1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função.
2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de  a partir mais de uma flecha, a relação não é função.
Observações:
Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.
A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.
Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).
4.5 FUNÇÕES USUAIS: FUNÇÃO CONSTANTE, FUNÇÃO LINEAR E LINEAR AFIM
Uma função constante é caracterizada por apresentar uma lei de formação f(x) = c, na qual c é um número real.
A função constante diferencia-se das funções do 1° grau por não poder ser caracterizada como crescente ou decrescente, sendo, por isso, constante. Podemos afirmar que uma função constante é definida pela seguinte fórmula:
f(x) = c, c  
A representação da relação estabelecida por uma função constante por meio do diagrama de flechas assemelha-se com a representação da imagem a seguir, pois, independentemente dos valores pertences ao domínio, a imagem é sempre composta por um único elemento.
Representação da função constante através do diagrama de flechas
O gráfico da função constante também apresenta uma particularidade em relação às demais funções. Ele é sempre uma reta paralela ou coincidente ao eixo x. Vejamos alguns exemplos de funções constantes e seus respectivos gráficos:
Exemplo 1: f(x) = 2
O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2).
Representação da função constante f(x) = 2
Função linear é uma função de 1.º grau, ou função afim, que é representada pela forma matemática f(x) = a.x. Essa forma surge a partir da forma matemática da função de 1.º grau f(x) = a.x + b.
A função linear apresenta as seguintes características:
a e b são números reais
a é diferente de zero (a ≠ 0)
b é igual a zero (b = 0)
Uma vez que b = 0, a forma da função linear é simplificada para f(x) = a.x.
Gráficos
O gráfico da função linear é representado em reta, sendo que o coeficiente linear é aquele que corta o eixo y do plano cartesiano.
Na forma matemática f(x) = a.x + b:
a = coeficiente angular (eixo x)
b = coeficiente linear (eixo y)
Importa referir que,
se a > 0, a reta é crescente:
se a < 0, a reta é decrescente:
O coeficiente linear é positivo quando a reta cruza o eixo y na parte positiva. O coeficiente linear, por sua vez, é negativo quando a reta cruza o eixo y na parte negativa.
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:
f(x)=ax+b (a ∈ R)
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.
4.6 SIGNIFICADO DOS PARÂMETROS A E B DA FUNÇÃO Ax + B
A função polinomial do primeiro grau mais simples é a função identidade  
Cada ponto de seu gráfico é da forma  pois a ordenada y é sempre igual à abscissa x, para cada valor da variável independente x. 
Nosso objetivo é o de entender a função mais geral , observando que seu gráfico pode ser obtido a partir do gráfico de   se consideramos as operações realizadas como transformações  no plano. Dessa forma, ao final, teremos uma visão de qual o significado dos parâmetros a e b envolvidos na expressão da função. 
Assim, começando pela função y = x cujo gráfico é:
Observemos no gráfico que o ângulo, entre o eixo x e a reta resultante de y = x, mede 45o, uma vez que ela contém as bissetrizes do primeiro e do terceiro quadrantes. 
 Uma função polinomial do primeiro grau um pouco mais geral tem a expressão dada por  onde b é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante b no gráfico dessa nova função quando comparado ao gráfico da função inicial 
Ainda podemos pensar numa função polinomial do primeiro grau que seja dada pela expressão  onde a é uma constante real, não nula. Novamente, a questão é investigar a ação do coeficiente a quando comparamos o gráfico de f2 ao de f0.
 Dada , desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos intermediários, percebendo as ações do coeficiente 2 e depois do coeficiente 1.
 Finalmente, podemos estudar a função polinomial do primeiro grau mais geral, . Para tanto, interpretamos inicialmente a ação do coeficiente a da variável x e, em seguida, do termo b.  y=ax+b
A função polinomial do primeiro grau , com a não nulo, tem como domínio o conjunto R e imagem também o conjunto R, pois a variável independente x pode assumir qualquer valor e a variável dependente y=f(x) assume, em correspondência, um valor que pode ser qualquer número real. 
O coeficiente a determina a inclinação do gráfico e é denominado coeficiente angular da reta; a constante b, que determina a translação vertical do gráfico, recebe o nome de coeficiente linear da reta.
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano.
4.7 FUNÇÃO QUADRÁTICA
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
	X
	Y
	-3
	6
	-2
	2
	-1
	0
	
	
	0
	0
	1
	2
	2
	6
 
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo
4.8 APLICAÇÕES
Muitas grandezas presentes no nosso dia-a-dia se relacionam de forma especial. 
·      Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar. 
·      Número de questões que acertei num teste, com a nota que eu vou tirar. 
·      Valor do meu salário, com o valor do desconto do INSS. 
·      Medida de contorno do meu terreno, com a quantidade de metros de arame de que preciso para cercá-lo. 
·      Velocidade média de um automóvel, com o tempo de duração de uma viagem. 
            Examinando o primeiro exemplo dado acima, a tabela a seguirmostra a relação entre o número de pães comprados e o correspondente preço a pagar. 
	Número de pães 
	Preço a pagar (R$) 
	1 
	0,12 
	2 
	0,24 
	3 
	0,36 
	4 
	0,48 
	5 
	0,60 
	6 
	0,72 
            Para fazer esta tabela, o dono da padaria fez o seguinte cálculo: 
Preço a pagar = 0,12 . número de pães 
            Dizemos que o preço a pagar (y) é função do número de pães (x), pois cada quantidade x de pães existe um único preço y a pagar. 
            Usando as letras x e y, podemos representar esse cálculo na expressão: 
y = 0,12 . x 
            Se eu quiser saber, por exemplo, quantos pães posso comprar com R$ 6,00, basta fazer y = 6 na expressão. 
Y = 0,12 . x 
6 = 0,12 . x 
x = 6 / 0,12 = 50 
R: Posso comprar 50 pães. 
4.9 DEMANDA E OFERTA DE MERCADO
Duas forças que garantem o funcionamento de um mercado são a oferta e a demanda, determinando preços e a quantidade de produtos oferecidos. O termo oferta se refere à quantidade disponível de um produto. Já a demanda é a quantidade que os consumidores querem ou podem adquirir desse produto, ou seja, sua procura.
A quantidade de produtos oferecidos é determinada por quem vende. Ela é influenciada pelo preço desse produto no mercado, o custo dos insumos e a tecnologia. Já quem estabelece a demanda é o consumidor. A procura por um produto depende de fatores como seu preço, o poder aquisitivo da população, os gostos e a moda, a existência de produtos similares ou substitutos no mercado.
A lei da oferta e da demanda, é um conceito econômico que relaciona a determinação do preço de um produto com sua demanda e oferta no mercado, também chamada de lei da oferta e da procura. Essa teoria diz que, se houver mais produtos do que interessados em os comprar, os preços tendem a cair. Por outro lado, se um produto estiver em falta, seu preço tende a aumentar.
Esse movimento de subida e descida de preços faria com que o mercado acabasse por alcançar um ponto de equilíbrio, no qual a oferta é igual à demanda. Funcionaria apenas em um mercado com concorrência perfeita, ou seja, no qual existem muitos vendedores e muitos compradores. Essa situação tornaria esses agentes econômicos incapazes de alterar sozinhos o equilíbrio de preços.
A oferta e a demanda podem ser representadas por um gráfico de funções, que apresenta o elemento curva de oferta. Graficamente, a oferta é uma curva de inclinação positiva, ou seja, crescente. Ela relaciona a quantidade de produtos colocados no mercado ao preço que o produtor recebe por eles. Quanto maior for o preço, maior será a quantidade de produtos que os vendedores estarão dispostos a ofertar.
O posicionamento dessa curva no gráfico pode ser afetado por outros fatores, como pelo custo de produção. Custos menores podem motivar os produtores a ofertar mais produtos, ainda que seu preço no mercado continue o mesmo.
Assim também é gerada a curva de demanda relaciona a disposição dos consumidores para comprar com o preço de venda do produto. Essa curva tem uma inclinação negativa (decrescente), pois quanto maior for o preço do produto, menos o consumidor estará interessado em adquirir.
Mudanças no gosto do consumidor, o surgimento de concorrentes e a variação da renda da população podem alterar essa relação. Por exemplo, se a população está com maior poder aquisitivo, os consumidores poderão aumentar a procura por determinados produtos, ainda que o preço não tenha sofrido alteração.
4.10 PONTO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO
O ponto do gráfico onde a curva da oferta e a curva da procura se cruzam é chamado de ponto de equilíbrio. Ele indica o preço que o produto precisa ter para que sua oferta no mercado seja igual à sua procura.
Quando se alcança o equilíbrio de mercado, não existe nem excesso nem escassez de produto, e a tendência é de que haja uma estabilização de preços.
Essa estabilidade, porém, pode ser afetada caso surjam fatores externos, como novos concorrentes, uma crise econômica ou novas tecnologias. A mudança no mercado irá, então, deslocar seu ponto de equilíbrio. Para alcançá-lo novamente, o preço do produto terá de subir ou descer, acompanhando o movimento da oferta e da procura.
4.11 RECEITA TOTAL, CUSTO TOTAL E LUCRO TOTAL
Receita é a quantia recebida, arrecadação, rendimento de uma empresa. Pode ser receita bruta ou receita líquida. A receita bruta é o conjunto de rendimentos de uma empresa, renda e ganho com as vendas de seus bens, produtos ou serviços. Receita líquida é a receita que fica para a empresa após o pagamento dos custos operacionais fixos, custos variáveis e impostos. Assim, receita total é a quantidade paga pelos compradores e recebida pelos vendedores do bem, calculado como o preço do bem multiplicado pela quantidade vendida.
Lucratividade é Relação do valor do lucro com o montante de vendas, ou seja, divide-se o valor do lucro pelo volume de vendas – lucro líquido/vendas, ou seja, o resultado das vendas da empresa diminuído de custos, despesas e impostos. Já os custos são gastos ligado diretamente à atividade da empresa, seja comercial, industrial ou prestadora de serviço, sendo todas as despesas da empresa.
Os estudos das funções estão relacionados às questões que envolvem relações entre grandezas e sua aplicabilidade abrange inúmeras ciências. Enfatizaremos a função custo, função receita e a função lucro que estão relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer empresa.
Função Custo – C(x)
Está relacionada ao custo de produção de um produto, pois toda empresa realiza um investimento na fabricação de uma determinada mercadoria.
Função Receita – R(x)
A função receita está ligada ao dinheiro arrecadado pela venda de um determinado produto.
Função Lucro – L(x)
A função lucro é a diferença entre a função receita e a função custo. Caso o resultado seja positivo, houve lucro; se negativo, houve prejuízo.
L(x) = R(x) – C(x)
4.12 PONTO DE NIVELAMENTO ( BREAK-EVEN-POINT)
O ponto de nivelamento ajuda o empresário saber qual o momento do ciclo de vendas que sua empresa passa a ter lucro. Importante porque manter ganhos e despesas em equilíbrio não é tarefa fácil. 
Para ajudar empresários, acionistas e gestores financeiros a saberem em que ponto um investimento ou produto/serviço cobrirá os custos fixos e variáveis, e começará a lucrar, existe o que chamamos de Ponto de Equilíbrio, ou Break Even Point.
Tanto o Ponto de Equilíbrio Econômico quanto o Ponto de Equilíbrio Financeiro têm a função de apresentar o momento do lucro, mas o PEF tem a particularidade de retirar do cálculo receitas e despesas contabilizadas que não representam um desembolso ou entrada no caixa.
 Ponto de Equilíbrio (PE) – também conhecido como Break Even Point, é o ponto de igualdade financeira entre receitas totais e despesas em um mesmo período. Com esse indicador é possível saber qual deve ser o faturamento mínimo mensal que a empresa deve ter para cobrir gastos fixos e variáveis – ou seja, conseguir pagar suas contas – e começar a lucrar.
Existe uma fórmula para encontrar o Break Even Point. O resultado da equação, portanto, dirá qual deve ser a quantidade de vendas que deverá ser alcançada para a empresa lucrar:
PEF = (Gastos Fixos – Gastos não Desembolsáveis) / Margem de Contribuição
As vendas atingem o valor determinado pela equação, o que irá zerar o faturamento. O faturamento sendo zero significará que custos e despesas foram pagos, mas o lucro é nulo.
Para exemplificar, imagine uma empresa produzindo um produto com preço de venda de R$ 10,00 por unidade. Os custos variáveis são R$ 8,00 por unidade e os custos fixos totalizam R$ 18.000,00 por ano, dos quais R$ 4.000,00 são relativos à depreciação. O Patrimônio Líquido da empresa é de R$ 50.000,00 e a sua taxa mínima de atratividade é de 10% ao ano.
Em primeiro lugar, ao observar a fórmula do PEF já percebemos que precisamos da Margem de Contribuição, a qual é representada pelo preço de venda menos os custos e despesas variáveis. Em suma, é o valor que cada unidade produzidae vendida contribuirá para o pagamento dos custos e despesas fixas. Assim, temos:
Margem de Contribuição = Valor das Vendas – (Custos Variáveis + Despesas Variáveis)
Preço de venda unitário (receita) = R$ 10,00
(-) Custo variável unitário = R$ 8,00
Margem de contribuição unitário = R$ 2,00 (ou 20% do Preço de Venda)
Aplicando a fórmula do Ponto de Equilíbrio Financeiro:
PEF = (R$ 18.000,00 – R$ 4.000,00) / R$ 2,00 = 7.000 unidades (Ponto de Equilíbrio Financeiro em quantidade)
Para descobrir o PEF em valor, basta multiplicar as 7.000 unidades pelo preço de venda unitário (R$ 10,00). Com isso, temos:
7.000 unidades x R$ 10,00  = R$ 70.000,00 (Ponto de Equilíbrio Financeiro em valor)
Podemos ainda dividir a base de cálculo do PEF pelo % da MC.
R$ 14.000,00 ÷ 20% = R$ 70.000,00 (Ponto de Equilíbrio Financeiro em Reais).
Ou seja, a empresa precisará vender 7 mil unidades de seu produto por ano, faturando R$ 70.000,00, para chegar ao Ponto de Equilíbrio Financeiro.