Intervalo de Confiança

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Métodos Estatísticos 
Aplicados à Produção
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Luciana Borin de Oliveira
Revisão Técnica:
Prof. Me. Carlos Henrique de Jesus Costa
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
Intervalo de Confiança
• Intervalo de confiança
• Amostragem
• Estimação
• Determinação do tamanho de uma amostra
• Cálculo de intervalo de confiança para pequenas amostras
• Intervalo de confiança para proporção
O objetivo desta unidade é conhecer as definições envolvidas em 
intervalos de confiança aplicados à produção:
 · Amostragem;
 · Estimação.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Leia atentamente o conteúdo desta unidade, que lhe possibilitará conhecer 
as aplicações do estudo de Intervalos de Confiança em Engenharia.
Você também encontrará nesta unidade uma atividade composta por 
questões de múltipla escolha, relacionadas com o conteúdo estudado. Além 
disso, terá a oportunidade de trocar conhecimentos e debater questões no 
Fórum de discussão.
É extremamente importante que você consulte os materiais complementares, 
pois são ricos em informações, possibilitando-lhe o aprofundamento de seus 
estudos sobre este assunto.
ORIENTAÇÕES
Intervalo de Confi ança
UNIDADE Intervalo de Confiança
Contextualização
Como vimos, várias são as aplicações para Intervalo de Confiança. Ao escolher 
uma amostra e determinar, por exemplo, seu desvio padrão, eu afirmo com uma 
porcentagem de confiança que a medida se encontra no intervalo pré-determinado 
pela amostra.
Escolha a área em que você atua ou próxima a ela e busque dados que possam 
ser analisados. Você pode usar também dados do dia a dia.
Aplique o conceito estudado, faça tabelas e gráficos, use planilhas eletrônicas.
Avalie seu processo, calcule o desvio, amplitude e variância desses dados.
Compare os dados!
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Intervalo de Confiança
Definição: Intervalo de confiança corresponde a uma estimativa que está frequentemente associada a 
estudos estatísticos, ou seja, é utilizado quando se quer determinar um determinado fator; por 
exemplo, no caso de uma pesquisa eleitoral, quando não é possível perguntar a toda população 
a intenção de voto, e esta será baseada em uma amostragem da população, ou, por exemplo, 
em um estudo hipotético sobre a obesidade mundial, no qual não seria possível utilizar a 
população mundial inteira no estudo, podemos utilizar uma amostragem da população, que 
poderia ser representada com a população de um bairro de uma grande cidade.
Então, podemos considerar o intervalo de confiança como sendo um indicativo 
de confiança de uma estimativa e, portanto, descreve quanto podemos confiar em 
um resultado de uma pesquisa a qual é representada através de uma amostra do 
resultado de toda população de estudo.
Amostragem
Como vimos, amostragem trata-se do processo de coleta da amostra da 
população, através de métodos apropriados para essa seleção, com base em 
um estimador através do cálculo de probabilidades. É um conjunto de técnicas 
utilizadas para a coleta de uma amostra. Podemos dividir as amostras em 2 grupos, 
as amostragens probabilísticas ou aleatórias e as amostragens intencionais ou 
não probabilísticas.
Amostragem probabilística ou aleatória
Como diz o título, a seleção da amostra é feita aleatoriamente e cada 
elemento pertencente à população tem a mesma probabilidade de poder fazer 
parte da amostra.
Amostragem intencional ou não probabilística
A amostragem é feita a partir de uma escolha pré-determinada dos elementos 
constituintes da amostra.
Para que possamos, então, utilizar amostras para fazermos inferências da 
média populacional, necessitamos da utilização da amostragem probabilística 
ou aleatória.
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UNIDADE Intervalo de Confiança
Amostragem Probabilística – Tipos
a) Amostragem aleatória simples
As amostragens probabilísticas são aquelas mais utilizadas. A probabilidade de 
cada elemento da amostra ser escolhido na amostragem é a mesma para todos os 
elementos. Todos os elementos da população em estudo têm a mesma chance de 
serem escolhidos.
b) Amostragem sistemática
Na amostragem sistemática, o processo de seleção é feito através de um critério 
de seleção pré-estabelecido. Por exemplo, podemos selecionar uma amostragem de 
peças em uma linha de produção por um determinado intervalo de tempo ou então 
selecionar um elemento a cada 20 peças produzidas em uma linha de produção.
c) Amostragem estratificada
Na amostragem estratificada, procedemos a amostragem segundo algum 
critério representativo da população; dividimos uma população em estratos 
(subpopulações). Por exemplo, em uma população, podemos dividi-la em critério 
de idade, faixa salarial, etc.
d) Amostragem por conglomerados
Na amostragem por conglomerados, a amostra selecionada consiste em uma 
subpopulação com uma composição muito parecida da população que se deseja 
estudar. Por exemplo, num estudo em que se deseja saber qual seria a aceitação no 
lançamento de um produto para a cidade de São Paulo, faz-se o lançamento desse 
produto anteriormente em Porto Alegre, que representa as mesmas características 
da cidade de São Paulo, só que numa população bem menor (um subpopulação).
Estimação
Conceituamos estimação como sendo um processo estatístico de estimativa para 
um determinado parâmetro populacional a partir de uma amostra obtida dessa 
população em questão.
Utilizamos a estimativa para o cálculo aproximado de um parâmetro 
populacional de um valor específico ou então para o cálculo de um intervalo de 
valores, enquanto uma estatística é utilizada para o cálculo de aproximação de um 
parâmetro populacional. Por exemplo, utilizamos a estatística x para conclusão de 
que a estimativa da temperatura média de congelamento da água é de 0 oC.
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Estimação por ponto
Utilizamos quando desejamos conseguir um único valor de um certo parâmetro 
populacional utilizando uma amostra dessa população. Podemos exemplificar pelo 
desvio padrão s, que é uma medida estatística da amostra que produz a estimativa 
por ponto da população σ, ou então x, que é a média aritmética de uma amostra 
que produz a estimativa por ponto da população μ
Estimação por intervalo
Essa estimação também é chamada de intervalo de confiança. Consiste no 
intervalo de valores onde temos a probabilidade de a ocorrência do parâmetro 
estatístico populacional estar inserido. Essa probabilidade de o parâmetro estatístico 
estar contido no intervalo de confiança é denominado de coeficiente de confiança 
ou grau de confiança e é representado por (1 - α) e α o nível de significância ou 
grau de desconfiança. Os valores de (1 - α) mais utilizados são de:
(1 - α) = 0,90 → 90% de grau de confiança
(1 - α) = 0,95 → 95% de grau de confiança
(1 - α) = 0,99 → 99% de grau de confiança
Podemos considerar que há diferenças entre os estimadores, já que diferentes 
amostras retiradas da população irão levar a diferentes valores desses estimadores. A 
essa diferença entre o valor do parâmetro estatístico e o valor do estimador (estimativa) 
dá-se o nome de margem de erro ou erro de estimativa e representamos como:
E = |estimativa – parâmetro|
Margem de erro da média da amostra: Ex=|x - µ|
Margem de erro do desvio-padrão da amostra: Es = |s - σ|
Margem de erro da proporção da amostra: Ep = |p - p|
Teorema central do limite
Ele nos diz que quanto maior for o tamanho da amostra em relação à população, 
mais a média amostral de uma variável aleatória se aproxima de uma distribuição 
normal. Consideramos uma amostra suficientemente grande quando ela for maior 
do que 30.
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UNIDADE Intervalo de Confiança
Distribuição amostral das médias
Consideramos todas as probabilidades associadas a todas as possíveis médias 
amostrais relacionadas a uma população como a distribuição amostraldas médias, 
onde a população segue uma distribuição normal.
Propriedades:
1º A média da população é igual à média da distribuição amostral das médias:
μx = μ, onde:
μx = média da distribuição amostral das médias 
μ = média populacional
2º O desvio padrão da distribuição normal das médias é sempre menor que o 
desvio padrão populacional e é obtido dividindo-se o desvio padrão populacional 
pela raiz quadrada da quantidade de elementos da amostra.
σ
σ
x n
= ,onde:
σx = desvio padrão da distribuição normal das médias
σ =desvio padrão populacionaln= número de elementos da amostra
3º Com as médias amostrais seguindo uma distribuição normal, podemos utilizar 
a variável transformada Z para cálculo das probabilidades:
Z x ou x
n
x
=
− −µ
σ
µ
σ
 Z= 
Exemplificando: Sabe-se que numa indústria produtora de parafusos tem-se em uma 
linha de produção parafusos produzidos com a média μ = 2,5 cm e 
desvio padrão de 0,2 cm seguindo uma distribuição normal. Retirando-
se desse processo uma amostra aleatória de 10 peças, qual é a 
probabilidade de encontramos nessa amostra uma média do tamanho 
dos parafusos superior a 2,6 cm?
10
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Dos dados do exercício, temos:
μ = 2,5 cm
μx = 2,6 cm
σ = 0,2 cm
n =10, transportando esses dados para a equação 
Z x
n
=
− µ
σ
Z = − ≅2 6 2 5
0 2
10
1 58
, ,
,
,
E buscando valor na tabela de distribuição normal transformada para os valores 
de Z temos 0,4418, que é a probabilidade de termos os tamanhos dos parafusos 
da amostra entre 2,5 e 2,6 cm. A probabilidade de serem maiores que 2,6 cm é 
a diferença entre 0,5 (área total a partir do centro da curva) e 0,4418 ( valor da 
área entre o centro do gráfico e o valor de 2,6 cm). O valor que se quer é o valor 
hachurado do gráfico.
P ( x ≥ 2,6 cm) = 0,5-0,4418 = 0,0582 = 5,82% e graficamente temos:
Intervalo de confiança para a média
O intervalo de confiança da média corresponde ao intervalo de valores onde se 
encontra situada a média populacional e podemos considerar, quando temos um 
parâmetro em estudo sob uma distribuição normal, a média amostral x como um 
bom estimador para o cálculo dessa média populacional. A equação que define o 
cálculo do intervalo de confiança para a média é:
IC = x - E ≤ μ ≤ x + E, com:
E = margem de erro = Zα/2
σ
 *
(x)
n 
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UNIDADE Intervalo de Confiança
Tal fórmula é utilizada quando conhecemos o desvio padrão da população (σ), o 
número de elementos da amostra é maior de 30, n>30, média da amostra (x) e Zα/2 
é o valor crítico do valor de Z que corresponde ao nível de confiabilidade no qual 
se deseja estudar, e graficamente representamos:
Exemplificando: Vamos supor que os valores médios mensais repassados de um 
conceituado plano de saúde a um grande laboratório de análises 
clínicas de uma amostra de 40 clientes é de R$ 1.600, e que 
esses repasses seguem uma distribuição normal com desvio 
padrão de R$ 32,00. Qual é o intervalo de confiança com 95% 
de confiabilidade para a população de clientes desse laboratório?
Temos os dados:
n = 40
σx = R$ 32,00
x = R$ 1600
(1 - α) = 95%
95
2
0 475
%
,= e buscando o valor de na Za/2 tabela temos 1 96 1 96, ,→ =Ζα/2
E Z= = ≅α
σ
2
32
40
9 92*
(x)
,
n
1,96 *
I.C. (μ,95%) = (x - E ≤ μ ≤ x + E) = (1600 - 9,92 ≤ μ ≤1600 + 9,92)
I.C. (μ,95%) = (1590,08 ≤ μ ≤ 1609,92)
12
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Caso tivéssemos um número de n<0,005N, ou seja, o número de elementos 
da amostra é menor do que 5% dos valores da população, teríamos que utilizar 
um fator de correção no cálculo a margem de erro. Deve-se multiplicar N n
N
−
−1
 à 
margem de erro. 
Exemplificando: Vamos considerar a mesma situação do exemplo anterior, 
porém com uma amostra de 100 clientes de uma população de 
1000 clientes. Qual seria o intervalo de confiança, com 90% de 
confiança, para os valores médios dos repasses aos laboratórios 
referentes aos 1000 clientes?
N =1000
n = 100
σx= R$ 32,00
x = R$ 1600
(1 - α) = 90%
90
2
0 45
%
,= e buscando o valor de Zα/2 na tabela temos 1 64 1 64, ,→ =Zα/2 
E Z
x
n
N n
N
=
( ) −
−
= ≅α
σ
2
1
1 64
32
100
900
999
5 0* * * *, ,
I.C. (μ,90%) = (x - E ≤ μ ≤ x + E) = (1600 - 5,0 ≤ μ ≤1600 + 5,0)
I.C. (μ,90%) = (1595,0 ≤ μ ≤ 1605,0)
Determinação do tamanho de uma amostra
Utilizando a fórmula do cálculo da margem de erro E Z
x
n
=
( )
α
σ
2
* e 
desenvolvendo-a, temos:
E Z x
n
n
Z x
E
n
Z x
E
n
Z x
E
a= ⇒ = ⇒ ( ) = 





=


2
2
2
2
2
2
*
* *
*
( ) ( ) ( )
( )
σ σ σ
σ
α α
α




2
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UNIDADE Intervalo de Confiança
Exemplificando: Sabe-se que o desvio padrão da altura das mulheres brasileiras 
é de 7 cm. Qual deve ser o tamanho mínimo de elementos de 
uma amostra de mulheres para que tenhamos um erro cometido 
estimado de 2 cm ao nível de significância de 99%?
Temos:
σ(x) = 7 cm
E = 2 cm
(1 - α) = 99%
99
2
0 495
%
,= e buscando o valor de Zα 2 na tabela temos 2,58 → Zα 2 = 2,58
n
Z x
E
=
( )




 =





 ≅
α σ2
2 2
2 58 7
2
82
* *,
Necessitaríamos de uma amostra de no mínimo 82 mulheres.
Cálculo de intervalo de confiança para 
pequenas amostras
No caso de termos uma população distribuída segundo uma distribuição normal, 
porém com uma amostragem com n<30 elementos e desvio padrão populacional 
desconhecido, não temos como utilizar a curva normal para determinação de 
intervalos de confiança da média populacional.
Nesse caso, utilizamos para o cálculo do intervalo de confiança para a média 
populacional a distribuição de t de student. A distribuição de t de student, como 
a curva normal, possui simetria dos pontos em relação ao centro, e a sua média é 
zero, porém possui uma curva mais achatada em relação ao centro, comparando-
se com a curva normal, e é representada a seguir.
14
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A característica principal de diferença com a distribuição normal é que para cada 
quantidade n de amostra há uma distribuição diferente, enquanto que na curva 
normal só há uma distribuição padronizada.
Outra característica é que quando n for maior que 30, a distribuição t de student 
se aproxima muito da distribuição normal. O cálculo da probabilidade associado à 
distribuição de t de student e o erro são calculados nas fórmulas:
t
x
s
n
E t s
n
n
n a
−
=
=
−1 2, / *
µ
− 1,α/2
Exemplifi cando: Vamos supor a seguinte amostra x com os seguintes elementos: 
5,8,9,12,13. Tal amostra foi retirada de uma população que segue 
uma distribuição normal. Qual é o intervalo de confiança da média 
μ ao nível de significância de 95 %?
1º Calculamos a média da amostra x
x
x
n
s
n
x
x
n
s
i
i
i
= = =
=
−
−
( )







= =
=
∑
∑∑
47
5
9 4
2 1
1
41 2
4
10 3
10 3
2
2
,
, ,
, ≅≅
−( ) = = →
3 21
1 95 0 95
,
% , eα α α =5% = 0,05 /2 = 2,5% = 0,025
t tn− = =1 2 4 2 5, / ; , %α buscando na tabela de t de student para 4 graus de 
liberdade e α = 0,025 temos = 2,276
E s
n
= =tn-1,a/2 * *,
, ,2 276 3 21
5
3 27�
27
= ≤
= − ≤I.C 
 
( ; %) ( , , , , )
I.C ( ; %) ( , ,
µ µ
µ µ
99 9 4 3 27 9 4 3
99 6 13 12 67
≤ +
≤ ))
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UNIDADE Intervalo de Confiança
Intervalo de confiança para proporção
Consideremos p como a proporção de sucessos de uma população e q (1 - p) 
a proporção de fracassos em uma população.
p^ será a proporção amostral de sucessos de uma amostra de tamanho n e q^
será a proporção amostral de fracassos de uma amostra de tamanho n.
Calculamos p^ através da fórmula:
p x
n
^ = sendo x o número de sucessos ocorridos emdeterminada amostra n.
E utilizando a distribuição normal padronizada, temos:
Z p p
p q
n
E Z p q
n
p E p p E
a
=
−
∗
=
= − < < +
^
^ ^
/
^
*
^ ^
*
 
 
I.C
2
Exemplificando: Em um processo fabril de peças automotivas em uma amostra de 
200 peças aleatórias retiradas em um dia de produção, 40 peças 
apresentaram defeitos. Qual é o intervalo de confiança com 95% 
para a proporção de todas as peças defeituosas produzidas naquele 
dia de produção?
p x
n
q^ ^, ,= = = =40
200
0 20 0 80 e 
95
2
0 475
%
,= e buscando o valor de Za/2 na tabela temos: 1,96 → Za/2=1,96
E Z p qa= = ≅/ *
^
*
^
*
*, , , ,2 n
1 96 0 20 0 80
200
0 06 
I.C.(p;95%) = ( p p^ ^ E < p < E− + ) = ( 0 20 0 06 0 20 0 06, , , ,− < −p < )
I.C.(p;95%) = (0,14 < p < 0,26)
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Determinação do tamanho da amostra para que se possa estimar 
a proporção p
De forma análoga à determinação do tamanho da amostra no intervalo 
de confiança para a média, basta desenvolver a fórmula da margem de erro e 
chegamos, então:
n
Z p q
E
a=
( )/ *
^
*
^
2
2
2
 , quando p^ é conhecido
n
Z
E
a=
( )/ * ,2
2
2
0 25 , quando p^ é desconhecido. Nesse caso adota-se o máximo 
valor desta multiplicação que é representado por p^ = 0,5 e q^ = 0,5.
Intervalo de confiança para variância populacional e desvio 
padrão populacional
Sabemos que em uma produção industrial é muito importante monitorar 
a variação do processo industrial controlando-a. Imaginem em um processo de 
produção com milhares de peças de precisão produzidas. É muito importante que 
não haja muita variação entre elas, ou seja, que quase não tenha variação entre 
elas. Sabemos que a medida que nos dá essa variação é a variância (σ2) e um bom 
estimador representativo da variância populacional é s2 – variância amostral.
Considerando uma população X distribuída com uma distribuição normal com 
média populacional μ e desvio padrão populacional σ2, para cada amostra aleatória 
n selecionada, haverá uma variância amostral associada e a estatística da amostra 
é dada através da distribuição de Qui-quadrado representada pela curva formada 
da equação:
X
n s
n− =
−( )
1
2
2
2
1 *
σ ,onde
n = tamanho da amostra, s2 = variância da amostra e ;
σ2 = variância da população, e tem as seguintes características:
a) Todos os valores da distribuição de Qui-
quadrado são maiores ou iguais a zero;
b) As distribuições de Qui-quadrado são 
constituídas por uma família de curvas, cada 
uma delas determinada por 1 grau de liberdade 
que é dado pelo valor de n-1, representada na 
figura a seguir:
c) 3 - A área sob cada curva da distribuição de 
Qui-quadrado é igual a 1.
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UNIDADE Intervalo de Confiança
O intervalo de confiança para a variância populacional é dado pela fórmula:
n s
X
n s
Xn a n a
−( )
≤ ≤
−( )
− − −
1 1
2
1 2
2
2
2
1 1 2
2
; / ; /
σ
,sendo
n-1 o número de graus de liberdade exposto na tabela de Qui-quadrado.
Exemplificando: Vamos considerar que em uma linha de produção de peças 
automotivas, as chapas de aço utilizadas para a fabricação das 
portas dianteiras de um automóvel são normalmente distribuídas. 
Os diâmetros dessas chapas em uma amostragem de 25 peças 
apresentaram uma variância de 5,4 cm. Qual será o intervalo de 
confiança com 95% de confiança para a variância da população?
Temos dos dados:
n-1 = 25 - 1 = 24
s = variância da amostra = 5,4 cm → s2 = (5,4)2 = 29,16
(α - 1) = 95% → α = 5% → α/2 = 2,5% = 0,025
1- α/2 = 1 - 0,05/2 = 1 - 0,025 = 0,975
Xn-1
2 , vamos retirar dois valores da tabela de distribuição de Qui-quadrado, 
o valor de 0,025 com 24 graus de liberdade e o valor de 0,975 com 24 
graus de liberdade:
X X
24 2 5
2
24 97 5
2
39 364 12 401
: , % : , %
, ,= = e 
Transportando os valores para a fórmula do I.C para variância, temos:
( ) ( ) ( ) ,
,; / ; /
*n s
X
n s
Xn a n a
−
≤ ≤
−
=
−
≤
− − −
1 1 25 1 29 16
39 364
2
1 2
2
2
2
1 1 2
2
σ σσ
σ σ
2
2
25 1 29 16
12 401
699 84
39 364
699 84
12 401
17 78
≤
−
≤ ≤ = ≤
( ) ,
,
,
,
,
,
,
*
22 56 43≤ ,
Caso desejássemos construir o intervalo de confiança para o desvio padrão 
populacional, bastaria extrairmos a raiz quadrada do resultado. No nosso exemplo, 
teríamos:
Intervalo de confiança para o desvio padrão populacional:
4,22 ≤ σ ≤ 7,51
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Material Complementar
Para complementar os conhecimentos adquiridos e enriquecer sua compreensão 
sobre o assunto tratado nesta unidade, consulte os livros a seguir, disponíveis na 
Minha Biblioteca:
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Curso de estatística.
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de estatística. 
6. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
A estatística básica e sua prática.
MOORE, David S.; NOTZ, William I.; FLIGNER, Michael A. A estatística básica e 
sua prática. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
Estatística aplicada à engenharia.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma Faris. 
Estatística aplicada à engenharia. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
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UNIDADE Intervalo de Confiança
Referências
ASH, Robert B. Basic probability theory. Mineola, NY: Dover Publications, 
2008. Disponível online em: <http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/BPT/BPT.
pdf>. Acesso em: 13 out. 2015.
BERTSEKAS, D.; TSITSIKLIS, J. Introduction to probability. 2a. ed. Belmont, 
Mass: Athena Scientific, 2002. 416 p.
CHUNG, K. Elementary probability theory: with stochastic processes and an 
introduction to mathematical finance. 4 ed. New York: Springer, 2003.
DANTAS, C. Probabilidade: um curso introdutório. 3 ed. rev. São Paulo: 
EdUSP, 2008.
DEGROOT, Morris H., SCHERVISH, Mark J. Probability and statistics. 4. ed. 
New York: Pearson, 2011. 912 p.
DURRET, R. Elementary probability for applications. Cambridge: Cambridge 
University Press, 2009. 254 p.
HINES, W. Probabilidade e estatística na engenharia. 4. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2006. 
LARSON, R; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2004.
MAGALHÃES, M.; LIMA, A. Noções de probabilidade e estatística. 7 ed. São 
Paulo: EDUSP. 2011.
MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: Editora 
LTC. 2000.
ROSS, S. M. Probabilidade: um curso moderno com aplicações. 8 ed. São Paulo: 
Artmed, 2010. 608 p.
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