Estatistica Aula 02

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Aula 2 – Dados agrupados; Média e moda para dados em classes. 
 
I DADOS AGRUPADOS POR VALOR ....................................................................................................... 2 
1 Dados agrupados por valor ...................................................................................................................... 2 
2 Freqüências ............................................................................................................................................... 3 
3 Freqüências absolutas .............................................................................................................................. 3 
4 Freqüências relativas ................................................................................................................................ 7 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS AGRUPADOS POR VALOR ........................................... 13 
1 Média para dados agrupados por valor.................................................................................................. 13 
2 Moda para dados agrupados por valor .................................................................................................. 17 
3 Mediana para dados agrupados por valor .............................................................................................. 20 
III FORMAS GRÁFICAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS AGRUPADOS POR VALOR .............. 23 
1 Colunas justapostas ................................................................................................................................ 24 
2 Colunas compostas ................................................................................................................................. 25 
3 Gráfico de setores ................................................................................................................................... 25 
IV MÉDIA E MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES ....................................................... 26 
1 Dados agrupados em classes .................................................................................................................. 26 
2 Média para dados agrupados em classes ................................................................................................ 29 
3 Moda para dados agrupados em classes ................................................................................................ 53 
4 Moda: outros tipos de cálculo ................................................................................................................. 68 
5 Moda quando as amplitudes de classe são diferentes ............................................................................. 70 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ................................................................................................... 73 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 82 
 
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I DADOS AGRUPADOS POR VALOR 
Aula passada nós estudamos o ROL. E vimos como calcular a média, a mediana e a moda 
para seqüências de dados em ROL. 
Pois bem, agora nós veremos o que são dados agrupados. E veremos como calcular a média, a 
mediana e a moda para tais dados. 
 
1 Dados agrupados por valor 
Voltemos ao nosso rol lá da primeira aula, formado pelos salários das pessoas do Bairro Nova 
Vila. 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Simplificando a escrita, temos: 
 
ROL (salários em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Como são apenas dez dados, até que não é tão difícil trabalhar com o ROL. Agora, imagine 
que tivessem sido entrevistadas cem mil pessoas. Já pensou ficar escrevendo: “1, 1, 1, 1, 1, 1, 
1, ....” uma quinhentas vezes. Depois “2, 2, 2, 2 ...” umas mil vezes e assim por diante. 
Isso sem levar em conta que ainda poderíamos ter valores como 1,1 (mil e cem reais) ou 2,25 
(dois mil duzentos e cinqüenta reais). 
Com um número muito grande de dados, trabalhar com o ROL pode não ser a melhor opção. 
Pois bem, uma outra maneira de se trabalhar com os dados é agrupar os valores iguais. 
Colocamos os dados em uma tabela, indicando a freqüência com que cada valor acontece. 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
Daqui a pouco falamos sobre os vários tipos de freqüência. Por hora, basta saber que a 
freqüência absoluta simples nos indica quantas vezes um valor ocorre. 
A freqüência do valor 1 (=mil reais) é 1. Isto significa que temos uma pessoa com o salário de 
mil reais. 
A freqüência do valor 2 (= dois mil reais) é 3. Isto significa que temos três pessoas com 
salário de dois mil reais. Ou ainda, o salário de dois mil reais ocorre três vezes. 
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Assim, em vez de escrever “2, 2, 2” (indicando que o valor dois ocorre três vezes), apenas 
colocamos sua freqüência absoluta simples. Agrupamos todos os salários de R$ 2.000,00 em 
uma única linha. Dizemos que estamos agrupando os dados por valor. 
A freqüência do valor 3 (=três mil reais) é 1. Isto significa que temos uma pessoa com o 
salário de três mil reais. Ou ainda, o salário de três mil reais ocorre uma vez. E assim por 
diante. 
É comum chamar essa relação de valores e suas respectivas freqüências (que pode ser 
expressa tanto por meio de tabelas, quanto de gráficos) de distribuição de freqüências. 
Antes de passar ao cálculo da média, mediana e moda para os dados agrupados, vejamos os 
demais tipos de freqüência. 
 
2 Freqüências 
Um conceito recorrente em estatística é o conceito de freqüência. São de quatro tipos: 
· freqüência absoluta simples ( f ); 
· freqüência absoluta acumulada ( F ); 
· freqüência relativa simples ( fr ); 
· freqüência relativa acumulada ( Fr ). 
Todas as freqüências guardam relação com o número de ocorrências de um valor ou classe de 
valores. Em seguida, analisaremos cada tipo de freqüência. 
 
3 Freqüências absolutas 
A freqüência absoluta simples indica o número de ocorrências de um valor ou classe de 
valores (obs: ainda nesta aula veremos o que é uma classe – ver fl. 26). 
Para exemplificar, voltemos aos nossos dados (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7). 
 
Quantos valores iguais a 2 nós temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham R$ 2.000,00?). 
Resposta: são três valores iguais a 2 (ou ainda: três pessoas ganham R$ 2.000,00). 
 
Dizemos que a freqüência absoluta simples do número 2 é 3. 
O número 4 ocorre 2 vezes. Assim, a freqüência absoluta simples do número 4 é 2. 
A tabela abaixo mostra as freqüências para cada valor de X. 
 
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Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
TOTAL 10 
Quando os dados estão agrupados por valor, é natural que a gente queira se referir a um 
específico valor e sua freqüência. Para tanto, usamos a notação iX (“xis” índice “i”) para nos 
referirmos a cada valor e if (“efe” índice “i”) para nos referirmos a cada freqüência. 
Deste modo, o primeiro valor é 1. Dizemos que 11 =X . Sua freqüência também é igual a 1. 
Dizemos que 11 =f . 
O segundo valor é 2. Ou seja, 22 =X . E sua freqüência é igual a 3. Portanto, 32 =f . 
Repare que o total das freqüências absolutas simples é 10. E 10 é justamente o número de 
pessoas pesquisadas.Isto não é coincidência. 
Na tabela acima, indicamos quantas pessoas ganham cada um dos salários. Se são 10 pessoas, 
é natural esperar que, somando todas as freqüências, obtenhamos justamente 10. 
Como regra geral, se tivermos ‘n’ elementos, podemos dizer que: 
nfi =∑ 
Para o caso acima, temos 7 valores de freqüência. O somatório de todas as freqüências fica: 
7654321
7
1
ffffffff
i
i ++++++=∑
=
 
101112131
7
1
=++++++=∑
=i
if 
 
Valor
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1
TOTAL 10
sempre igual a n
 
 
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A freqüência absoluta acumulada nos dá quantos valores são menores ou iguais ao valor 
observado. Para a nossa seqüência de dados, podemos construir a seguinte tabela: 
 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta 
acumulada 
1 1 
2 4 
3 5 
4 7 
5 8 
6 9 
7 10 
 
Tomemos como exemplo o valor 4 (linha em vermelho). 
Quantos valores menores ou iguais a 4 nós temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham de R$ 
4.000,00 pra baixo?) 
Resposta: temos 7 valores menores ou iguais a 4 (são eles: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4). Ou ainda: sete 
pessoas ganham salários menores ou iguais a R$ 4.000,00. 
 
Portanto, a freqüência acumulada do valor 4 é 7. 
Note que a última freqüência acumulada é igual a 10 (exatamente o número de dados). Isto 
não é coincidência. Se o maior valor é 7, então todos os dados serão menores ou iguais a 7. 
Portanto, a freqüência absoluta acumulada do valor 7 é 10. 
Valor
observado (X)
Freqüência absoluta
acumulada
1 1
2 4
3 5
4 7
5 8
6 9
7 10
sempre igual a n
 
É importante saber como se faz para, a partir da freqüência absoluta simples, chegar à 
freqüência absoluta acumulada. 
 
Suponha que temos apenas os valores de freqüências simples e queremos obter as freqüências 
acumuladas. Como fazer? 
A primeira linha da coluna de freqüência acumulada coincide com a de freqüência simples. 
Assim, o primeiro valor de freqüência acumulada é igual a 1. 
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Valor
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta
acumulada
1 1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1 
A partir da segunda linha, os valores começam a se diferenciar. Tomamos o valor de 
freqüência acumulada da linha anterior (no caso ‘1’). Tomamos o valor da freqüência simples 
da linha atual (no caso ‘3’). Somamos os dois (1+3 = 4) e preenchemos a segunda linha da 
coluna de freqüência acumulada. Esta seqüência está expressa nas linhas de cor vermelha. 
Valor
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta
acumulada
1 1 1
2 3 4
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1
1+3=4
 
Para a linha seguinte, a mesma coisa. 
Valor
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta
acumulada
1 1 1
2 3 4
3 1 5
4 2
5 1
6 1
7 1
4+1=5
 
E o mesmo raciocínio segue até a última linha. 
Valor
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta
acumulada
Memória
de cálculo
1 1 1 =1
2 3 4 =1+3
3 1 5 =4+1
4 2 7 =5+2
5 1 8 =7+1
6 1 9 =8+1
7 1 10 =9+1 
É também importante saber como se calcula, a partir da tabela de freqüências acumuladas, os 
valores de freqüências simples. Basta fazer o procedimento inverso do descrito acima. 
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Valor
observado (X)
Freqüência
absoluta simples
Freqüência
absoluta acumulada
1 1 1
2 4
3 5
4 7
5 8
6 9
7 10 
A primeira freqüência simples coincide com a primeira freqüência acumulada. 
A partir da segunda linha, os valores começam a diferenciar. Tomamos o valor de freqüência 
acumulada da linha atual (no caso, 4). Tomamos o valor de freqüência acumulada da linha 
anterior (no caso, 1). Subtraímos um do outro. E obtemos a freqüência simples da linha atual. 
Este procedimento está expresso nas linhas azuis. 
 
Para a linha seguinte, a mesma coisa. 
Valor
observado (X)
Freqüência
absoluta simples
Freqüência
absoluta acumulada
1 1 1
2 3 4
3 1 5
4 7
5 8
6 9
7 10
5-4=1
 
E o procedimento segue até a última linha. 
Valor
observado (X)
Memória de
Cálculo
Freqüência
absoluta simples
Freqüência
absoluta acumulada
1 =1 1 1
2 =4-1 3 4
3 =5-4 1 5
4 =7-5 2 7
5 =8-7 1 8
6 =9-8 1 9
7 =10-9 1 10 
 
4 Freqüências relativas 
As freqüências relativas são muito parecidas com as absolutas. A única diferença é que, em 
vez de estarmos interessados em valores absolutos, queremos saber valores relativos. 
A palavra “relativo” tem a ver com relação. Relação é sinônimo de divisão. 
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Pois bem, as freqüências relativas serão obtidas a partir de uma divisão. Divisão esta em que o 
denominador é o número de dados. 
A freqüência relativa simples é dada pela freqüência absoluta simples dividida pelo número 
de dados. 
Na nossa pesquisa de salários, temos 10 valores (n = 10). Vamos, a título de exemplo, calcular 
a freqüência relativa simples do número 2. 
O número 2 ocorre três vezes (a freqüência absoluta simples do número 2 é três; isto porque 
há três pessoas que ganham R$ 2.000,00). 
Para obter a freqüência relativa simples do número 2, basta dividir 3 por 10. A freqüência 
relativa simples do número 2 é: 
%303,0
10
3
2 ===fr (lê-se “efe erre índice dois”, pois estamos nos referindo à freqüência 
relativa simples do segundo valor). 
O que isto significa? Significa que trinta por cento das pessoas pesquisadas ganham R$ 
2.000,00. 
A tabela abaixo nos mostra as freqüências relativas simples para os dados. 
 
Salário 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência absoluta 
simples ( f ) 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
1 1 0,1 
2 3 0,3 
3 1 0,1 
4 2 0,2 
5 1 0,1 
6 1 0,1 
7 1 0,1 
TOTAL 10 1,0 
Observe que cada valor de freqüência relativa é igual à respectiva freqüência absoluta 
dividido por 10 (porque foram 10 pessoas pesquisadas). Note também que a soma de todos os 
valores da coluna de freqüência relativa simples é igual a 1. Isto sempre acontece. 
Valor
observado (X)
Freqüência
relativa simples
1 0,1
2 0,3
3 0,1
4 0,2
5 0,1
6 0,1
7 0,1
TOTAL 1
sempre igual a 1
 
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A freqüência relativa acumulada é dada pela divisão da freqüência absoluta acumulada por 
n. Fornece-nos o percentual de valores que são iguais ou menores ao valor analisado. A tabela 
abaixo mostra os valores de freqüência relativa acumulada. 
 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência absoluta 
acumulada )(F 
Freqüência relativa 
acumulada )(Fr 
1 1 0,1 
2 4 0,4 
3 5 0,5 
4 7 0,7 
5 8 0,8 
6 9 0,9 
7 10 1,0 
 
O que significa dizer que a freqüência relativa acumulada do valor 4 é 0,7? Significa que 70% 
das pessoas entrevistadas ganham salários iguais ou inferiores a R$ 4.000,00. 
Note que a freqüência relativa acumulada do último valor é igual a 1. Isto sempre acontece. 
Valor
observado (X)
Freqüência
relativa acumulada
1 0,1
2 0,4
3 0,5
4 0,7
5 0,8
6 0,9
7 1
sempre igual a 1 
Saber o que significa cada uma das freqüências é muito importante para qualquer prova de 
estatística. Contudo, não há questões que cobrem exclusivamente o seu conceito. Por isso, na 
seqüência, trago alguns exercícios propostos (não são de concursos) só para nos 
familiarizarmos com os conceitos vistos. 
Por fim, um comentário. Vimos como, a partirda freqüência absoluta simples, obter a 
freqüência absoluta acumulada (e vice-versa). 
Para as freqüências relativas, o procedimento é exatamente o mesmo. Se tivéssemos apenas as 
freqüências relativas simples, para obter as freqüências relativas acumuladas faríamos: 
Valor
observado (X)
Freqüência relativa 
simples
Freqüência relativa
acumulada
Memória
de cálculo
1 0,1 0,1 =0,1
2 0,3 0,4 =0,1+0,3
3 0,1 0,5 =0,4+0,1
4 0,2 0,7 =0,5+0,2
5 0,1 0,8 =0,7+0,1
6 0,1 0,9 =0,8+0,1
7 0,1 1 =0,9+0,1 
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E se tivéssemos apenas as freqüências relativas acumuladas, para obter as freqüências 
relativas simples faríamos o seguinte: 
Valor
observado (X)
Memória de
Cálculo
Freqüência
relativa simples
Freqüência
relativa acumulada
1 =0,1 0,1 0,1
2 =0,4-0,1 0,3 0,4
3 =0,5-0,4 0,1 0,5
4 =0,7-0,5 0,2 0,7
5 =0,8-0,7 0,1 0,8
6 =0,9-0,8 0,1 0,9
7 =1-0,9 0,1 1 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 1. Considere a seguinte seqüência de dados: 
2, 3, 1, 2, 4, 3, 9, 2, 10, 5, 12, 4, 4, 7, 2, 4, 1, 10, 3, 3. 
a) obtenha o ROL 
b) construa a tabela de freqüências absolutas simples 
c) construa a tabela de freqüências absolutas acumuladas 
d) construa a tabela de freqüências relativas simples 
e) construa a tabela de freqüências relativas acumuladas 
 
EP 2. Considere a seguinte tabela: 
Valores Freqüência absoluta simples 
1 2 
3 5 
5 2 
7 1 
Obtenha os valores de freqüência relativa acumulada. 
 
 
EP 3. Considere a seguinte tabela: 
Valores Freqüência relativa acumulada 
1 0,1 
4 0,5 
6 0,8 
15 1,0 
 
Sabendo que ao todo são 50 dados, obtenha os valores de freqüência absoluta simples. 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução do EP 1 
a) Para achar o ROL, basta colocar os dados em ordem crescente. 
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ROL: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 10, 12 
 
b) 
Valores Freqüência absoluta simples 
1 2 
2 4 
3 4 
4 4 
5 1 
7 1 
9 1 
10 2 
12 1 
TOTAL 20 
Note que a soma de todas as freqüências simples é igual a 20, que é justamente o número de 
dados do nosso ROL. 
c) Podemos construir a coluna de freqüências acumuladas a partir da coluna de freqüência 
simples. 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência absoluta 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 2 =2 
2 4 6 =2+4 
3 4 10 =6+4 
4 4 14 =10+4 
5 1 15 =14+1 
7 1 16 =15+1 
9 1 17 =16+1 
10 2 19 =17+2 
12 1 20 =19+1 
Note que a última freqüência acumulada simples é igual ao número de dados do nosso ROL 
(=20). 
 
d) Podemos obter as freqüências relativas simples a partir das freqüências absolutas simples. 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência relativa 
simples 
Memória de cálculo 
1 2 0,1 =2/20 
2 4 0,2 =4/20 
3 4 0,2 =4/20 
4 4 0,2 =4/20 
5 1 0,05 =1/20 
7 1 0,05 =1/20 
9 1 0,05 =1/20 
10 2 0,1 =2/20 
12 1 0,05 =1/20 
TOTAL 20 1 
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12
Note que a soma de todas as freqüências relativas simples é igual a 1. 
 
e) Podemos obter as freqüências relativas acumuladas de duas formas. A partir da freqüência 
relativa simples ou a partir da freqüência absoluta acumulada (dividindo todos os valores por 
20). 
Primeira forma: 
Valores Freqüência relativa 
simples 
Freqüência relativa 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 0,1 0,1 =0,1 
2 0,2 0,3 =0,1+0,2 
3 0,2 0,5 =0,3+0,2 
4 0,2 0,7 =0,5+0,2 
5 0,05 0,75 =0,7+0,05 
7 0,05 0,8 =0,75+0,05 
9 0,05 0,85 =0,8+0,05 
10 0,1 0,95 =0,85+0,1 
12 0,05 1 =0,95+0,05 
Note que o último valor de freqüência relativa acumulada é igual a 1. 
 
Segunda forma: 
Valores Freqüência absoluta 
acumulada 
Freqüência relativa 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 0,1 =2/20 
2 6 0,3 =6/20 
3 10 0,5 =10/2 
4 14 0,7 =14/20 
5 15 0,75 =15/20 
7 16 0,8 =16/20 
9 17 0,85 =17/20 
10 19 0,95 =19/20 
12 20 1 =20/20 
 
Resolução EP 2 
Podemos, a partir da freqüência absoluta simples, obter a freqüência absoluta acumulada e, a 
partir desta, obter a freqüência relativa acumulada. 
Obtendo as freqüências absolutas acumuladas: 
 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência absoluta 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 2 =2 
3 5 7 =2+5 
5 2 9 =7+2 
7 1 10 =9+1 
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13
Obtendo as freqüências relativas acumuladas: 
 
Valores Freqüência absoluta 
acumulada 
Freqüência relativa 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 0,2 =2/10 
3 7 0,7 =7/10 
5 9 0,9 =9/10 
7 10 1 =10/10 
 
Resolução EP 3 
Vamos obter os valores de freqüência relativa simples. 
 
Valores Memória de 
cálculo 
Freqüência 
Relativa simples 
Freqüência relativa acumulada 
1 =0,1 0,1 0,1 
4 =0,5-0,1 0,4 0,5 
6 =0,8-0,5 0,3 0,8 
15 =1,0-0,8 0,2 1,0 
 
Agora vamos obter os valores de freqüência absoluta simples. 
 
Valores Freqüência relativa 
simples 
Freqüência absoluta 
simples 
Memória de cálculo 
1 0,1 5 =0,1 x 50 
4 0,4 20 =0,4 x 50 
6 0,3 15 =0,3 x 50 
15 0,2 10 =02 x 50 
 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS AGRUPADOS POR VALOR 
1 Média para dados agrupados por valor 
Aula passada vimos o ROL e como calcular a média para os dados em ROL. 
Nesta aula, vimos como apresentar os dados em tabelas, de maneira agrupada (por valor). 
Vimos os diversos tipos de freqüência. Vamos agora ver como fica a média para os dados 
agrupados. 
A idéia é a mesma de antes: somar todos os valores e dividir pelo número de dados. 
Quando os dados estiverem agrupados, uma forma de calcular a média é a seguinte. 
Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual ao produto das duas anteriores. 
 
Salários Freqüência absoluta simples = Salário x freqüência 
1 1 1 
2 3 6 
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14
Salários Freqüência absoluta simples = Salário x freqüência 
3 1 3 
4 2 8 
5 1 5 
6 1 6 
7 1 7 
 
Segundo passo: calculamos os totais das duas últimas colunas. 
 
Salários Freqüência absoluta simples = Salário x freqüência 
1 1 1 
2 3 6 
3 1 3 
4 2 8 
5 1 5 
6 1 6 
7 1 7 
TOTAL 10 36 
 
Terceiro passo: a média será dada pela divisão do total da coluna (salário x freqüência) pelo 
total da coluna de freqüências. 
6,3
10
36 ==X 
Repare que a média foi de R$ 3.600,00. A mesma média obtida quando os dados estavam em 
ROL. O valor tinha que dar igual. Afinal de contas, são os mesmos dados, apenas dispostos de 
forma diferente. 
Outro aspecto interessante. O total da coluna de (salário x freqüência) é justamente a soma de 
todos os salários. 
Um comentário importante. Para fazer este procedimento, é importante que se trabalhe apenas 
com freqüências simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser simples. Se o 
exercício te der uma tabela de freqüências acumuladas, antes de resolver, tem que passar para 
a respectiva freqüência simples. 
 
Vamos ver como seria. Se o exercício trouxesse a seguinte tabela: 
 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência relativa 
acumulada 
1 0,1 
2 0,4 
3 0,5 
4 0,7 
5 0,8 
6 0,9 
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15
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência relativa 
acumulada 
7 1,0 
Como você calcularia a média? 
Antes de começar a resolver, temos que achar a freqüência relativa simples, pois,para 
calcular a média, não serve a freqüência acumulada. 
 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
Memória 
de cálculo 
Freqüência 
relativa simples 
Freqüência 
relativa acumulada 
1 (=0,1) 0,1 0,1 
2 (=0,4 – 0,1) 0,3 0,4 
3 (=0,5-0,4) 0,1 0,5 
4 (=0,7-0,5) 0,2 0,7 
5 (=0,8 – 0,7) 0,1 0,8 
6 (=0,9 – 0,8) 0,1 0,9 
7 (= 1 – 0,9) 0,1 1,0 
 
Feito isto, podemos criar a coluna de (freqüência x salários), calcular os totais de cada coluna 
e achar a média. 
 
Salário 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
= Salário x freqüência 
1 0,1 0,1 
2 0,3 0,6 
3 0,1 0,3 
4 0,2 0,8 
5 0,1 0,5 
6 0,1 0,6 
7 0,1 0,7 
TOTAL 1 3,6 
E a média fica: 
6,3
1
6,3 ==X 
Observe que a resposta é a mesma (tanto para freqüências absolutas quanto relativas). O que 
importa é que as freqüências sejam simples. Nunca acumuladas. 
Se fôssemos resumir todos os procedimentos para calcular a média, poderíamos expressá-los 
por meio das seguintes fórmulas: 
n
fX
X ii∑ ×= (quando trabalhamos com freqüências absolutas) 
 
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16
1
∑ ×= ii frXX (quando trabalhamos com freqüências relativas) 
Agora um detalhe. Quando os dados estão em ROL, vimos lá na aula 1 que a fórmula da 
média é: 
n
X
X
n
i
i∑
== 1 
E agora, quando temos dados agrupados, a fórmula mudou. Mas todas elas são formas 
ligeiramente diferentes de se escrever a mesma coisa. A título de exemplo, vamos comparar 
n
X
n
i
i∑
=1 com
n
fX ii∑ × . 
A primeira fórmula é para dados em ROL. A segunda, para dados agrupados. 
O denominador das duas fórmulas é o mesmo. No caso dos salários das pessoas do bairro 
Nova Vila, são 10 observações. Portanto, 10=n . Agora vamos nos concentrar nos 
numeradores. 
Quando os dados estão em ROL, temos: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Quando escrevemos os dados em ROL, representamos cada termo por iX . Assim, temos dez 
valores de Xi. 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7. 
 
Deste modo, para somar todos os dez valores, fazemos: 
∑
=
10
1i
iX =36 
E ‘36’ é o numerador da fórmula 
n
X
n
i
i∑
=1 . 
Já quando os dados estão agrupados, a notação muda um pouco. Ficamos com: 
 
Salários Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
 
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17
Continuamos tendo dez observações. Mas, para representá-las, não usamos mais dez valores 
de Xi. Usamos apenas sete. Um para cada valor diferente de salário. 
Assim, dizemos que X1 = 1. Isto porque o primeiro valor de salário observado é igual a 1. 
Dizemos também que X1 tem freqüência igual a 1 ( 11 =f ). 
Dizemos que X2 = 2. Isto porque o segundo valor observado é igual a 2. Dizemos também que 
sua freqüência é igual a 3 ( 32 =f ). Ou seja, este segundo valor, na verdade, representa três 
termos. Três observações estão representadas por este X2 = 2. Por isso dizemos que os dados 
estão agrupados. Agrupamos três termos em uma única linha da tabela. 
Nesta representação, de dados agrupados, temos: 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3; X4 = 4; X5 = 5; X6 = 6; X7 = 7. 
Mas, agora, se quisermos somar todas as observações, não podemos simplesmente fazer: 
287654321
7
1
=++++++=∑
=i
iX 
Isto estaria errado. Porque, como já dissemos, cada valor de Xi pode representar mais de uma 
observação. Por isso temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva freqüência. 
Deste modo, quando os dados estão agrupados, a soma de todos os valores fica ligeiramente 
diferente. Neste exemplo da pesquisa de salários, ficamos com: 
3617161524133211
7
1
=×+×+×+×+×+×+×=×∑
=i
ii fX 
Resumindo: 
Quando os dados estão em ROL, para somar todos os dados fazemos: ∑ iX . 
Quando os dados estão agrupados, para somar todos os dados fazemos: ∑ × ii fX . 
Estas duas fórmulas fornecem exatamente o mesmo resultado. 
 
2 Moda para dados agrupados por valor 
Retomemos a tabela de freqüências absolutas simples para o nosso rol, vista no começo desta 
aula. 
 Salários (em R$ 
1.000,00) 
Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
A moda é o termo que mais se repete. Se é o termo que mais ocorre, portanto, é o termo que 
terá a maior freqüência simples (tanto faz ser absoluta ou relativa). 
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18
Assim, nos dirigimos à coluna de freqüência absoluta simples. Qual a maior freqüência? A 
maior freqüência é 3 (ver linha em vermelho). 
Qual o termo que apresenta freqüência de 3? É o número 2. 
Portanto, a moda é 2 (R$ 2.000,00). 
Antes de passarmos aos exercícios, um lembrete: 
 
 
→ 
LEMBRETE DE MÉDIA E MODA: 
Sempre utilize freqüências simples (absolutas ou relativas, tanto faz). 
Nunca utilize freqüências acumuladas. 
 
Vamos agora aos exercícios. Ainda não temos muitos exercícios de concursos sobre este 
tópico (é bem difícil encontrar questões de concursos especificamente sobre este assunto). 
Mas ele é muito importante para que possamos entender o cálculo de medidas de posição para 
dados agrupados em classes. Este assunto sim, cai bastante nas provas de concursos. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 4. Considere a seguinte tabela: 
Valor observado Freqüência relativa acumulada 
10 0,1 
15 0,2 
18 0,5 
20 0,7 
21 1 
Calcule a média e a moda para os dados agrupados acima representados. 
 
Resolução: 
Foram fornecidas freqüências acumuladas. Para calcular média e moda, sempre trabalhamos 
com freqüências simples (relativas ou absolutas, tanto faz). 
Encontremos então as freqüências relativas simples correspondentes. 
Valor 
observado 
Memória 
de cálculo 
Freqüência 
Relativa simples 
Freqüência 
relativa acumulada 
10 =0,1 0,1 0,1 
15 =0,2-0,1 0,1 0,2 
18 =0,5-0,2 0,3 0,5 
20 =0,7-0,5 0,2 0,7 
21 =1-0,7 0,3 1 
 
Pronto, agora podemos criar a coluna de valor vezes freqüência. 
Valor 
observado 
Freqüência 
Relativa simples 
Valor vezes 
freqüência 
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19
Valor 
observado 
Freqüência 
Relativa simples 
Valor vezes 
freqüência 
10 0,1 1 
15 0,1 1,5 
18 0,3 5,4 
20 0,2 4 
21 0,3 6,3 
TOTAL 1 18,2 
E a média fica: 
2,18
1
2,18 ==X 
Para encontrar a moda, basta tomarmos o valor que corresponde à maior freqüência simples. 
No caso, as maiores freqüências são iguais a 0,3. Há duas modas. O conjunto é bimodal. As 
modas são 18 e 21. 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
EC 1. Analista Ministerial. MPE – PE/2006. Área: estatística. [FCC] 
Em uma linha de produção de montadoras de tratores, existem 5 verificações realizadas pela 
equipe de controle de qualidade. Foram sorteados alguns dias do mês e anotados os números 
de controle em que o trator produzido foi aprovado nestes dias. 
Aprovações N° de tratores 
3 250 
4 500 
5 1250 
Total 2000 
A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovação implica em 
custos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor básico de R$ 10,00 por cada item 
reprovado no trator produzido, a média da despesa adicional por trator será: 
a) R$ 1,00 
b) R$ 10,00 
c) R$ 6,00 
d) R$ 5,00 
e) R$ 7,00 
 
Resolução: 
Um trator com 3 aprovações teve 2 reprovações. Ou seja, representa uma despesa adicional de 
R$ 20,00. 
Um trator com 4 aprovações teve 1 reprovação. Ou seja, representa uma despesa adicional de 
R$ 10,00. 
Um trator com 5 aprovações não teve reprovação. Não representanenhuma despesa adicional. 
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20
Podemos construir a seguinte tabela: 
Despesa adicional 
(X) 
N° de tratores 
(f) 
20,00 250 
10,00 500 
0,00 1250 
Total 2000 
Vamos calcular a média de despesa adicional. Vamos criar a coluna adicional de valor vezes 
freqüência. 
 X f fX × 
20,00 250 5.000 
10,00 500 5.000 
0,00 1250 0 
Total 2000 10.000 
A média fica: 
5
000.2
000.10 ==X 
A média é de R$ 5,00 por trator. 
Gabarito: D 
 
3 Mediana para dados agrupados por valor 
Lembram da mediana? É o termo que divide a série em duas partes com o mesmo número de 
termos. Ou ainda, é o valor que não é superado por 50% das observações. 
Retomemos a tabela de freqüências absolutas simples para o nosso rol, vista no começo desta 
aula. 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
Ao contrário da média e da moda, para encontrar a mediana não trabalhamos com freqüências 
simples. Trabalhamos sempre com freqüências acumuladas (tanto faz ser relativa ou 
absoluta). 
Então, o primeiro passo para encontrar a mediana é encontrar a coluna de freqüências 
absolutas acumuladas. 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência 
absoluta simples 
Freqüência 
absoluta acumulada 
1 1 1 
2 3 4 
3 1 5 
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21
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência 
absoluta simples 
Freqüência 
absoluta acumulada 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
Segundo passo: determinar qual o termo do meio (ou quais são). Neste caso, como são 10 
elementos (ou seja, o número total de dados é par), não temos um termo do meio. Temos dois 
termos centrais. 
Numa seqüência de 10 termos, os centrais são o quinto e o sexto elementos. 
Temos, portanto que determinar quem é o quinto elemento e quem é o sexto elemento. Para 
tanto, basta encontrar a quais valores de salários correspondem as freqüências acumuladas 5 e 
6. 
Dirigindo-nos à coluna de freqüência acumulada, procuramos pelo número 5 (ver linha em 
vermelho). 
Qual valor de salário corresponde à freqüência acumulada 5? 
Resposta: 3 (R$ 3.000,00). 
Pronto, encontramos o quinto elemento. 
Agora, encontremos o sexto elemento. Dirigindo-nos à coluna de freqüência acumulada, 
procuramos pelo número 6. Só que não há nenhum valor de freqüência acumulada igual a 6. 
Adotamos o número imediatamente superior, no caso, 7 (ver linha em azul). 
Qual o valor de salário correspondente à freqüência acumulada 7? 
Resposta: 4 (R$ 4.000,00). 
Pronto, encontramos o sétimo elemento (que é igual ao sexto elemento). 
Num caso de número par de dados, a mediana é dada pela média entre os dois termos centrais. 
5,3
2
43 =+=D 
Talvez tenha ficado a dúvida de por que utilizamos a freqüência acumulada 7 em vez de 6. 
Tentando explicar um pouco melhor, podemos pensar o seguinte. A freqüência acumulada do 
valor 3 é 5. O que significa isto? Significa que 5 pessoas ganham salários menores ou iguais a 
R$ 3.000,00. 
A freqüência acumulada do valor 4 é 7. O que significa isto? Significa que 7 pessoas ganham 
salários menores ou iguais a R$ 4.000,00. 
Ou seja, cinco pessoas ganham até R$ 3.000,00. Sete pessoas ganham até R$ 4.000,00. Eu 
estou procurando pela sexta pessoa. Eu sei que esta sexta pessoa ganha mais de R$ 3.000,00, 
pois apenas as cinco primeiras ganham até R$ 3.000,00. Logo, a sexta e a sétima pessoas 
ganham salários de R$ 4.000,00. Ou seja, o sexto e o sétimo valores são iguais. 
 
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22
→ 
LEMBRETE DE MEDIANA: 
Sempre trabalhe com freqüências acumuladas. 
Nunca utilize freqüências simples. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
EP 5. Considere a seguinte tabela: 
Valor observado Freqüência relativa acumulada 
10 0,1 
15 0,2 
18 0,5 
20 0,7 
21 1 
Considerando que são 20 valores observados, calcule a mediana para os dados agrupados 
acima representados. 
 
Resolução: 
Para encontrar a mediana, trabalhamos com freqüência acumulada. Pode ser simples ou 
relativa. 
Pois bem, quando temos dados agrupados por valor, embora possível, fica um pouco 
complicado trabalhar com freqüências relativas. 
Já para dados agrupados em classes, tópico que realmente cai nas provas, é possível trabalhar 
tranquilamente tanto com freqüências relativas quanto absolutas (bastando que sejam 
acumuladas). 
Assim, para resolver o exercício proposto, encontremos as freqüências absolutas acumuladas. 
Valor observado Freqüência 
relativa acumulada 
Freqüência 
Absoluta acumulada 
Memória 
De cálculo 
10 0,1 2 =0,1 x 20 
15 0,2 4 =0,2 x 20 
18 0,5 10 =0,5 x 20 
20 0,7 14 =0,7 x 20 
21 1 20 =1 x 20 
 
Numa seqüência com 20 termos, os do meio são o 10° e o 11°. 
Para encontrar o décimo elemento, verificamos qual valor corresponde à freqüência 
acumulada 10. 
Este valor é o 18. 
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23
Valor 
observado
Freqüência
absoluta acumulada
10 2
15 4
18 10
20 14
21 20 
Para encontrar o décimo primeiro elemento, verificamos qual valor corresponde à freqüência 
acumulada 11. Não tem nenhum valor com freqüência acumulada igual a 11. Adotamos o 
número imediatamente superior (no caso 14). 
Valor 
observado
Freqüência
absoluta acumulada
10 2
15 4
18 10
20 14
21 20 
Ou seja, os elementos 11°, 12°, 13° e 14° são todos iguais a 20. 
E a mediana fica: 
19
2
2018 =+=D 
 
III FORMAS GRÁFICAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS AGRUPADOS POR 
VALOR 
Na aula passada vimos como apresentar os dados que não estão agrupados. Podemos fazer 
isso por meio de um ROL ou por meio de um diagrama de ramos e folhas. 
Nesta aula vimos que podemos agrupar os dados por valor. E apresentá-los por meio de uma 
tabela que indica cada valor observado e sua respectiva freqüência acumulada. 
Apenas para reforçar, vejamos mais um exercício sobre este assunto. 
 
EC 2. Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados e realizou um 
levantamento por um período de 36 meses. As informações apuradas estão na tabela a seguir: 
Número de empregados acidentados Número de meses 
1 1 
2 2 
3 4 
4 5 
5 7 
6 6 
7 5 
8 3 
9 2 
10 1 
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24
A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados é: 
a) 50% 
b) 45% 
c) 35% 
d) 33% 
e) 30% 
 
Resolução: 
A variável em estudo é o “número de empregados acidentados em um mês”. Ela assume o 
valor 1 uma vez. Isto significa que, em uma única vez, tivemos 1 acidentado por mês. Por 
duas vezes, tivemos 2 acidentados por mês. Por quatro vezes tivemos 3 acidentados por mês. 
E assim por diante. 
Poderíamos representar a nossa variável pelo seguinte ROL: 
 
Número de acidentados por mês: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 
6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 
 
Em vez de fazer desta forma, o exercício agrupou os valores iguais. Em vez de escrever o 
número 4 cinco vezes, a tabela nos informa que o número 4 tem freqüência 5. Dizemos que os 
dados estão agrupados por valor. 
Vamos ver em quantos meses houve menos que cinco empregados acidentados por mês. A 
tabela abaixo destaca os valores procurados: 
Número de empregados acidentados Número de meses
1 1
2 2
3 4
4 5
5 7
6 6
7 5
8 3
9 2
10 1
meses com menos 
de 5 empregadosacidentados por 
mês
 
Em 12 meses tivemos menos que cinco empregados acidentados por mês (=1+2+4+5). 
12 meses representa 33% de 36. 
Gabarito: D. 
 
Além de representar os dados agrupados em uma tabela, podemos também representá-los em 
gráficos. 
 
1 Colunas justapostas 
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25
Vamos pegar o mesmo rol trabalhado na primeira aula (aquela pesquisa com os salários dos 
moradores do bairro Nova Vila). 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Podemos representar estes dados em um gráfico de colunas. 
 
Este tipo de gráfico é bem comum no nosso dia a dia. A altura de cada coluna está relacionada 
com a respectiva freqüência absoluta de cada salário. 
Agrupamos todos os salários de R$ 4.000,00 numa coluna de altura 2, o que indica que duas 
pessoas ganham R$ 4.000,00 por mês. Ou ainda, o valor 4.000,00 ocorre duas vezes. Da 
mesma forma, agrupamos todos os valores R$ 2.000,00 em uma coluna com altura 3, que 
indica que este valor ocorre 3 vezes. 
 
2 Colunas compostas 
 
Aqui nós “empilhamos” as colunas, de forma que cada pedaço tenha altura proporcional à 
freqüência do respectivo valor. Assim, a coluna do valor R$ 1.000,00 é três vezes menor que 
a coluna do valor R$ 2.000,00. Se lembrarmos do ROL original, temos que apenas uma 
pessoa recebe R$ 1.000,00, enquanto três pessoas recebem R$ 2.000,00. 
 
3 Gráfico de setores 
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26
Igualmente usual é o gráfico em forma de pizza: 
 
A área de cada fatia da pizza é proporcional à freqüência absoluta do valor. 
Além destes, há diversos outros tipos de gráficos. Apesar de haver inúmeras possibilidades, 
gráficos para dados agrupados por valor pouco caem em prova (confesso que não encontrei 
nenhuma questão da ESAF sobre isso). Mas não custava nada comentar. Na próxima aula 
veremos um outro tipo de gráfico que se chama histograma. Este sim cai bastante em provas. 
 
IV MÉDIA E MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
Finalmente chegamos à matéria que realmente cai em provas de concursos. 
Vimos que podemos apresentar os dados de diversas formas. Podemos colocá-los segundo um 
ROL. A forma gráfica correspondente ao ROL é o diagrama de ramos e folhas. Também 
podemos agrupar os dados por valor. Com essa idéia, vimos como colocá-los em tabelas e em 
gráficos (forma de pizza e gráfico de colunas). 
E, agora, veremos que podemos agrupá-los de forma um pouco diferente: em classes. 
 
1 Dados agrupados em classes 
Na nossa pesquisa salarial no bairro Nova Vila, não são muitos os valores envolvidos. Foram 
entrevistadas apenas dez pessoas. Colocar os dados obtidos em ROL ou em uma tabela, de 
forma agrupada por valor, não é tão trabalhoso. 
Agora imagine que pesquisamos os salários de milhares de pessoas. Mesmo que 
colocássemos tais valores em uma tabela, de forma agrupada (por valor), ainda seriam 
necessárias muitas e muitas linhas. 
Um trechinho da tabela poderia ser: 
Valor observado (R$) Freqüência absoluta simples 
R$ 500,00 12 
R$ 500,01 2 
R$ 500,02 3 
R$ 500,03 6 
... ... 
E a tabela continuaria com centenas de linhas. 
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Nesses casos, é preciso agrupar os valores um pouco mais. Podemos agrupá-los em classes. 
A tabela poderia ficar assim: 
Classe de valor (R$) Freqüência absoluta simples 
500,00 até 999,99 661 
1.000 até 1.999,99 240 
2.000 até 2.999,99 120 
3.000 até 3.999,99 68 
... ... 
Cada “faixa salarial” é uma classe. Classe é apenas isto. É uma faixa de valores, ou ainda, um 
intervalo de valores. 
Na primeira classe, temos salários entre R$ 500,00 e R$ 999,99. A tabela nos informa que 661 
pessoas entrevistadas ganham salários que estão nesta faixa de valores. 
Na segunda classe, temos salários entre R$ 1.000,00 e R$ 1.999,99. E a tabela informa que 
240 pessoas ganham salários nesta faixa de valores. 
E assim por diante. 
Há uma simbologia específica para representar os dados em classes de valores. Vamos passar 
a estudá-la. Para tanto, voltemos ao nosso exemplo da pesquisa salarial dos moradores do 
bairro Nova Vila. 
Relembrando nosso Rol: 
R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Suponhamos agora que, em vez de divulgarmos todos os dados obtidos na pesquisa, 
colocamos apenas a seguinte tabela, agrupando os valores em classes: 
Classes de valores Freqüência absoluta simples 
[1;4) 5 
[4;7) 4 
[7;10) 1 
Deste modo, há 5 pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00 (incluindo R$ 
1.000,00 e excluindo R$ 4.000,00), há quatro pessoas que ganham entre R$ 4.000,00 e R$ 
7.000,00 e há apenas uma pessoa que ganha entre R$ 7.000,00 e R$ 10.000,00. 
Não custa nada repetir a utilidade dos dados em classes. No nosso exemplo, foram apenas dez 
pessoas entrevistadas. É um número pequeno. Poderíamos perfeitamente divulgar todos os 
dados da pesquisa. 
Já num caso em que o número de dados é muito grande, divulgar todos eles pode fazer com 
que fique difícil de fazer uma leitura adequada da pesquisa. Às vezes se quer publicar o 
resultado num jornal, numa revista, num mural. O espaço disponível para as tabelas é restrito. 
Imagine tentar colocar num mural o resultado de uma pesquisa que envolveu milhares de 
valores distintos. É inviável apresentar todos eles. Seriam páginas e páginas de tabelas. Nestes 
casos, é útil apresentar somente a quantidade de valores em cada classe. 
Assim procedendo, temos a vantagem de ganhar espaço e de facilitar uma visualização geral 
dos dados. Só que, por outro lado, perde-se um pouco de informação. Por exemplo, 
analisando apenas a tabela com os valores em classes, não sabemos qual o salário de cada 
uma das cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00. Pode ser que todas elas 
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ganhem um salário de R$ 2.000,00. Pode ser que cada uma ganhe um salário diferente (por 
exemplo: R$ 1.500,00; R$ 1.525,32; R$ 1.678,00; R$ 3.980,05; R$ 3.988,00). E poderíamos 
listar inúmeras outras possibilidades. Enfim, não temos como descobrir o salário de cada uma 
delas. Apenas sabemos que há cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00. 
Resumindo: com os dados em classes, ganhamos espaço, mas perdemos informação. 
Aqui também podemos usar a expressão “distribuição de freqüências”, a exemplo do que 
fizemos com os dados agrupados por valor. Lá tínhamos a relação entre freqüências e 
respectivos valores. Aqui temos a relação entre as freqüências e respectivas classes. 
Agora vamos detalhar um pouco mais a representação em classes de valores. 
Vejamos a classe [4; 7). O colchete ao lado do quatro indica que o número 4 faz parte da 
classe. O parêntesis ao lado do sete indica que o número 7 não faz parte da classe. 
Logo, na classe de 4 a 7, estamos contando todas as pessoas que ganham de quatro mil reais 
(inclusive as que ganham exatamente R$ 4.000,00) até sete mil reais (sem contar as que 
ganham exatamente R$ 7.000,00). Na verdade, é como se nossa classe envolvesse as pessoas 
que ganham de R$ 4.000,00 até R$ 6.999,99. 
E se a nossa classe fosse assim: [4; 7]? 
Caso a nossa classe fosse [4;7], com dois colchetes, estaríamos levando em consideração as 
pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00 e também as que ganham exatamente R$ 
7.000,00. 
E se nossa classe fosse (4; 7)? 
Aí estaríamos levandoem conta as pessoas que ganham de R$ 4.000,01 até R$ 6.999,99. 
Uma outra forma de representar a classe [4;7) seria assim: 
4 │− 7 
Ao lado do número quatro temos um traço vertical. Significa que estamos levando em conta 
as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00. Ao lado do número sete não tem um traço 
vertical. Significa que não estamos levando em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 
7.000,00. 
E se a representação fosse assim: 4 − 7? 
Aí não levaríamos em conta nenhum dos extremos (pois não há nenhum traço vertical). 
Estaríamos nos referindo às pessoas que ganham de R$ 4.000,01 a R$ 6.999,99. 
Na classe [4; 7) dizemos que 4 é o limite inferior. Dizemos também que 7 é o limite superior. 
A tabela abaixo mostra o limite inferior e superior para cada classe. 
 
Classes de valores Limite inferior Limite superior 
[1;4) 1 4 
[4;7) 4 7 
[7;10) 7 10 
É muito nome pra saber não é? E vamos a mais alguns nomes... 
À diferença entre os limites superior e inferior, chamamos de amplitude de classe. No nosso 
exemplo, todas as classes têm a mesma amplitude de 3. 
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Classes de valores Limite inferior Limite 
superior 
Amplitude de classe 
[1;4) 1 4 3 ( 14 −= ) 
[4;7) 4 7 3 ( 47 −= ) 
[7;10) 7 10 3 ( 710 −= ) 
E, por fim, vamos ao ponto médio de classe. O ponto médio de classe é a média dos limites 
superior e inferior. 
 
Classes de valores Ponto médio 
[1;4) 2,5 
[4;7) 5,5 
[7;10) 8,5 
Na primeira classe os limites são 1 e 4. Então o ponto médio da primeira classe fica: 
5,2
2
41 =+ 
Para as demais classes, o cálculo é análogo. 
 
2 Média para dados agrupados em classes 
Para a nossa pesquisa de salários, a tabela de freqüências para dados em classes era: 
 
Classes de valores Freqüência absoluta simples 
[1;4) 5 
[4;7) 4 
[7;10) 1 
Vamos agora calcular a média. Novamente, a exemplo do que fizemos para os dados 
agrupados por valor, temos que garantir que as freqüências sejam simples. Tanto faz serem 
absolutas ou relativas. Mas têm que ser simples. Se o exercício pedir cálculo de média e 
fornecer freqüências acumuladas, você tem que achar as respectivas freqüências simples. 
Neste caso, já temos direto as freqüências absolutas simples. Já dá pra começar a calcular a 
média. 
Quando falamos sobre dados dispostos em classes, comentamos que se perdia informação. 
Olhemos para a primeira classe, com valores de R$ 1.000,00 a R$ 4.000,00. Sabemos que 
cinco pessoas estão nesta classe, mas não temos como determinar o salário de cada uma delas. 
Sabemos apenas que ganham de R$ 1.000,00 até R$ 3.999,99 (repare que nesta classe não 
levamos em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00). 
Para calcular a média, precisaríamos somar todos os dez salários e dividir por 10. Ora, se não 
sabemos mais, com exatidão, o salário de cada uma das dez pessoas, não temos mais como 
calcular a média. 
Assim, quando os dados estiverem em classes, não é possível saber qual a verdadeira média 
dos dados. O que fazemos é simplesmente “dar um chute”. É isso mesmo! Um “chute”. 
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A média verdadeira, esta não dá pra achar. Mas dá pra estimar um valor para esta média. 
Como fazer? 
O primeiro passo é calcular o ponto médio de cada classe. 
 
Classes de valores Ponto médio Freqüência absoluta simples 
[1;4) 2,5 5 
[4;7) 5,5 4 
[7;10) 8,5 1 
Pronto, agora vamos ao nosso “chute”. Vamos considerar que todas as pessoas de cada classe 
ganham exatamente o salário correspondente ao ponto médio da classe. Ou seja, as 5 pessoas 
da primeira classe ganham R$ 2.500,00. As 4 pessoas da segunda classe ganham R$ 5.500,00. 
E a pessoa da terceira classe ganha R$ 8.500,00. Novamente, isto é apenas um “chute”. 
Feito isso, agora a questão que temos é basicamente o cálculo de uma média para dados 
agrupados. O procedimento é o mesmo que vimos no começo da aula. Relembrando. 
Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, contendo o produto dos valores por suas 
respectivas freqüências. 
Ponto médio Freqüência absoluta simples 
Ponto médio x 
freqüência 
2,5 5 12,5 
5,5 4 22 
8,5 1 8,5 
Segundo passo: somamos os valores das colunas. 
Ponto médio Freqüência absoluta simples 
Ponto médio x 
freqüência 
2,5 5 12,5 
5,5 4 22 
8,5 1 8,5 
Totais 10 43 
Terceiro passo: dividimos o total da coluna (valor x freqüência) pelo total da coluna de 
freqüências. 
3,4
10
43 ==X 
Pronto, está calculada a média (ou melhor, “chutada”). Repare que este valor não é igual à 
média verdadeira (3,6). Quem tem acesso a todos os dados sabe que o salário médio das dez 
pessoas pesquisadas é de R$ 3.600,00. Contudo, sem acesso a todas as informações, 
estimamos a média em R$ 4.300,00. 
Um outro assunto envolvendo cálculo de média para dados em classes é a utilização de uma 
“variável transformada”. Este procedimento não é obrigatório. Veremos sua aplicação no 
exercício a seguir. Sua finalidade é apenas facilitar contas. 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
 
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EC 3. Fiscal ICMS/PA – 2002 [ESAF] 
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as 
extremidades das classes salariais. 
 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de 
fiscalização da Cia. X. 
a) 70,0 
b) 69,5 
c) 68,0 
d) 74,4 
e) 60,0 
 
Resolução: 
Primeiramente, repare que as freqüências fornecidas são acumuladas. Para calcular a média, 
sempre temos que utilizar freqüências simples. 
Façamos isto. 
 
Classes Freqüência simples Freqüência acumulada 
29,5 – 39,5 2 2 
39,5 – 49,5 4 6 
49,5 – 59,5 7 13 
59,5 – 69,5 10 23 
69,5 – 79,5 13 36 
79,5 – 89,5 9 45 
89,5 – 99,5 5 50 
Agora sim, podemos continuar com o cálculo. 
Vamos encontrar os pontos médios de cada classe. 
Classes Pontos médios Freqüência simples 
29,5 – 39,5 34,5 2 
39,5 – 49,5 44,5 4 
49,5 – 59,5 54,5 7 
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Classes Pontos médios Freqüência simples 
59,5 – 69,5 64,5 10 
69,5 – 79,5 74,5 13 
79,5 – 89,5 84,5 9 
89,5 – 99,5 94,5 5 
Note que todas as amplitudes de classes são iguais a 10. Assim, podemos simplesmente 
encontrar o primeiro ponto médio (=34,5). Os demais são obtidos por soma. Basta somar 10 
sempre. 
Como não temos acesso a todos os dados, vamos dar um chute. Vamos supor que todas as 
observações coincidem com os pontos médios de cada classe. 
O que temos agora é um cálculo de média para dados agrupados. São três passos a fazer. 
Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, multiplicando cada valor por sua respectiva 
freqüência simples. 
 
Pontos médios Freqüência simples Valor x freqüência 
34,5 2 69 
44,5 4 178 
54,5 7 381,5 
64,5 10 645 
74,5 13 968,5 
84,5 9 760,5 
94,5 5 472,5 
Segundo passo: calculamos os totais das colunas. 
 
Pontos médios Freqüência simples Valor x freqüência 
34,5 2 69 
44,5 4 178 
54,5 7 381,5 
64,5 10 645 
74,5 13 968,5 
84,5 9 760,5 
94,5 5 472,5 
Totais 50 3475 
Terceiro passo: dividir o total da coluna (valor x freqüência) pelo total da coluna de 
freqüências. 
5,69
50
3475==X 
Gabarito: B. 
 
O grande problema desta resolução é o excesso de contas. Ainda mais porque aparecem 
números com casas depois da vírgula. 
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Nestas situações, um procedimento opcional é criar uma variável auxiliar. Existem inúmeras 
formas de se fazer isto. A que eu costumo adotar é a seguinte. Vamos partir da tabela de 
pontos médios com suas respectivas freqüências simples. 
 
Classes Pontos médios Freqüência simples 
29,5 – 39,5 34,5 2 
39,5 – 49,5 44,5 4 
49,5 – 59,5 54,5 7 
59,5 – 69,5 64,5 10 
69,5 – 79,5 74,5 13 
79,5 – 89,5 84,5 9 
89,5 – 99,5 94,5 5 
Antes de criar a coluna adicional, contendo a multiplicação de valor e freqüência, vamos criar 
uma variável auxiliar. 
Vamos chamá-la de variável ‘d’. 
Vamos chamar os pontos médios de X. 
Para cada valor de X, encontramos um valor de d, da seguinte maneira: 
10
5,34−= Xd 
Vamos verificar mais de perto esta equação. O valor 34,5 corresponde ao primeiro ponto 
médio. O valor 10 corresponde à amplitude de classe. 
Então é sempre assim. Sempre que formos trabalhar com uma variável auxiliar, vamos fazer 
uma subtração e uma divisão. Subtraímos pelo primeiro ponto médio e dividimos pela 
amplitude de classe. Vamos ver como ficam as contas. 
O primeiro valor de X é 34,5. 
5,341 =X 
O primeiro valor da nossa variável auxiliar d será: 
0
10
5,345,34
1 =−=d 
O segundo valor de X é 44,5. 
5,442 =X 
O segundo valor da nossa variável auxiliar d será: 
1
10
5,345,44
2 =−=d 
E assim por diante. 
Podemos resumir todos os valores de ‘d’ com a tabela abaixo. 
 
Pontos médios (X) Variável auxiliar (d) Freqüência simples 
34,5 0 2 
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Pontos médios (X) Variável auxiliar (d) Freqüência simples 
44,5 1 4 
54,5 2 7 
64,5 3 10 
74,5 4 13 
84,5 5 9 
94,5 6 5 
Agora continuamos o exercício. Só que em vez de calcular a média dos valores de X, vamos 
calcular a média dos valores de ‘d’. Por quê? Porque os valores da variável ‘d’ são menores e, 
além disso, não apresentam casas após a vírgula. As contas ficam mais fáceis de fazer. 
Primeiro passo: criamos uma coluna auxiliar de (valor x freqüência). 
 
Variável auxiliar 
)(d 
Freqüência simples 
)( f fd × 
0 2 0 
1 4 4 
2 7 14 
3 10 30 
4 13 52 
5 9 45 
6 5 30 
Segundo passo: calculamos os totais das colunas. 
Variável auxiliar 
)(d 
Freqüência simples 
)( f fd × 
0 2 0 
1 4 4 
2 7 14 
3 10 30 
4 13 52 
5 9 45 
6 5 30 
Totais 50 175 
Terceiro passo: encontramos a média: 
5,3
50
175 ==d 
Ou seja, a média dos “valores auxiliares” é de 3,5. 
Só que não queremos a média dos valores auxiliares. Queremos a média dos valores de X. 
Sabemos que: 
10
5,34−= Xd 
Isolando X, temos: 
5,3410 +×= dX 
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Ou seja, para obter X, pegamos cada valor de ‘d’, multiplicamos por 10 e somamos 34,5. 
Só que nós vimos, lá em propriedades da média (matéria da aula anterior), que sempre que 
somamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos os valores por uma dada constante, a 
média sofre exatamente a mesma alteração. 
Ou seja, a média de X fica: 
5,3410 +×= dX 
5,345,310 +×=X 
5,69=X 
Não custa nada reforçar: usar a variável auxiliar é opcional. É só uma maneira que pode 
ajudar a diminuir as contas. Ele sempre vai gerar os mesmos valores para a variável d (0, 1, 2, 
3, 4, ...), desde que a amplitude de classe seja constante. 
 
→ 
MÉDIA PARA DADOS EM CLASSES: 
Criar variável auxiliar. Subtrair do primeiro ponto médio e dividir pela amplitude de classe. 
Procedimento opcional, com intuito de facilitar as contas. 
Se a amplitude de classe não for constante, ele pode ficar prejudicado. 
 
EC 4. Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
A média aritmética dos salários dessa empresa, em reais, é 
a) 1.460 
b) 1.520 
c)1.580 
d) 1.700 
e) 1.900 
 
Resolução: 
Trata-se de cálculo de média. Para calcular a média, temos que usar freqüências simples. 
Como foi fornecida a coluna de freqüências acumuladas, vamos fazer a devida transformação. 
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36
 
Classes em reais Freqüência relativa simples (%) 
Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 10 
[1000,1400) 20 30 
[1400,1800) 40 70 
[1800,2200) 25 95 
[2200,2600) 5 100 
 
Encontremos os pontos médios de cada classe: 
 
Classes em reais Pontos médios (X) Freqüência relativa simples (%) 
[600,1000) 800 10 
[1000,1400) 1200 20 
[1400,1800) 1600 40 
[1800,2200) 2000 25 
[2200,2600) 2400 5 
Novamente as amplitudes de classes são todas iguais (todas valem 400). Podemos encontrar 
apenas o primeiro ponto médio. Os demais são obtidos por soma (basta sempre somar 400). 
Vamos criar uma variável auxiliar d. Para tanto, vamos subtrair 800 de cada valor de X (pois 
800 é o valor do primeiro ponto médio, ou seja, o primeiro valor de X). Depois vamos dividir 
por 400 (pois este é o valor da amplitude de classe). 
400
800−= Xd 
O primeiro valor de X é 800. Assim, o primeiro valor de d fica: 
0
400
800800
1 =−=d 
O segundo valor de X é 1200. Assim, o segundo valor de d fica: 
1
400
8001200
2 =−=d 
E assim por diante. 
 
Pontos médios 
)(X 
Variável auxiliar 
)(d 
Freqüência relativa simples 
(%) 
800 0 10 
1200 1 20 
1600 2 40 
2000 3 25 
2400 4 5 
 
Agora, calculemos a média de ‘d’. 
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Primeiro passo: criando a coluna adicional: 
 
Variável auxiliar )(d Freqüência relativa simples (%)fr frd × 
0 10 0 
1 20 20 
2 40 80 
3 25 75 
4 5 20 
Segundo passo: calculando os totais. 
 
Variável auxiliar )(d Freqüência relativa simples (%)fr frd × 
0 10 0 
1 20 20 
2 40 80 
3 25 75 
4 5 20 
Totais 100 195 
Terceiro passo: encontrando a média de ‘d’. 
95,1
100
195 ==d 
Só que não queremos a média de ‘d’. Queremos a de X. Sabemos que: 
400
800−= Xd 
Isolando X: 
800400 +×= dX 
E a média de X fica: 
800400 +×= dX 
158080095,1400 =+×=X 
Gabarito: C. 
 
EC 5. AFRF/2001 [ESAF] 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
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38
(18 ; 21] 68 
Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que 
representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. 
a) 10,00 
b) 9,93 
c) 13,50 
d) 15,00 
e) 12,50 
 
 
Resolução: 
Foram dadas freqüências acumuladas. Só que para calcular a média sempre trabalhamos com 
freqüências simples. Tanto faz serem absolutas ou relativas. Vamos encontrar as freqüências 
absolutas simples correspondentes. 
 
Classes 
De Salário 
Memória 
De cálculo 
Freqüências 
Simples 
Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] =1212 12 
( 6 ; 9] =30-12 18 30 
( 9 ; 12] =50-30 20 50 
(12 ; 15] =60-50 10 60 
(15 ; 18] =65-60 5 65 
(18 ; 21] =68-65 3 68 
 
Agora podemos começar a trabalhar, pois já temos as freqüências simples. 
Precisamos encontrar os pontos médios das classes. 
Classes 
de Salário 
Ponto 
médio 
Freqüências 
Simples 
Freqüências 
Acumuladas 
(3 ; 6] 4,5 12 12 
(6 ; 9] 7,5 18 30 
(9 ; 12] 10,5 20 50 
(12 ; 15] 13,5 10 60 
(15 ; 18] 16,5 5 65 
(18 ; 21] 19,5 3 68 
Mais uma vez, todas as amplitudes de classes são iguais (todas valem 3). Podemos encontrar 
apenas o primeiro ponto médio. Os demais são obtidos por soma (basta somar 3). 
Para facilitar as contas, criamos a variável auxiliar d. Vamos pegar cada valor de X e subtrair 
4,5 (pois 4,5 é igual ao primeiro ponto médio). Em seguida dividimos por 3 (pois 3 é a 
amplitude de classe). 
3
5,4−= Xd 
Ponto médio d Freqüências Simples 
4,5 0 12 
7,5 1 18 
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39
Ponto médio d Freqüências Simples 
10,5 2 20 
13,5 3 10 
16,5 4 5 
19,5 5 3 
Vamos calcular a média dos valores de ‘d’. 
Primeiro passo: criamos a coluna de valor vezes freqüência. 
 
d Freqüências 
Simples ( f ) 
fd × 
0 12 0 
1 18 18 
2 20 40 
3 10 30 
4 5 20 
5 3 15 
Segundo passo: Calculando os totais 
d Freqüências 
Simples ( f ) 
fd × 
0 12 0 
1 18 18 
2 20 40 
3 10 30 
4 5 20 
5 3 15 
TOTAL 68 123 
Terceiro passo: encontrando a média de ‘d’: 
68
123=d 
Só que não queremos a média de ‘d’. Queremos a média de X. Sabemos que: 
3
5,4−= Xd 
Isolando o X: 
5,43 += dX 
E a média de X fica: 
5,43 += dX 
93,95,4
68
1233 ≅+×=X 
Gabarito: B 
 
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40
EC 6. AFRF/2002-1 [ESAF] 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 
200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela 
de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a 
coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X: 
a) 140,10 
b) 115,50 
c) 120,00 
d) 140,00 
e) 138,00 
 
 
Resolução: 
Precisamos das freqüências relativas simples. 
Classes Memória 
De cálculo 
Freqüência 
relativa simples 
(%) 
Freqüência 
Relativa acumulada 
(%) 
70-90 =5 5 5 
90-110 =15-5 10 15 
110-130 =40-15 25 40 
130-150 =70-40 30 70 
150-170 =85-70 15 85 
170-190 =95-85 10 95 
190-210 =100-95 5 100 
Agora calculamos os pontos médios. Novamente, todas as amplitudes de classes são iguais. 
Basta calcular o primeiro ponto médio e obter os demais por soma (somar 20). 
Classes Ponto 
Médio 
fr (%) 
70-90 80 5 
90-110 100 10 
110-130 120 25 
130-150 140 30 
150-170 160 15 
170-190 180 10 
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41
190-210 200 5 
Agora o que temos é o cálculo de média para dados agrupados por valor. 
Vamos criar a variável auxiliar d. 
20
80−= Xd 
 
Classes Ponto 
Médio 
d fr (%) 
70-90 80 0 5 
90-110 100 1 10 
110-130 120 2 25 
130-150 140 3 30 
150-170 160 4 15 
170-190 180 5 10 
190-210 200 6 5 
Calculando a média de ‘d’. 
Primeiro passo: criando a coluna adicional 
d fr (%) frd × (%) 
0 5 0 
1 10 10 
2 25 50 
3 30 90 
4 15 60 
5 10 50 
6 5 30 
 
Segundo passo: somando as colunas: 
d fr (%) frd × (%) 
0 5 0 
1 10 10 
2 25 50 
3 30 90 
4 15 60 
5 10 50 
6 5 30 
TOTAL 100 290 
Terceiro passo: encontrando a média de ‘d’: 
9,2
%100
%290 ==d 
Só que nós queremos a média de X. 
Sabemos que 
20
80−= Xd . 
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42
Isolando X. 
8020 += dX 
8020 += dX 
1388058809,220 =+=+×=X 
Gabarito: E. 
 
 
AFRF/96 - Texto para as questões EC 7 e EC 8. 
Distribuição de Freqüências das Idades dos funcionários da Empresa Alfa, em 1/1/90. 
 
Classes 
de idades 
(anos) 
if Ptos 
médios 
( )iX 
i
i d
X =−
5
37
 ii
fd × 
ii fd ×2 ii fd ×3 ii fd ×4 
19,5-24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 
24,5-29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 
29,5-34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 
34,5-39,5 29 37 0 0 0 0 0 
39,5-44,5 18 42 1 18 18 18 18 
44,5-49,5 12 47 2 24 48 96 192 
49,5-54,5 7 52 3 21 63 189 567 
TOTAL 100 16 206 154 1106 
 
 
EC 7. AFRF 96 [ESAF] 
Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1/1/90: 
a)37,4 anos 
b) 37,8 anos 
c) 38,2 anos 
d) 38,6 anos 
e) 39,0 anos 
 
 
EC 8. AFRF 96 [ESAF] 
Sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1/1/96. Marque a opção 
que representa a média das idades dos funcionários em 1/1/96: 
a) 37,4 anos. 
b) 39,0 anos 
c) 43,4 anos 
d) 43,8 anos 
e) 44,6 anos 
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43
 
Comentários: 
Estas questões da ESAF foram muito boas. Já deram todas as contas prontas. Ou seja, 
avaliou-se realmente o conhecimento, sem que o candidato precisasse perder tempo com 
contas. 
Repare que, na tabela dada, já temos a variável transformada ‘d’. Só que o método de 
transformação utilizado não corresponde ao que nós vimos. Em vez de se subtrair X pelo 
primeiro ponto médio (=22), a subtração foi feita pelo quarto ponto médio (=37). Não tem 
problema. O objetivo de gerar valores mais fáceis de se trabalhar foi atingido. 
O modo de criação da variável transformada que nós vimos é só uma das maneiras de realizar 
a transformação. Na verdade, você pode fazer qualquer transformação que quiser (envolvendo 
adições, multiplicações, divisões e subtrações). O objetivo é chegar em números mais fáceis 
para fazermos as contas (ou seja, números menores, sem casas após a vírgula). Atingindo este 
objetivo, a transformação é válida. 
Aquela transformação que nós vimos tem a vantagem de sempre produzir os mesmos valores 
de ‘d’. É sempre 0, 1, 2, 3, .... Esta transformação do exercício produziu valores diferentes (-3, 
-2, -1, 0, 1, 2, 3). 
Antes de começarmos a resolução, analisemos atentamente as duas questões. Temos as 
mesmas pessoas nas duas questões (é o mesmo quadro de funcionários). Portanto, a média 
calculada em 1996 tem que ser seis anos superior à média calculada em 1990. 
Listemos as alternativas do EC 7: 
Alternativas do EC 7 Somando 6 Conclusão 
37,4 43,4 Há opção correspondente no EC 8 
37,8 43,8 Há opção correspondente no EC 8 
38,2 44,2 Não há opção correspondente no EC 8: 
descartamos 
38,6 44,6 Há opção correspondente no EC 8 
39 45 Não há opção correspondente no EC 8: 
descartamos 
Ou seja, descartamos duas alternativas. 
Podemos fazer o mesmo para as alternativas do EC 8. 
Alternativas do EC 8 Subtraindo 6 Conclusão 
37,4 31,4 Não há opção correspondente no EC 7: 
descartamos 
39 33 Não há opção correspondente no EC 7: 
descartamos 
43,4 37,4 Há opção correspondente no EC 7: descartamos 
43,8 37,8 Há opção correspondente no EC 7 
44,6 38,6 Há opção correspondente no EC 7 
Assim, antes de começarmos qualquer conta, já descartamos algumas alternativas. 
 
Comecemos pelo EC 7. 
Sabemos que: 
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 if Ptos médios ( )iX 
i
i d
X =−
5
37
 ii
fd × 
2 22 -3 -6 
9 27 -2 -18 
23 32 -1 -23 
29 37 0 0 
18 42 1 18 
12 47 2 24 
7 52 3 21 
total 100 16 
Já dá para calcular a média de ‘d’ direto. 
16,0
100
16 ==d 
Só que nós queremos a média de X. 
375
5
37 +=⇒=− dXdX 
Portanto: 
375 += dX 
8,37=X 
Gabarito: B. 
 
Agora o EC 8. 
Passaram-se seis anos. Todas as idades aumentaram, portanto, em seis anos. Pela propriedade 
da média, sabemos que, somando seis a todos os valores, a média também fica somada de 
seis. 
Portanto, em 1996, a média fica: 
8,4368,37 =+=X 
Gabarito: D. 
 
EC 9. Fiscal de Tributos Municipais – Maceió – 2003 [CESPE] 
Uma rede de supermercados possui em seu quadro de pessoal 500 empregados, com funções 
distribuídas conforme a tabela abaixo. 
Funções Número de empregados 
Caixa/vendedor/atendimento ao cliente 300 
Técnico-administrativo nível médio 100 
Técnico-administrativo nível superior 90 
Gerência 10 
Total 500 
 
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45
Um levantamento feito nessa rede de supermercados mostrou que o salário bruto mensal dos 
gerentes é, em média, igual a R$ 5.000,00, com desvio-padrão igual a σ reais. Para os técnico-
administrativos de nível superior, a média dos salários brutos mensais é de R$ 2.500,00, com 
desvio-padrão de σ/2 reais, e, para os de nível médio, a média dos salários brutos mensais é de 
R$ 1.500,00, com desvio-padrão de 2σ reais. Para a função de caixa/vendedor/atendimento ao 
cliente”, há três níveis — I, II e III —, dependendo das qualificações e do tempo de serviço do 
empregado. A tabela abaixo apresenta a distribuição dos salários brutos mensais, em reais, 
desses empregados. 
 
Nível Salário mensal bruto Número de empregados 
I 500,00 ≤ S < 700,00 50 
II 700,00 ≤ S < 1.100,00 150 
III 1.100,00 ≤ S < 1.300,00 100 
Total 300 
 
Com base na situação hipotética acima descrita, julgue o item a seguir: 
O salário médio mensal bruto que a rede de supermercados paga a seus empregados é superior 
a R$ 1.500,00. 
 
Resolução. 
Primeiramente, vamos calcular a média dos salários dos empregados que trabalham como 
“Caixa/vendedor/atendimento ao cliente”. Ressalto que este cálculo não é necessário para 
resolver a questão, pois em nenhum momento ela pede o salário médio destes trabalhadores. 
Mas é uma boa oportunidade de praticarmos a matéria que estamos estudando. 
A coluna de “número de empregados” nada mais é que a nossa freqüência absoluta simples. 
Primeiramente, vamos calcular os pontos médios de cada classe. 
 
Salário mensal bruto Ponto médio 
)(X 
Número de 
empregados 
500,00 ≤ S < 700,00 600 50 
700,00 ≤ S < 1.100,00 900 150 
1.100,00 ≤ S < 1.300,00 1200 100 
Note que, neste caso, as classes não têm todas as mesmas amplitudes. A primeira e a terceira 
classes têm amplitudes de 200. A segunda classe tem amplitude de 400. 
Como as amplitudes de classes são diferentes, não será possível adotar o procedimento que 
sempre fazemos. Mas ainda sim dá pra criar uma variável auxiliar de tal modo que nossa 
conta diminua. Vamos, por exemplo, fazer o seguinte: 
300
600−= Xd 
 
Ponto médio )(X Variável auxiliar )(d Número de empregados 
600 0 50 
900 1 150 
1200 2 100 
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46
Vamos criar a coluna adicional, com os valores de fd × . 
 
Variável auxiliar )(d Freqüência absoluta simples )( f fd × 
0 50 0 
1 150 150 
2 100 200 
 
Calculando os totais: 
 
Variável auxiliar )(d Freqüência absoluta simples )( f fd × 
0 50 0 
1 150 150 
2 100 200 
Totais 300 350 
 
E a média de d fica: 
300
350=d 
Sabemos que: 
300
600−= Xd 
Isolando X: 
600300 +×= dX 
600300 +×= dX 
950600300
300
350 =+×=X 
Portanto, o salário médio do pessoal que trabalha como caixa/vendedor/atendimento ao 
cliente é de R$ 950,00. Novamente, a questão não pedia o salário médio dos 
caixa/vendedor/atendimento. Nosso intuito foi apenas praticar a matéria em estudo. 
A questão fala em salário médio de todos os funcionários do supermercado. Ou seja, temos 
que somar o salário de todo mundo e dividir pelo número de funcionários. 
São 10 gerentes. Os gerentes ganham em média R$ 5.000,00. Logo: 
10
_5000 gerentessoma= 
A soma dos salários dos gerentes fica: 
000.50_ =gerentessoma 
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47
Ou seja, se somarmos os salários de todos os gerentes, obtemos R$ 50.000,00. 
.São 90 técnicos-administrativos de nível superior. Eles ganham em média R$ 2.500,00: 
90
sup__2500 eriortecsoma= 
000.225sup__ =eriortecsoma 
Ou seja, se somarmos os salários de todos os técnicos de nível superior, obtemos R$ 
225.000,00. 
São 100 técnicos de nível médio. Eles ganham um salário médio de R$ 1.500,00. 
100
__1500 mediotecsoma= 
Logo: 
000.150__ =mediotecsoma 
Assim, se somarmos os salários de todos os técnicos de nível médio, obtemos R$ 150.000,00. 
São 300 caixas/vendedores/atendimento que ganham, em média, R$ 950,00. 
300
___950 atendvendedorcaixasoma= 
000.285___ =atendvendeodrcaixasoma 
Somando todos os salários, ficamos com: 
000.710000.50000.225000.150000.285_ =+++=todossoma 
E a média de todos os funcionários fica: 
420.1
500
000.710 ==Média 
Portanto, a questão está incorreta. 
Gabarito: Errado 
 
EC 10. Agente de Tributos Estaduais – SEFAZ/MT – 2004 [CESPE] 
Um órgão do governo recebeu pela Internet denúncias de sonegação de impostos estaduais 
contra 600 pequenas empresas. Denúncias contra outras 200 pequenas empresas foram 
encaminhadas pessoalmente para esse órgão. Para apuração das denúncias, foram realizadas 
auditorias nas 800 empresas denunciadas. Como resultado dessas auditorias, foi elaborada a 
tabela abaixo, que apresenta um quadro das empresas denunciadas e os correspondentes 
débitos fiscais ao governo. Das empresas denunciadas, observou-se que apenas 430 tinham 
débitos fiscais. 
 
 Valor do débito fiscal (VDF), em R$ mil, apurado após 
auditoria na empresa denunciada. 
Forma de recebimento da 
denuncia 
0<VDF<
1 
1≤VDF<
2 
2≤VDF<
3 
3≤VDF<
4 
Total 
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48
Pela internet 60 100 50 30 240 
Pessoalmente 20 120 40 10 190 
Total 80 220 90 40 430* 
Nota: *Para as demais empresas, VDF=0. 
Com base na situação hipotética acima e de acordo com as informações apresentadas, julgue o 
item que segue. 
 
O débito fiscal médio das empresas denunciadas por meio da internet é menor que o débito 
fiscal médio daquelas denunciadas pessoalmente. 
 
Resolução: 
Para responder a esta questão, acho que não precisava fazer muita conta. Basta ver que, das 
600 empresas denunciadas pela internet, apenas 240 apresentaram débitos. Já em relação às 
empresas denunciadas pessoalmente, quase todas apresentaram débitos fiscais (apenas 10 
tiveram VDF = 0). Deste modo, é coerente a informação de que o débito fiscal médio das 
empresas denunciadas pela internet seja menor. 
A questão está correta. De todo modo, vamos aproveitá-la para praticar o cálculo das médias. 
Vamos começar pelas empresas que foram denunciadas pela internet. 
Podemos construir a seguinte tabela: 
 
Classes de VDF Freqüência absoluta simples 
VDF = 0 360 
0<VDF<1 60 
1≤VDF<2 100 
2≤VDF<3 50 
3≤VDF<4 30 
Repare que, na primeira linha, na verdade não temos uma classe. Temos um valor único (VDF 
= 0). Sabemos que todas as 360 empresas ali indicadas não apresentaram débito.