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MATERIAL DE APOIO 
PESQUISA OPERACIONAL 
AUTORA: ROSELI NUNES LEITE 
REVISÃO E AMPLIAÇÃO: MARCOS CALIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
INTRODUÇÃO 
 
 
A DISCIPLINA PESQUISA OPERACIONAL 
 
De acordo com a ementa do curso apresentada pela Universidade Nove de Julho 
(UNINOVE) podemos dividir a disciplina Pesquisa Operacional em duas partes. A 
primeira aborda os fundamentos da Estatística Descritiva onde envolve todo o 
processo de pesquisa, aplicação e interpretação dos dados obtidos. A segunda 
aborda assuntos relativos a curvas de probabilidade. 
 
Nessa apostila o aluno tem todo o conteúdo respectivo a disciplina com diversos 
exercícios. Porém, caso desejar um maior aprofundamento no assunto, são 
recomendados os livros que se encontram no final dessa apostila na parte de 
bibliografia. A apostila é de autoria da Profa. Roseli Nunes Leite (fornecida no 
momento oportuno) que gentilmente cedeu o material para nosso proveito. Vale 
saber que essa primeira parte escrita da disciplina, assim bem como a revisão e 
expansão da apostila de Estatística Descritiva e Curvas de Probabilidade de autoria 
da Prof. Roseli Nunes Leite fora realizada pelo Prof. Ms. Marcos Calil. 
 
 
CRONOGRAMA 
 
O cronograma apresentado com suas respectivas datas serve apenas de apoio para 
que aluno e professor possam se orientar quanto o conteúdo que será abordado nas 
suas respectivas datas. Este poderá ser modificado, reduzido ou ampliado 
dependendo da necessidade da classe. Vale dizer que é de fundamental importância 
a decisão do professor de adaptar a ementa em prol dos seus alunos do que o 
inverso para não ocorrer prejuízo para o principal motivo da educação: o aluno. 
Porém, pela necessidade de organização estrutural da Universidade e, como 
conseqüência, melhor aproveitamento da vida acadêmica do aluno se faz necessário 
cumprir a ementa. Todo esse movimento é possível e cabível no que fora 
apresentado de acordo com o cronograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um excelente semestre para todos nós 
Prof. Ms. Marcos Rogério Calil 
 
 3
 
 
Agosto 
12 Apresentação do professor e do curso 
19 Introdução e tabela de freqüência 
26 Tabela de freqüência e Média aritmética – Exercícios. 
Setembro 
02 Mediana - Exercícios. 
09 AV1 – Em dupla sem consulta e permitido uso de calculadora e 
formulário 
16 Correção na lousa e entrega da AV1 - Decil, quartil e percentil 
23 Decil, quartil e percentil – Exercícios 
30 AV2 – Em dupla sem consulta e permitido uso de calculadora e 
formulário 
Outubro 
07 Correção na lousa e entrega da AV2 - Moda - Exercícios 
14 Desvio médio, variância e coeficiente de variação - Exercícios 
21 Distribuição Binomial - Exercícios 
28 Exercícios de revisão 
Novembro 
04 AV3 – Prova individual sem consulta e permitido uso de 
calculadora e formulário 
11 Correção na lousa e entrega da AV3 - Distribuição Poisson - 
Exercícios 
18 Distribuição Normal - Exercícios 
25 Correlação e Regressão linear – exercícios 
Dezembro 
02 Exercícios de revisão 
09 AV4 - Prova individual sem consulta e permitido uso de 
calculadora e formulário – Matéri a: de distribuição binomial a 
regressão linear. 
16 Correção na lousa e entrega da AV4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
PRIMEIRA PARTE 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
DEFINIÇÃO 
 
Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para 
estudar e medir os fenômenos coletivos. 
 
Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado a lidar com 
grande quantidade de valores numéricos resultantes de uma pesquisa. Estes valores 
numéricos são chamados dados estatísticos. 
 
No sentido de disciplina, a Estatística ensina métodos racionais para a obtenção de 
informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obter conclusões válidas 
para o fenômeno e também permitir tomada de decisões, através de dados 
estatísticos observados. 
 
Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas: 
 
a)Estatística Descritiva - é a parte da Estatística que tem por objeto descrever os 
dados observados. 
 
b)Estatística Indutiva - é a parte da Estatística que tem por objetivo obter e 
generalizar conclusões para a população a partir de uma amostra, através do cálculo 
da probabilidade. 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
A Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos dados, têm as seguintes 
atribuições: 
 
a) A obtenção dos dados estatísticos; 
b) A organização dos dados; 
c) A redução dos dados; 
d) A representação dos dados; 
e) A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do fenômeno 
observado. 
 
A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas para a redução do número de 
dados com os quais devemos trabalhar, chamadas de variável discreta e variável 
contínua. 
 
 
 
 
 
 5
Podemos organizar estes dados em uma tabela simples 
denominada de distribuição de freqüência com variável 
discreta. Os dados serão organizados com suas 
freqüências simples. 
 
Freqüência simples ou absoluta (Fi) – é o número de 
vezes que o elemento aparece na amostra ou o número 
de elementos pertencentes a uma classe. Vide tabela 
ao lado. 
 
 
TABELA DE DISTRIBUI ÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. 
 
Exemplo: Para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: 
sexo masculino e sexo feminino. 
 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
População – é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos 
uma característica em comum. 
 
Amostra – é um subconjunto finito de uma população. 
 
Suponhamos que foi feita uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, 
que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”: 
 
24 23 22 28 35 21 23 33 34 25 21 25 36 26 22 30 32 25 26 33
34 21 31 25 26 25 35 33 31 31 
 
A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados 
denominamos tabela primitiva ou dados brutos. 
 
Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. 
Logo: 
 
21 21 21 22 22 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 31 31
32 33 33 33 34 34 34 35 35 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Idades Fi 
21 3 
22 2 
23 2 
24 1 
25 4 
26 3 
28 1 
30 1 
31 3 
32 1 
33 3 
34 3 
35 2 
36 1 
Total ( Σ) 30 
 
 6
Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos 
esses intervalos de classes. Logo a tabela abaixo é denominada de distribuição de 
freqüência com intervalos de classe ou variável contínua. 
 
Idades de 30 alunos da Faculdade “A” 
 
Classes Idade Freqüência 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
21 |---- 24 
24 |---- 27 
27 |---- 30 
30 |---- 33 
33 |---- 36 
36 |---- 39 
7 
8 
1 
5 
8 
1 
 Σ 30 
 
Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são 
comumente denominados dados agrupados. 
 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável 
contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e 
usaremos a tabela anterior para exemplificar cada item. 
 
Classes de freqüência – são os intervalos de variação da variável. 
As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ... k (onde k é 
o nº total de classes da distribuição). 
No nosso exemplo: o intervalo 30 |---- 33 define a quarta classe (i = 4). Como a 
distribuição é formada de seis classes, temos k = 6. 
 
Limites de classes – são os extremos de cada classe (li |---- Li) 
li – limite inferior da classe (onde começa o intervalo); 
Li – limite superior da classe (onde termina o intervalo); 
Exemplo: no intervalo 30 |---- 33, temos que li = 30 e Li = 33. 
 
Número de classes (K) – Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de 
classes. As mais usadas são: 
1) K = 5 para n ≤ 25 ou K ≅ n para n > 25 
2) Fórmula de Sturges: K ≅ 1 + 3,22 . log n 
Iremos utilizar nesse curso a Fórmula de Sturges.Range, amplitude total ou amplitude amostral – é a diferença entre o maior e o 
menor valor da amostra. No exemplo dado: R = 36 – 21. Então R = 15 
 
 
 
 
 7
Intervalo de classe ou amplitude do intervalo (h) – é a medida do intervalo que 
define a classe. 
Quando dado os limites de classes, pode ser obtida por h = Li – li 
Exemplo: No intervalo 30 |---- 33, temos h = 33 – 30. Então h = 3. 
Quando dado o número de classes e a amplitude total, pode ser obtida por h ≅ 
K
R
 
 
 
Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir os 
seguintes passos: 
 
1º) Calcular o range. 
Pelo exemplo seguido anterior: R = 36 – 21 ⇒ R = 15 
 
2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. 
Pelo exemplo, temos n = 30. Sabendo que log 30 ≅ 1,47, temos que: 
 
K = 1 + 3,22 . log 30 
K ≅ 1 + 3,22 . 1,47 
K ≅ 1 + 4,73 
K ≅ 5,73 
 
ATENÇÃO: Como é impossível ter 5,73 linhas na tabela é convencionado que se 
arredonde para cima, independentemente da casa decimal. Assim, por exemplo, 
mesmo que K ≅ 5,15 o arredondamento é imediatamente para cima. Dessa forma, 
temos como resposta: 
 
K ≅ 6 
 
3º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li. 
Como h ≅ 
K
R
 , temos que h ≅ 
6
15
 ⇒ h ≅ 2,5 
 
ATENÇÃO: Em alguns casos é apropriado utilizar o arredondamento superior para 
facilitar a interpretação dos dados que serão calculados. Na Estatística sempre é 
válido o “bom senso” do pesquisador. Dessa forma, nesse caso temos então: 
 
h ≅ 3 
 
IMPORTANTE: 
 
1- Iremos adotar o arredondamento imediatamente superior do intervalo de classe 
(h) e do número de classes (k) independentemente do valor obtido na sua casa 
decimal. Porém em raros casos vale o “bom senso” do pesquisador; 
 
2- Para toda e qualquer situação serão adotadas apenas duas casas decimais, 
desprezando as demais que porventura surgirão.
 8
Outro detalhe importante de ser notado é que para a divisão de R por K foi utilizado 
K ≅ 6 e não K ≅ 5,73. Essa prática é comum. 
 
Portanto, temos nesse exemplo uma tabela de distribuição de freqüência com 6 
classes (linhas) onde seus intervalos de classes estão distribuídos de 3 em 3 anos. 
 
Outros elementos de uma distribuição de freqüência: 
 
Pontos médios das classes (Xi) – é a média aritmética entre o limite superior e o 
limite inferior da classe. Assim, é dada pela formula: 
 
Xi = 
2
liLi +
 
 
Exemplo: Para 5a classe onde temos 33 |--- 36 
 
 Xi = =+
2
3633
 34,5 
 
Freqüência relativa (Fri ou fi) – é dada por fi = 
n
Fi
, ou seja é a porcentagem 
daquele valor da amostra. 
 
 
Freqüência acumulada (Fac) – é a soma das freqüências dos valores inferiores ou 
iguais ao valor dado. 
 
Pelo exemplo, temos então: 
 
Idades de 30 alunos da Faculdade “A” 
 
Idade (Classes) Freqüência (Fi) Freqüência Acumulada (Fac)
Freqüência 
relativa (fi em %)
21 |---- 24 
24 |---- 27 
27 |---- 30 
30 |---- 33 
33 |---- 36 
36 |---- 39 
7 
8 
1 
5 
8 
1 
7 
15 
16 
21 
29 
30 
23,33 
26,66 
3,33 
16,66 
26,66 
3,36 
 Σ = 30 99,97 ⇒ 100% 
 
Algumas considerações importantes: 
 
Perceba que a última linha da Freqüência Acumulada (Fac) possui o mesmo valor 
que a somatória da Freqüência Absoluta (Fi). Isso sempre DEVE acontecer! 
 
Na freqüência relativa, como foi ignorada a terceira casa decimal em diante, a 
somatória não resultou em 100% como deveria ser caso utilizássemos todas as 
 9
casas decimais. Assim, como 100% - 99,97% = 0,03% adicionamos essa 
porcentagem que falta EM QUALQUER CLASSE da freqüência relativa. Perceba 
essa “manobra” presente, como exemplo, na sexta classe da própria tabela. 
 
Vamos agora interpretar alguns dos valores obtidos na tabela acima: 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________ 
 
 
 10
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda 
(em US$): 
 
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 
165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 
168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 
170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 
174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 
187 188 190 190 
 
Sabendo que log 100 = 2, determine: 
 
a) A amplitude amostral; 
b) O número de classes; 
c) A amplitude das classes; 
d) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, freqüências 
absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada; 
e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor igual ou 
superior a US$ 179,00; 
f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores inferiores a 
US$ 163,00; 
g) Qual o ponto médio da 3ª classe; 
h) Qual o fi da 2ª classe. 
 
2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de 
produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os 
seguintes dados: 
 
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 
0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
 
Determine: 
a) o rol; 
b) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalos; 
c) qual a porcentagem de caixas que apresentam duas ou mais peças defeituosas? 
 
3 - Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 
revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou num determinado mês o 
número de unidades adquiridas por estes revendedores. Os resultados foram 
expressos conforme a tabela abaixo. 
 
6 7 9 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 20
20 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39
 11
 
Pede-se dessa forma para montar a tabela de distribuição de freqüência com as 
classes, freqüências absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência 
acumulada sabendo que log 40 ≅ 1,60. Interprete a terceira classe quanto a 
freqüência acumulada e relativa. 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
 
1 - Conhecidas as notas de 55 alunos (dado que log 55 ≅1,74): 
 
33 33 35 35 39 41 41 42 45 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 57
59 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 77
78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 98 98 98 
 
Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência 
absoluta, a freqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada. 
 
2 – Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 
5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 
 
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do 
fi e Fac, interpretando a segunda classe. 
 
3 – Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos: 
 
64 64 64 66 66 70 70 73 73 73 73 74 75 76 76 76 78 78 78 78
79 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 86 86 87
87 89 90 90 92 92 93 95 98 101 102 103 103 103 103 
 
Dado que log 55 ≅1,74, forme uma tabela de distribuição de freqüência com 
intervalos e complete com as colunas do Xi, fi, Fac e responda: 
 
a) Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79? 
b) Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94? 
 
4 – A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho 
elétrico, durante um mês, por uma firma comercial: 
 
14 12 11 13 14 13 12 14 13 14 
11 12 12 14 10 13 15 11 15 13 
16 17 14 14 
 
Dessa forma, construa uma tabela de distribuição de freqüência sem intervalos com 
as colunas do fri e fac. 
 12
 
RESPOSTAS 
 
1 – 
 
Classes Notas Fi Xi fi Fac 
1 33 I---- 42 7 37,5 12,73 7 
2 42 I---- 51 6 46,5 10,91 13 
3 51 I---- 60 8 55,5 14,55 21 
4 60 I---- 69 10 64,5 18,18 31 
5 69 I---- 78 9 73,5 16,36 40 
6 78 I---- 87 6 82,5 10,91 46 
7 87 I---- 96 5 91,5 9,09 51 
8 96 I---- 105 4 100,5 7,27 55 
 
2 – 
 
Faces do dado Fi fi Fac 
1 6 12 6 
2 8 16 14 
3 9 18 23 
4 7 14 30 
5 10 20 40 
6 10 20 50 
 
3 – 
 
Classe Amostra Fi Xi fi Fac 
1 64 I---- 69 5 66,5 9,09 5 
2 69 I---- 74 6 71,5 10,91 11 
3 74 I---- 79 9 76,5 16,36 20 
4 79 I---- 84 7 81,5 12,73 27 
5 84 I---- 89 14 86,5 25,45 41 
6 89 I---- 94 6 91,50 10,91 47 
7 94 I---- 99 2 96,50 3,64 49 
8 99 I---- 104 6 101,5 10,91 55 
 
 
3a) 36,36% 3b)14,55% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
 
4 – 
 
Amostra Fi fi Fac 
10 1 4,17 1 
11 3 12,50 4 
12 4 16,67 8 
13 5 20,83 13 
14 7 29,17 20 
15 2 8,33 22 
16 1 4,17 23 
17 1 4,17 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
MÉDIA ( x ) 
 
1º Caso: Dados não agrupados 
 
x = 
n
x∑ (onde n é o número de elementos do conjunto) 
 
Exemplo 1: Determinar a média aritmética simples dos valores 3, 7, 8, 10 e 11 
 
x = 
n
x∑ ⇒ x = 
5
1110873 ++++ ⇒ x = 7,8 
 
 
2º Caso: Dados agrupados sem intervalos 
 
Dada a amostra 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, determine a média. 
 
Xi Fi XiFi 
2 1 2 
5 4 20 
6 3 18 
8 2 16 
Total 10 56 
 
Então a média será: 
6,5
10
56 =⇒=⇒= ∑ xx
n
XiFi
x 
 
3º Caso: Dados agrupados com intervalos determine a média. 
 
Amostra Fi Xi XiFi 
2 |---- 5 1 3,5 3,5 
5 |---- 8 10 6,5 65 
8 |---- 11 8 9,5 76 
11 |---- 14 1 12,5 12,5 
 20 157 
 
Assim: 
85,7
20
157 =⇒=⇒= ∑ xx
n
XiFi
x 
 
Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do 
qual os elementos desta série se concentram. 
 
 15
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Calcule a média aritmética das séries abaixo: 
a) 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30 
b) 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 
 
2 – Calcule a média para as tabelas abaixo: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro 
abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários. 
 
Salários(R$) nº func. 
400 I---- 500 12 
500 I---- 600 15 
600 I---- 700 8 
700 I---- 800 3 
800 I---- 900 1 
 
4- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro 
abaixo.Calcule a média. 
 
Aluguel (R$) nº casa
0 I---- 200 30 
200 I---- 400 52 
400 I---- 600 28 
600 I---- 800 7 
800 I---- 1000 3 
 
 
 
5- Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$ 850,00, 2 supervisores 
com salário de R$ 1.200,00, 1 gerente com salário de R$ 2.000,00 e 6 vendedores 
com salário de R$ 1.100,00. Qual a média salarial dessa empresa? 
 
Respostas: 
 
1a) 12,5 1b) 9,86 2a) 3,6 2b)18,84 3) 562,82 4) 335 5) R$1.107,69 
 
 
Xi Fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 
Xi Fi 
2 1 
3 4 
4 3 
5 2 
Total 
 16
 
MEDIANA ( x~ ) 
 
1º Caso: Dados não agrupados 
 
Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o número que 
se encontra no centro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas 
partes iguais. 
 
1o exemplo – Caso ímpar 
 
Determine a mediana dos valores 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9 
 
Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 
 
Se n = 9 logo: ==+=+
2
10
2
19
2
1n
 5º elemento. Portanto, x~ = 10 
 
2º exemplo – Caso par 
 
Determine a mediana dos valores 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 
 
Se n = 8 logo: 5,4
2
18
2
1 =+=+n º elemento 
 
Perceba que a mediana está entre o 4º e o 5º elemento. Assim, temos que: 
 
11
2
22
2
1210~ ==+=x 
 
2º Caso: Dados agrupados sem intervalos 
 
Dada a amostra, determine a mediana dos valores 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20 
 
Xi Fi Fac 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 2 9 
Total 9 
 
 
 
 
 
 
Construindo a coluna da freqüência 
acumulada (Fac) podemos localizar 
com facilidade o valor mediano. 
Assim, temos que: 
 
==+=+=
2
10
2
19
2
1~ nx 5º elemento. 
 
Portanto a mediana será 16. 
 17
 
3º Caso: Dados agrupados com intervalos 
 
Dada a tabela abaixo determine a mediana. 
 
Amostra Fi Fac 
03 |--- 06 2 2 
06 |--- 09 5 7 
09 |--- 12 8 15 
12 |--- 15 3 18 
15 |--- 18 1 19 
 19 
 
Para o caso de dados agrupados com intervalos devemos seguir as seguintes 
etapas: 
 
1º Passo: Calcula-se a ordem 
2
n
 
 
2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da x~ ) 
 
3º Passo: Utiliza-se a fórmula 
classe
ant
Fi
hFac
n
lix
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 2~ 
 
Onde: il = limite inferior da classe da mediana 
 n = tamanho da amostra 
 Facanterior = freqüência acumulada anterior à classe da mediana (ou soma dos 
valores de fi anteriores à classe da mediana) 
 h = amplitude da classe da mediana 
 Ficlasse = freqüência da classe da mediana 
 
No exemplo da tabela anterior: 
 
1º Passo: Calcula-se 
2
n
. Com n = 19, temos 
2
19
 = 9,5º elemento 
 
2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da 
mediana é a 3ª. 
3º Passo: Aplica-se a fórmula =x~
classe
ant
Fi
hFac
n
li
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+ 2 
 
93,9~3
8
75,9
9~ =⇒×−+= xx 
 18
b) 
 
xi fi 
17 3 
18 18 
19 4 
20 3 
21 1 
c) 
 
Notas Nº de alunos 
2 5 
5,5 2 
7,5 6 
9 3 
10 1 
 
Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% 
dos valores da série são valores maiores ou iguais a 9,93. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Calcule a mediana das seqüências abaixo: 
a) 2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20 
b) 3, 4, 5, 7, 8, 10, 15 
 
2 – Calcule a mediana das distribuições abaixo: 
 
a) 
 
xi fi 
2 5 
4 20 
5 10 
6 10 
8 2 
 
 
3- Determine e interprete o valor mediano da distribuição a seguir que representa os 
salários de 23 funcionários selecionados em uma empresa: 
 
Salários (R$) nº funcionários 
200 I---- 400 2 
400 I---- 600 6 
600 I---- 800 10 
800 I---- 1000 5 
 
 
4- Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um 
dia e obteve o quadro abaixo. Pede-se que determine e interprete o valor que 
representa a mediana. 
 
Consumo nº notas 
0 I---- 50 10 
50 I---- 100 28 
100 I---- 150 12 
150 I---- 200 2 
200 I---- 250 1 
 
 
 
 
 
 
 19
 
5- As notas abaixo representam as notas de Estatística em uma sala. Qual valor 
representa a mediana? Interprete esse valor. 
 
Notas nº de alunos
0 I--- 2 12 
2 I---- 4 8 
4 I---- 6 15 
6 I---- 8 6 
8 I---- 10 2 
 
 
Respostas: 
 
1) a) 11 b) 7 2) a) 4 b) 18 c) 7,5 3) 670 4) 79,46 5) 4,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
 
Dado o problema: 
 
Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de 
vendas com relação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas): 
 
salário semestral (R$) n° de funcionários 
1000 I--- 30005 
3000 I--- 5000 15 
5000 I--- 7000 8 
7000 I--- 9000 2 
 
Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário 
temos: 
 
- Os 25 % menos produtivos = categoria C; 
- Os 25% seguintes = categoria B; 
- Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A 
- Os 25% restantes = categoria especial. 
 
Quais são os salários limites das categorias acima? 
 
QUARTIS 
 
Divide a amostra em quatro partes iguais. 
 
 Q1 Q2 Q3 
 I---------------I--------------I---------------I---------------I 
 0% 25% 50% 75% 100% 
 
Para determinar Q1: 
 
1° Passo: Calcula-se 
4
in
, onde i = 1, 2, 3 ou 4. No caso i = 1 pois desejamos 
determinar Q1 
 
 2° Passo: Identifica-se a classe Q 1 pela Fac 
 
3° Passo: Aplica-se a fórmula 
classe
ant
Fi
hFac
in
liQi
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 4 
 
 
 
 
 21
 
Para determinar Q2: 
 
1º Passo: Calcular 
4
2n
 
 
2º Passo: Identifica-se a classe Q2 pela coluna do Fac 
 
3º Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, substituindo 
4
2
4
n
por
in
. Assim 
teremos: 
classe
ant
Fi
hFac
n
liQi
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 4
2
 
 
 
Para determinar Q3: 
 
1° Passo: Calcula-se 
4
3n
 
 
2° Passo: Identifica-se a classe Q 3 pela Fac 
 
3° Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, apenas substituindo 
4
3
4
n
por
in
 . 
 
DECIS 
 
A amostra é dividida em 10 partes iguais. 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I 
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 
1° Passo: Calcula-se 
10
in
 onde i representa o decil que se quer calcular, sendo i = 0, 
1, 2, 3, ..., 9,10. 
 
Exemplo: Se D4 então temos 
10
4n
 
 
2° Passo: Identifica-se a classe D i pela coluna do Fac 
 
3° Passo: Aplica-se a fórmula += liDi
classe
ant
Fi
hFac
ni ×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
10
.
 
 
 22
 
PERCENTIS 
 
Divide a amostra em 100 partes iguais: 
 
 P1 P2 P3 P4 P98 P99 
 I----------I----------I---------I--------I . . . I---------I-------I 
 0% 1% 2% 3% 4% 98% 99% 100% 
 
1° Passo: Calcula-se 
100
in
 onde i representa o percentil que se quer calcular, sendo 
i = 1, 2, 3, ..., 99, 100 
 
Exemplo: Se P58 então temos 
100
.58n
 
 
2° Passo: Identifica-se a classe Pi pela coluna do Fac 
 
3° Passo: Aplica-se a fórmula 
classe
ant
Fi
hFac
ni
liPi
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 100
.
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1- A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em 
uma indústria: 
 
nº de acidentes nº de dias 
0 I--- 2 20 
2 I--- 4 15 
4 I--- 6 12 
6 I--- 8 10 
8 I--- 10 8 
 
 
Calcule e interprete cada caso: 
 
a) Q1 b) Q3 c) P92 d) P48 e) D3 f) D7 
 
 
 
 
 
 
 23
 
2- A tabela abaixo representa o número de faltas anuais dos funcionários de uma 
empresa: 
nº faltas nº empregados 
0 I--- 2 20 
2 I--- 4 125 
4 I--- 6 53 
6 I--- 8 40 
8 I--- 10 14 
 
Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos 
funcionários que menos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não 
perder a cesta básica? 
 
3- A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora: 
 
Preço(R$) nº livros comercializados 
 0 I---- 10 4000 
10 I--- 20 13500 
20 I--- 30 25600 
30 I--- 40 43240 
40 I--- 50 26800 
50 I--- 60 1750 
 
a) Se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o 
preço máximo do livro que entrará na promoção? 
b) No mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais 
baixo. Qual é o preço máximo do livro para entrar na promoção? 
c) Para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção 
com 20% dos livros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na 
promoção? 
 
4- A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado 
em comissões: 
Salários(R$) nº funcionários 
200 I--- 400 6 
400 I--- 600 10 
600 I--- 800 24 
800 I--- 1000 36 
1000 I--- 1200 12 
1200 I----1400 4 
 
a) A empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior 
desempenho tiveram. Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de 
vendas? 
b) Para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder um abono 
para 3% dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o 
funcionário receberá o abono? 
 24
 
RESPOSTAS 
 
1) a)1,63 b) 6,35 c) 8,7 d) 3,49 e) 1,95 f) 5,75 
 
2) Os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a 
cesta básica. 
 
3)a) Os livros que custam até R$ 24,38 entrarão na promoção. 
b) Os livros que custam até R$ 31,99 entrarão na promoção. 
c) Os livros que custam a partir de R$ 42,08 entrarão na promoção. 
 
4)a) Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$ 353,33 receberão a meta 
extra. 
b) Os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$ 1.262,00 receberão o 
abono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25
Xi Fi 
0 2 
2 4 
3 5 
4 3 
6 1 
MODA 
 
1º Caso: Dados não agrupados (Variável discreta) 
 
É o valor de maior freqüência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes. 
 • Primeiro exemplo: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15 
 
O elemento de maior freqüência é o 10, portanto Mo = 10 
Assim chamamos esse caso de unimodal. 
 • Segundo exemplo: 3, 5, 8, 10, 12 e 13 
 
Todos os elementos da série apresentam a mesma freqüência, logo a série é 
amodal, ou seja, não temos moda. 
 • Terceiro exemplo: 2, 2, 5, 5, 8, 9 
 
Nesse caso temos duas modas, sendo: Mo = 2 e Mo = 5. 
Assim chamamos esse caso de bimodal. 
 
 
2º Caso: Dados agrupados sem intervalos (Variável discreta) 
 
Basta identificar o elemento de maior freqüência. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
3º Caso: Dados agrupados com intervalos (Variável contínua) 
 
Dada a tabela: 
 
Amostra Fi
0 I----- 10 1
10 I----- 20 3
20 I----- 30 6
30 I----- 40 2
 
1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência) 
 
2º Passo: Aplica-se a fórmula Mo = hl i ×Δ+Δ
Δ+
21
1 
 
Portanto: Mo = 3 
 26
Onde: 
 
il = limite inferior da classe modal 
1Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente anterior 
2Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente posterior. 
h = amplitude da classe 
 
No exemplo da tabela anterior: 
 
1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior Fi = 6) 
 
2º Passo: Aplica-se a fórmula em que Mo = 24,29x10
43
3
20 =++ 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1- Calcule a moda para as séries abaixo: 
a) 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7 
b) 3, 4, 4, 5, 9, 12, 12 
 
 2- Calcule a moda das distribuições abaixo: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
3- A distribuição abaixo representa o consumo em kg de um produto colocado em 
oferta em um supermercado. Calcule a moda e interprete-a: 
 
Consumo nº de clientes
0 I---- 1 12 
1 I---- 2 15 
2 I---- 3 21 
3 I---- 4 32 
4 I---- 5 20 
 
 
 
 
Xi Fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
Xi Fi 
2 1 
3 7 
4 2 
5 2 
 
 27
Vendas (R$) Fi 
145 10 
158 9 
163 8 
175 4 
187 2 
Salários (R$) nº funcionários
200 I--- 400 15 
400 I--- 600 12 
600 I--- 800 8 
800 I--- 1000 2 
1000 I--- 1200 1 
 
Estaturas (cm) Fi 
150 I---- 158 5 
158 I---- 166 12 
166 I---- 174 18 
174 I---- 182 27 
182 I---- 190 8 
 
4- A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em 
uma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule e interprete a 
moda. 
 
nº de acidentes nº de dias 
0 I---- 2 20 
2 I---- 4 6 
4 I---- 6 3 
6 I---- 8 1 
 
 
5- A tabela abaixo representa os salários de determinada empresa. Determinar e 
interpretar o salário que representa a moda. 
 
Salários (R$) nº de funcionários
200 I---- 4005 
400 I---- 600 12 
600 I---- 800 16 
800 I---- 1000 3 
 
RESPOSTAS 
 
1)a) 5 b) 4 e 12 2)a) 3 b) 18 3) 3,48 4) 1,18 5) R$ 647,06 
 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
 
 
1- Calcule a média aritmética e interprete das distribuições abaixo: 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
2- Calcule a moda e interprete para as tabelas acima. 
 
3- Calcule a mediana e interprete para as tabelas acima. 
 
4- Calcule a média aritmética e interprete para as tabelas abaixo: 
 
a) b) 
 
 
 
Notas Fi 
2 5 
3 8 
5 14
8 10
10 7 
Salários (R$) Fi 
520 18
780 31
940 15
1.240 3 
1.590 1 
 28
Notas nº alunos 
0 I---- 2 5 
2 I---- 4 8 
4 I---- 6 14 
6 I---- 8 10 
8 I---- 10 7 
Pesos (kg) Fi 
145 I---- 151 10 
151 I---- 157 9 
157 I---- 163 8 
163 I---- 169 5 
169 I---- 175 3 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
5- Calcule a mediana e interprete para as tabelas acima. 
 
6- Calcule a moda e interprete para as tabelas acima. 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 5,77 b) 778,68 c) 159,09 
 
2- a) 5 b) 780 c) 145 
 
3- a) 5 b) 780 c) 158 
 
4- a) 500 b) 172,40 c) 5,27 d) 156,91 
 
5- a) 466,67 b) 174 c) 5,29 d) 156 
 
6- a) 366,67 b) 176,57 c) 5,20 d) 150,45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão 
dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. 
 
 
 --------------------------I----------------------------- 
 x 
 
Exemplo: 
 
Sejam os números: 
a) 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 
b) 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 
c) 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 
 
Concluímos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são seqüências 
completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados. 
 
DESVIO MÉDIO 
 
É a análise dos desvios em torno da média. 
 
Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a distância 
de cada elemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos o desvio 
médio através da fórmula: 
 
xXidi −= , logo o desvio médio será dado por: 
 
Dm = 
n
Fidi∑ ou então por Dm = 
n
FixXi∑ − 
 
Exemplo: Dada a amostra calcule o desvio médio. 
 
Xi (amostra) Fi XiFi xXidi −= .Fidi 
5 4 20 0,83 3,32 
7 3 21 2,83 8,49 
2 5 10 2,17 10,85 
3 4 12 1,17 4,68 
6 2 12 1,83 3,66 
Total 18 75 31 
 
Cálculo da média: == ∑
n
XiFi
x 4,17
18
75 = 
 30
Cálculo do desvio médio: Dm = =∑
n
diFi
1,72
18
31 = 
 
DESVIO PADRÃO 
 
Serve para medir o afastamento dos dados com relação á média e que poderá ser 
expresso na sua forma percentual através do Coeficiente de Variação. 
 
Xi Fi XiFi IdiI=Ixi- x I di2 di2.Fi 
5 4 20 0,83 0,69 2,76 
7 3 21 2,83 8,01 24,03 
2 5 10 2,17 4,71 23,55 
3 4 12 1,17 1,37 5,48 
6 2 12 1,83 3,35 6,70 
 18 75 62,52 
 
 
Desvio padrão amostral: S = 
1
2
−
∑
n
Fidi
92,168,3
17
52,62
118
52,62 ===−= 
 
 
 
2° exemplo: 
 
 
Classes Fi 
2 I--- 4 2 
4 I--- 6 4 
6 I--- 8 5 
 8 I--- 10 4 
10 I---12 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos 
relativos do grau de concentração em torno da média (expresso em 
porcentagens) 
 
CV = 
x
S
X 100 
Temos: 
 
Baixa dispersão: CV < 10% 
Média dispersão: 10% < CV < 20% 
Alta dispersão: CV > 20% 
 
EXERCÍCIOS 
 
1-Calcule o desvio médio das séries abaixo: 
 
a) 
Xi Fi 
2 3 
4 8 
5 10 
6 6 
8 2 
10 1 
 
 
2 – Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo: 
 
a) 
Idade nº de alunos 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
Salários nº de vendedores 
70 I---- 120 8 
120 I---- 170 28 
170 I---- 220 54 
220 I---- 270 32 
270 I---- 320 12 
320 I---- 370 6 
total
 b) 
Xi Fi 
0 30 
1 5 
2 3 
3 1 
4 1 
Total 
 32
3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas 
na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. 
 
Valor notas nº de notas 
0 I---- 50 10 
50 I---- 100 28 
100 I---- 150 12 
150 I---- 200 2 
200 I---- 250 1 
250 I---- 300 1 
total 
 
4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo: 
 
Alturas (cm) nº de alunos 
150 I---- 160 2 
160 I---- 170 15 
170 I---- 180 18 
180 I---- 190 18 
190 I---- 200 16 
200 I---- 210 1 
Total 
 
 
5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão? 
 
a) Matemática: média – 8,5 e desvio padrão – 2 
 Estatística: média – 9 e desvio padrão – 5 
 
b) Cálculo: média 5 e desvio padrão – 2 
 Álgebra: média 8 e desvio padrão – 3 
 
RESPOSTAS: 
 
1) a)1,13 b) 45,20 
2)a) 1,04 b) 0,93 
3) 49,46 
4) 11,89 
5) a) Estatística b) Cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33
EXERCÍCIOS EXTRAS 
 
1 – Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo, interpretando-os: 
 
a) 
Amostra Fi 
7 I---- 10 6 
10 I---- 13 10 
13 I---- 16 15 
16 I---- 19 10 
19 I---- 22 5 
Total 
 
 
 
d) 
Amostra Fi 
30 I---- 40 10 
40 I---- 50 20 
50 I---- 60 35 
60 I---- 70 25 
70 I---- 80 10 
Total 
 
 
2 – Calcule o desvio médio, o desvio padrão e o coeficiente de variação para as 
tabelas acima, interpretando-as. 
 
Respostas: 
 
Exercício 1: 
a) média: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40 
b) média:6,83 moda:6,20 mediana:6,63 
c) média:20,36 moda:20,18 mediana:20,35 
d) média:55,5 moda:56 mediana:55,71 
e) média:66,5 moda:67 mediana:66,43 
 
Exercício 2: 
a) desvio médio:2,78 desvio padrão: 3,58 CV:24,91 
b) desvio médio:2,43 desvio padrão: 2,95 CV:43,19 
c) desvio médio:3,94 desvio padrão:4,89 CV:24,02 
d) desvio médio:8,65 desvio padrão:11,23 CV:20,23 
e) desvio médio:8,85 desvio padrão:10,67 CV:16,05 
 
 
 
 
 
 b) 
Amostra Fi 
1 I---- 3 3 
3 I---- 5 5 
5 I--- 7 8 
7 I---- 9 6 
9 I---- 11 4 
11 I---- 13 3 
Total 
 c) 
Idade nº pessoas 
10 I---- 14 15 
14 I---- 18 28 
18 I---- 22 40 
22 I---- 26 30 
26 I---- 30 20 
Total 
 e) 
Amostra fi 
45 I---- 55 15 
55 I---- 65 30 
65 I---- 75 35 
75 I---- 85 15 
85 I---- 95 5 
Total 
 
 34
SEGUNDA PARTE 
CURVAS DE PROBABILIDADES 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 
 
Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos 
quais é considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser 
repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas 
repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os 
resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do 
sucesso e a probabilidade de q (q = 1 - p) do insucesso, manter-se-ão constantes. 
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter x sucessos 
em n tentativas. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue 
uma distribuição binomial. 
 
Fórmula: P(x) = 
xnq.xp.
x
n −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
 
 
ou seja: P(X=x) = xnx qp
xnx
n −− ..)!(!
!
 
 
P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. 
n = número de vezes que o experimento aleatório é repetido 
x = número de sucessos em n tentativas 
p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso. 
q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = 
insucesso. 
 
 n 
 x é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a 
)!(!
!
xnx
n
− 
 
OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do 
desenvolvimento do binômio de Newton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Profa.Roseli Nunes 
 35
 
 Exemplo: 
 
1- Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 50% 
são pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 5 títulos da carteira, 
determine a probabilidade de que exatamente 3 títulos sejam pagos em atraso. 
 
Temos que: n = 5 x = 3 p = 50% (0,5)q = 50% (0,5) 
 
%25,3125,0125,0105,05,0
)!35(!3
!5
)3( 353 ==−== − xxxxxP 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de 
o time A ganhar 4 jogos. (8,23%) 
 
2- Um exame do tipo teste é constituído de 10 questões do tipo certo e errado. Se 
um estudante responde as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele 
acerte 5 questões? (24,61%) 
 
3- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do 
time A: 
a) ganhar dois ou três jogos; (54,87%) 
b) ganhar pelo menos um jogo; (91,22%) 
 
4- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a 
probabilidade de acertar exatamente 2 tiros? (16,46%) 
 
5- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que 
apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos 
dois deles? (9,84%) 
 
6- Num hospital 5 (cinco) pacientes devem submeter-se a um tipo de operação, da 
qual 80% sobrevivem. Qual a probabilidade de que todos os pacientes sobrevivam? 
(32,77%) 
 
7- Se 30% das canetas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de 
que numa amostra de 10 canetas, escolhidas ao acaso, desta mesma marca 
tenhamos nenhuma caneta defeituosa. (2,82%) 
 
8- Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade de se 
formar é 0,3. Determine a probabilidade de que entre 6 estudantes escolhidos 
aleatoriamente, 1(um) se forme. (30,25%) 
 
 
 
 36
 
9- Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades: 
a) de ocorrer 6 caras. (20,51%) 
b) de dar pelo menos 2 caras. (98,92%) 
c) de não dar nenhuma coroa. (0,098%) 
 
10- Se 3% das calculadoras de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade 
de que numa amostra de 10 calculadoras escolhidas ao acaso seja encontrada: 
a) Nenhuma defeituosa. (73,74%) 
b) 5 canetas defeituosas. (0,0005%) 
c) Pelo menos 2 defeituosas. (3,45%) 
d) No máximo 3 defeituosas. (99,95%) 
 
11- Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de: 
a) pelo menos 1 cara; (99,6%) 
b) no máximo 2 caras. (14,46%) 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
 
1- Um estudante tem probabilidade p = 0,8 de acertar cada problema que tenha que 
resolver. Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte 
exatamente 6. (R: 29,36%) 
 
2- Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira, 
Supondo que as vezes que ele atira, são ensaios independentes, qual a 
probabilidade dele acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ele dá 8 tiros? (R: 4,6%) 
 
3- A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De 
um grupo de 5 homens, com 45 anos qual a probabilidade de que exatamente 4 
cheguem aos 65 anos? (R: 25,9%) 
 
4- Um exame consta de 10 questões tipo certo ou errado. Se o aluno “chutar” todas 
as respostas, qual a probabilidade dele acertar exatamente 5 questões? (R: 24,61%) 
 
5- Na manufatura de certo artigo, sabe-se que 10% do total produzido apresenta 
defeito. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho 4 contenha: 
a) nenhum defeituoso? (65,61%) 
b) exatamente um defeituoso? (29,16%) 
c) no máximo um defeituoso? (94,77%) 
 
6- Uma universidade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem 
completar o primeiro ano. Considere que 20 estudantes tenham se matriculado este 
semestre. 
a) Qual a probabilidade de que pelo menos 2 se retirem? (93,08%) 
b) Qual a probabilidade de que no máximo 5 se retirem? (80,42%) 
 
 
 
 37
7- Os registros de uma empresa indicam que 30% das faturas expedidas são pagas 
após o vencimento. De 10 faturas emitidas, qual a probabilidade de: 
a) exatamente 3 serem pagas com atraso? (26,68%) 
b) no máximo 2 serem pagas com atraso? (38,28%) 
c) pelo menos 3 serem pagas com atraso? (61,72%) 
 
8- Uma pequena loja aceita cheques para pagamento de compras e sabe que 12% 
dos cheques apresentam algum tipo de problema (falta de fundos, roubado, etc).Se 
numa determinada semana ela recebeu 15 cheques, qual a probabilidade de que 
todos os cheques sejam bons? (14,70%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais 
empregadas é a distribuição Normal. 
 
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à 
distribuição normal ou dela se aproximam. 
 
Fórmula: 
 
Z = 
S
XX −
 
 
 
Propriedades da distribuição normal: 
 
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 
 
2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, 
simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 
 
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa 
área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor 
real. 
 
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-
se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 
 
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor 
maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, 
isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva 
representa 50% de probabilidade. 
 
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso 
principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um 
valor em um determinado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo 
concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos 
produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição 
normal com média = 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um 
parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm ? 
 
P ( 2 < X < 2,05) = ? 
 
Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida, isto é, uma distribuição normal 
de média = 0 e desvio padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável z , 
onde z = (X -μ ) / σ 
 
Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z 
tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z) 
 
No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). Para obter essa 
probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde 
a x = 2,05. 
 
z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25 
 
 
UTILIZAÇÃO DA TABELA Z 
 
Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25. 
 
Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida, 
encontramos, na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do 
número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 
0,3944, o que nos permite escrever: 
 
P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso 
apresentar um diâmetro entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
EXERCÍCIOS 
 
1- Determine as probabilidades: 
 
a) P(-1,25 < Z < 0) = 
b) P(-0,5 < Z < 1,48) = 
c) P(0,8 < Z < 1,23) = 
d) P(-1,25 < Z < -1,20) = 
e) P( Z < 0,92) = 
f) P(Z > 0,6) = 
 
2- Os salários dos executivos são distribuídos normalmente, em torno da média R$ 
10.000,00, com desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um 
executivo ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00. (29,02%) 
 
3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100 
e desvio padrão = 10. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste 
ter nota: 
a) maior que 120 (2,28%) 
b) maior que 80 (97,72%) 
c) entre 85 e 115 (86,64%) 
d) maior que 100 (50%) 
 
4) As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com 
média de 1,60m e desvio-padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno 
medir: 
a) entre 1,50 e 1,80 m; (37,47%) 
b) mais de 1,75 m; (30,85%) 
c) menos de1,48 m; (34,46%) 
 
5) Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a 
tabela): 
a. P (0 ≤ Z ≤ 1,44) (42,51%) 
b. P (-0,85 < Z < 0)(30,23%) 
c. P (-1,48 < Z < 2,05)(91,04%) 
d. P (0,72 < Z < 1,89) (20,64%) 
e. P (Z ≥ 1,08) (14,01%) 
f. P (Z ≥ -0,66) (74,54%) 
 
6) A duração de um certo componente eletrônico tem em média 850 dias e desvio-
padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade desses componentes durar: 
a) entre 700 e 1000 dias (99,92%) 
b) mais que 800 dias (86,65%) 
c) menos que 750 dias (1,32%) 
 
 
 
 
 41
7) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e 
verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48000 km e desvio-
padrão 2000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: 
a) durar mais que 46000 km (84,13%) 
b) dure entre 45000 e 50000 km (77,45%) 
 
8) O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em 
torno de uma média de R$ 180,00 com desvio-padrão de R$ 25,00. Pede-se: 
a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 
150,00 e R$ 178,00. (35,30%) 
b) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal maior que 
R$200,00. (21,19%) 
c) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal menor que 
R$140,00. (5,48%) 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
 
Na distribuição binomial, a variável definida era o número de sucessos em um certo 
intervalo (repetição do experimento). Entretanto, em muitas situações, poderemos 
estar interessados no número de sucessos em um certo intervalo (tempo, 
comprimento, superfície, etc) ou então o n (tamanho da amostra) se torna muito 
grande. 
 
Exemplo: 
a) Número de defeitos por metro em determinado tecido. 
b) Número de defeitos na impressão de certo livro. 
c) Número de pessoas que chegam ao caixa de um supermercado no intervalo de 
tempo de 3 minutos. 
d) Número de carros que passam por um pedágio no intervalo de 30 minutos, etc. 
 
 
P(X = x) = 
!!
)(
x
e
x
npe xxnp λλ ×=× −− 
 
onde n.p = λ - representa o nº médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado 
P(X = x) – é a probabilidade de ocorrência do evento desejado 
x = nº de sucessos 
e = base do logaritmo natural (2.718281...) 
 
 
 
 
 
 
 
 42
Exemplo: 
 
Um posto telefônico recebe em média, 10 chamadas por minuto. Pede-se: 
a) Qual a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de ocorrer 1 chamada em meio minuto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em 
uma hora: 
a) atender 2 clientes (27,07%) 
b) atender 3 clientes (18,04%) 
 
2 – Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos. 
Encontre a probabilidade de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 
100.(18,04%) 
 
3 – Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a 
probabilidade de receber 4 chamadas num dia. (16,80%) 
 
4 – Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 hab. 
Em uma cidade de 100.000 hab, encontre a probabilidade de que em um dado ano 
tenha havido: 
a) 0 suicídio (1,83%) 
b) 1 suicídio (7,32%) 
c) 2 suicídios (14,65%) 
 
5 – Sabendo-se que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à 
injeção de determinado soro é 0,001, determine a probabilidade de que, em 3000 
indivíduos, exatamente dois acusem reação negativa (22,40%). 
 
 43
6 – Supondo que o nº de carros que chegam a uma fila de guichê de um pedágio 
possua distribuição de Poisson a uma taxa de 3 carros por minuto, determine a 
probabilidade de chegarem 4 carros nos próximos 2 minutos. (13,39%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44
TABELA - PROBABILIDADE (ÁREAS) DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA 
 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4014 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4766 0,4761 0,4767 
 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4936 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,499 
 
Exemplo: Para z = 1,96 a área sombreada é 0,4750 da área total de 1,0000 
 
 
 
 
 
 
 45
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO - ESTATÍSTICA 
 
1) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja: 
 
Valor gasto Fi Fac fi (%) 
0,00 |-- 20,00 10 
20,00 |-- 40,00 25 
40,00 |-- 60,00 42 
 
 
Sendo assim, determine na tabela: 
a) A freqüência acumulada de todas as classes. 
b) A freqüência relativa em porcentagem. 
 
2) Considere as notas de um teste de inteligência aplicado a 28 alunos: 
 
Amostra Fi Fac fi (%) 
64 |---- 69 5 
69 |---- 74 6 
74 |---- 79 9 
79 |---- 84 8 
 
 
Sendo assim, determine na tabela: 
a) A freqüência acumulada de todas as classes. 
b) A freqüência relativa em porcentagem. 
 
3) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja: 
 
Valor gasto Fi Fac fi (%) 
0,00 |-- 20,00 22 
20,00 |-- 40,00 47 
40,00 |-- 60,00 66 
60,00 |-- 80,00 35 
 
 
Sendo assim, determine na tabela: 
a) A freqüência acumulada de todas as classes. 
b) A freqüência relativa em porcentagem. 
 46
 
4) Umaempresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 
revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número 
de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: 
 
6 7 9 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 20
20 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39
 
Sendo assim: 
a) Determine a amplitude total 
b) Determine o número de classes (dado log 40 ≅ 1,6) 
c) Calcule a amplitude das classes 
d) Determine as classes 
 
Repostas: a) R = 33 b) K ~ 7 c) h ~ 5 
 
5) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 37 
revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número 
de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: 
 
 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 20
20 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39
 
Sendo assim: 
a) Determine a amplitude total 
b) Determine o número de classes (dado log 37 ≅ 1,55) 
c) Calcule a amplitude das classes 
d) Determine as classes 
 
Repostas: a) R = 29 b) K ~ 6 c) h ~ 5 
 
6) Observe a tabela abaixo: 
 
15 20 20 20 20 23 23 23 23 24 25 25 30 30 35 35 35 40 40 40
50 50 50 50 50 55 56 56 56 56 60 60 60 60 60 60 62 62 62 62
62 62 63 63 63 64 65 65 65 67 68 69 70 70 70 70 70 75 75 75
 
Sendo assim: 
a) Determine a amplitude total 
b) Determine o número de classes (dado log 60 ≅ 1,77) 
c) Calcule a amplitude das classes 
d) Determine as classes 
 
Repostas: a) R = 60 b) K ~ 7 c) h ~ 9 
 
 
 
 47
7) Determine a mediana da distribuição a seguir que representa os salários de 23 
funcionários selecionados em uma empresa: 
 
Salários (R$) Número de funcionários 
200 |-- 400 2 
400 |-- 600 6 
600 |-- 800 10 
800 |-- 1000 5 
 
 
Resposta: Mediana = 670 
 
8) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: 
 
Tempo (min) Freqüência 
40 |-- 50 8 
50 |-- 60 44 
60 |-- 70 23 
 
 
Resposta: Moda = 56,31 
 
9) Calcule a média da distribuição amostral: 
 
Classe Fi 
45 |-- 55 12 
55 |-- 65 18 
65 |-- 75 14 
75 |-- 85 6 
 
 
Resposta: Média = 62,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48
10) Calcule a média da distribuição amostral: 
 
Classe Fi 
45 |-- 55 10 
55 |-- 65 15 
65 |-- 75 12 
75 |-- 85 7 
 
 
Resposta: Média = 63,63 
 
11) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: 
 
Tempo (min) Freqüência 
50 |-- 60 8 
60 |-- 70 33 
70 |-- 80 23 
 
 
Resposta: Moda = 67,14 
 
12) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: 
 
Classe Freqüência 
150 |-- 250 30 
250 |-- 350 100 
350 |-- 450 50 
 
 
Resposta: Moda = 308,33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49
13) Calcule P45 para as médias finais de uma determinada sala que obteve as 
seguintes pontuações em Métodos Quantitativos: 
 
Médias Quantidade de alunos 
10 |-- 24 44 
25 |-- 39 70 
40 |-- 54 92 
55 |-- 69 147 
 
 
Resposta: P45 = 46,72 
 
14) Calcule P70 para as médias finais de uma determinada sala que obteve as 
seguintes pontuações em Métodos Quantitativos: 
 
Médias Quantidade de alunos 
10 |-- 24 44 
25 |-- 39 70 
40 |-- 54 92 
55 |-- 69 147 
70 |-- 84 115 
85 |-- 99 32 
 
 
Resposta: P70 = 68,58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 50
15) Os visitantes de um determinado parque consideram uma erupção de um gêiser 
uma atração imperdível. A tabela de freqüências resume os intervalos de tempos 
(em minutos) entre as erupções: 
 
Tempo 
(min) Freqüência 
 
40 |-- 50 8 
50 |-- 60 44 
60 |-- 70 23 
 
 
a) a média 
b) o desvio padrão 
c) o coeficiente de variação, respondendo se essa distribuição apresenta uma baixa, 
média ou alta dispersão. 
 
Resposta: a) 57 b) 6,15 c) 10,78% Média dispersão 
 
16) Os visitantes de um determinado parque consideram uma erupção de um gêiser 
uma atração imperdível. A tabela de freqüências resume os intervalos de tempos 
(em minutos) entre as erupções: 
 
Tempo 
(min) Freqüência 
 
40 |-- 50 10 
50 |-- 60 50 
60 |-- 70 30 
 
 
a) a média 
b) o desvio padrão 
c) o coeficiente de variação, respondendo se essa distribuição apresenta uma baixa, 
média ou alta dispersão. 
 
Resposta: a) 57,22 b) 6,31 c) 11,02% Média dispersão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51
 
MAIS E MAIS EXERCÍCIOS - ESTATÍSTICA 
(Sem respostas) 
 
1) Dado o rol de 50 notas, faça o que se pede: 
 
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97 
 
a) Determine a amplitude total 
b) Determine o número de classes (dado log 50 ~ 1,69) 
c) Calcule a amplitude de cada classe 
d) Construa a tabela de distribuição de freqüência. 
 
2) As notas de 32 alunos estão relacionadas a seguir: 
6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 
8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 
2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5 5,0 5,0 
4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5 
 
Sendo assim: 
a) Determine a amplitude total 
b) Determine o número de classes (dado log 32 ~ 1,50) 
c) Calcule a amplitude de cada classe 
d) Construa a tabela de distribuição de freqüência. 
 
3) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja: 
 
Valor gasto Fi Fac fi (%) 
0,00 |-- 19,99 24 
20,00 |-- 39,99 32 
40,00 |-- 59,99 43 
60,00 |-- 79,99 35 
 
 
Sendo assim, determine: 
a) A freqüência acumulada de todas as classes (complete a tabela). 
b) A freqüência relativa em porcentagem (complete a tabela utilizando apenas duas 
casas decimais). 
 
 
 
 52
4) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja: 
 
Valor gasto Fi Fac fi (%) 
2 |-- 4 5 
4 |-- 6 10 
6 |-- 8 14 
8 |-- 10 8 
10 |-- 12 3 
 
 
Sendo assim, determine: 
a) A freqüência acumulada de todas as classes (complete a tabela). 
b) A freqüência relativa em porcentagem (complete a tabela utilizando apenas duas 
casas decimais). 
 
5) Dada a distribuição amostral, calcule a mediana: 
 
Classe Fi 
35 |-- 45 5 
45 |-- 55 12 
55 |-- 65 18 
65 |-- 75 14 
75 |-- 85 6 
85 |-- 95 3 
 
 
6) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: 
 
Classe Fi 
0 |-- 1 3 
1 |-- 2 10 
2 |-- 3 17 
3 |-- 4 8 
4 |-- 5 5 
 
 
 
 
 
 53
7) Vinte reuniões de um clube de dança tiveram as seguintes freqüências de seus 
membros: 
 
 26 25 28 23 25 25 25 21 23 26 
 28 26 24 32 25 27 25 23 24 22 
 
Sendo assim, determine a moda. 
 
8) Calcule P50 para as médias finais de uma determinada sala que obteve as 
seguintes pontuações em Métodos Quantitativos: 
 
Médias Quantidade de alunos 
10 |-- 24 44 
25 |-- 39 70 
40 |-- 54 92 
55 |-- 69 147 
70 |-- 84 115 
85 |-- 99 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54
FORMULÁRIO: 
 
n
Fi.Xi
x
Σ= h.
Fi
Fac
100
n.i
liPi
classe
ant⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 
2
liLi
Xi
+= fi = 100.
n
Fi
 
 
k ≅ 1 + 3,22 . log n h ≅ 
k
R
 h.
Fi
Fac
2
n
lix~
classe
ant⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 
 
h = Li – li h.lMo
21
1
i Δ+Δ
Δ+= 
 
1Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente anterior. 
2Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente posterior. 
 
R = diferença entre o maior e menor número observado no Rol 
 
S = 
1n
Fidi2
−
∑
 CV = 100.
x
S
 Baixa dispersão: CV ≤ 10% 
 Média dispersão: 10% < CV < 20% 
 
di = xX i − Alta dispersão: CV ≥ 20% 
 
P(X=x) = xnx qp
xnx
n −− ..)!(!
!
 Z = σ
μ−x
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil, Ed. Saraiva, 1999 
 
BUSSAB, Wilton de Ol., MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. Ed. Saraiva, 2002 
 
PEREIRA, Wilson., TANAKA, Oswaldo K. Estatística – Conceitos Básicos , Makron 
Books, 1990 
 
JAIRO, Simon da Fonseca, MARTINS, Gilberto de Andrade, Curso de Estatística, 
Ed. Atlas, 1996 
 
 MEDEIROS, Estatística para os Cursos de Economia, Administração, Ciências 
Contábeis, Ed. Atlas, Volumes 1 e 2, 1999