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PRÉ-CÁLCULOPRÉ-CÁLCULO
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA AMBIENTAL
DISCIPLINA: PRÉ-CÁLCULO
PROF. JULIERME GOMES CORREIA DE OLIVEIRA - 80H
1. PROFESSOR NA NET: juliermegco@yahoo.com.br
2. EMENTA: Estudo geral dos conhecimentos matemáticos básicos relativos a teoria dos conjuntos; conjuntos 
numéricos; intervalos; expoentes; radicais; expressões algébricas; equações e inequações do 10 e do 20 graus; 
tratamento geral dos sistemas de equações e de inequações; fatoração e raízes; estudo geral das funções com 
análise de gráficos; operações; função inversa; a função modular; a função polinomial - transformações - raízes; análise de gráficos; operações; função inversa; a função modular; a função polinomial - transformações - raízes; 
estudo descritivo da função do 10 grau com aplicações na geometria analítica no R2; Estudo da circunferência-
equação cartesiana; classificação geral das funções como Algébricas e Transcedentes; as funções exponencial e 
logarítmica; estudo geral das funções trigonométricas.
3. ATIVIDADES DE COMPLEMENTAÇÃO DE CARGA-HORÁRIA: 
Os alunos deverão apresentar trabalhos com os exercícios propostos nas listas de exercícios.
4. Bibliografia
1. Medeiros, Sebastião da Silva. MATEMÁTICA BÁSICA PARA CURSOS SUPERIORES. São Paulo: Atlas.2007.
2. Ávila, Geraldo. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO. São Paulo: LTC. 1998.
ATENÇÃO
Este material não deve ser utilizado como 
material de estudo, ele é apenas um guia para o 
acompanhamento das aulas. É imprescindível 
que o aluno utilize a bibliografia sugerida.
CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS
“São os números que 
1
2“São os números que 
usamos quando precisamos 
contar coisas.”
2
3
4
São todos os números inteiros e 
positivos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
NÚMEROS INTEIROS
Como efetuar a subtração de 3 – 4? 
Pelos Naturais é impossível!
“São todos os números que pertencem aos Naturais 
acrescido dos seus respectivos opostos.”acrescido dos seus respectivos opostos.”
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
1. Inteiros não Negativos (Z+):
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
2. Inteiros não Positivos (Z-): 
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-): 
Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}
NÚMEROS RACIONAIS
Como dividir um osso para dois cachorros?
Os Inteiros não permitem 
a resolver este problema!
“Para resolver isso foram criados os números
fracionários.”
Q = Z ∪ { números fracionários }
Q = {a/b | a, b ∈ Z e b ≠ 0}
1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):
Q*+ = {Z*+} ∪∪∪∪ {Todos os números fracionários 
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
Q*+ = {Z*+} ∪∪∪∪ {Todos os números fracionários 
não negativos}
2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-): 
Q*- = {Z*-}∪∪∪∪ {Todos os números fracionários 
não Positivos}
3. Racionais não Negativos (Q+):
Q+ = {Z+}∪∪∪∪ {Todos os números fracionários não 
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
Q+ = {Z+}∪∪∪∪ {Todos os números fracionários não 
negativos}
4. Racionais não Positivos (Q-): 
Q- = {Z-}∪∪∪∪ {Todos os números fracionários não 
Positivos}
2,252
Número Racional. 
Finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Número Racional.
Infinitos algarismos periódicos após a vírgula 2,252525... Infinitos algarismos periódicos após a vírgula 
(dízima periódica).
3,1415926...
Não é um número Racional. 
Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula
NÚMEROS IRRACIONAIS
Como descrever números 
que não são inteiros nem 
fracionários?
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os 
números que NÃO podem ser representados 
por uma fração de números inteiros. por uma fração de números inteiros. 
I = {Todos os números que Q não consegue descrever}
Raizes inexatas. 
Inf. algarismos não periódicos após a vírgula.
3,1415926...
Número PI.
Supercomputadores já conseguiram calcular 
3
2 = 1,41421... 
 5 ; 8...
3,1415926... Supercomputadores já conseguiram calcular 
bilhões de casas decimais .
2,7182818...
Número de Euler.
Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas 
decimais.
NÚMEROS REAIS
“Descreve todo o conjunto 
dos números racionais e 
irracionais”
R = { Q } ∪∪∪∪ { I }
R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ... I
Números Irracionais
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N 
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
Números Irracionais
2
pi
3
pi
−
3 5
e
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
“Descreve todo o conjunto 
dos números reais e 
números complexos”
1i = −
R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z I
C
Números Imaginários
∞
00
( )23 4i+y xi
z
+
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N 
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I
Números Irracionais
2
pi
3
pi
−
3 5
e
1i = −
1
03 4i+
00
4i
TEORIA DOS CONJUNTOSTEORIA DOS CONJUNTOS
“Os conjuntos formam parte de nosso 
cotidiano e constituem uma ferramenta 
importante na tomada de decisões em 
muitas atividades.”
A cor da camisa dos torcedores nos dá uma idéia 
intuitiva de que conjuntos eles fazem parte!
Conjunto pode ser definido como uma 
coleção de coisas
O conjunto das 
capitais dos capitais dos 
estados do 
Brasil.
“Em geral, um conjunto é 
representado por uma letra maiúscula”.representado por uma letra maiúscula”.
E = {cursos de ciências exatas}
RELAÇÃO DOS COMPONENTES 
Representação dos seus elementos é feito 
dentro de duas chaves. 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
“Conjunto dos números naturais menores 
do que 6!”
CONJUNTO DESCRITO POR UMA OU 
MAIS PROPRIEDADES 
Pode ser definido pelas suas propriedades 
particulares dentro de duas chaves. particulares dentro de duas chaves. 
A = {x / x ∈∈∈∈ IN, x < 6} 
“Conjunto dos números naturais menores 
do que 6!”
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Diagrama de Venn-Euler, denotado por 
figuras, diagramas ou desenhos.
1 2
3 5
4
Elemento: Definido como os componentes de
um conjunto.
Ex: Faculdade Maurício de Nassau é um 
elemento do conjunto das instituições de ensino 
superior.
CONJUNTO VAZIO: 
Conjunto na qual não existe nenhum elemento,Conjunto na qual não existe nenhum elemento,
é representado por { } ou Ø.
CONJUNTO UNIVERSO
O conjunto que contém todos os elementos e 
todos os conjuntos de um contexto. todos os conjuntos de um contexto. 
É representado pela letra U.
R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ... I
Números Irracionais
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N 
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
Números Irracionais
2
pi
3
pi
−
3 5
e
Pertinência: Quando um elemento pertence a
um conjunto utilizamos o símbolo ∈∈∈∈ e quando
ele não pertence, utilizamos o símbolo ∉∉∉∉.ele não pertence, utilizamos o símbolo ∉∉∉∉.
Ex: Pernambuco ∈∈∈∈ E. 
E = conjunto dos estados brasileiros.
CONTIDO
Diz-se que um conjunto A está contido em B,
quando todos os elementos de A também estão emquando todos os elementos de A também estão em
B, ou seja, A é um subconjunto de B.
A ⊂⊂⊂⊂ B
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N 
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
Se A ⊂⊂⊂⊂ B e B ⊂⊂⊂⊂ A;
A B
Então A = B.
Quando elementos de A não estão 
contidos emC:
A CB
Então: A ⊄⊄⊄⊄ C
⊂⊂⊂⊂ e ⊄⊄⊄⊄ são utilizados para relacionar 
conjunto com conjunto;
∈∈∈∈ e ∉∉∉∉ relaciona elemento com conjunto.
CONTIDO (⊂⊂⊂⊂) VS (⊃⊃⊃⊃) CONTÉM
Se B ⊂⊂⊂⊂ A então A ⊃⊃⊃⊃ B Se B ⊂⊂⊂⊂ A então A ⊃⊃⊃⊃ B 
A
B
UNIÃO DE CONJUNTOS
A∪∪∪∪B,
A∪∪∪∪B = {x / x∈A ou x∈B}
A = {1,2,3,4} B = {3,4,8}
1
2
3
4
8
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A∩∩∩∩ B,
A∩∩∩∩ B = {x / x∈A e x∈B}
A = {1,2,3,4} B = {3,4,8}
1
2
3
4
8
Exemplo:
Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6} então A∩∩∩∩B = { }.
Não há números comuns!Não há números comuns!
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é um
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são
disjuntos.
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença entre A e B é formado por todos os elementos 
pertencentes a A que não pertencem a B. 
A - B = {x / x∈∈∈∈ A e x∉∉∉∉B}A - B = {x / x∈∈∈∈ A e x∉∉∉∉B}
A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 8}
1
2
3
4
8
COMPLEMENTO DE CONJUNTOS
O complemento do conjunto A contido em B, é o 
conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto B e não pertencem ao conjunto A. 
= B - A = {x / x∈∈∈∈B e x∉∉∉∉A}
Complementar 
de A em B
Exemplo:
Se A = {1,2,3,4} B = {3,4,5,6}
CA
B = { 5, 6 }
1
2
3
4
5
6
RESUMINDO:
A∩∩∩∩ B A∩∩∩∩ C B∩∩∩∩ CB∩∩∩∩ C
RESUMINDO:
A∪∪∪∪ B A∪∪∪∪ C B∪∪∪∪ CB∪∪∪∪ C
A∩∩∩∩ (B ∪∪∪∪ C)?
2: A ∩∩∩∩ (B ∪∪∪∪ C)
1: B ∪∪∪∪ C
2: A ∩∩∩∩ (B ∪∪∪∪ C)
B∩∩∩∩ (A ∪∪∪∪ C) ?
2: B ∩∩∩∩ (A ∪∪∪∪ C)
1: A ∪∪∪∪ C
2: B ∩∩∩∩ (A ∪∪∪∪ C)
A∪∪∪∪ (B∩∩∩∩ C)?
2: A ∪∪∪∪ (B ∩∩∩∩ C)
1: B ∩∩∩∩ C
2: A ∪∪∪∪ (B ∩∩∩∩ C)
Exercício: Qual a operação que se adéqua aos seguintes 
diagramas: 
A ∪∪∪∪ B 
B ∩∩∩∩ C ((A ∩∩∩∩ C) ∪∪∪∪(B ∩∩∩∩ C))- (A ∩∩∩∩ B ∩∩∩∩ C)
A
Exemplo: Se:
A ∪∪∪∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
A ∩∩∩∩ B = {2, 4} ;A ∩∩∩∩ B = {2, 4} ;
A – B = {1, 5, 6};
Então quem é o conjunto B? 
1: Quem é A - B? São os elementos que pertencem a A e 
que não pertencem a B 
A - B
1
5
6
A – B = {1, 5, 6};
2: Quem é A ∩∩∩∩ B? São os elementos que pertencem a A e 
pertencem a B simultaneamente: 
1
A ∩∩∩∩ B
1
5
6
A ∩∩∩∩ B = {2, 4} ;
2
4
3: Quem é A ∪∪∪∪ B? São os elementos que pertencem a A e 
que pertencem a B 
A ∪∪∪∪ B
1
5
6
A ∪∪∪∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
2
4
0
3
4: Então quem é B? 
1
5
2 0
5
6
B = {0, 2, 3, 4};
4 3
Exercício: Uma pesquisa para analisar a
aceitação de um projeto governamental
realizada com 200 habitantes de uma cidade:
Opinião
Local da Residência
Nenhum deles
Urbano Suburbano Rural
A favor 30 35 35 100
Contra 60 25 15 100
Total 90 60 50 200
Responda:
a) Quantos são os residentes urbanos favoráveis ao projeto
do governo?
b) Quantas pessoas fazem parte da interseção entre ob) Quantas pessoas fazem parte da interseção entre o
conjunto dos contrários ao governo e o conjunto de
residentes suburbanos?
c) Quantas são as pessoas com opinião favorável ao
projeto ou que residem na zona rural?
1: É possível uma pessoa ter duas opiniões? Não, então os 
conjuntos “A favor” (F) e “Contra” (C) são DISJUNTOS.
F CF C
2: É possível uma pessoa morar em dois lugares ao mesmo tempo? 
Não, então os conjuntos “Urbano” (U); “Suburbano” (S) e Rural (R) 
também são DISJUNTOS entre si, mas todos estão contidos em F e C, 
pois os moradores tem opiniões.
F CF C
U
S
R
3: Preencher as Informações.
F C
U Urbanos a favor Urbanos contra
F C
U 30 60U
S
R
Urbanos a favor
Suburbanos a favor
Rurais a favor Rurais contra
Suburbanos contra
Urbanos contra U
S
R
30
35
35 15
25
60
a) Quantos são os residentes urbanos favoráveis ao
projeto do governo?
F ∩∩∩∩ U = 30
F C
U 30 60 F ∩∩∩∩ U = 30U
S
R
30
35
35 15
25
60
b) Quantas pessoas fazem parte da interseção entre
o conjunto dos contrários ao governo e o conjunto
de residentes suburbanos?
(C∩∩∩∩ S) = 25F C (C∩∩∩∩ S) = 25F C
U
S
R
30
35
35 15
25
60
c) Quantas são as pessoas com opinião favorável
ao projeto ou que residem na zona rural? Nesta
questão ele quer saber os indivíduos que
pertencem a R OU pertencem a F, ou seja, uma
união de conjuntos.união de conjuntos.
F C
U
S
R
30
35
35 15
25
60
F ∪∪∪∪ S = (CS
F ∪∪∪∪ CF
S) ∪∪∪∪(F ∩∩∩∩S)
CS
F = 30 + 35 = 65
CF
S = 25
F ∩∩∩∩ S = 35
F ∪∪∪∪ S = 65 + 25 + 35 =125
TEORIA DOS NÚMEROSTEORIA DOS NÚMEROS
Axiomas
“Um axioma é uma sentença ou 
proposição que não é provada ou proposição que não é provada ou 
demonstrada, é considerada como óbvia, um 
consenso inicial necessário para a 
construção ou aceitação de uma teoria!”
Axiomas para os números Reais
1. Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma soma, ou
seja:
a – b = a + (– b)a – b = a + (– b)
2. Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma multiplicação,
ou seja:
= a ÷ b = a·a
b
1
b( )
Axiomas para os números Reais
3. Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de dois
números reais são únicos.números reais são únicos.
4. Lei Comutativa:
a) a + b = b + a
b) a·b = b·a
“A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”“A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”
Axiomas para os números Reais
5. Lei Comutativa:
a) a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +ca) a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c
b) (a·b)·c = a·(b·c) = b·(a·c) = a·b·c
“A ordem em adições e multiplicações sucessivas é irrelevante!”“A ordem em adições e multiplicações sucessivas é irrelevante!”
Axiomas para os números Reais
6. Lei Distributiva:
a) a·(b + c) = a·b + a·ca) a·(b + c) = a·b + a·c
b) b·(a + c) = b·a + b·c
c) c·(a + b) = c·a + c·b
“A multiplicação é distributiva em relação a adição!”“A multiplicação é distributiva em relação a adição!”
Axiomas para os números Reais
7. Lei de Identidade:
a) Existe apenas um número real na qual a soma dele com outro
número qualquer X é igual a X, ou seja:número qualquer X é igual a X, ou seja:
X + 0 = 0 + X = X
b) Existe apenas um número real na qual a multiplicação dele com
outro número qualquer x é igual a x, ou seja:
1·X = X·1 = X
Axiomas para os números Reais
8. Lei de Inverso:
a) Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que:
X + (–X) = (–X) + X = 0X + (–X) = (–X) + X = 0
b) Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real X-1 tal
que:
X·(X-1) = (X-1)·X = 1
Axiomas para os números Reais
9. Lei do fator zero:
a) Para qualquer número Real X:a) Para qualquer número Real X:
X·0 = 0
b) Se X e Y são dois números reais tal que X·Y = 0, então
obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.
Axiomas para os números Reais
10. Lei do número negativo:
a) (–1)·a = – aa) (–1)·a = – a
b) (–1)·(–a) = – (–a) = a
c) (–a)·(–b) = a·b
d) –ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b)
Axiomas para os números Reais
11. Lei dos Quocientes:
– a a a c
= a d = b cc) se e somente se ⋅ ⋅– a a=
– b b
a – a a – a
– = = =–
b
a)
b)
 
b – 
 
b
 
– b
*
a c
= a d = b c
b d
a k a
= k R
b
c) se e somente se
d) para qualquer
 
 
k b
⋅ ⋅
⋅
∈
⋅
Axiomas para os números Reais
12. Lei do número absoluto:
Qualquer número Real tem um número absolutoQualquer número Real tem um número absoluto
correspondente, tal que:
Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a 
Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a
| – a | = | a | = a
Axiomas para os números Reais
13. Lei da ordem das operações:
“Em uma expressão, uma soma ou uma subtração só deve“Em uma expressão, uma soma ou umasubtração só deve
ser realizada após todas as operações de multiplicação e
divisão já terem sido efetuadas, ao menos que elas
apareçam isoladas por ( ), [ ] ou { }”.
POLINÔMIOSPOLINÔMIOS
Polinômios
“É uma expressão matemática escrita como 
uma soma de termos da forma:uma soma de termos da forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
onde os membros ai são constates e os 
membros xj são variáveis”
GRAU DE UM TERMO
“É o expoente que acompanha a variável, ou, se houver mais de 
uma variável, é a soma dos expoentes destas variáveis”
Exemplos: a) 3x8 b) 12xy2z2 c) π
GRAU DE UM POLINÔMIO
“É o maior grau dos termos individuais”
Exemplos: a) x4 + 3x2 – 250
b) 3x3y2 – 30x4
c) 16 – x – x10
TERMOS SEMELHANTES E 
DISSEMELHANTES
“Termos semelhantes são aqueles constituídos das mesmas 
variáveis e estas, de mesma ordem. Todos os outros termos que variáveis e estas, de mesma ordem. Todos os outros termos que 
não se enquadram nisso, são dissemelhantes”
Exemplos: a) 3x e 5x b) y2 e z2 c) a2b3 e a3b2
ADIÇAO DE POLINÔMIOS
“É a combinação dos termos semelhantes de dois ou mais 
polinômios”polinômios”
Exemplo: P1 = x
4 + 5x3 – 3x2 – 250
P2 = – 2x
4 + x3 + 5x2 + 7x + 180
P3 = 9x
3 – 2x – 10
PP1 1 + P+ P2 2 + P+ P33 = ?= ?
SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
“É a combinação dos termos semelhantes de dois ou mais 
polinômios aplicando a lei da subtração”polinômios aplicando a lei da subtração”
Exemplo: P1 = x
4 + 5x3 – 3x2 – 250
P2 = – 2x
4 + x3 + 5x2 + 7x + 180
P3 = 9x
3 – 2x – 10
PP1 1 –– PP2 2 + P+ P33 = ?= ?
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
“O produto de dois polinômios é obtido pelo uso de 
várias formas da propriedade distributiva, bem várias formas da propriedade distributiva, bem 
como pelo emprego da lei dos expoentes”
Lei dos expoentes: xa · xb = xa+b
Exemplos:
a) P1 = x
3 e P2 = 3x
4 – 5x2 + 7x + 2
P ·P = ?P1 ·P2 = ?
b) P3 = x + 2y e P4 = x
3 – 3x2y + xy2
P3 ·P4 = ?
DISTRIBUTIVIDADE DUPLA
( a + b )·( c + d ) = ac + ad + bc + bd ( a + b )·( c + d ) = ac + ad + bc + bd 
Exemplo: (2x + 3)·(4x + 5) = ?
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. Diferença de dois quadrados: (a + b)·(a – b)
2. Quadrado da soma: (a + b)·(a + b) = (a + b)2
3. Quadrado da diferença: (a – b)·(a – b) = (a – b)23. Quadrado da diferença: (a – b)·(a – b) = (a – b)2
4. Diferença de dois cubos: (a – b)·(a2 + ab + b2)
5. Soma de dois cubos: (a + b)·(a2 – ab + b2)
6. Cubo de uma soma: (a + b)· (a + b)2 = (a + b)3
7. Cubo de uma diferença: (a – b)· (a – b)2 = (a – b)3
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
“Corresponde ao processo inverso do uso das leis 
distributivas da multiplicação, ou seja, é colocar em distributivas da multiplicação, ou seja, é colocar em 
evidência os fatores comuns de um polinômio. Em 
casos especiais é reverter o processo dos produtos 
notáveis”
Exemplos:
a)3x2 + 4xy – 3xt – 4yt
b)x2 – 15x + 50b)x2 – 15x + 50
c) 4x2 + 11xy + 6y2
Estratégias de Fatoração
1. Coloque em evidência todos os fatores comuns a todos os termos;
2. Observe o número de termos.
a) Se o polinômio remanescente após o primeiro passo ainda tiver dois termos,
procure fatorar por uma diferença de dois quadrados ou pela soma ouprocure fatorar por uma diferença de dois quadrados ou pela soma ou
diferença entre dois cubos;
b) Se o polinômio remanescente após o primeiro passo tem três termos,
procure fatorar por um quadrado perfeito ou reverter a distributividade
dupla;
c) Se o polinômio remanescente após o primeiro passo tem quatro ou mais
termos, tente fatorar por agrupamento.
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Regras Gerais: 
a) x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
b) acx2 + (bc + ad)xy + bdy2 = (ax + by)(cx + dy)
Divisão de PolinômiosDivisão de Polinômios
DIVISÃO DE POLINÔMIOS
“Se um polinômio g(x) é um fator de outro polinômio f(x), então 
f(x) é dito polinômio divisível por g(x), basta realizar uma fatoração 
e simplificar os termos comuns. Mas se um polinômio f(x) não for 
divisível por g(x), então é necessário aplicar a técnica da divisão 
longa para encontrar o quociente e o resto da divisão.”
ALGORÍTIMO DE DIVISÃO DE POLINÔMIOS
“Se f(x) e g(x) são polinômios onde g(x) ≠ 0, então existem 
polinômios únicos q(x) e r(x) tas que:
Onde q(x) é o polinômio originado pelo quociente entre f(x) e g(x), 
e o polinômio r(x) é o resto desta divisão.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) 
f x r xf x g x q x r x q x
g x g x
= + → = +
Exemplo: Encontre o quociente e o resto para a divisão 
polinomial: 
4 2
2
2 2
2 1
x x
x x
− −
+ −
 ( ) ( )
 ( ) q(x)
f x g x
r x
( ) ( )4 2 22 2 2 4 9f x x x q x x x= − − = − +
( )
( )
4 3
4 3 2 2
4 3 2
3
3 2
2
2 2
 2 0 0 2 2 1 
 
 0 4 0 2
 
4
 4 8
 0 
2 9
9 4
4 2 0 0
 
 
4 0
2x x x x
x x x x x x
x
x
x x
x x x
x
x
x
x
− + − + + −
− − −
+ − + − + −
− + + −
+
+ +
−
+
( )2
2
 
 
 
 
 
 9 1
 
9
2 7
8
 2
x
x
x
x
− − + −
−
− +
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
4 2
2
2 2
2 2 2 4 9
2 1 22 7
 
2 2 22 72 4 9
2 1 2 1
f x x x q x x x
g x x x r x x
f x r x
q x
g x g x
x x x
x x
x x x x
= + − = − +
= +
− − − +
= − + +
+ − + −
Exemplo 2: Encontre o quociente e o resto para a divisão 
polinomial: 
3 25 7 9
4
x x x
x
− + −
−
 ( ) ( )
 ( ) q(x)
f x g x
r x
( ) ( )3 2 25 7 9 3f x x x x q x x x= − + − = − +
( )
( )
( )
3 2
3 2
2
2
3 2 2
 5 7 9 4 
 
 
 
 0 7 9
 0 3 9
 
4 0
 
3
 
 
 2
 4
1
0
3
 0
x x x x
x x x
x
x
x x
x
x
x
x x x −
− − + +
+
− −
− − + +
− + − −
− + −
+ −
 3
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
2
5 7 9 3
4 3
 
5 7 9 33
4 4
f x x x x q x x x
g x x r x
f x r x
q x
g x g x
x x x
x x
x x
= − + − = − +
= − =
= +
− + −
= − + +
− −
ExpoentesExpoentes
Expoente Natural
xn = x· x· x·... ·x (n fatores de x)xn = x· x· x·... ·x (n fatores de x)
Exemplos: a) x5 b) 5x4yz3 c) 5a3b + 3(2ab)3
Expoente zero
“Qualquer número x pertencente ao conjunto dos números Reais 
não nulos (R*) satisfazem a relação:”
Atenção: 00 ∉∉∉∉ R, 00 ∈∈∈∈ C 
não nulos (R*) satisfazem a relação:”
0 1 R*x x= ∀ ∈
Expoente Negativo
“Qualquer número x pertencente ao conjunto dos números Reais 
não nulos (R*) satisfazem a relação:”
Atenção: 0-n∉∉∉∉ R, 0-n ∈∈∈∈ C 
1
 R*n
n
x x
x
−
= ∀ ∈
Exemplos: 
-5
5) x = 
1
x
a
( )3 3
5
3
3
1) 4y 4 y 4
x
y
4
y
b − −  = = = 
 
Exemplos: 
3
3
1) 5
5
1
125
c − = =
( ) ( ) ( )( )
2
2
5
1 1) -4
-4 -4
-4
125
1
16
d − = = =
Exemplos: 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 4 4 5 2 2 4 4 5 2
4 2
) 3x (2 ) 3 x (2 )
1 1 1
 3
e y x y z y x y z
y z
− − − − − −   + = +   
     
= +( ) ( )4 22 4 5
4 2
2 4 4 5
1 1 1
 3
x (2 )
3 1
 
x 2
 
y z
x y
y z
x y
     
= +      
     
  
= +   
  
4 2
2 4 5 
3
x
 
16
 
y z
x y
+=
Expoente Racionais
1 
 
Atenção: Se n é impar: x ∈∈∈∈ R
Se n é par : Obrigatoriamente x ∈∈∈∈ R+
1
n nx x
 
 
 
=
Exemplos: 
1
3 333) 8 = 8 = 2 = 
 
2a
( ) ( ) ( )1 3333
1 1
3 333 3
 
) -8 = -8 = -2 = 
 
) -8 = (-1) 8 (-1) 8 = (-1) 2 = (-
-
1) 2 = 
2
2 -
b
c ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
Exemplos: 
1
4 444) 16 = 16 = 2 = 2d
( )
( ) 4
1
44 4 44
5 1 15 5 5 44 44 4 4
) -16 16 = ( 1)2 2 ( 1) 
) = = = = x = 
e
f x x x x x xx⋅
= − − = −
⋅ ⋅
( Não é Real)
Exemplos: 
( )2 22 33 23 33) 125 = 5 5 5 25g ⋅= = =
( )
4
3
4 4 4 4333 3 3
1 1 1 1) 8 = = = = = 
2
1
1628 2
 
h
−
⋅
Lei para Expoentes
 (Se x = 0; a e b 0)a b a bx x x +⋅ = ≠
( )
1
 ( x 0)
 (Se x ou y = 0; a 0)
a
a b
b b a
a a a
x
x
x x
x y x y
−
−
= = ∀ ≠
⋅ = ⋅ ≠
Lei para Expoentes
 ( y 0; Se x = 0; a 0 )
a a
a
x x
y y
 
= ∀ ≠ ≠ 
 
( ) ( ) ( )
 ( y 0; Se x = 0; a 0 )
 (Se x = 0; a e b 0) 
a
b a a ba b
y y
x x x
⋅
= ∀ ≠ ≠ 
 
= = ≠
Lei para Expoentes
 ( x e y 0 )
m m
x y
y x
−
   
= ∀ ≠   
  
 ( x e y 0 )
 ( x e y 0 )
n m
m n
y x
x y
y x
−
−
= ∀ ≠   
  
= ∀ ≠
Notação Científica
“Quando estivermos trabalhando com números muito 
grades, ou números muito pequenos, é de bom tom grades, ou números muito pequenos, é de bom tom 
usarmos a notação científica”
Um número está em notação científica quando está
expresso na forma de um número entre 1 e 10
multiplicado por uma potência de 10.
Exemplos: 
( ) 76 6) 51.000.000 51 1.000.000 51 10 5,1 10 10 5,1 10a = × = × = × × = ×
8
2
10 10
2 10
352 3,52 100 3,52 10) 0,000 000 000 035 2 =
10.000.000.000 10 10
 3,52 10 10
 
3,52 10
b
− −
× ×
= =
= × × = ×
Exemplos: 
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
7 10
3 3 34
5 10 6 1050.000.000 0,000 000 000 6 5 10.000.000 6 1.000.000.000) 
20.000 2 10.000 2 10
c
× ÷× ÷
= =
× ×
( )( )
( ) ( ) ( )
7 10 7 10 3
3 4 33 4
5 10 6 10 5 6 10 10 30 10
 = = =
8 108 102 10
−
− −
⋅
× × × × × ×
××
( )
12
3
3 12 15
12
30 10
 = 3,75 31 ,75 100
8 10
−
− −
−
  
= × =  
  
×
Expressões RacionaisExpressões Racionais
Expressão Racional
“É o tipo de expressão matemática que pode ser escrita como 
o quociente de dois polinômios. Elas são definidas para o quociente de dois polinômios. Elas são definidas para 
todos os valores reais das variáveis, exceto aqueles que 
tornam o denominador igual a zero”
Exemplos:
( )
2
3) y 0
xI
y
∀ ≠
( )
( )
( )
2
3
3 2
3 2
2
5 6II) x 2
8
III) 5 y
2) x 3x +8x x 1
1
x x
x
y y
xIV
x
− + ∀ ≠ −
+
− ∀
− − ∀ ≠ ±
−
Exemplo: 
Reduzir ao menor grau:
( )
( )( )
2 2 22
 
x yx xy y −
+
−
=
− −
+
( )( )
( ) ( )
2 2
 
 
 
x y x y
x y x y
x y +
=
=
−
− −
−
( ) ( )x y x y+ −
( )
( ) 
x y
x y
=
−
+
Operações Sobre Expressões Racionais
( )
1
1 2
1 2) = e 0
P PI P P
P P
−
 
≠ 
 
( )
( )
1 2
2 1
3 1 31
2 4
2 4 2 4
II) e 0
P P
P P PP P P
P P P P
 
 
⋅
⋅ = ≠
⋅
Operações Sobre Expressões Racionais
1
3 31 1 1 4III) P PP P P P
P P P P P P
−
 
÷ = ⋅ = ⋅ 
 
( )
2 4 2 4 2 3
1 4
2 3 4
2 3
 
III) 
 , e 0 
P P P P P P
P P P P P
P P
÷ = ⋅ = ⋅ 
 
⋅
= ≠
⋅
Operações Sobre Expressões Racionais
( )1 2 1 2 3) 0P P P PIV PP P P
+
+ = ≠( )
( )
3
3 3 3
1 2 1 2
3
3 3 3
) 0
P P P
P P P PV P
P P P
−
− = ≠
Operações Sobre Expressões Racionais
“Na adição de expressões racionais com denominadores diferentes, 
deveve-se encontar o MMC dos denominadores” 
( )
( )
3 1 4 2 31
2 4
2 4 2 4
3 1 4 2 31
2 4
2 4 2 4
) 0
) 0
P P P P PPVI P e P
P P P P
P P P P PPVII P e P
P P P P
⋅ + ⋅
+ = ≠
⋅
⋅ − ⋅
− = ≠
⋅
Exemplo: 
3 4 3 4
3 4 3 2 33 2 4 2 4
3
2 4
5 65 6
 
x y x y
x y x y x y xx y x y y
x
      
= −      
      
−
4y 3 45 x y   6  
3 2 2 4
2 2 4
 
 
x y x y x
x y xy x
MMC
3
 
x
=
4
3
y
x
3 4
3 42
5 x y
x yy
  
−     
2 4x y 3 4
2
3 4
3 4
4
2
3
6
5 6
 
5 6
 
 
x y
y x
x y
y x
x y
x y
  
     
   
= −   

−
  
=
2 2 4
2 4
2 4
3
2
1
3 4
 
 
 
 y 
 1 
 1 
 1 1 
x y xy x
xy y x
y y y
y y
y y
y y
x y
MMC
Exemplo: Simplifique a expressão 
 
 
 
x y
y x
x y
x y 
− 
 
=
 
−
x
xy y
⋅
x 
−  
 
y y
xy x
⋅
2 2x y
  
  
   
x 2x  2y y  
 
 1 y 
x y x
y
MMC
2 2
x y
xy
 
− 
 
2 2x y
2 2 2
x
x y y
⋅
2x 
  −
 
 
2
2 2 2
y y
x y x
⋅
3 3
2 2 2 2
 
 (continua...)
x y
xy xy
x y
x y x y
  
      
−
=
−
2 2
2
2
2 2
 1 1 
 x 
 x 
 1 
 1 
 1 1 
xy
y x
y x
y y
y y
x y
Exemplo: Simplifique a expressão 
13 3 2 2
3 3
 
 
 
 
x y
x y x y x y x yxy
x y
y x
−
−
      − − −
= ⋅ = ⋅      
− −
 
− 
 
=
 
( )
3 3 2 2 3 3
22 22
 
 
 
 
 
x y xy x y xy xx y
x y
x y
y
y x
= ⋅ = ⋅      
− −
=
      
−


 

−
=

( )xy⋅ ( )
( )
xy
xy
⋅
( )x y⋅ − ( )2 22 2 
xy
x xy y x xy y
=
⋅ + + ++
Expressões RadicaisExpressões Radicais
Expressão Radical
“É o tipo de expressão matemática que apresenta expoentes “É o tipo de expressão matemática que apresenta expoentes 
radicais ou fracionários”
Propriedades:
( ) n e impar, ) = 
 n e par, positivo
n
n
Se P
I P P
Se P
∀
 ∀
´
´
( )
1 2
1 2 1 2
 n e impar, 
II) = 
 n e par, positivo
 n e impar, 
III) = 
n
n
n n n
Se P
P P
Se P
Se P e P
P P P P
S
∀
 ∀
∀
⋅ ⋅
1 2 n e par, positivose P e P

 ∀
´
´
´
´
Propriedades:
( )
 n e m sao impar, 
 n e par e m e impar, positivo) = 
 n e impar e m e par, positivo
m n
n m
Se P
Se P
IV P P
Se P
⋅
∀
 ∀
 ∀
~
´ ´
´ ´
11
2
) = 
 n e impar e m e par, positivo
 ne m sao par, positivo 
II) = 
n
n
IV P P
Se P
Se P
PP
P P
 ∀
 ∀
1 2
1 22
 n e impar, 
 
 n e par, positivosn
Se P e P
Se P e P
∀
 ∀
´ ´
´
´
Notação mais simples da forma Radical:
1. Nenhum membro de um radical (raiz) pode ter um fator com
expoente maior ou igual ao índice da raiz;
( )( )( ) ( )( )( )Exemplo: ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
4 3 5 3 3 3
3 3
33 53 2
23
3
33
2
 
2
2
6
 2
21
2
x y y
y
x y x y
x xyy
= ⋅ ⋅
= =
=
3 3
23
2
 2 
2
2xy y
y
⋅
⋅
=
Notação mais simples da forma Radical:
2. Sempre que possível, reduzir a ordem da raiz;
Exemplo: ( )2 3 333 36 x xx x⋅ == =
Notação mais simples da forma Radical:
3. Nenhum radical aparece no denominador;
Exemplo: 
3 22 2 4
3 2 3 2 3 24 4 4
2
24
312 12
3 3 3
12
27
x yx x
xy xy x y
x
xy
= = ⋅
( )( )
2 3 2 2 3 24 4
4 4 43 2 3 2 44 4
12 3 12 3
 
33 3
12
 
x x y x x y
x yxy x y
= =
=
2x 3 24 3
3
x y
x
3 244 3x x y
y y
=
Notação mais simples da forma Radical:
4. Nenhuma fração aparece em um radical;
Exemplo: 
3 4
4 434 43 3 4
3 5 37375
5 5 5
3
55
5x y xy
y y y
y
y
x
y
x
⋅ == =
Exemplo: 
Racionalize o denominador
( )( )
( )( )
4 24 2
2 2 2 2
4
 
2
x xx x
x x x x
x
x
− +
−−
=
−
+
⋅ =
− +
− +( )( )
( )( )
( ) ( )
( )
2 2
4 2 4
 
2
x x x
x
− + −
= =
−
( )
( )
2
4
x
x
+
−
 2x= +
Exemplo: 
Racionalize o numerador
( )( )x a x ax a x ax a − +−− +
⋅ ==
( )( )
( )( ) 
 
 
x a x ax a x a
x a x a x a x a
x
a
a
x a
x
− +
−− +
⋅ =
− +
−
=
=
− +
−
( )x a− ( ) 
1
x x aa
=
+ +
Conversão de Expressões Radicais
) = 
 
m
n m nI P P
ou
( )
II) = 
 
III) = 
m
n mn
m
m
nn
P P
ou tambem
P P
´
Exemplos: 
1
3 3a) xx =
3
34 4
5
5 2
b) x
c) x
x
x
=
=
Equações Lineares e Não 
LinearesLineares
Equação:
“É uma declaração matemática de identidade. Ela expressa a 
proporcionalidade de dois termos, ou duas expressões, proporcionalidade de dois termos, ou duas expressões, 
por um sinal de igualdade.”
2
1 0
1 0
x
x x
a b
+ =
− + =
=
Exemplo: 
Equação Linear:
“São equações que admitem uma e somente uma solução. 
Apresentam a forma ax + b = 0, ou qualquer forma similar Apresentam a forma ax + b = 0, ou qualquer forma similar 
a esta.”
2 6 0x + =Exemplos: 
Solução de uma equação linear:
“O processo utilizado para resolver uma equação consiste em 
transformá-la em uma equação equivalente, cuja a 
solução é óbvia. É possível realizar 4 operação 
elementares.”
Solução de uma equação linear:
1. ADIÇÃO: adicionar um número conveniente aos dois lados
da equação;da equação;
Exemplo: 
 a = b
a + c = b + c
Solução de uma equação linear:
2. Subtração: subtrair um número conveniente aos dois lados
da equação;da equação;
Exemplo: 
 a = b
a - c = b - c
Solução de uma equação linear:
3. Multiplicar: multiplicar por um número conveniente, não
nulo, os dois lados da equação;nulo, os dois lados da equação;
Exemplo: 
( )
 a = b
a c = b c c 0
 ac = bc
× × ≠
Solução de uma equação linear:
4. Dividir: dividir por um número conveniente, não nulo, os
dois lados da equação;dois lados da equação;
Exemplo: ( )
 a = b
a c = b c c 0
a b
 = 
c c
÷ ÷ ≠
( ) ( )
( ) ( )
 3 6 7 10
3 6 7 10
 3 6 7 10
 
7 7 
7 
+ 6 + 6
+ 6 7 6+
x x
x x x
x x
x− −
− −
− = +
− + = + +
− = +
Exemplo: Resolva a equação. 
( ) ( ) 3 6 7 10
 4 16 ( 4) ( 4)
 
 
7 + 6
 
4 16
4 4
 
 7 6
 
+
4
x x
x
x
x
− −− = +
− =
−
÷ − ÷ −
=
− −
= −
Equação Quadrática:
“São equações que admitem duas soluções. Apresentam a 
forma ax2 + bx + c = 0, ou qualquer forma similar a esta.”forma ax2 + bx + c = 0, ou qualquer forma similar a esta.”
2 9 20 0x x+ + =Exemplos: 
Solução de uma equação quadrática:
1. Fatoração: Se o polinômio que compõe a equação admite
ser fatorado, usar a propriedade do fator zero;
Exemplo: 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
2
x 2 3 x + 2 3 0
2 3 0
2 0 
3 0
x x 6 0
 
2
3
x x
x
x
x
x
+ − ⋅ ⋅ − =
+ ⋅ − =
+ = → = −
− = →
− −
=
=
Solução de uma equação quadrática:
2. Propriedade da Raiz Quadrada: se a equação for da forma
ax2 = b, as raizes da equação é obtida pela raiz dos termos
independentes.
Exemplo: 
2
2
2
2
1
x 4
3x = 12 
12
x 
3x 12 = 0 
= 4 
 
 
2
2 
3
x
x
= ±
=
−
= −
=
Solução de uma equação quadrática:
3. Completar o quadrado:
Exemplo: 
2
2 9 1
 9 20 0 xxx  + = + + =Exemplo: 
2
2 2
2
2
 
2 4
9 19 20 
9 9
2 2
 
 
9
 
2
20 0
4
9 19 20
2 2
9 92
2
x
x x x
x
x
x x
x x
x
  
+ = 
 
+ = − + = ±
+ = − + = ±
 
+

+ +  
+



 
 
+ + =

2
1
2
80 81 1 9
 
2 4 2 2
4
5
x
x
x
− + 
= = ± − 
= −
= −
→  
  
Solução de uma equação quadrática:
4. Formula de Bhaskara:
2
2 40 
2
b b ac
ax bx c x
a
− ± −
+ + = → =
Exemplo: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
1
2
9 9 4 1 20
2 1
9 8
9 20
1 80 9 1
 
2 2 5
 
4
 
0x x
x
x
x
x
− ± − ⋅ ⋅
=
⋅
− ± − − ±
=
+
= −
= −
= →
+ =


( ) ( )2 2
2
2 4
2 8 16
2 4x
x x
x x x
x
+ = −
+ = − +
+ = −
Exemplo:
( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
1
2
 Resolvendo pelo metodo 1 - Fatorand
2 e 
9 14
o
7
:
2 7 2 7 0
2 7 0
0
x x
x
x
x
x
x
x
− +
•
+ − − + − ⋅ − =
− =
=
=
=
−
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2 8 16
2 8 16
9 1
0
8 1
4
2 16
0
0
0
9 14
x x x
x x x
x
x
x
x
x
x
+ = − +
+ − − + =
− + + + − =
− +
− + − =
=
( ) ( ) ( )( )
( )
2
2
1
2
 Resolvendo pelo metodo 4 - Bhaskara:
9 9 4 1 14
2 1
9 81 56 9 2
9 14 0
9 5
7
5
2 2
2
2
x
x
x
x
x
x
•
− − ± − −
=
± − ± ±
= =
=
=
=
− + =
= 

Inequações Lineares e Não 
LinearesLineares
Relações de desigualdade:
“Seja um número qualquer a menor do que um 
número qualquer b, a relação entre estes números 
pode ser denotada por a < b (ler-se: a menor que 
b) ou b > a (ler-se: b maior que a).”
Relações de desigualdade:
“Seja agora um número qualquer c que pode ser 
menor ou igual a um número qualquer d, a relação menor ou igual a um número qualquer d, a relação 
entre estes números pode ser denotado por c ≤ d 
(ler-se: c é menor ou igual a d) ou d ≥ c (ler-se: d
maior ou igual a c).”
Desigualdades Combinadas:
“Seja agora um número qualquer x maior do que um 
número a e menor do que um número b,a relação número a e menor do que um número b, a relação 
entre estes números pode ser denotada por a<x<b 
(ler-se: x é maior do que a e menor do que b).”
Desigualdades Combinadas:
“Da mesma forma, seja um número qualquer x maior 
ou igual a um número c, e menor ou igual um ou igual a um número c, e menor ou igual um 
número d, a relação entre estes números pode ser 
denotada por c ≤ x ≤ d (ler-se: x é maior ou igual a 
c e menor ou igual a d).”
Representação Gráfica das Desigualdades:
Desigualdade Notação Gráfico
a < x < b ( a, b ) ( )
a b
xa < x < b ( a, b )
a ≤ x ≤ b [ a, b ]
a < x ≤ b ( a, b ]
a ≤ x < b [ a, b )
( )
a b
x
[ ]
a b
x
( ]
a b
x
[ )
a b
x
Representação Gráfica das Desigualdades:
Desigualdade Notação Gráfico
x > a ( a, ∞ ) ( 
a 
xx > a ( a, ∞ )
x ≥ a [ a, ∞ )
x < b ( ─ ∞ , b )
x ≤ b ( ─ ∞ , b ]
( 
a 
x
[
a 
x
)
b
x
]
b
x
Inequação:
“É uma declaração matemática onde é possível existir uma 
família de soluções, ou seja, um conjunto de soluções.”família de soluções, ou seja, um conjunto de soluções.”
2
1 0
1 0
x
x x
+ <
− + ≥
Exemplo: 
Inequação Linear:
“São inequações onde o maior grau do polinômio que compõe 
a expressão é de ordem 1. A forma de obtenção do a expressão é de ordem 1. A forma de obtenção do 
conjunto de soluções desta inequação são similares ao 
método usado para equações lineares”
5 3 4 3 1
5 3 4 3 1 (3) (3)
3
5 5
1 1
x x
x x
x
− >
− > <
− >
<
÷
−
÷−−
Exemplo: Resolva a inequação. 
 ( 1) ( 1
3 1 1
3 1 3)
x
x
x
− >
× − × −
−
>−
<
−
-1 0 1 2 3-2-∞ ∞⅓
-1 0 1 2 3-2-∞ ∞⅓
)
Ou
Representação 
gráfica da 
solução: 
Inequação Não Linear:
“São inequações que o polinômio que compõe a expressão tem 
ordem maior do que 1. Para resolver as inequações não ordem maior do que 1. Para resolver as inequações não 
lineares, deve-se fatorar a expressão, achar os pontos 
críticos, realizar uma análise de sinal dos fatores, e por fim, 
determinar o conjunto solução”
2
 2 0x x+ − >
Exemplo: Resolva a inequação. 
i) Fatorar a inequação: ii) Achar os pontos críticos: 
( ) ( )
( )
( )( )
2
 2 0
2 1 2 1 0
2 2 1 0
 2 1 0
x x
x x x
x x x x
x x
+ − >
⋅ + − + − >
⋅ + − + − >
+ − >
2 0 
x = 2
1 0 
x = 1
x
x
+ =
−
− =
iii) Análise dos Fatores: 
Intervalo x > - 2 -2 < x < 1 x < 1
Sinal do fator (x+2)
no intervalo - + +
0 1- 2
Sinal do fator (x-1)
no intervalo - - +
Sinal do produto 
dos fatores + - +
0 1- 2
Solução: 
S = (-∞, -2) ∪ (1, ∞)
Introdução a Geometria 
AnalíticaAnalítica
Um Sistema Coordenado Cartesiano:
“Um sistema coordenado cartesiano consiste em duas retas 
perpendiculares que representam o conjunto dos números perpendiculares que representam o conjunto dos números 
reais em duas direções distintas. Geralmente a reta 
horizontal é chamada de eixos dos valores de x, e a reta 
vertical é chamada de eixo dos valores de y.”
1° Quadrante2° Quadrante
x
y
- x
4° Quadrante3° Quadrante
x- x
- y
Um Sistema Coordenado Cartesiano:
1. O ponto em que os eixos x e y se encontram é
conhecido como origem do sistema coordenado
cartesiano, representado como O(0, 0);
2. Os pontos que estão sobre os eixos x ou y não
pertencem a nenhum quadrante e sim aos eixos
coordenados;
Um Sistema Coordenado Cartesiano:
3. Para cada ponto P correspondente a um par
ordenado de números (a, b), este par é conhecido
como coordenadas de P;
4. No par ordenado (a, b), o valor de a é conhecido
como coordenada x ou abscissa. O valor de b é
conhecido como coordenada y ou ordenada;
Um Sistema Coordenado Cartesiano:
5. Cada par ordenado corresponde a um ponto no sistema
coordenado cartesiano, chamado de gráfico do par
ordenado.
P(a,b)
a
b
O(0,0)
x
y
Distância Entre Dois Pontos:
y
y P (x , y )
O(0,0)
P1(x1, y1)
x1
y1
x
x2
y2
P2(x2, y2)
y2 – y1
x2 – x1 ( ) ( ) ( )2 21 2 2 1 2 1,d P P x x y y= − + −
P (-3, 5)
Exemplo: Encontre a distância entre os pontos P1(-3,5) e P2(4, -1). 
P2(4, -1)
P1(-3, 5)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1
2 2
2 2
,
 4 3 1 5
 7 6
 49 36
 85
d P P x x y y= − + −
= − − + − −      
= + −
= +
=
O Gráfico de uma Equação de Duas Variáveis:
“É o gráfico do conjunto de soluções desta equação, ou seja, 
de todos os pares ordenados (a,b) que satisfazem a de todos os pares ordenados (a,b) que satisfazem a 
equação. Como, geralmente, uma equação possui infinitas 
soluções, é suficiente apenas um esboço do gráfico.”
Exemplo: Esboce o gráfico da equação x - 2y = 10 
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
- 2
2 10
 2 10
10
 
2
x y
y x
xy
− =
− = − +
−
=
- 3
- 4
- 5
- 6 
x y (x, y)
-2 (-2-10)/2 = -6 (-2,-6)
0 (0-10)/2 = -5 (0,-5)
2 (2-10)/2 = -4 (2,-4)
4 (4-10)/2 = -3 (4,-3)
6 (6-10)/2 = -2 (6,-2)
8 (8-10)/2 = -1 (8,-1)
Exemplo: Esboce o gráfico da equação x2 – y = 1 
2
2
2
1
 1
 1
x y
y x
y x
− =
− = − +
= −
x y (x, y)
6
5
8
7
x y (x, y)
-3 (-3)2 - 1 = 8 (-3,8)
-2 (-2)2 - 1 = 3 (-2,3)
-1 (-1)2 - 1 = 0 (-1,0)
0 (0)2 - 1 = -1 (0,-1)
1 (1)2 - 1 = 0 (1,0)
2 (2)2 - 1 = 3 (2,3)
3 (3)2 - 1 = 8 (3,8)
-1
2
- 1 
1
4
3
- 2 - 3 321
Equação do Círculo:
“Um círculo é um conjunto de todos 
os pontos P(x,y) no plano 
P(x,y)
y
r
coordenado que mantém a mesma 
distância r > 0 de um ponto central 
C(x’,y’).”
C(x’,y’)
x
2 2 2( `) ( `)x x y y r− + − =
Exemplo: Encontre a equação do círculo de centro C(1,-1) e 
raio 2. Os pontos P1(-7,1) e P2(-1,-1) pertencem a 
este círculo? 
(1, 1)C − 1( 7,1) ?P Circulo− ∈ 2 ( 1, 1) ?P Circulo− − ∈
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2
( `) ( `)
1 1
1 1 4
2
r
x x y y r
x
y
y
x − +
=
− + − =
− + − − =
+ =
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
?2 2
?2
?
1
2
1 1 4
7 1 1 1 4
8 2 4
64 4 4
68 4 P Circul
x y
o
− + + =
− − + + =
− + =
+ =
∉≠ →
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
?2 2
?2
?
2
2
1 1 4
1 1 1 1 4
2 0 4
4 0 4
4 4 P Circu
y
lo
x − + + =
− − + − + =
− + =
∈
+ =
= →
FUNÇÕESFUNÇÕES
DEFINIÇÃO:
“Função é uma relação que associa cada elemento de um 
conjunto numérico a um único elemento de um outro 
conjunto numérico”conjunto numérico”
a
b
c
A
B
C
A B
f
f(a)
f(b)
f(c)
a A
A B
f
f(a)
f(b)
Como denotar uma função?
b
c
B
C
f(b)
f(c)
f: Domínio � Imagem
f: A � B
f: x � y
f: x � f(x)
Domínio de f Imagem de f
DOMÍNIO:
“Domínio de uma função são todos os elementos de um conjunto 
que são utilizados para gerar um novo conjunto a partir de uma 
função. Geralmente este conjunto é o próprio conjunto dos função. Geralmente este conjunto é o próprio conjunto dos 
números reais. Quando umafunção é definida por uma expressão 
matemática e seu domínio não é explicitado, considera-se que o 
domínio é o conjunto de todos os números reais para as quais a 
expressão é válida”
Exemplo: Qual é o domínio das seguintes funções:
3) ( )
6
x
a f x
x
−
=
+
Repare que esta função é do tipo racional, ou seja, o
denominador não pode assumir o valor nulo, então
necessariamente x precisa ser diferente de -6:
( ) { }Dominio de : | 6f x x R x∈ ≠ −
2
) ( ) 5
) ( ) 4
b g x x
c h x x
= −
= −
Repare que esta função é do tipo irracional de segunda ordem,
ou seja, o incremento da raiz necessariamente precisa ser maior
ou igual a 0, ou seja, x precisa ser maior ou igual a 5:
( ) { }Dominio de : | 5g x x R x∈ ≥
Repare que esta função está definida para qualquer valor de x,
portanto o domínio é o próprio conjunto dos números reais:
( ) { }Dominio de : h x x R∈
IMAGEM:
“É o conjunto formado pelos elementos obtidos pelo uso da função 
sobre os elementos do domínio, ou seja, são os valores que 
a função pode assumir”a função pode assumir”
Exemplo: ( ) 1f x x= −
Repare a função f(x) assume qualquer valor Real positivo ou negativo, ou seja, a 
imagem dessa função é o próprio conjunto dos números reais.
( ) { } : f x y R∈
Exemplo: Seja A o conjunto dos números Reais e f uma 
função de regra f(x) = x2 + 3. Calcule:
a) f(a)
b) f(-a) b) f(-a) 
c) f(a) + f(b) 
d) f(a + b) 
e) Quem é o conjunto imagem 
da função f(x)?
Exemplo: Seja A o conjunto dos números Reais e f uma 
função de regra f(x) = x2 + 3. Calcule:
( )) ?a f a = ( )) ?b f a =−
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
3
3
3
f x x
f x
f
a a
a a
+
+
=
=
=
+
=
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
3
3
3
f x x
f
f a a
ax a
= +
=
− =
− = − +
+
Exemplo: Seja A o conjunto dos números Reais e f uma 
função de regra f(x) = x2 + 3. Calcule:
( ) ( )
( )
?)c f a f b =+ ( )) ?d bf a + =
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
3
3 3
6
3
f a f
f a a
f b b
f a f b
b a
a b
b
= +
= +
+
+ = +
= + + +
+
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
3
3
2 3
f x x
f x a b a
f a b a
b
ab b
= +
=
+ = + +
+ +=
+
+
Exemplo: Seja A o conjunto dos números Reais e f uma 
função de regra f(x) = x2 + 3. Calcule:
e) Quem é o conjunto imagem da função f(x)?
Repare que independentemente do valor de x, o menor
valor que a imagem da função f(x) assume é para x = 0
(calcule f(-2), f(-1), f(0), f(1) e f(2), e depois compare), ou
seja, a função f(x) assume qualquer valor Real maior ou
igual a 3. ( ) { }: | 3f x y R y∈ ≥
VARIÁVEIS:
“Se y é uma função de x, ou seja, y = f(x), x é 
conhecida como variável independente e y é conhecida como variável independente e y é 
conhecida como variável dependente de x”
FUNÇÃO CRESCENTE:
“Se o valor de uma função cresce quando o valor de x também cresce em 
um determinado intervalo, esta função é dita função crescente no intervalo. 
Quando a função cresce em todo o domínio ela é chamada função 
crescente”
F(x)
x
Intervalo crescente de x
A valor da 
Função cresce no 
intervalo 
crescente de x
FUNÇÃO DECRESCENTE:
“Se o valor de uma função diminui quando o valor de x cresce em um 
determinado intervalo, esta função é dita função decrescente no intervalo. 
Quando a função decresce em todo o domínio ela é chamada função 
decrescente”
F(x)
x
Intervalo crescente de x
A valor da Função 
decresce no 
intervalo crescente 
de x
FUNÇÃO CONSTANTE:
“Se o valor de uma função não muda em um determinado intervalo de x, 
esta função é dita função constante no intervalo. Quando a função é 
constante em todo o domínio ela é chamada função constante”
F(x)
x
Intervalo crescente de x
A valor da Função não 
muda no intervalo 
crescente de x
Exemplo: Seja o gráfico da função f(x) mostrado abaixo,
considere que o domínio de f seja todo o
conjunto dos números R. Identifique os intervalos
onde f é crescente ou decrescente:
0
20
40
60
80
100
120
140
-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15
Podemos ver na figura que no intervalo crescente
de x que vem do infinito negativo até o valor
imediatamente menor do que 5, a função
assume valor decrescente. A partir do valor de x
imediatamente maior do que 5, a função volta a
crescer. Então:
( ) em ,5Decrescente −∞
( ) em 5,Crescente ∞
FUNÇÃO PAR:
“Uma função par é aquela que, independente do valor de x 
no domínio, f(-x) = f(x). Quando uma função y = f(x) é par, o 
seu gráfico é simétrico em relação ao eixo dos y”
Exemplo: A função f(x) = x2 é par?
x f(x) (x, y)
-3 (-3)2 = 9 (-3,9)
-2 (-2)2 = 4 (-2,4)
-1 (-1)2 = 1 (-1,1) 5
6
7
8
9
10
-1 (-1)2 = 1 (-1,1)
0 (0)2 = 0 (0,0)
1 (1)2 = 1 (1,1)
2 (2)2 = 4 (2,4)
3 (3)2 = 9 (3,9) 0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
A função é par, pois, pela tabela, f(-x) = f(x) além do gráfico da função ser simétrico 
em relação ao eixo de y.
FUNÇÃO IMPAR:
“Uma função impar é aquela que, independente do valor de 
x no domínio, f(-x) = - f(x). Quando uma função y = f(x) é 
impar, o seu gráfico é simétrico em relação a origem”
Exemplo: A função f(x) = x3 é impar?
x f(x) (x, y)
-2 (-2)3 = -8 (-2,-8)
-1 (-1)3 = -1 (-1,-1) 0
2
4
6
8
10
-1 (-1)3 = -1 (-1,-1)
0 (0)3 = 0 (0,0)
1 (1)3 = 1 (1,1)
2 (2)3 = 8 (2,8)
A função é impar, pois, pela tabela, f(-x) = - f(x) além do gráfico da função ser 
simétrico em relação a origem.
-10
-8
-6
-4
-2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
FUNÇÃO NÃO PAR E NÃO IMPAR:
“Uma função não é par e não é impar é aquela que, não 
satisfaz as condições das funções par e impar. A maioria das 
funções matemáticas não é par nem impar”
Exemplo: Classifique a função f(x) quanto a par ou impar:
1( )
1
f x
x
=
−
( ) ( )?f a f a− = ( ) ( )?f a f a− = −
A função f(x) não é par
( ) ( )
1 1( )
1 1
1( )
1
f a
a
f a f
f a
a
a
a
−
− ≠
− = =
− − +
=
−
1 1( )
1 1
1( )
1
( ) ( )
f a
a a
a
a f
f
f
a
a
−
− = =
− − +
−
−
− ≠ −
=
−
A função f(x) não é par
nem impar, pois ela não
satisfaz as exigências de
função par nem as
exigências de função
impar.
FUNÇÕES LINEARESFUNÇÕES LINEARES
FUNÇÃO LINEAR:
“Função linear é qualquer função que assume uma expressão 
de primeiro grau, ou seja, f:x ����mx + b. As funções de 
primeira ordem assumem a forma de uma reta em sua 
representação gráfica”
Atenção: Se m = 0 a função não é considerada linear, e sim uma função 
constante. Estas funções assumem a forma de uma reta horizontal 
na sua representação gráfica.
COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA:
“O coeficiente angular de uma
reta (m) é definida como a
razão entre a variação vertical
y
y2
razão entre a variação vertical
e a variação horizontal da
reta.”
2 1
2 1
y y
m
x x
−
=
−
x
x1 x2
y1
y2 – y1
x2 – x1
COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA:
As funções lineares podem ser classificadas quanto a sua 
natureza crescente ou decrescente:natureza crescente ou decrescente:
a) Crescente: coeficiente angular positivo (aclive)
b) Decrescente: coeficiente angular negativo (declive)
Exemplo: Calcule o coeficiente angular das retas que passam pelos
pontos dados e classifique as retas:
a) A(5,3) e B(8,12) b) C(3,-4) e D (-5,6)
) (x , ) (5,3)a y = ) (x , ) (3, 4)b y = −1 1
2 2
) (x , ) (5,3)
 (x , ) (8,12)
12 3 9 3
8 5 3
0 reta crescente!
a y
y
m
m
==
−
= = =
−
> →
1 1
2 2
) (x , ) (3, 4)
 (x , ) ( 5,6)
6 ( 4) 6 4 10 5
5 3 8 8 4
0 reta decrescente!
b y
y
m
m
= −
= −
− − + −
= = = = −
− − −
< →
EQUAÇÃO DE UMA RETA:
Uma reta pode ser escritas de diversas maneiras. Entre as 
mais comuns estão:
1. Equação Reduzida: A equação da reta é definida pelo coeficiente angular m e
pelo valor da interseção da reta com o eixo dos y (b), gerando a equação: y =
mx + b
2. Equação Ponto-Angular: A reta pode ser definida por um ponto pertencente
a reta (xo,yo) e pelo coeficiente angular a reta, gerando a equação: y- yo = m(x
- xo)
Exemplo: Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (-6,4) e
tem o coeficiente angular m =
2
3
0 0( )y y m x x− = −
0 0
Usando o modo Ponto-angular:
(x , ) ( 6, 4)
2
3
y
m
= −
=
( )
0 0( )
24 ( 6)
3
2 6 4
3
2 10
3
y y m x x
y x
y
y x
x
=
− = −
− = − −
+
+
= +
RETAS PARALELAS:
y
b2
Se a reta 1 e a reta 2 são 
paralelas, m1 = m2.
x
b1
b2
1
2 2
1
Reta 
Reta 1: 
 2: y m
y m x
x
b
b=
+
+
=
“Duas retas são paralelas entre si quando seus coeficientes 
angulares são iguais”
Exemplo: Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto
(3,-8) e é paralela a reta 5x + 2y = 7.
5 72x y+ = Já que as retas são paralelas, os coeficientes angulares necessariamente devem ser iguais: 
2
5
2
7
2
57
5
2
y x
y x
m
=
= +
= −
−
−
necessariamente devem ser iguais: 
0 0
5( 8) ( 3)
2
5 158
2 2
( )y y m x x
y x
y x
− − = − −
+ = − +
− = −
5
5 15 8
2 2
5 15 1
1
2
6
2
2
2
y x
y x
y x= −
= − + −
= +
−
−
−
RETAS PERPENDICULARES:
Se a reta 1 e a reta 2 são 
perpendiculares, m1·m2 = –1
y
b2
1
2 2
1
Reta 
Reta 1: 
 2: y m
y m x
x
b
b=
+
+
=
perpendiculares, m1·m2 = –1
x
b1
Exemplo: Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto
(3,-8) e é perpendicular a reta 5x + 2y = 7.
5 72x y+ =
Já que as retas são perpendiculares, os coeficientes angulares 
necessariamente devem satisfazer a relação m1·m2 = –1:
1
2 7 5
5
2
5
7
2
2
y x
y
m
x
=
− +
= −
−
=
2
1
2
1
2
1 1
5
2
1
5
2
m
m
m
m
m
− −
= =
− 
 
 
−
=
⋅ = 0 0( )
2( 8) ( 3)
5
2 68
5
4
5 5
5
2 6
y x
y y m x x
y
y
x
x
=
− − = −
+ = −
−
− = −
FUNÇÕES QUADRÁTICASFUNÇÕES QUADRÁTICAS
FUNÇÃO QUADRÁTICA:
“Função quadrática é qualquer função que assume uma 
expressão do segundo grau, ou seja, f:x ���� ax2 + bx + c.” expressão do segundo grau, ou seja, f:x ���� ax2 + bx + c.” 
A forma ax2 + bx + c é conhecida como a forma canônica de uma 
função quadrática.
FUNÇÕES QUADRÁTICAS BÁSICAS
6
7
8
9
10
-3
-2
-1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
2y x= 2y x= −
PARÁBOLA COM ABERTURA PARA CIMA:
“Uma parábola apresenta a 
abertura, ou concavidade, para cima 
y
abertura, ou concavidade, para cima 
quando o coeficiente a é positivo, ou 
seja, quando a > 0.”
2( )f x ax bx c= + +
x
PARÁBOLA COM ABERTURA PARA BAIXO:
“Uma parábola apresenta a abertura, 
ou concavidade, para cima quando o 
x
ou concavidade, para cima quando o 
coeficiente a é negativo, ou seja, 
quando a < 0.”
2( )f x ax bx c= − + +
-y
FORMA DO QUADRADO COMPLETO:
“Qualquer função quadrática da forma ax2 + bx + c pode ser 
escrita na forma a(x ─ h)2 + k efetuando a operação ‘completando escrita na forma a(x ─ h) + k efetuando a operação ‘completando 
o quadrado’. Esta forma de apresentar uma função quadrática é 
muito importante na hora da análise da função a procura de 
informações importantes.”
Exemplo: Obter a forma do quadrado completo da função:
f(x) = 2x2 ─ 12x + 4
( )
2( ) 2 12 4f x x x= − + ( )2( ) 2 3 9 4f x x = − − + ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ){ }
2 2
2
2
2
22
 2 6 4
 2 2 4
 
3
3 3 3 2 2 4
 2 2 3 3 9 4
x x
x x
x x
x x
= − +
 = − + 
 + = − +
 
 = − + − +
 
−
( )
( )
2
2
 2 3 18 4
 ( ) 2 3 14xx
x
f
 
= − −
− −
+
=
Exemplo 2: Obter a forma do quadrado completo da função:
f(x) = 3x2 + 5x ─ 1
( )
2
2
( ) 3 5 4
5
 3 1
3
f x x x
x x
= + −
 
= + − 
 
25 25( ) 3 1
6 36
f x x  = + − −  
   
( )
2
2
2
2
2
2
5
5
2
 3 2 1
3
 3 2 1
5 5 25
 3 2
5
1
6 6 36
5
6 6 6
x x
x x
x x
  
  
= + −
   
   
  
= + −  
   
      
= + + − −     
   
+ −
     
  
  
 


2
2
5 25
 3
5 37
 ( ) 3
6 12
1
6 12
f x
x
x
 
= + − − 

 
= + − 
 

MÍNIMO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS:
“Quando uma função quadrática tem o 
coeficiente a positivo sua concavidade é 
2( )f x ax bx c= + +
para cima, então, ela apresenta um 
ponto de mínimo. O ponto de mínimo é 
quando y = k”
( )2( )f x a x h k= − +k
MÍNIMO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS:
F1(x)
F2(x)
F3(x)
F (x)
31 542K KK KK> > > >
F4(x)
F5(x)
Exemplo: A função f(x) = x2 + 4x ─ 7 apresenta ponto de
máximo ou de mínimo? Encontre este ponto.
2( ) 4 7f x x x= + −
a =1, ou seja, a > 0, então a função apresenta 
ponto de mínimo!
( )
( )
2
2
( ) 2 4 7
 2 4 7
f x x
x
 = + − −
 
= + − −ponto de mínimo!
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
2
2 22
22
( ) 4 7
 4 7
 2 2 2 2 7
 2 2 2 4 7
f x x x
x x
x x
x x
= + −
= + −
= + + − −
 
= + + − −
 
( )
( )
2
2
 2 4 7
( ) 2 11
x
f x x
= + − −
= + −
O ponto de mínimo é obtido quando y = 
k, ou seja, y = -11. Usando a função 
quando y = -11 � x = -2.
Ponto de minimo ( 2, 11)= − −´
MÁXIMO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS:
“Quando uma função quadrática tem o 
coeficiente a negativo sua concavidade é 
2( )f x ax bx c= − + +
k coeficiente a negativo sua concavidade é 
para baixo, então, ela apresenta um 
ponto de máximo. O ponto de máximo é 
quando y = k.”
( )2( )f x a x h k= − +
k
MÁXIMO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS:
31 542K KK KK> > > >
F1(x)
F2(x)
F3(x)
F4(x)
F5(x)
Exemplo: A função f(x) = 6x ─ x2 apresenta ponto de máximo
ou de mínimo? Encontre este ponto.
2( ) 6f x x x= −
a = -1, ou seja, a < 0, então a função apresenta 
ponto de máximo!
( ) ( )
( )
2
2
( ) 1 3 9
( ) 3 9
f x x
f x x
 = − × + −
 
= − + +ponto de máximo!
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
2
2 22
22
( ) 6
 1 6
 1 2 3 3 3
 1 2 3 3 9
f x x x
x x
x x
x x
= −
= − × −
= − × − + −
 
= − × + + −
 
( )( ) 3 9f x x= − + +
O ponto de máximo é obtido quando y
= k, ou seja, y = 9. Usando a função
quando y = 9� x = -3.
Ponto de maximo ( 3 , 9)= −´
Álgebra de FunçõesÁlgebra de Funções
COMBINAÇÕES ALGÉBRICA DE 
FUNÇÕES
“Sejam duas funções f(x) e g(x), podemos definir uma terceira 
função h(x) através operações algébricas elementares entre f(x) e função h(x) através operações algébricas elementares entre f(x) e 
g(x), como soma, diferença, produto e/ou quociente. Esta nova 
função pode apresentar particularidades no seu domínio, então é 
necessário uma análisepara determiná-lo.”
COMBINAÇÕES ALGÉBRICA DE FUNÇÕES
Operação Definição Domínio
Soma
O conjunto de todos os valores de x que 
pertencem aos domínios de f(x) e g(x).
Diferença
O conjunto de todos os valores de x que 
pertencem aos domínios de f(x) e g(x).
( ) ( )( ) ( ) ( )h x f g x f x g x= + = +
( ) ( )( ) ( ) ( )h x f g x f x g x= − = −
pertencem aos domínios de f(x) e g(x).
Diferença
O conjunto de todos os valores de x que 
pertencem aos domínios de f(x) e g(x).
Produto
O conjunto de todos os valores de x que 
pertencem aos domínios de f(x) e g(x).
Quociente
O conjunto de todos os valores de x que 
pertencem aos domínios de f(x) e g(x) com g(x)≠0.
Quociente
O conjunto de todos os valores de x que 
pertencem aos domínios de f(x) e g(x) com f(x)≠0.
( ) ( )( ) ( ) ( )h x g f x g x f x= − = −
( ) ( )( ) ( ) ( )h x fg x g x f x= =
( )( ) ( ) ( )
f f xh x x
g g x
 
= = 
 
( )( ) ( ) ( )
g g xh x xf f x
 
= = 
 
Exemplo: Sejam as funções f(x) = x² e g(x) = (x - 2)1/2, 
estabeleça o domínio das funções (f + g)(x) e (f ÷ g)(x).
( ) 12 2
( )( ) ( ) ( )
 2
f g x f x g x
x x
+ = +
= + −
2
( )( )( ) ( )
 
f xf g x
g x
x
÷ =
=
( )
{ }
2 2
2
 2
 2
 : / 2 
x x
x
D
x
x R x
= +
∈
−
= −
≥
+
{ }
2
2
 
2
2
2
 
 
 
 
2 2
2
 : / 2
 2
22
 
x
x
x x
x x
x x x
x
D
x
x
x
x R
=
−
−
= ×
− −
−
=
→ ≥ 
>
→ ≠ 
∈ >
−
FUNÇÃO COMPOSTA
“Sejam duas funções f(x) e g(x), é possível aplicar a função f(x) 
sobre a imagem de g(x), gerando a imagem de uma nova função, 
a função composta f ◦g (x)”a função composta f ◦g (x)”
g(x) f(g(x))
f◦g(x)
Domínio 
de g(x)
Imagem 
de g(x)
Imagem de 
f(g(x))
Exemplo: Sejam as funções f(x) = 3x - 8 e g(x) = 1 - x2, 
encontre f◦g(x) e defina o seu domínio.
( ) ( )( )
( )
( )
2
 1
f g x f g x
f x
=
= −
o
( ) ( )
{ } { }
23 8 1f x x g x x= − = −
( )
( ) ( )
( ) { }
2
2
2
2
 3 1 8
 3 3 8
 
3 5
:
3 5
f g x
f g x x
D x R
x
x
x
= − −
= − −
= −
+
−
= −
∈
o
o
( ) { } ( ) { }: :f x g xD x R D x R∈ ∈
Não existem restrições para os 
domínios de f(x) e g(x), então o 
domínio de f◦g(x) também não terá!
Exemplo: Sejam as funções f(x) = x² e g(x) = (1 – x)1/2, 
encontre f◦g(x) e defina o seu domínio.
( ) ( )( )
( ) 5
f g x f g x
f x
=
= −
o( ) ( )
{ } { }
2
 5
: : / 5
f x x g x x
D x R D x R x
= = −
∈ ∈ ≥ ( )
( )
( )
( ) { }
2
 5
 5
 
5
: / 5
5
f g x
f g x x
D x R x
f x
x
x
= −
= −
= −
∈ ≥
= −
o
o
( ) { } ( ) { }: : / 5f x g xD x R D x R x∈ ∈ ≥
Existem restrições para o domínio
g(x), então os domínio de f◦g(x) terá
a restrição do domínio de g(x)!
FUNÇÃO INJETORA
“Uma função de domínio D e Imagem I é dita Função Injetora se e 
somente se cada elemento do conjunto D corresponde a cada 
elemento do conjunto I. Ou seja, se existe no conjunto I dois 
elementos f(a) e f(b) iguais, então, necessariamente, no conjunto D, 
os elementos a e b são iguais. Da mesma forma, para quaisquer 
dois elementos distintos i e j pertencentes ao conjunto D, os 
elementos f(i) e f(j) pertencentes a I são diferentes”
Exemplo: Sejam as funções f(x) = x² e g(x) = 2x, estas 
funções são injetoras?.
( ) ( ) { }
( )
2
2
 :f xf x x D x R
f a a
= → ∈
=
( ) ( ) { }2 :g xg x x D x R= → ∈
Seja qualquer elemento k do conjunto
imagem de g(x), ou seja:( )
( ) ( )2 2
f a a
f a a a
=
− = − =
Já que f(a) = f(-a), existe na imagem da
função f(x) um elemento a² gerado por
dois elementos distintos do domínio, a
e -a, então esta função não é injetora!
imagem de g(x), ou seja:
g(x)
a k
( ) 2
 
2
g a a k
k
a
= =
=
Então, só existe um valor de a na qual o valor
da função f(x) = k, com isso a função é
injetora.
Funções Algébricas e VariaçãoFunções Algébricas e Variação
FUNÇÃO ALGÉBRICA
“É qualquer função cuja regra é um polinômios, ou qualquer 
função que pode ser obtida a partir de polinômios efetuando as 
operações de adição, subtração, multiplicação ou divisão. Também 
pode ser polinômios com potência inteira ou racional.”
2 2
2
12( ) 5 3 ( ) ( ) 3 ( ) 1f x x x g x h x x q x x
x
= − = = − = −
VARIAÇÃO
“O termo variação é usado para descrever muitas formas de 
dependência funcional simples. É empregado usualmente em 
variáveis, chamadas de variáveis dependentes. Estas variáveis 
dependentes são ditas como o resultado de mudanças de uma ao 
mais variáveis distintas, conhecidas como variáveis dependentes.”
VARIAÇÃO DIRETA
“Este tipo de variação é usada para descrever uma relação 
entre variáveis da forma y = k·x, onde y é uma variável 
dependente de x e k é dita como uma constante de 
proporcionalidade ou constante de variação. Ou seja:
1. y varia diretamente em termos de x;
2. y é diretamente proporcional a x.”
Exemplo: Uma variável p varia diretamente em função da
variável q, encontre uma expressão para p em
termos de q sabendo que quando p = 300, q = 12.
 p k q= ⋅ 
300 300
 
 
 300 12 
 
 25
12 12
 2 5
p k q
p
k k
p q
q
= ⋅
= 
=
=
⋅ → = =

⋅
=
VARIAÇÃO INVERSA
“Este tipo de variação é usada para descrever uma relação 
entre variáveis da forma x·y = k, onde y é uma variável 
dependente de x e k é dita como uma constante de 
proporcionalidade ou constante de variação. Ou seja:
1. y varia inversamente em termos de x;
2. y é inversamente proporcional a x.”
Exemplo: Uma variável s varia inversamente em função da
variável t, encontre uma expressão para s em
termos de t sabendo que quando s = 5, t = 8.
 s t k⋅ =
1
 
5
 5 8 40
8
 
404 0 40 s t
s t k
s s t
t
s
k k
t
ou ou −
⋅ =
= 
⋅ = → =
= 
⋅ = = = ⋅
VARIAÇÃO CONJUNTA
“Este tipo de variação é usada para descrever uma relação 
entre variáveis da forma z= k·x·y, onde z é uma variável 
dependente de duas variáveis independentes x e y. k é dita dependente de duas variáveis independentes x e y. k é dita 
como uma constante de proporcionalidade ou constante de 
variação. Ou seja:
1. z varia juntamente em termos de x e y;
2. z é diretamente proporcional ao produto x·y.”
Exemplo: Uma variável z varia conjuntamente em função
das variáveis x e y, encontre uma expressão para z
em termos de x e y sabendo que quando z = 3, x =
4 e y = 5 .
 z k x y= ⋅ ⋅ 
3
3 34 3 4 5 
4 5 20
5
 
3
20
z k x y
z
x
x
y
y
k k
z
= ⋅ ⋅
= 

= = ⋅
⋅
⋅ → = =
=
⋅
⋅

= 
Funções ExponenciaisFunções Exponenciais
FUNÇÃO EXPONENCIAL
“É qualquer função na qual a variável independente é um 
expoente. Uma função exponencial básica assuma a forma f(x) = expoente. Uma função exponencial básica assuma a forma f(x) = 
ax, a>0 e a≠1.”
21( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) 2
2
x
x x xf x g x h x q x− − = = = = 
 
PROPRIEDADES DE EXPOENTES
Considerando que a>0, b>0 e x e y podem assumir qualquer 
número real.númeroreal.
( )
( )
 
 
 
xx y x y x x
xx x
x y
y x
y
x x y
a a a a b a b
a a a
a
a b b
a a
+
−
⋅
⋅ = ⋅ = ⋅
 
= = 
 
=
JUROS COMPOSTOS
Quando um capital qualquer, ou valor presente VP, é investido a 
uma taxa de jurus anual j e estes juros são creditados n vezes ao 
ano, o valor futuro deste capital VF(t) será uma função do tempo t
e pode ser calculado pela fórmula:
( ) 1
ntjVF t VP
n
 
= + 
 
JUROS COMPOSTOS CONTÍNUOS
Quando um capital qualquer, ou valor presente VP, é investido a 
uma taxa de jurus anual j e estes juros são creditados 
continuamente, então, o valor futuro deste capital VF(t) será uma 
função do tempo t e pode ser calculado pela fórmula:
( ) jtVF t VP e= ⋅
CRESCIMENTO POPULACIONAL ILIMITADO
Se uma população, consistindo inicialmente de N0 indivíduos, tem 
um crescimento sem limites, o número de indivíduos desta 
população N(t) é uma função do tempo t, e pode ser calculada pela 
fórmula:
0( ) ktN t N e= ⋅
• k é uma constante de proporcionalidade que deve ser calculada para cada caso.
CRESCIMENTO POPULACIONAL LOGÍSTICO
Se uma população, consistindo inicialmente de N0 indivíduos, é 
crescente mas limitada a um número máximo de indivíduos Nmax, o 
número de indivíduos desta população N(t) é uma função do número de indivíduos desta população N(t) é uma função do 
tempo t, e pode ser calculada pela fórmula:
( )
0 max
0 max 0
( ) kt
N NN t
N N N e−
⋅
=
+ − ⋅
• k é uma constante de proporcionalidade que deve ser calculada para cada caso.
DECAIMENTO RADIOATIVO
Se no instante inicial (t=0), uma substância radioativa apresenta 
uma quantidade Q0, então a quantidade Q(t) desta substância uma quantidade Q0, então a quantidade Q(t) desta substância 
após um período de tempo t, pode ser calculada pela fórmula:
0( ) ktQ t Q e−= ⋅
• k é uma constante de proporcionalidade que deve ser calculada para cada caso.
Exemplo: Esboce o gráfico das funções f(x) = 2x e g(x) = 2 ─ x
e compare suas diferenças.
x f(x) g(x)
-3 = 2-3 = 1/8 = 2-(-3) = 8 8
9
( ) 2 xg x −= ( ) 2xf x =
-3 = 2 = 1/8 = 2 = 8
-2 = 2-2 = 1/4 = 2-(-2) = 4
-1 = 2-1 = 1/2 = 2-(-1) = 2
0 = 20 = 1 = 2-(0) = 1
1 = 21 = 2 = 2-(1) = 1/2
2 = 22 = 4 = 2-(2) = 1/4
3 = 23 = 8 = 2-(3) = 1/8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
Exemplo: Calcule a quantidade de rendimentos disponível após 7 anos de
rendimentos se R$ 1000,00 são investidos a uma taxa de juros de
5%. Assuma que a estes juros são capitalizados: a) anualmente; b)
trimestralmente; c) mensalmente; d) diariamente; e) continuamente.
a) Anualmente: VP=1000,00; j = 5%; t = 7; n = 1 b) Trimestralmente: VP=1000,00; j = 5%; t = 7; n = 4
( )
1 7
7
5
100(7) 1000 1
1
(7) 1000 1,05
(7) 1.407,10
Rendimento = = R$ 407,10
VF
VF
VF
VF VP
×
  
  
  = +
 
 
 
=
=
−
( )
4 7
28
0,05(7) 1000 1
4
(7) 1000 1,0125
(7) 1.415,99
Rendimento = VF-VP = R$ 415,99
VF
VF
VF
×
 
= + 
 
=
=
Exemplo: Calcule a quantidade de rendimentos disponível após 7 anos de
rendimentos se R$ 1000,00 são investidos a uma taxa de juros de
5%. Assuma que a estes juros são capitalizados: a) anualmente; b)
trimestralmente; c) mensalmente; d) diariamente; e) continuamente.
c) Mensalmente: VP=1000,00; j = 5%; t = 7; n = 12
( )2555
d) Diariamente:
( )
12 7
84
0,05(7) 1000 1
12
(7) 1000 1,004167 1.418,04
Rendimento = = R$ 418,04
VF
VF
VF VP
×
 
= + 
 
= =
−
( )2555(7) 1000 1,000137 1.419,03
Rendimento = VF -VP = R$ 419,03
VF = =
365 7
d) Diariamente: VP=1000,00; j = 5%; t = 7; n = 365
0,05(7) 1000 1
365
VF
×
 
= + 
 
0,05 7
e) Continuamente: VP=1000,00; j = 5%; t = 7; 
(7) 1000
(7) 1.419,07
Rendimento = = R$ 419,07
VF e
VF
VF VP
×
= ⋅
=
−
Funções LogarítmicasFunções Logarítmicas
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
“É a função inversa da função exponencial, ou seja se f(x) = ax
f ─1(x) = logax. O logaritmo de x na base a é o expoente ao 
qual a deve ser elevado para se obter x, ou seja se x = ay, y = 
loga x”
4
2
3
10
: 2 16 log 16 = 4
 10 1000 log 1000 = 3
Se = →
= →
RELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E 
EXPONENCIAIS
loglog a a xxa x x= =loglog a a xxa a x x= =
3
5 10 10
3 4 6
5 10 10 2 2
log 3 log 1000 log 10 3
log 5 3 log 10000 log 10 = 4 log 64 log 2 = 6
 5 3 2 2 2 8 
= = =
= = = =
PROPRIEDADES DE LOGARÍTMOS
Considerando que M e N são números reais positivos.
log 1 0 log 1a= =
( ) ( )
log 1 0 log 1
log log M + log N log log M
 log log M log N
a a
n
a a a a a
a a a
a
M N M n
M
N
= =
⋅ = =
 
= − 
 
Exemplo: Calcule a) log5 1 b) logn n c) log6 6x
d) log6 x6 e) log1/2 2x
( )05 5 5 0) log 1 log 5 = 0 log 5 0 1 = a = ⋅ = ⋅( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
6
6
5 5 5
4
6 6 6
6
1
2
6
1 1 1 1
2 2 2 2
1
1 log
6log
b) log 4
) log 6 log 6 log
) log
1) log 2 log log log 2 g1
2
1 lo
x
x
c x x
d x
xd x x x
=
= + =
=
 
 = = − − +=
+
 
 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ESPECIAIS
• log10 x é abreviado como log x (logaritmo);• log10 x é abreviado como log x (logaritmo);
•loge x é abreviado como ln x (logaritmo natural ou logaritmo neperiano);
e = 2,71828... É conhecido como o número de Euler.
Equações Exponenciais e 
LogarítmicasLogarítmicas
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
“São equações que envolvem uma variável em um expoente. O 
passo crucial para resolver equações exponenciais geralmente é 
determinar o logaritmo de ambos os lados de uma base 
apropriada, comumente 10 ou e”
Exemplo: Resolva ex = 2
 2xe =
( ) ( )
( )
 2
ln ln 2
 
 
 ln 2
 0,693
xe
x
e
x
≈
=
=
=
EQUAÇÕES LOGARÍTMICA
“São equações que envolvem o logaritmo de uma variável ou 
expressão variável. O passo crucial para s resolver equações 
logarítmicas geralmente é reescrever a expressão logarítmica logarítmicas geralmente é reescrever a expressão logarítmica 
em forma exponencial. Se mais que uma expressão 
logarítmica ocorra, elas podem ser combinadas em apenas 
uma pelo uso das propriedades de logaritmos.”
Exemplo: Resolva Log2(x ─ 3) = 4
( )2log 3 4x − =( )
( )2
2
log 3 4
 2 2
 3 16
 1 9 
x
x
x
−
=
=
− =
FORMULA DE MUDANÇA DE BASE
“Expressões logarítmicas podem ser reescritas em termos de 
outras bases por meio da fórmula de mudança de base:
loglog
log
b
a
b
x
x
a
=
Exemplo: Encontre uma expressão, em termos
de logaritmo natural, para log510 e
depois calcule um valor aproximado.
5 5
lnlog log 0,621 ln
ln 5
x
x x x= → = ×
5log 10 0,621 ln10 1,431= × =
Funções TrigonoméricasFunções Trigonoméricas
O CÍRCULO UNITÁRIO
Seja um círculo de raio 1, centrado na
y
(0,1)
origem (0,0). Dizemos que o seu
comprimento mede 2π radianos, e a
partir dele, podemos definir todas as
funções trigonométricas e suas
propriedades.
X
(1,0)(-1,0)
(0,-1)
O CÍRCULO UNITÁRIO
θ = 90° = pi/2 rad
θ = ?
θ θ = 0° = 360° = 2pi radθ = 180° = pi rad
θ = 270° = 3pi/2 rad
(0,1)
FUNÇÃO SENO E COSSENO
A definição da função seno é a projeção
no eixo dos y da hipotenusa do
triangulo formado pela distância de