APOSTILA DE MATEMÁTICA EJA - ENSINO MÉDIO (COMPLETO)

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APOSTILA DE MATEMÁTICA 
(NÍVEL MÉDIO) 
 
Curso/ Nível: Eja – Nível Médio – 1°, 2° e 3° 
Nr° de encontros: 08 
Modalidade: Supletivo Médio 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR: WERBETH CUNHA DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇAILANDIA – MARANHÃO 
2020 
 
 
 
WERBETH CUNHA DA SILVA 
 
 
 Especialista em Metodologia do Ensino da Matemática pela FAEL. 
 Licenciado em Matemática pela Universidade Paulista. 
 Professor da rede pública de ensino nos Ensinos Fundamental e Médio. 
 Profissional Técnico Mecânico pelo (SENAI) com experiência profissional em 
Manutenção Mecânica Industrial em companhias siderúrgicas, indústria química, papel e 
celulose, fábricas cimenteiras e prestação de serviços industriais. 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
1. CONJUNTOS ......................................................................................................................... 4 
2. CONJUNTOS NUMERICOS ................................................................................................. 8 
3. RELAÇÕES .......................................................................................................................... 10 
4. FUNÇÕES ............................................................................................................................. 11 
5. LOGARITMO ...................................................................................................................... 18 
6. PROGRESSOES ................................................................................................................... 19 
7. TRIGONOMETRIA ............................................................................................................ 21 
8. ANÁLISE COMBINATÓRIA ............................................................................................ 24 
9. PROBABILIDADE .............................................................................................................. 25 
10. PORCENTAGEM .............................................................................................................. 27 
11. ESTATÍSTICA ................................................................................................................... 28 
12. GEOMETRIA ANALÍTICA ............................................................................................. 30 
13. MATRIZES ......................................................................................................................... 37 
14. NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................................... 48 
15. POLINOMIOS .................................................................................................................... 56 
16. EQUAÇOES POLINOMIAIS ........................................................................................... 62 
 
1. CONJUNTOS 
 
1.1 TEORIA DE CONJUNTOS 
 
Em matemática a teoria dos conjuntos é utilizada basicamente para estudar e descrever o 
agrupamento de elementos. A noção intuitiva deste estudo permite uma interpretação mais 
abrangente de alguns problemas elementares envolvendo coleções, grupos, classes, categorias 
etc. Para entender estes conceitos é necessário definir alguns elementos crucias, tais como: 
 
CONJUNTO 
É toda coleção de objetos, números, nomes, cidades, letras e etc. 
Exemplo: 
 
 
 
Fonte: internet 
 
Imagine um carrinho de supermercado, que pode estar cheio de produtos ou vazio esse 
carrinho pode ser entendido como um conjunto, da mesma forma que determinada prateleira 
deste mesmo supermercado representam um conjunto de algo a ser exposta a venda neste 
estabelecimento comercial. 
 
ELEMENTO 
É todo objeto que faz parte de determinado conjunto. 
Exemplo: 
Tomemos o exemplo anterior do carrinho de supermercado, sabemos que o carrinho 
representa o conjunto de algo, neste caso cada objeto que está dentro do carrinho é chamado de 
elemento do conjunto denominado “carrinho de supermercado” de igual modo cada item da 
prateleira deste supermercado é denominado elemento do conjunto “prateleira”. 
 
REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
A notação representativa mais usual para conjunto é dada por uma letra maiúscula, e cada 
elemento que faz parte do conjunto é colocado entre chaves e separado por vírgula. 
11°°AANNOO A– UAULLAA0101 
Observe os exemplos: 
 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
Observe que o conjunto A é finito, pois todos os seus elementos podem ser contados, ou 
seja, sabemos que todos os elementos desse conjunto estão sendo representados pelos números 
naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5 e apenas estes, já o conjunto B é infinito, pois não podemos contar todos 
os seus elementos. 
Uma representação muito importante denominada lei de formação aplicada na teoria dos 
conjuntos define que os elementos de um conjunto podem ser anunciados por uma lei, ou 
condição que define critérios das quais estão sujeitos para fazer parte deste determinado 
conjunto, veja os exemplos: 
 
A = {x | x é um número maior que 2 e menor do que 7} 
 
Note que a lei de formação estabelece que os elementos desse conjunto será um número x tal 
que satisfaça a condição de ser um número maior que 2 e menor do que 7. Desta forma 
podemos concluir que os números 3, 5, 6 são os elementos desse conjunto. 
 
Outra situação: 
 
B = {x | x é par} 
 
Para este caso a condição de existência estabelece que os elementos do conjunto B deve 
ser um número x qualquer que seja par. Podemos então extrair a seguinte conclusão: B = {0, 2, 
4, 6,...}. 
Outra forma de representar conjunto não menos importante é a representação por meio de 
diagramas, conforme ilustra a seguir: 
 
 
 
OS NÚMEROS NATURAIS E A RETA NUMÉRICA 
Um conjunto muito importante na matemática que merece nossa atenção é o conjunto dos 
números naturais, cuja representação se dá pela letra maiúscula N, o mesmo é constituído 
basicamente pelos números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... além de ser amplamente utilizado para 
contar coisas, quantificar subconjuntos e estabelecer algumas importantes relações 
matemáticas. 
Por meio dos números naturais podemos estabelecer algumas considerações importantes no 
nosso estudo, como por exemplo, descrever o conjunto através de uma reta horizontal, onde 
cada número natural é representado pelos pontos sobre esta mesma reta como veremos a seguir: 
 
Fonte: Internet 
 
Esta forma de representação em reta numérica é largamente empregada em estudos mais 
detalhados de análise de plano cartesiano, além de alguns conceitos inerentes a geometria que 
mais adiante no nosso curso de ensino médio será abordado. Vale destacar que a reta numérica 
não se limita a representar apenas os números naturais, mas também toda a ideia por trás dos 
conjuntos numéricos como um todo, favorecendo a didática de algumas demonstrações na 
matemática básica. 
 
RELAÇOES ENTRE ELEMENTOS E CONJUNTOS 
 
Os elementos que compõem um conjunto possuem algumas relações que estabelecem 
certas características associadas entre si ou a outro conjunto. A seguir veremos cada uma destas 
relações com mais riqueza de detalhes: 
Relação de Pertinência: estabelece o conceito de que determinado elemento pertence ou não 
pertence ao determinado conjunto. Para facilitar o entendimento veremos o exemplo a seguir: 
Exemplo: 
 
B = {a, b, c, d} 
 
Logo, 
a e b (são elementos integrantes do conjunto B, ou seja, pertence ao conjunto B). 
w e y (não fazem parte do conjunto B e obviamente não pertence ao conjunto B). 
 
IMPORTANTE! Quando um elemento pertence ou não pertence ao conjunto em questão 
podemos utilizar alguns símbolos para afirmar tal sentença, como: a ∈ B para indicar que o 
elemento a pertence ao conjunto B (leia-se “a pertence a B”). Assim como, a ∉ B para 
indicar que a não pertence a B (leia-se “a não pertence a B”). 
 
Relação de inclusão: como o próprio nome da relação já declara, este conceitodiz respeito a 
inclusão ou não inclusão de um elemento para determinado conjunto. Se todos os elementos 
de um conjunto B também são elementos do conjunto C, então B é um subconjunto de C. 
Exemplo: 
 
B = {a, e, i, o, u} 
C = {a, e, i, o, u, w, x, y, z} 
D = {k, l, m, n} 
Logo, 
 
B ⊂ C (leia-se B está contido em C, ou seja, todos os elementos que fazem parte de B estão 
em C). 
D ⊄ C (leia-se D não está contido em C, ou seja, todos os elementos do conjunto D são 
diferentes dos elementos do conjunto C). 
 
IMPORTANTE! Quando todo elemento de um conjunto B também é elemento de um 
conjunto C, podemos dizer que B é subconjunto de C. 
 
Conjunto unitário: é todo conjunto que possui apenas um elemento, não importa qual seja 
basta que seja apenas um elemento dentro desse conjunto. 
 
 
 
Conjunto vazio: como o próprio nome sugere este conjunto recebe este nome por não possuir 
elementos, sendo representado em linguagem simbólica por { } ou Ø. 
 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
União de conjuntos: representada pela letra maiúscula (U), corresponde a união dos elementos 
de dois conjuntos, caso exista elementos repetidos ele aparecerá uma única vez no conjunto 
união. Tomemos como exemplo um conjunto A e outro conjunto B, desta forma a união de 
ambos será representada por: 
A U B (leia-se A união B) 
 
Intersecção de conjuntos: a intersecção é o conjunto formado pelos elementos comuns a 
união de dois conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo (∩). Considere a união de um 
conjunto A e outro B, a intersecção é dada por: 
 
A ∩ B (leia-se A intersecção B) 
 
 
 
Diferença de conjuntos: a diferença entre dois conjuntos corresponde aos elementos que 
pertencem a A mas não pertencem a B. 
 
A – B (Leia-se: a diferença entre A e B) 
 
 
 
2. CONJUNTOS NUMERICOS 
 
2.1 NÚMEROS REAIS 
 
Os números reais representados pela letra maiúscula R fazem parte de um conjunto que 
engloba quatro outros conjuntos menores que inclui os: 
 Números naturais (N): N = {0, 1, 2, 3,...} 
 Números Inteiros (Z): Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 Números Racionais (Q): Q = {..., 1/2, 4/3, -5/4,...} 
 Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3, √7,...} 
 
É importante destacar que a união deste conjunto pode ser expressa pela seguinte expressão 
simbólica: 
R = N U Z U Q U I 
Onde: 
 
 
 
 
2.2 A RETA REAL 
 
Considere uma reta onde a partir de uma origem seja definida alguns valores por meio de 
pontos localizados da esquerda para a direita em ordem crescente e sentido positivo, note que 
esta reta pode muito bem representar um conjunto conhecido por nós denominado conjunto dos 
números naturais, conforme a imagem abaixo: 
 
 
 
Perceba que a partir desta reta podemos estabelecer outros valores que correspondem a 
outros conjuntos numéricos como o conjunto dos números inteiros (Z) que por sua vez tem a 
seguinte reta: 
 
Desta forma fica evidente que também é possível representar uma reta mais completa 
representada pelo conjunto real conforme a seguir: 
 
 
2.3 INTERVALOS 
 
Os intervalos são subconjuntos de R determinados por desigualdades. O contexto em que 
se inserem os intervalos é observado com mais cautela no estudo de inequações, onde se faz 
necessário estabelecer subconjuntos na solução dos problemas. Seja a e b dois números reais, 
com a < b, podemos definir os seguintes intervalos limitados a estes extremos a e b: 
Intervalo aberto nos extremos a e b: 
]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b} 
Intervalo fechado nos extremos a e b: 
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita nos extremos a e b: 
[a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} 
 
 
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita nos extremos a e b: 
]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} 
 
 
3. RELAÇOES 
 
3.1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL DE COORDENADAS 
 
O sistema cartesiano ou como é comumente denominado apenas de plano cartesiano 
representa um sistema de coordenadas constituído de dois eixos x e y perpendiculares entre si e 
que se cruzam na origem. O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (Y) e o eixo 
horizontal e chamado de eixo das abscissas (X). 
 
 
 
3.2 PRODUTO CARTESIANO 
2 4 
3 6 
4 8 
1° ANO – AULA 2 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, podemos definir o produto cartesiano entre A e B 
por meio da multiplicação entre seus pares ordenados (x, y). Desta forma podemos estabelecer 
a seguinte relação: 
A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B} 
Exemplo: Dados A = { a, b, c} e B = {2, 3, 4}, o produto cartesiano de A x B terá 9 pares 
ordenados definidos por: 
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)} 
 
3.3 RELAÇÃO BINÁRIA 
 
Para definir o que seria uma relação binária no estudo do plano cartesiano podemos pensar 
que é um produto cartesiano que possui uma propriedade definida. 
R = {(x, y) ∈ A x B | ρ (x, y ) é verdadeira} 
Exemplo: 
 
A = {1, 3, 4} e B = {3, 6, 8} 
A x B = {(1, 3), (1, 6),(1, 8),(3, 3),(3, 6)(3, 8),(4, 3),(4, 6),(4, 8)} 
R = {(a, b) ∈ A x B y = 2x} ⇒ R = {(3, 6); (4, 8)} 
 
Graficamente teremos o seguinte resultado: 
 
 
 
4. FUNÇÕES 
 
4.1 NOÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÃO 
 
Dados os conjuntos A = { 2, 3, 4} e B = { 4, 6, 8}, associar cada elemento de A em B: 
 
A B 
Para que a relação entre os conjuntos acima seja função é necessário seguir alguns 
critérios práticos estabelecidos a seguir: 
1 – Todo elemento de A deve ter um único correspondente em B. 
 
2- De cada elemento de A deve sair uma única flecha correspondente em B 
 
4.2 LEI DE CORRESPONDENCIA DE UMA FUNÇÃO 
 
Para elucidar a definição da lei de correspondência de uma função tomemos o diagrama 
e os conjuntos dados na secção 4.1 onde A = {2, 3, 4) e B = {4, 6, 8}, observe que podemos 
estabelecer aqui uma lei aplicada no conjunto A de forma que obtenhamos o conjunto B da 
seguinte forma: 
Lei de correspondência: “Associar cada elemento de A ao seu dobro em B.” 
 
Observe que se multiplicarmos cada elemento do conjunto A por dois (que representa o seu 
dobro) obteremos o conjunto correspondente em B. 
4.3 FUNÇÃO DE VARIÁVEL REAL 
 
Uma função pode ser entendida como uma aplicação entre conjuntos numéricos e 
procura descrever o comportamento numérico que podem ser representados por meio de 
gráficos tomando como partida o plano cartesiano. Através do gráfico de uma função é possível 
estudar a trajetória das notações e demonstrar algumas propriedades. 
A notação de uma função pode ser expressa pela seguinte relação: 
 
f: A → B 
 
Onde, A é o domínio e B é o contradomínio da função. 
 
Dentre as diversas formas de se representar uma função tem algumas que talvez sejam as mais 
usuais como: 
 
y = ax + b 
f(x) = ax +b 
Uma função real de variável real é uma função em que os elementos do conjunto de 
partida e os do conjunto de chegada são números reais, ou seja, fazem parte do conjunto R. 
Exemplos: 
 
f(x) = x + 2, f(x) = x
2
 + 2x + 7 
4.4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO 
 
Para construir o gráfico de uma função existem diversas maneiras entre as quais, basta 
tomar alguns pontos conhecidos relacionados aos pares ordenados ou ainda conhecer a lei de 
formação da função onde podemos atribuir valores para as variáveis e encontrar os pontos 
correspondentes no gráfico. 
x y 
0 1 
1 3 
2 5 
3 7 
 
A (0,1) 
Veja um exemplo: 
 
Considere a seguinte função: f(x) = 2x + 1, construa o gráfico desta função: 
 
Solução: como exercício fornece apenas a função propriamente dita, podemos resolver 
atribuindo alguns valores para x de forma a obter a imagem y no gráfico desta função, veja a 
seguir: 
 
 
 
 
4.5 RECONHECENDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
Para saber se determinado gráfica corresponde a uma função é bem simples, basta 
lembrar que todos os elementos do domínio estão associados a um único elemento do 
contradomínio, ou seja, cada elemento do domínio tem apenas uma imagem. 
Exemplos: 
 
a) 
 
Observe que para cada elemento dodomínio existe apenas uma imagem correspondente no 
gráfico, logo é função. 
b) 
D (3,7) 
C (2,5) 
B (1,3) 
 
 
 
 
Veja que neste gráfico um único domínio gerou duas imagens distintas, logo podemos 
concluir que não é uma função. 
 
 
4.6 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU 
 
Uma função f: R→R chama-se função de 1° grau quando existem dois números reais a e b tal 
que f(x) = ax + b, para todo x ∈ R. É importante saber que o número a é chamado de 
coeficiente angular e representa a taxa de decrescimento da função e a inclinação do gráfico. 
Já o numero b é chamado de coeficiente linear e representa exatamente onde no gráfico corta o 
eixo y. 
Exemplos de funções deste tipo: 
 
a) f(x): 3x + 1 b) f(x): 3-2x 
 
Onde a = 3 e b = 1 Onde a = -2 e b = 3 
 
Zero ou raiz da função: chama-se zero ou raiz da função f(x) = ax +b o número real x tal que 
f(x) =0, ou seja, basta resolver a equação ax + b = 0 para determinar a raiz. 
Exemplo: determine a raiz da seguinte função de 1° grau f(x) = 3x + 2 
Solução: 3x + 2 = 0 
3x = 2 
 
X = -2/3 → raiz 
 
Gráfico de uma função de 1° grau: o gráfico de uma função da forma f(x) = ax +b é sempre 
uma reta. 
Exemplo: Determinar o gráfico da função f(x) = 2x +3. 
 
 
 
 
Função constante: É uma função onde qualquer que seja o elemento do domínio eles sempre 
terão a mesma imagem e ao variar x encontramos sempre uma constante em y. É importante 
descrever que a notação deste tipo de função é dada por f(x) = 0x + b, note que a = 0 e b = R. 
Exemplo: Determine o gráfico da função de f: R → R, f(x) = 2. 
 
 
 
4.7 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Definição: Uma função f: R → R chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c 
com a ≠ 0, tal que f(x) = ax
2
 + bx + c para todo x ∈ R. 
Exemplo: f(x) = 3x2 -4x + 2 
Onde, a= 3, b = -4, c = 2 
 
Gráfico: O gráfico de uma função quadrática, f(x) = ax
2
 + bx + c, é uma curva chamada 
parábola. 
Exemplo: f(x) = x
2
 – 2x – 3 
 
 
 
Zeros da função quadrática: Chama-se zero ou raiz da função quadrática f(x) = ax
2
 + bx + c 
o número real tal que f(x) = 0. Basta resolver a equação ax
2
 + bx + c = 0, encontrar as duas 
raízes que obteremos como solução, para isto podemos utilizar de uma fórmula muito 
conhecida da matemática chamada Bhaskára. 
Fórmula de Bhaskára: 
 
 
 
Vértice da parábola: As coordenadas do vértice são 
fornecidas pelas fórmulas 
 
Valor máximo e Valor mínimo: Em determinadas situações é necessário descobrir quais os 
valores de máximo e mínimo que uma função quadrática assume. Nestes casos para descobrir 
estes dados, basta analisar o gráfico ou resolver primeiro a equação, descobrir seus vértices e 
depois verificar para quais valores x e y assumem para máximo e mínimo. 
Seja f: R → R uma função quadrática dada por f(x) = ax
2
 + bx + c, e considere V (xv yv) o 
vértice da parábola correspondente ao gráfico de f. 
Se a > 0, então V é chamado de ponto de mínimo do gráfico de f e yv é o valor mínimo de f. 
Se a < 0, então V é chamado de ponto de máximo do gráfico de f e yv é o valor máximo de f. 
 
4.8 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Antes de iniciarmos nosso estudo de funções exponenciais vamos relembrar alguns 
conceitos e propriedades das potencias, pois será de extrema necessidade dominar este tema 
antes de navegar na definição de função exponencial, sendo assim: 
Potenciação: 
 
Definição: a ∈ R, n ∈ N onde a
n
 = a. a. a. a 
Propriedades: 
 
Agora que recordamos os conceitos de potenciação, vamos conhecer de perto a definição de 
função exponencial a seguir: 
Definição : Seja um número real a (a> 0 e a ≠ 0) denomina-se função exponencial de base “a” 
a função f: R→ R
*
+ definida por f(x) = a
x
. Onde a é a base e x a variável. 
Vale a ressalva que: a base a, jamais será: 
1 – Um número negativo. 
2 – Um número igual a zero. 
3 – Um número igual a 1. 
Exemplos de funções exponenciais: 
a) f(x) = 2x b) f(x) = 3
x
 c) f(x) = (½)
x
 
 
 
Gráfico da função exponencial: 
 
A base a da função exponencial f(x) = a
x
 é um número a > 0 e a ≠ 1. Construir o 
gráfico f(x) = 2
x
 
 
 
 
 
 
Equação exponencial: são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Uma das 
maneiras de resolve- las é transforma-las em igualdade de potencias de mesma base. 
Exemplo: Resolva a equação exponencial 3
x+1
 = 81. 
Solução: 
5. LOGARITMO 
 
No estudo das equações exponenciais, tratamos de casos em que podíamos reduzir as potencias 
a mesma base. Veja: 
12°°AANNOO A– UAULLAA0103 
2
x
 = 8 → Solução: 2
x
 = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3 
Mas e quando não conseguimos igualar as bases? Como resolver? Veja o exemplo a seguir: 
 
2
x
 = 3 
Para este exercício especifico, podemos resolver por meio de logaritmos, mas o que é 
logaritmo? 
Definição: Sejam a e b números reais e positivos, com a ≠ 1, então: 
 
Condição de existência: existem algumas restrições para que seja definido um logaritmo, dentre 
as quais: 
1 – A base deve ser (a > 0 e a ≠ 1). 
2 – O logaritmando deve ser (b > 0). 
Propriedades: 
 Logaritmo de um produto: O logaritmos de um produto é igual a soma de seus 
logaritmos: 
loga (b.c) = loga b + loga c 
 Logaritmo de um quociente: O logaritmo de um quociente é igual a diferença dos 
logaritmos: 
loga = logab - loga c 
 Logaritmo de uma potencia: O logaritmo de uma potencia é igual ao produto dessa 
potencia pelo logaritmo: 
loga b
m
 = m . loga b 
 
 
6. PROGRESSOES 
 
6.1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A) 
 
Uma P.A é uma sequencia na qual cada termo (a partir do 2°) é igual ao anterior somado a uma 
constante chamada razão. 
Exemplos de P.A: 
 
a) (5, 7, 9, 11,...) 
 
Note que cada número desta sequencia a partir do segundo é acrescido de + 2 unidades. 
b) (12,9, 6, 3, 0) 
Note que cada número desta sequencia a partir do segundo é acrescido de + (- 3) unidades. 
Calculo da razão de uma P.A: para calcular a razão utiliza-se a seguinte formula: 
R = an +1 - an 
Exemplo: R = 13 – 5 = 8 
 
Fórmula do termo geral: é utilizada para descobrir um termo qualquer em uma sequencia 
numérica que se configura como um P.G. Veja a seguir: 
an = a1 + (n – 1) . R 
 
Onde: 
 
an = Termo qualquer 
a1 = Primeiro termo da sequencia 
n = posição do termo 
R = razão 
 
Exemplo: calcular o 23° termo da sequencia (3, 7, 11,...) 
 
R = 7 – 3 = 4 → a23 = a1 + (23 – 1) . 4 
a23 = 3 + 22 . 4 
a23 = 91 
Formula da soma dos n primeiros termos de uma P.A: 
 
Sn = (a1 + an)/2 . N 
 
 
6.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Definição: uma progressão geométrica é uma sequencia (de elementos não nulos) na qual cada 
termo, a partir do 2° é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão. 
Exemplo de P.G: 
A) (2, 4, 8, 16,...) 
Formula do termo geral de um P.G: 
 
 
Onde, 
 
an = Termo geral 
a1 = primeiro termo da sequencia 
q = razão 
 
n = posição do termo 
 
an = a1 . q
n-1
 
 
Exemplo: dada a P.G (2, 6, 18,...), calcular o 8° termo desta sequencia. 
 
q = 6/2 = 3 an = a1 . q
n-1
 
a8 = 2 . 3
7
 
a8 = 4374 
Formula da soma dos n primeiros termos de uma P.G: 
 
Sn = a1 . (q
n
 - 1/q - 1) 
 
 
7. TRIGONOMETRIA 
 
É a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os lados e os ângulos 
dos triângulos. É fundamental entender que o estudo da trigonometria não se resume apenas a 
aplicação do teorema de Pitágoras, mas a uma serie de medidas de lados e ângulos. 
 
 
Circunferência trigonométrica: 
 
Radiano: refere-se como a medida de um aro cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência e mede aproximadamente 57,3°. Sabendo que em graus uma volta completa 
mede 360°, podemos estabelecer uma relação importante entre radiano e grau de forma a obter 
uma formula de conversão de medidas conforme segue abaixo: 
Sendo o ângulo de 180° 1π, então este mede, aproximadamente 3,14R. Assim, 
 
 
 O comprimento do arco de raio r pode ser determinado como: 
 
 
 A circunferência trigonométrica é uma representação gráfica que ajuda no cálculo das 
razões trigonométricas. Como está representado abaixo, o Seno corresponde ao eixo vertical (y). Logo, o 
Cosseno corresponde ao eixo horizontal (x). 
 
 
 
Ângulos Notáveis 
Chamamos de ângulos notáveis, aqueles que mais se mostram no cálculo da trigonometria. 
Estes ângulos 30°, 45° e 60°; podem representar as razões trigonométricas de um ângulo 
qualquer da circunferência. 
 
 
Relação fundamental da Trigonometria 
 
 
Quaisquer triângulos 
Lei dos Senos: A medida dos lados dos triângulos é diretamente proporcional aos Senos dos 
respectivos ângulos opostos. A constante é igual à medida do diâmetro da circunferência 
circunscrita de um triângulo qualquer (que não possui um ângulo de 90°). Assim, para um 
triângulo ABC de lados a, b e c, podemos representar como: 
 
 
Lei dos Cossenos: Em qualquer triângulo, podemos calcular como o quadrado da medida de um 
dos lados, o resultado é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados restantes, subtraída 
pelo dobro do produto da medida desses lados pelo Cosseno do ângulo formado por eles. 
Fórmula: 
 
 
Podemos também, a partir da lei dos cossenos, obter as seguintes relações entre os lados e os 
ângulos de um triângulo. 
 
 
 
8. ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de 
grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas 
circunstâncias. Nesses grupos é possível realizar a análise das possibilidades e combinações. 
 
Caso queira, por exemplo, saber quantos números de quatro algarismos são formados 
com os algarismos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, pode se utilizar das propriedades da análise 
combinatória. Uma mulher possui cinco vestidos, quatro shorts, três casacos e cinco pares de 
sapatos. De quantos modos diferentes ela poderá se vestir? Esses e outros problemas podem ser 
resolvidos por meio da análise combinatória. 
Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, 
postula que: 
 
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as 
possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número 
total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”. 
 
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções 
entre as escolhas que lhe são apresentadas. 
Exemplo 
2° ANO – AULA 4 
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão 
incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de 
sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como 
opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem 
quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de 
baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode 
escolher o seu lanche? 
Solução 
 
Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de 
possibilidades, conforme ilustrado abaixo: 
 
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de 
lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis. 
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as 
diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, 
bebidas e sobremesa. 
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24 
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção. 
 
9. PROBABILIDADE 
 
Probabilidade é o ramo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos 
aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. 
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência 
dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados 
antecipadamente. 
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um 
valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da 
sua ocorrência. 
Experimento aleatório: Experimentos aleatórios são os fenômenos que apresentam resultados 
imprevisíveis quando repetidos, mesmo que a repetição seja feita sob as mesmas condições. 
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados 
diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso. 
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma 
distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza 
qual das 6 faces estará voltada para cima. 
Espaço amostral: É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. 
Normalmente indicado pela letra S. 
Evento: Qualquer subconjunto de um espaço amostral. Normalmente indicado pela letra E. 
Observações: 
 O evento { } (conjunto vazio) é chamado de evento impossível. 
 O evento S (espaço amostral) é denominado evento certo. 
 
A probabilidade de ocorrer o evento em um espaço amostral é dada por: 
 
Onde: 
: número de elementos do conjunto Evento ( ) 
: número de elementos do conjunto Espaço Amostral ( ) 
 
Probabilidade Condicional 
Sejam e dois eventos do mesmo espaço amostral . Então a probabilidade de 
acontecer, dado que aconteceu é indicada e calculada por: 
 
 
 
 
 
NOTA! 
 
 e são calculados em relação ao espaço amostral original . 
 
Intersecção de Dois Eventos 
Sejam A e B dois eventos do mesmo espaço amostral S. Então a probabilidade do evento Aedo 
evento B acontecerem simultaneamente é dada por: 
 
ou 
 
10. PORCENTAGEM 
 
Porcentagem ou percentagem é usada para calcular descontos, acréscimo de preços, 
lucros, etc. É uma fração em que o denominador é igual a 100. O símbolo para representar uma 
porcentagem é % e vem precedido por um número. 
Como Calcular a Porcentagem? 
Podemos utilizar diversas formas para calcular a porcentagem. Abaixo apresentamos 
três formas distintas: 
 regra de três 
 transformação da porcentagem em fração com denominador igual a 100 
 transformação da porcentagem em número decimal 
 
Devemos escolher a forma mais adequada de acordo com o problema que queremos resolver. 
Exemplo: 
 
1) Calcule 30% de 90 
Para usar a regra de três no problema, vamos considerar que 90 corresponde ao todo, ou 
seja 100%. O valor que queremos encontrar chamaremos de x. A regra de três será expressa 
como: 
 
 
 
10.1 CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS 
 
Existem dois tipos de juros: Os juros simples, que são acréscimos somados ao capital 
inicial no final da aplicação e os juros compostos que são acréscimos somados ao capital, ao 
fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital, também 
conhecido como “juros sobre juros”. 
 
Enquanto o crescimento dos juros simples é linear, o segundo juros compostos é 
exponencial e, portanto tem um crescimento muito mais acelerado. Como capital definimos o 
valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro. Ao financiar 
algo utilizando juros simples, a pessoa obtém um montante (valor total a pagar) inferior ao que 
financia por meio de juros compostos. 
Fórmula de juro simples: 
j = C. i. t 
 
Onde: j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo. 
 
 
Fórmula para juros compostos: 
 
 
 
Onde: S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P 
(capital inicial) foi aplicado. 
 
11. ESTATÍSTICA 
 
Estatística é uma ciência exata que estuda a coleta, a organização, a análise e registro de 
dados por amostras. Utilizada desde a Antiguidade, quando se registravam os nascimentos e as 
mortes das pessoas, é um método de pesquisa fundamental para tomar decisões. Isso porque 
fundamenta suas conclusões nos estudos realizados. 
Para tanto,as fases do método estatístico são: 
1. Definição do problema: determinar como a escolha de dados pode solucionar um problema 
2. Planejamento: elaborar como fazer o levantamento dos dados 
3. Coleta de dados: reunir dados após o planeamento do trabalho pretendido, bem como 
definição da periodicidade da coleta (contínua, periódica, ocasional ou indireta) 
4. Correção dos dados coletados: conferir dados para afastar algum erro por parte da pessoa que 
os coletou 
5. Apuração dos dados: organização e contagem dos dados 
6. Apresentação dos dados: montagem de suportes que demonstrem o resultado da coleta dos 
dados (gráficos e tabelas) 
7. Análise dos dados: exame detalhado e interpretação dos dados. 
 
11.1 GRÁFICOS DE SETORES E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
A Matemática dispõe de ferramentas tecnológicas no intuito de dinamizar os cálculos e 
as representações gráficas. Quanto aos gráficos podemos utilizar programas específicos na sua 
elaboração, o Excel e o Calc são ferramentas muito utilizadas nesse sentido, mas as representações 
gráficas também podem ser produzidas de forma artesanal. A seguir demonstraremos como 
construir um gráfico de setores ou de pizza, como muitos o denominam. 
 
Para representar os dados em um gráfico de setores é preciso que os valores estejam em 
porcentagem, para isso devemos definir a frequência relativa dos dados observados. Vamos 
trabalhar com o seguinte modelo de exemplo: Uma escola realizou uma pesquisa com seus 400 
alunos do Ensino Médio sobre a preferência por modalidades esportivas. Os dados foram 
distribuídos em uma tabela, veja: 
 
 
FA: frequência absoluta 
FR: frequência relativa 
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em 
conta a proporção da área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área 
representativa no gráfico será demarcada da seguinte maneira: 
 
 
Concluímos que 1% corresponde a 3,6º, dessa forma podemos calcular os ângulos dos 
dados percentuais da seguinte maneira: 
 
 
 
Veja como ficou o gráfico pronto: 
2° ANO – AULA 5 
 
 
 
12. GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
A geometria analítica também é conhecida como geometria de coordenadas e geometria 
cartesiana. Ela é estudada através dos princípios da álgebra e da análise, contrastando com a abordagem 
sintética da geometria euclidiana (plana), na qual certas noções são consideradas primitivas. 
A geometria analítica tem como principal objetivo descrever objetos geométricos 
utilizando um sistema de coordenadas, o plano cartesiano. Este consiste em dois eixos reais 
perpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical é 
chamado de eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
Conceitos importantes da geometria analítica: 
 
 Distância entre dois pontos 
A distância entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb) é definida pelo segmento de reta AB, 
que vamos denotar dAB. Veja como obter o tamanho desse segmento, ou seja, a distância. 
 
 
 
 
 
Note que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo, logo, para 
determiná-la, vamos utilizar o teorema de Pitágoras. 
 
 
Exemplo: 
 
Calcule a distância entre os pontos A (0, 0) e B (4, 2). 
Substituindo os valores das coordenadas na fórmula, temos: 
 
 
 
 Coordenadas do ponto médio: 
 
Na geometria plana, o ponto médio é o ponto que divide o segmento de reta AB ao meio, ou 
seja, em duas partes iguais. Na geometria analítica, as coordenadas do ponto médio são dadas 
por: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-plana.htm
 
 
 
 
A coordenada do ponto médio, ou seja, do ponto M, é dada por: 
 
Exemplo: 
Determine o ponto médio do segmento AB, sabendo que A (2, 1) e B (6, 5). 
Substituindo os valores das coordenadas na fórmula, temos: 
 
 
 
 Condição de alinhamento de três pontos 
Considere três pontos — A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc) — distintos no plano. Diremos 
que os pontos são colineares se o determinante abaixo for igual a zero. Podemos dizer também 
que eles são colineares se existir uma reta que os contenha. 
 
 
 
 Área de um triangulo no plano cartesiano: 
 
Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e 
(x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para 
isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura 
do triângulo que é a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois pontos. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-plana.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm
Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente 
muito bonito, simples e fácil de memorizar. A área do triângulo é dada pela metade do valor 
absoluto do determinante da matriz indica pela expressão: 
 
Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois: 
 
 
 
Equação Geral da Reta 
Sabendo que uma reta r passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) do plano cartesiano, sua equação é 
dada pelo seguinte determinante: 
 
 
Desenvolvendo o determinante: 
 
 
 
Teorema 
Toda equação da forma ax + by + c = 0, com a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ou b ≠ 0, está associada a uma única 
reta r no plano cartesiano, cujos pontos P(x, y) são as soluções da equação dada. 
 
Coeficiente Angular 
Uma reta que passa pelo ponto P(x0, y0) do plano cartesiano tem como equação y – y0 = m.(x – 
x0). Sendo m o coeficiente angular, consequentemente: 
 
Condição de Perpendicularismo 
Para que duas retas r e s, não verticais, sejam perpendiculares no plano cartesiano, temos que: 
mr.ms = -1, isto é, o produto de seus coeficientes angulares tem que ser igual a -1. 
A equação geral da reta é definida como: 
ax + by + c = 0 
Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos. 
Exemplo 
Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1). 
Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz 
associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta. 
 
Desenvolvendo o determinante, encontramos: 
(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é: 
9x - 4y + 41 = 0 
Equação reduzida da reta 
Coeficiente angular 
Podemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou 
seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x. Para isso associamos um 
número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que: 
m = tg θ 
O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos 
pertencentes a reta. 
 
Como m = tg θ, então: 
 
 
Exemplo 
Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3). 
Sendo, 
x1 = 1 e y1 = 4 
x2 = 2 e y2 = 3 
 
 
Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, 
podemos definir sua equação. Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o 
ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta: 
 
Circunferência 
Circunferência é uma figura geométrica com formato circular que faz parte dos estudos 
de geometria analítica. Note que todos os pontos de uma circunferência são equidistantes de 
seu raio (r). 
Raio e Diâmetro da Circunferência 
Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o centro da figura a 
qualquer ponto localizado em sua extremidade. Já o diâmetro da circunferência é um segmento 
de reta que passa pelo centro da figura, dividindo-a em duas metades iguais. Por isso, o 
diâmetro equivale duas vezes o raio (2r). 
 
Equação Reduzida da Circunferência 
A equação reduzida da circunferênciaé utilizada para determinar os diversos pontos de 
uma circunferência, auxiliando assim, em sua construção. Ela é representada pela seguinte 
expressão: 
(x - a)
2
 + (y - b)
2
 = r
2
 
Onde as coordenadas de A são os pontos (x,y) e de C são os pontos (a,b). 
Equação Geral da Circunferência 
A equação geral da circunferência é dada a partir do desenvolvimento da equação 
reduzida. 
x
2
 + y
2
 – 2 ax – 2by + a
2
 + b
2
 – r
2
 = 0 
Área da Circunferência 
A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No caso da 
circunferência, a fórmula da área é: 
 
 
 
Perímetro da Circunferência 
O perímetro de uma figura plana corresponde a soma de todos os lados dessa uma 
figura. No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do contorno da figura, 
sendo representado pela expressão: 
 
Comprimento da Circunferência 
O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu perímetro. 
Assim, quando maior o raio dessa figura, maior será seu comprimento. Para calcular o 
comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma fórmula do perímetro: 
C = 2 π . r 
Onde, 
3° ANO – AULA 6 
C: comprimento 
π: constante Pi (3,14) 
r: raio 
 
Circunferência e Círculo 
Muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora utilizamos 
esses termos como sinônimos, eles apresentam diferença. Enquanto a circunferência representa 
a linha curva que limita o círculo (ou disco), este é uma figura limitada pela circunferência, ou 
seja, representa sua área interna. 
 
 
 
13. MATRIZES 
 
Matrizes são organizações de informações numéricas em uma tabela retangular formada 
por linhas e colunas. Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários 
cálculos simultâneos com as informações contidas na matriz. 
Definição de matrizes 
 
Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), onde m é o número de 
linhas e n o número de colunas. 
 
Representação de matrizes 
 
Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são: 
 
 Colchetes: [ ] 
 Parênteses: ( ) 
 Barras Simples: | | 
 Barras Duplas: || || 
 
Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura. 
 
Exemplos: 
 
 
Elementos de uma matriz 
 
Seja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. 
Então, temos: 
 
 
Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice 
da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos 
um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os 
índices i e j. Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto 
que as colunas são numeradas da esquerda para a direita. 
 
Exemplos: 
 
 a11 representa o elemento da linha 1 e coluna 1. 
 a32 representa o elemento da linha 3 e coluna 2. 
 a22 representa o elemento da linha 2 e coluna 2. 
 amn representa o elemento da linha m e coluna n. 
 
Seja a matriz 
 
 
Assim: 
 
 a11 representa o elemento 1. 
 a12 representa o elemento 4. 
 a13 representa o elemento 0. 
 a21 representa o elemento -2. 
 a22 representa o elemento 4. 
 a23 representa o elemento 3. 
 
Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos 
escrevê-la facilmente. 
Exemplo: 
 
Considere a matriz M = [aij]2×3, tal que aij = i + j. Escreva a matriz M. 
Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz 
retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das 
linhas e colunas. Assim: 
 
Escrevendo os elementos: 
 
 a11 = 1 + 1 = 2. 
 a12 = 1 + 2 = 3. 
 a13 = 1 + 3 = 4. 
 a21 = 2 + 1 = 3. 
 a22 = 2 + 2 = 4. 
 a23 = 2 + 3 = 5. 
 
Então a matriz M é: 
 
Matrizes Especiais 
 
Vamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber. 
 
Matriz Linha 
 
É uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1 x n) 
 
Exemplo: 
 
 
Matriz Coluna 
 
É uma matriz que possui uma única coluna (ordem m x 1) 
 
Exemplo: 
 
 
Matriz Nula 
 
É uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero. 
Exemplo: 
 
 
Matriz Quadrada 
 
É uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma 
matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n 
 
Exemplo: 
 
 
Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz 
quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal, 
enquanto que os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja: 
 
 
Elementos da diagonal principal da matriz A. 
 
 
Elementos da diagonal secundária da matriz A. 
 
 
Obervação: 
 
Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la de matriz retangular. 
Matriz Diagonal 
 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal principal 
são nulos. 
 
Exemplo: 
 
 
Matriz Identidade 
 
É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a diagonal 
principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz 
quadrada de ordem n. 
 
Exemplos 
 
I2 = Matriz identidade de ondem 2 
 
 
I3 = Matriz identidade de ondem 3 
 
 
Matriz Oposta 
 
É uma matriz que é obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos 
uma matriz de A, então a matriz oposta é -A. 
 
Exemplo: 
 
Considere a matriz A a seguir: 
 
 
Então a matriz oposta -A é: 
 
 
Matriz Transposta 
 
Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas 
colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação A
t
. 
 
Exemplo: 
 
Seja a matriz A = [aij]mxn, a matriz transposta de A é A
t
 = [aij]nxm. 
 
Operações entre Matrizes 
 
Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e 
vamos ver cada um delas a seguir: 
 
Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os 
elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij. 
 
Exemplo: 
 
 
Adição de Matrizes 
 
Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos 
correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com 
coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem. 
 
Exemplo: 
 
Sejam A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, 
obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os 
elementos correspondentes de A e B. Veja: 
https://matematicabasica.net/matriz-transposta/
https://matematicabasica.net/adicao-e-subtracao-de-matrizes/
 
 
Propriedades da adição de matrizes 
 
Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a 
seguir sejam possíveis, então temos que: 
 
 Comutativa: A + B = B + A 
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
 Elemento neutro: A + N = N + A = A 
 Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N 
 (A + B)
t
 = A
t
 + B
t
 
Subtração de Matrizes 
Para fazer a subtração de duas matrizes, devemos subtrair todos os elementos 
correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com 
coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem. 
 
Exemplo: 
 
Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Fazemos a diferença de A e B, e 
escrevemos A – B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida 
subtraindo os elementos correspondentes de A e B. Veja: 
 
 
Multiplicação de um número real por uma Matriz 
 
Seja Amxn uma matriz, e a um número real. O produto de a por A resulta em uma 
matriz Bmxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A. 
https://matematicabasica.net/adicao-e-subtracao-de-matrizes/
Exemplo: 
 
Propriedades 
 
Considerando A e Bmatrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a 
seguir sejam possíveis, então temos que: 
 
1. 1 . A = A 
2. (-1) x A = -A 
3. a . 0 = 0 
4. 0 . Amxn = 0mxn 
5. a . (b . Amxn) = (a . b) . Amxn 
6. a . (A + B) = a . A + a . B 
7. (a + b) . A = a . A + b . A 
 
Multiplicação entre Matrizes 
 
Considerem as matrizes Amxn e Bnxp. A multiplicação das matrizes A e B, nesta ordem, 
resulta em Cmxp, de forma que C seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da 
linha i de A e da coluna j de B. 
 
Exemplo: 
 
Considerem as matrizes A e B, então A x B é: 
 
 
Observações importantes: 
 
1. A multiplicação de matriz somente é possível se o número de colunas em uma matriz for 
igual ao número de linhas da outra matriz. 
2. A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo 
número de colunas da segunda matriz. 
Matrizes e Determinantes 
 
O determinante de uma matriz A é um número real indicado por det A. 
Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3 
Determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento. 
 
A = [a] ⇒ det A = a 
 
Determinante de uma matriz de ordem 2 
 
 
Determinante de uma matriz de ordem 3 
 
Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante. 
Este método só se aplica para matrizes de ordem 3. 
Considere a matriz A quadrada de ordem 3: 
 
 
Copiamos a 1ª e a 2ª coluna para a direita da matriz: 
 
 
 
Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo, colocando o sinal como 
especificado na imagem: 
 
https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/
https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – 
a12 . a21. a33 
A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de 
adição e subtração como está especificado. 
 
Determinante de matrizes de ordem superior a 3 
 
Para matrizes de ordem superior a 3, devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de 
falarmos sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento 
algébrico (Mij). 
 
Cofator ou complemento algébrico (Mij) 
 
Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, em uma 
matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
Mij = (-1)
i
 
+
 
j
 . Dij 
Onde i e j são os índices do elemento em questão, e Dij representa o determinante da 
matriz resultante com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido. 
 
Exemplo: 
 
Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo: 
 
 
Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos: 
 
 
Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim: 
 
 
Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz resultante, depois 
que excluímos a linha e coluna para o elemento da posição M23. 
Teorema de Laplace 
 
O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como 
vimos nos tópicos anteriores, existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de 
matrizes de ordem menores que 4. Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace, 
devemos escolher uma linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso 
ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos menos trabalhos para fazer a conta. 
 
Exemplo: 
 
Considere a matriz A a seguir: 
 
 
Resolução: 
 
Olhando a matriz A, vamos escolher a primeira linha como referência pois temos um 
número maior de zero e isso nos ajudará a fazer menos cálculos. 
 
 
Assim: 
 
det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)
1
 
+
 
1
 . D11 + 0 . (–1)
1
 
+
 
2
 . D12 + 2 . (–1)
1
 
+
 
3
 . D13 + 0 . (–1)
1
 
+
 
4
 . D14 = D11 + 2D13 
Agora temos que determinar as matrizes D11 e D13, removendo as linhas e colunas para 
os elementos da posição Dij. 
 
 
Então: 
 
 
Portanto, det (A) = 19 
 
Acima calculamos o determinante para D11 e D13 utilizando a regra de Sarrus para 
matrizes de ordem 3. 
 
 
 
14. NÚMEROS COMPLEXOS 
Definição 
Número complexo é todo número da forma a + bi, em que a e b são números reais e i é 
a unidade imaginária. 
Temos que i² = - 1 
 
O conjunto dos números complexos é indicado por C = {a + bi, com a e b reais} 
 
 
a + bi ↦ forma algébrica do número complexo, onde: a é a parte real e b é a parte 
imaginária. 
 
Exemplos de números complexos: 
 
a) 5 - 2i 
b) 7 + √2i 
c) 3i 
 
Conjugado dos números complexos 
https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/
O conjugado do número complexo a + bi ocorre se, e somente se, suas partes reais 
são iguais e suas partes imaginárias são opostas. Ou seja: 
 
o conjugado de z = a + bi é dado por z' = a - bi 
Exemplos: 
Indique o conjugado dos seguintes números complexos: 
 
a) z = 8 + 4i 
⇒ z' = 8 - 4i 
b) z = 5 - 9i 
⇒ z' = 5 + 9i 
c) z = 3 
⇒ z' = 3 
 
Operações com números complexos 
Para quaisquer números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, em que a, b, c e d são 
números reais, temos: 
 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 
z1 - z2 = z1 + (- z2) 
z1 . z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i 
z1 : z2 = z1. 1/z2 (com z2 ≠ 0) 
 
Exemplos: 
01. Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule: 
a) z1 + z2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 10i 
b) z2 + z3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i 
02. Dados os números complexos z = - 4 + 2i, w = 5 + i, k = - 3i, calcule: 
a) z - w = (- 4 + 2i) - (5 + i) = - 4 + 2i - 5 - i = - 9 + i 
b) k - w = (- 3i) - (5 + i) = - 3i - 5 - i = - 5 - 4i 
 
03. Sendo z = 5 + 3i, w = 6, k = 2i, u = 2 - i, calcule: 
 
a) z.w = (5 + 3i).(6) = 30 + 18i 
b) z.k = (5 + 3i).(2i) = 10i + 6i² = 10i + 6.(-1) = - 6 + 10i 
 
Obs.: i² = - 1 
 
c) z.u = (5 + 3i).(2 - i) = 10 - 5i + 6i - 3i² = 10 + i - 3(-1) = 10 + i + 3 = 13 + i 
 
04. Considere os números complexos z = 2 + 3i, w = 2 - i e k = 4i, calcule: 
 
a) k/w = (4i)/(2 - i) ⇒ 4i.(2 +i)/(2 - i)(2 + i) ⇒ 8i + 4i²/(4 + 2i - 2i - i²) ⇒ 8i - 4/4 + 1 ⇒ 8i/5 - 
4/5 
b) 1/z = 1/(2 + 3i) ⇒ 1.(2 - 3i)/(2 + 3i).(2 - 3i) ⇒ 2 - 3i/(4 - 9i²) ⇒ 2 - 3i/13 = 2/13 - 3i/13 
Adição 
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos 
teremos: 
 
z1 + z2 
 
a + bi) + (c + di) 
a + bi + c + di 
a + c + bi + di 
a + c + (b + d)i 
(a + c) + (b + d)i 
 
Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. 
 
Subtração 
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos: 
z1 – z2 
(a + bi) – (c + di) 
a + bi – c – di 
a – c + bi – di 
 
(a – c) + (b – d)i 
 
Portanto, z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i. 
 
Multiplicação 
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos: 
z1 . z2 
(a + bi) . (c + di) 
 
ac + adi + bci + bdi2 
ac + adi + bci + bd (-1) 
ac + adi + bci – bd 
ac – bd + adi + bci 
(ac – bd) + (ad + bc)i 
Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)i. 
Divisão 
Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e 
multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como: 
 
Dado dois números complexos z1 e z2, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a 
seguinte regra: 
 
Exemplo: 
 
Exemplo: 
 
De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por: 
Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será: 
 
 
Forma algébrica 
 
Um número complexo é formado por um par ordenado (a, b). Os valores 
correspondentes a e b são valores que pertencem ao eixo das abscissas e eixo das coordenadas 
respectivamente. Graficamente, a sua representação ficaria assim: 
 
 
P é o ponto de coordenadas (a, b) que é o número complexo é chamado de afixo. A 
forma algébrica pela qual representamos esse número complexo será a + bi, como a e b R. A 
forma algébrica de representarum número complexo é mais prática e mais utilizada nos 
cálculos. Ao indicarmos um número complexo na sua forma algébrica fazemos da seguinte 
forma: 
 
z = a + bi 
 
z é um número complexo qualquer. 
 
a é a parte real do número complexo z. 
 
b é a parte imaginária do número complexo z. 
 
O conjunto dos números que formam a parte real é representado por Re (z). 
 
O conjunto dos números que formam a parte imaginária é representado por Im (z). 
 
 
Potências de números complexos 
Existem quatro, e somente quatro, valores para potências de i com expoentes inteiros. 
São eles: 
 
iº = 1 
i¹ = i 
i² = - 1 
i³ = - i 
 
Exemplo: 
 
01. Calcule o valor de cada uma das potências: 
 
a) i³² 
 
Dividindo 32 por 4 temos 32:4 = 8, resto = 0 ↦ i³² ⇔ iº = 1 
b) i²¹ 
 
Dividindo 21 por 4 temos 21:4 = 5, resto = 1 ↦ i²¹ ⇔ i¹ = i 
c) i³³¹ 
 
Dividindo 331 por 4 temos 331:4 = 82, resto = 3 ↦ i³³¹ ⇔ i³ = - i 
d) i²³³ 
 
Dividindo 233 por 4 temos 233:4 = 58, resto = 1 ↦ i²³³ ⇔ i¹ = i 
 
Argumento de um número complexo 
 
Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo (Figura a seguir), de modo 
que 
 
x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ) 
 
 
Como vimos, o número z = x + yi pode ser reescrito como 
 
z = rcos(θ) + irsen(θ) = r[cos(θ) + isen(θ)] 
 
chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo. 
 
Obs.: O valor r é o valor absoluto de z, enquanto o ângulo θ é o argumento de z. Denota-se 
arg(z) = θ. 
 
Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo real positivo e pelo 
segmento de reta que representa r. 
 
Exemplo 
 
Calcular o módulo e o argumento de cada um do número complexo z = 2√3 + 2i. 
 
Cálculo do módulo r : 
 
r² = (2√3)² + 2² 
r² = 4.3 + 4 
r² = 12 + 4 
r² = 16 
r = √16 = 4 
 
Cálculo do argumento θ: 
 
cosθ = x/r = 2√3/4 = √3/2 ⇒ θ = 30º = 𝚷/6 
Radiciação 
 
Se , suas raízes enésimas são dadas por: 
 
 
Essa expressão é conhecida como 2ª fórmula de Moivre. 
Exemplo 
Determine as raízes cúbicas de z = 8. 
 
Resolução 
 
Vamos calcular o módulo e o argumento de z para a aplicação da 2ª fórmula de Moivre: 
 
 
Módulo: 
 
 
 
 
 
Argumento: 
 
As raízes cúbicas de 8 são dadas por: 
 
 
 
O número k pode assumir os valores 0, 1 e 2: 
 
 
Geometricamente, note que as três raízes estão sobre uma circunferência de raio 2 e são 
vértices de um triângulo equilátero; seus argumentos formam uma PA, cujo primeiro termo é 0 
 
e a razão é . 
 
 
 
Forma Trigonométrica de um Número Complexo 
 
 
Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a 
recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número 
complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos 
também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no 
argumento de z (para z ≠ 0). Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa 
forma temos que: cosӨ = a/p e senӨ = b/p. 
Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe: 
cosӨ = a/p → a = p*cosӨ 
 
 
senӨ = b/p → b = p*senӨ 
 
 
 
Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. 
z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ) 
Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e 
radiciações. 
 
Exemplo 1 
Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica. 
Resolução: 
Temos que a = 1 e b = 1 
 
 
 
A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é z = √2*(cos45º + sen45º * i). 
 
 
 
15. POLINOMIOS 
 
Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. 
O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, 
e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. 
Grau dos Polinômios 
O grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal. Para encontrar o grau 
de um polinômio devemos somar os expoentes das letras que compõem cada termo. A maior 
soma será o grau do polinômio. 
Exemplos: 
 
a) 2x
3
 + y 
O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do 
polinômio é 3. 
b) 4 x2y + 8x3y3 - xy4 
Vamos somar os expoentes de cada termo: 
4x
2
y=>2+1=3 
8x
3
y
3
 =>3+3=6 
xy
4
 => 1 + 4 = 5 
 
Como a maior soma é 6, o grau do polinômio é 6 
Observação: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. 
Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido. 
 
Operações com Polinômios 
Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios: 
Adição de Polinômios 
Fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte 
literal). 
(-7x
3
 +5x
2
y-xy+4y)+(-2x
2
y+8xy-7y) 
-7x
3
 +5x
2
y-2x
2
y-xy+8xy+4y-7y 
- 7x
3
 + 3x
2
y + 7xy - 3y 
 
Subtração de Polinômios 
O sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses. 
Após eliminar os parênteses, devemos juntar os termos semelhantes. 
(4x
2
 -5xk+6k)-(3x-8k) 
4x
2
 -5xk+6k-3xk+8k 
4x
2
 - 8xk + 14k 
 
Multiplicação de Polinômios 
Na multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, 
repete-se e soma-se os expoentes. 
(3x
2
 -5x+8).(-2x+1) 
-6x
3
 +3x
2
 +10x
2
 -5x-16x+8 
-6x
3
 + 13x
2
 - 21x +8 
Divisão de Polinômios 
Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a 
divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para 
isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes. 
 
Para dividirmos polinômios utilizamos o algoritmo da divisão, o mesmo está 
representado a seguir: 
 
P(x) | D(x) 
R(x) Q(x) 
P(x) é o dividendo. 
D(x) é o divisor. 
Q(x) é o quociente. 
R(x) é o resto da divisão. 
Do algoritmo da divisão, obtemos a relação: 
Dividendo = Divisor . Quociente + Resto 
P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) 
 
Quando R(x) = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou 
D(x) é divisor de P(x). Para compreender melhor a divisão de polinômios, observe o exemplo a 
seguir: 
Exemplo: Efetue a divisão de P(x) = 4x
2
 – 2x + 3 por D(x) = 2x – 1 
4x² – 2x |2x – 1 
– 4x² + 2x 2x 
0 
Logo: P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) 
4x² – 2x = (2x – 1) . 2x + 0 
 
Teorema de D’Alembert 
Na matemática, os teoremas, as fórmulas, os postulados sempre recebem o nome de 
seus inventores e D’Alembert foi um desses, matemático e físico, foi um dos oficiais na 
revolução Francesa responsável pelas publicações solenes, anunciava a guerra e proclamava a 
paz. Além disso, vários teoremas, tanto na física como na matemática, levaram o seu nome, na 
matemática podemos destacar no estudo dos polinômios o Teorema de D’Alembert, que diz: 
Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma 
divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a constante a for raiz do 
polinômio P(x). 
Exemplo: Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) = x
4
 - 4x
3
 + 4x
2
 - 4x +3 é 
divisível por x - 3 e x - i. As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert, 
dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio P(x) se, somente se, o 
resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, basta aplicarmos o Teorema do Resto. Para 
divisor igual a x – 3, a = 3. 
P(3) = 3
4
 – 4 . 3
3
 + 4 . 3
2
 – 4 . 3 + 3 
P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3 
P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3 
P(3) = -27 + 36 – 12 + 3 
P(3) = 9 – 12 + 3 
P(3) = -3 + 3 
P(3) = 0 
 
Portanto, o polinômio P(x) = x
4
 - 4x
3
 + 4x
2
 - 4x +3 é divisível por x – 3. 
Para divisor igual a x – i, a = i. 
P(i) = i
4
 – 4 . i
3
 + 4 . i
2
 – 4 . i + 3 
P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3 
P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3 
P(i) = 1 – 4 + 3 
P(i) = - 3 + 3 
P(i) = 0 
 
 
Portanto, o polinômio P(x) = x
4
 - 4x
3
 + 4x
2
 - 4x +3 é divisível por x – i. 
 
Dispositivoprático de Briot-Ruffini 
 
Para efetuarmos a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x – ), 
podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Vamos efetuar a divisão de por x - 2 através desse dispositivo. 
Acompanhe o roteiro para a resolução: 
 
1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo (ordenadamente do termo de 
maior grau para o termo de menor grau, completando com zero os termos que não aparecem) 
no dispositivo: 
 
 
2º) Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo: 
 
 
3º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somamos o produto com o 
segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste: 
 
 
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos 
o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente: 
 
 
5º) Fazemos um traço entre o último e o penúltimo números obtidos. O último número é igual 
ao resto da divisão e os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente: 
 
 
Portanto, . 
Exemplo 
 
Obtenha o quociente e o resto da divisão de x³ - 3x² + 5x - 1 por 2x - 1: 
 
Resolução 
 
Temos: 
Para aplicarmos o dispositivo de Briot-Ruffini, o coeficiente de x no divisor deve ser 1. Nesse 
caso, utilizamos o seguinte artifício: 
 
 
Fazemos : 
 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini: 
 
 
 
Como : 
 
 
Portanto, e . 
 
 
 
Gráficos da Função Polinomial 
Podemos associar um gráfico a uma função polinomial, atribuindo valores a x na 
expressão p(x). Desta forma, encontraremos os pares ordenados (x,y), que serão pontos 
pertencentes ao gráfico. Ligando esses pontos teremos o esboço do gráfico da função 
polinomial. 
Veja alguns exemplos de gráficos: 
Função polinomial de grau 1 
Função polinomial de grau 2 
 
 
Função polinomial de grau 3 
 
 
 
 
16. EQUAÇOES POLINOMIAIS 
 
Equação polinomial é toda equação redutível à forma P(x) = 0, em que P(x) é um 
polinômio de grau maior ou igual a 1. 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
As raízes de uma equação polinomial são as raízes do polinômio P(x). O conjunto de 
todas as raízes de uma equação é o conjunto solução dessa equação. Observe os seguintes 
polinômios e as suas raízes. Podemos escrevê-los nas seguintes formas fatoradas: 
 
Polinômios Formas Fatoradas 
, de raiz 3. 
 
 
, de raízes 2 e 3. 
 
 
 
raízes 1, 2, 3 e 4. 
, de 
 
 
 
De maneira geral, todo 
polinômio pode ser escrito na 
seguinte forma fatorada: 
 
 
em que são raízes de P(x). 
Daí vem o seguinte teorema: 
 
 
 
 
Exemplo 1 
Qual é a forma fatorada de , cujas raízes são 1, -1 e 5? 
 
Resolução: 
 
Como trata-se de uma equação do 3º grau com as 3 raízes distintas, temos: 
 
3(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0 
Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, , tem exatamente n raízes reais ou 
complexas. 
3° ANO – AULA 8 
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) 
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz 
complexa. 
Relações de Girard nas equações do 3º e do 4º grau 
As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os 
coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são 
obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente. 
As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d 
= 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. 
A decomposição dessa equação permite a determinação de expressões matemáticas 
capazes de relacionar as raízes da equação. 
Observe: 
 
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) – x1*x2*x3 
Dividindo a equação por a, temos: 
 
 
Realizando a igualdade entre os polinômios: 
 
 
x1 + x2 + x3 = – b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a 
x1 * x2 * x3 = – d/a 
 
Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax
4
 + bx³ + cx² + dx + e = 0. 
Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes, as quais 
quando relacionadas, formam as seguintes expressões: 
x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a 
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a 
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a 
 
 
Exemplo 
Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0, considerando 
x1, x2 e x3, as raízes da equação. 
 
Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1. 
 
x1 + x2 + x3 = – b/a = –7/1 = –7 
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a = –6/1 = – 6 
x1 * x2 * x3 = – d/a = –1/1 = –1 
 
Teorema da Decomposição de Polinômios 
Uma consequência do Teorema fundamental da Álgebra é o Teorema da Decomposição. 
 
 
Teorema das raízes racionais 
 
Considere a equação polinomial a seguir em que todos os coeficientes an são inteiros: 
 
anx
n
 + an-1x
n-1
 + an-2x
n-2
 + … + a2x
2
 + a1x + a0 = 0 
 
O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa equação admite o número 
racional 
p
/q como raiz (com p , q e mdc(p,q) = 1), então a0 é divisível por p e an é 
divisível por q. 
Observações: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
1º) O teorema das raízes racionais não garante que a equação polinomial tenha raízes, mas caso 
elas existam, o teorema permite identificar todas as raízes da equação; 
2º) Se an = 1 e os outros coeficientes são todos inteiros, a equação possui apenas raízes inteiras. 
3°) Se q = 1 e há raízes racionais, estas são inteiras e divisoras de a0. 
 
Teorema de bolzano-cauchy 
É possível alterar os extremos do intervalo [a , b] (pontos a roxo) e o valor de k (seletor 
castanho). Para cada situação, a aplicação interativa informa se as condições do teorema de 
Bolzano-Cauchy se verificam, ou não, e apresenta a correspondente conclusão, quanto à 
existência de pelo menos uma solução da equação f (x) = k no intervalo [a , b] . 
 
 
 
A aplicação interativa permite observar exemplos em que a equação f (x) = k tem 
solução num certo intervalo [a , b] , mas em que a sua existência pode não ser garantida pela 
aplicação do teorema de Bolzano-Cauchy. Com a exploração da aplicação interativa é também 
possível reforçar a ideia de que o teorema apenas refere a existência de, pelo menos, uma 
solução da equação, podendo, no entanto, existir mais do que uma solução.