Sistemas e Sinais - Poli - P1 - 2010

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Gabarito 1ª Prova PTC2307 
*Revisado devido a inclusão de uma observação na questão 1 
 
 
Questão 1 
 
Considere os sistemas descritos com as seguintes relações entrada u(t) saída y(t): 
 
a) )()()( tututy −+−= 55 
b) )/()( 3tuty = 
c) btuty += )()( 
 (i) invariância no tempo, (ii) linearidade e (iii) causalidade 
 
 
a.i) O sistema é variante no tempo. 
Entrada deslocada: 
=→− )()( tytu aδ )()())(()( δδδδ +−+−−=−−+−− tutututu 5555 . 
Saída deslocada: )()()( δδδ −−+−−=− tututy 55 . 
Como as saídas são diferentes, )()( δ−≠ tytya o sistema é variante no tempo. 
a.ii) O sistema é linear. 
Como, =→ )()( tytu a α y(t) 5 5 ααα =−+− )()( tutu , então, satisfaz a homogeneidade. 
Soma de entradas: )()()()()()()( tututututytutu a −+−+−+−=→+ 5555 212121 
Cada entrada fornece )()()( tututy −+−= 55 111 e )()()( tututy −+−= 55 222 de modo que 
)()()()()()( tututututyty −+−+−+−=+ 5555 221121 . 
Como, )()()( tytytya 21 += , então, satisfaz a aditividade. 
a.iii) O sistema é não causal (antecipatório). 
A saída no instante t pode depender entradas em tempos posteriores a t. Por exemplo, 
)()()( 550 uuy +−= . 
 
b.i) O sistema é variante no tempo. )()( tytu a→−δ )( δ−≠ ty . 
b.ii) O sistema é linear. )()()()()( tytytytutu a 2121 +=→+ e y(t) αα =→ )()( tytu a 
b.iii) O sistema é causal (não antecipatório). A saída no instante 0≥t depende apenas de entradas em 
tempos anteriores ou igual a t. Porém se considerarmos, o t [ ]+∞∞− , o sistema é não causal (antecipatório). 
*OBS: Quando associadas aos tempos adequados, ambas as respostas foram consideradas corretas. 
 
c.i) O sistema é invariante no tempo. )()( tytu a→−δ )( δ−= ty . 
c.ii) O sistema é não linear. )()()()()( tytytytutu a 2121 +≠→+ e y(t) αα ≠→ )()( tytu a 
c.iii) O sistema é causal (não antecipatório). A saída no instante t depende apenas de entradas em tempos 
anteriores ou igual a t. 
2a Questão [2,5] 
Dado um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) com a seguinte descrição matemática da resposta 
impulsiva 
 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈−
=
t
t
t
th
 de valoresdemais para0
]6,4[2
]2,1[5,0
)( 
 
 
 
 
Calcule a resposta em estado zero do SLIT, ou seja, a saída do sistema, para dois casos distintos: 
a) Entrada ( ) ( )5355)(1 −⋅++⋅= tttu δδ , sendo ( ).δ o impulso de Dirac; 
Resposta (1,2 pontos): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5355* 11 −⋅++⋅== ththtxthty 
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
++∈+
++∈−
−−∈+
−−∈−
=
 valoresdemais para0
]11,9[6
]7,6[5,1
]1,1[10
]3,4[5,2
1
t
t
t
t
ty
 
 
 
b) Entrada )(2 tu apresentada abaixo. Forneça a descrição matemática de cada trecho do sinal 
de saída. 
 
 
Resposta (1,3 pontos): ( ) ( ) ( )tuthty 22 *=
 
pode ser obtido de forma analítica ou gráfica. 
É importa nte forne cer a desc rição mate mática de cad a trecho do sinal de saída 
conforme solicitado no enunciado. 
Talvez, a forma mais fácil de resolução desse exercício fosse a utilização da propriedade da 
linearidade da convolução e posterior execução da solução gráfica. 
 
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
++∈+⋅−
+∈⋅+
−∈⋅+
−−∈−
−−∈−⋅−
=
 valoresdemais para0
]4,2[246
]2,0[6
]0,1[5,1
]1,2[5,1
]2,3[5,45,1
2
tt
tt
tt
t
tt
ty