Logaritmo Aula

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Logaritmo
Logaritmo pode simbolizar potência de outra forma. Como 10 ao quadrado = 100, então log 100 = 2.
Eles são mais curtos que as potências. Imagine que as potências indiquem a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2 segundo, e assim sucessivamente. O tempo é sempre o logaritmo da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, a sua altura é 4. Portanto, o logaritmo de 10.000 é 4.
O que é logaritmo e onde utilizá-lo?
A palavra logaritmo originou-se das palavra gregas Logos (razão) e arithmos (números). No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido principalmente às operações de multiplicação, divisão e potenciação. Burgi, em 1620, e John Napier, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.
Embora as tabelas de logaritmos não seja tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas, por exemplo, na medição de terremotos.
Para compreendermos melhor o que é logaritmo, consideramos uma base positiva e diferente de 1.
Ex: 34 = 81 
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3.
34 = 81 ⇒ log 813 = 4 
Dados dois números reais e positivos a e b, sendo 1, chama-se logaritmo b na base a o expoente que deve colocar à base a. Indicamos:
loga b = x ⇒ a = b 
Onde b é o logaritmando
a é a base
x é o logaritmo
Condição de existência
CE   b > 0
1 a > 0
SISTEMA DE LOGARITMO
Chama-se sistema de logaritmo de base a ( 1 > 0 ), o conjuntos dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a.
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências, são eles: sistema de logaritmos decimais (ou sistema de logaritmo de Briggs) e sistema de logaritmos neperianos (ou sistema de logaritmos naturais).
LOGARITMOS DECIMAIS
São aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade de colocar a base 10.
SISTEMA NEPERIANO OU NATURAL
É o conjunto dos logaritmos na base e (e é um número irracional que recebe o nome de número de Euler, que vale 2,71828…). Indicaremos In b = x.
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
A partir da definição, temos:
a)  loga 1 = 0  
O logaritmo de 1 é sempre 0, pois a0 = 1.
b) loga a = 1
Quando a base é igual ao logaritmando, o logaritmo é sempre 1, pois a1 = a .
b) loga na = n
O logaritmo de potência da base é sempre o expoente dessa base pois an = an.
d) alog a b = b
Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b.
e) loga b = loga c ⇒ b = c
Dois valores são iguais, então, seus logaritmos, na mesma base, também são iguais.
Propriedades dos Logaritmos 
Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Logaritmos 0 Comentários 
Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação: 
logab = x, onde: 
a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma: 
logab = x ↔ ax = b 
Exemplos: 
log39 ↔ 32 = 9 
log10100 ↔ 102 = 100 
log216 ↔ 24 = 16 
log981 ↔ 92 = 81 
A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja: 
O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 
loga1 = 0, pois a0 = 1 
O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 
logaa = 1, pois a1 = a 
O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 
logaam = m, pois m * logaa = m * 1 = m 
A potência de base a e expoente logab é igual a b. 
alogab = b, pois logab = x → ax = b 
Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 
logab = logac ↔ b = c 
Exemplos 
Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso: 
a) log327 = x → 3x = 27 → x = 3 
b) log81x = 3/4 → x = 813/4 → x = (34)3/4 → x = 312/4 → x = 33 → x = 27 
c) log4√2 = x → 4x = √2 → 22x = √2 → 22x = 21/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4 
d) logx8 = 2 → x2 = 8 → √x = √8 → x = 2√2 
e) log4(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 41/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2 
f) log1818 = x → 18x = 18 → x = 1 
g) logx1024 = 2 → x2 = 1024 → √x² = √1024 → x = 32 
h) log40,25 = x → 4x = 0,25 → 4x = 25/100 → 4x = 1/4 → 4x = 4–1 → x = –1 
i) 16log25 = (24)log25 = (2log25)4 = 54 = 625 
j) log0,01 = x → 10x = 0,01 → 10x = 1/100 → 10x = 10–2 → x = –2
Logaritmo natural
Por Daniel Duarte da Silva
Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)
O logaritmo surgiu em 1614 numa publicação de John Napier, denominada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. John Napier era escocês, nascido em 1550. Ficou muito famoso na matemática, principalmente com a invenção do logaritmo. É por conta dele que o logaritmo natural também é conhecido como logaritmo neperiano.
A definição de logaritmo diz que sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.
logab=x⇔ax=b
Com a>0, a≠1 e b>0.
Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Definição do logaritmo natural
O logaritmo natural de um número a, a > 0, é o logaritmo desse número a, na base e. Representamos o logaritmo natural por ln. Assim:
lna=logea
O número e
O número e é chamado de número de Euler por conta de Leonhard Euler. Ele foi um dos matemáticos mais brilhantes da sua época e posterior. Seu nome ficou ligado para sempre ao número irracional e, cujo valor é aproximadamente 2,71.
Assim, o logaritmo natural de um número, é o logaritmo desse número na base igual a 2,71, ou na base e.
Definições
Assim como no estudo dos logaritmos, podemos estabelecer algumas definições sobre o logaritmo natural:
I) lne=1
Usando a definição de logaritmo natural, temos que lne=logee
Usando a definição de logaritmo, temos: logee=x⇔ex=e
Pelas propriedades da potenciação, se as bases são iguais, os expoentes também são, assim, x = 1 e lne=logee=1
II) ln1=0
Usando a definição de logaritmo natural, temos que ln1=loge1
Usando a definição de logaritmo, temos: loge1=x⇔ex=1
Pelas propriedades da potenciação, todo número elevado a potência 0 é igual a 1, assim, x = 1 e ln1=loge1=0
III) lnen=n
Usando a definição de logaritmo natural, temos que lnen=logeen
Uma das propriedades do logaritmo diz que o logaritmo de uma potência é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência. Assim, logeen=n⋅logee.
Como logee=1, temos que logeen=n⋅logee=n⋅1=n.
Propriedades
As propriedades principais do logaritmo também estão garantidas para o logaritmo natural.
I) Logaritmo natural do produto
O logaritmo natural de um produto é igual à soma dos logaritmos naturais:
ln(a⋅b)=lna+lnb
II) Logaritmo natural do quociente
O logaritmo natural de um quociente é igual à diferença dos logaritmos naturais:
ln(ab)=lna−lnb
III) Logaritmo natural de uma potência
O logaritmo natural de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo natural da base dessa potência.
lnan=n⋅lna
Mudança de base
Em um logaritmo natural, a base é e. Podemos mudar da base para a base decimal (10). Veja:
lna=logea
Mudando para a base 10:
logea=log10alog10e
Como log10e≈0,43, temos:
logea=log10a0,43=10,43⋅loga=2,3⋅loga
Portanto, podemos realizar uma mudança de base considerando sempre a relação
lna=2,3⋅loga
Exemplos
1. Sabendo que log 7 = 0,84, determine ln 7.
lna=2,3⋅loga
ln7=2,3⋅log7
Como log 7 = 0,84, então:
ln7=2,3⋅0,84
ln7=1,93
2. Dados log e = 0,43 e log 4 = 0,60, calcule o valor de x na equação ex−64=0.
ex−64=0
ex=64
logex=log64
xloge=log43
xloge=3⋅log4
x=3⋅log4loge
x=3⋅0,600,43
x=4,18