Prova2 Vânia 2013 4 gabarito

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x = rcos; y = rsen; r2 = x2 + y2; tg = y/x; Famílias:  = 0 ; r = a ou r = 2a cos ou r = 2a sen; r = a senn ou r = a cosn; r = a  bsen ou r = a  bcos; r2 = a2.cos(2), r2 = a2.sen(2) 
 
 
Universidade de Caxias do Sul - UCS 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – CCET 
 Disciplina: MAT0358 – Geometria Analítica 
 Horário: ___ - Professora: Vânia M P Slaviero 
 
Nome: __________Gabarito____________________________ Data: 08/10/2013 
 
Segunda Avaliação Parcial (5,0 pontos) 
 
Instruções: Desenvolva as questões de forma organizada, legível e sem rasuras. Questões que não apresentam 
todos os passos do desenvolvimento não serão validadas. Faça os cálculos a lápis e destaque as respostas finais, 
colocando-as à caneta. Respostas a lápis não estarão sujeitas a questionamentos posteriores. Não é permitido o 
uso de celulares, fones de ouvido e calculadora programável. Utilize o verso da folha, quando necessário, 
indicando com uma seta. O formato decimal só é permitido para construção dos gráficos. Boa Prova! 
 
Questão 1. (1,0 ponto) Identifique a curva (escreva o tipo de curva e características principais) 
transformando a equação polar dada para coordenadas cartesianas: 4 8cos sen .r    
ݎ = 4 ௫
௥
+ 8 ௬
௥
 → ݎଶ = 4ݔ + 8ݕ → ݔଶ + ݕଶ − 4ݔ − 8ݕ = 0 Completando os quadrados perfeitos: (ݔ − 2)ଶ + (ݕ − 4)ଶ = 20 → (௫ିଶ)మ
ଶ଴
+ (௬ିସ)మ
ଶ଴
= 1 Círculo de centro em (2, 4) e raio √20. 
 
Questão 2. (1,0 pontos) Esboce a curva em coordenadas polares, colocando os pontos obtidos no gráfico, 
o sentido de construção da curva e explicando as simetrias, caso faça o uso das mesmas: r = 1 – 2sen(). 
 
 
 
r 1 0,41 1 0,4 1 2,4 3 
 0 5pi/4 3pi/2 7pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 
os demais pontos são obtidos por simetria vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = rcos; y = rsen; r2 = x2 + y2; tg = y/x; Famílias:  = 0 ; r = a ou r = 2a cos ou r = 2a sen; r = a senn ou r = a cosn; r = a  bsen ou r = a  bcos; r2 = a2.cos(2), r2 = a2.sen(2) 
 
Questão 3. (1,0 ponto) Encontre  ,r  para o ponto cujas coordenadas cartesianas é ( 2 3,2), que 
satisfaça as condições dadas: 
(a) 0 0 2r    e (4, 5/6) 
(b) 0 2 0r     e (4, -7/6) 
(c) 0 0 2r    e (-4, 11/6) 
(d) 0 2 0r     e (-4, -/6) 
O ponto, em coordenadas cartesianas, está localizado no segundo quadrante. Isso serve para orientar os 
ângulos a serem obtidos. 
ݎଶ = (−2√3)ଶ + 2ଶ → ݎ = ∓4; ݐ݃ߠ = 2
−2√3 = − 1√3 → ߠ = −ߨ6 ݋ݑ ߠ = 5ߨ6 .ܸ݈ܽ݋ݎ ݒá݈݅݀݋: ߠ = 5ߨ6 . 
 
Questão 4. (2,0 pontos) É dado o gráfico abaixo em um sistema de coordenadas cartesianas. Esboce o 
gráfico em coordenadas polares  ,r  e logo após expresse a equação do mesmo em coordenadas 
polares. 
 
O gráfico é de uma rosácea de 4 pétalas, de 
equação r = 2cos(2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p/4 p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 2p
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y