Física II - Poli - Aula de Reforço (Fuja do Nabo) - P2 - Exercícios

Prévia do material em texto

Fuja do Nabo: Física II – P2 – 2014 – Rogério Motisuki 
Oscilações – Exercícios 
 
 
 
a) A velocidade será nula quando a inclinação da reta tangente for horizontal, pois � = 	���� 
Do gráfico, esse ponto é o �	 = 	3	. 
b) Para acharmos os parâmetros da equação, precisamos substituir pontos do gráfico. 
1:	�	 = 	0		 	⇒ � = 0,5� 
0,5 = 	 ���� + 0�	 	⇔ � = 0,5� 
2: � = 1		 	⇒ 	� = 0� 
0 = 	�����0,5 + �� 	 	⇒ 0 = 0,5 + �	 	⇔ � =	−0,5� 
c) Continuando o raciocínio do item b, procuramos outro ponto para substituir: 
3: � = 4		 	⇒ � =	−0,2� 
−0,2 = 	 �����0,5 − 0,5 × 4�	 	⇔���� = −0,2−1,5 = 215	 	⇔−2 =	 ln 215	 	⇔ 	 	 ≅ 1		�$ 
Portanto % = � = 1&'/	 
Além disso, sabemos que é um amortecimento crítico portanto: 
)&� = *� = 2 = 0,5		�$ 		 	⇔ & = �*�� = 0,25	+/� 
d) Para acharmos a velocidade, basta derivar a equação horária e substituir �	 = 	0: 
���� = 	,�,� = 	− 2 ������� + ��� + ������ =	����� -� −	� 2 − � 2 �. = 	 ���,/��−0,75 + 0,25��	 	⇔��0� = 	−0,75�/	 
 
a) Do gráfico, 1	 = 	6	 
b) Atenção: não é um gráfico de posição. 
A aceleração é dada por ���� = 	−*��3cos�*�� + 	7� 
Portanto, o valor máximo do gráfico é igual a *��3, onde *� =	 �89 =	8: : 
10 = 	*��3	 	⇔3 = 	10 1�4;² = 90;² >� 
c) Já temos a amplitude e a frequência, só precisamos achar a fase inicial. Como o gráfico que 
temos é de aceleração, precisamos substituir pontos na expressão certa para achar a fase. 
1: � = 0	 	⇒� = 5 
5 = 	−10 cos�7� 	 	⇔cos�7� = 	−12	 	⇔7 =	2;3 	?@	 4;3 
Para decidir entre essas duas fases, temos duas alternativas: substituir um segundo ponto do 
gráfico, ou analisar a tendência do gráfico. 
Analisamos quando � = 0 e obtivemos duas possibilidades. Olhando no gráfico vemos que o 
gráfico atinge um ponto de máximo logo após 	� = 0, portanto a fase inicial precisa ser �8: . 
Se a fase inicial fosse 
A8: , o gráfico atingiria um ponto de zero em vez de um ponto de máximo. 
Logo: ���� = 3 cos�*�� + 7� = B�8² cos C8: � + �8: D 	>� 
d) Derivando e substituindo: ���� = 	−*�	3 sen�*�� + 	7� = − :�8 	�F C�8: D = − :�√:�8 	>�/	 
e) É mais fácil calcular a energia potencial máxima do sistema, quando a posição atinge a 
amplitude, a energia cinética será zero, portanto: 
Precisamos ainda achar a constante da mola: HIJ = *� = 8: 	 	⇔& = �*�	� = 8²: 
Logo K =	 IL²� = $� × 8²: × C�,B8²D� = �,�M�8² N 
 
 
a) Para achar equações diferenciais, precisamos usar o torque ou a força. Como é um 
problema angular, é muito mais fácil usar o torque. 
Definindo como positivo o sentido antihorário, o torque exercido pela força peso na barra é: 
O = 	−P'. -R3 	�FS. 
O momento de inércia em torno daquele ponto O, é dado pelo teorema dos eixos paralelos: 
TU = TVW +P,² = PR²12 +P -R3. ² = 736PR² 
Portanto, temos: 
O = TX	 	⇔−P'R3 	�FS = 	 736PR� 	,�S,�� 	 	⇔ ,�S,�� = −12'7R 	�FS ≅ −12'7R S 
b) A partir da equação achada no item a, segue que: 
*�² = 	12'7R 	 	⇔*� = )12'7R 
Portanto: 1Y =	 �8Z[ = 2;H M\$�] 
c) A solução é da forma: S��� = 3 cos�*�� + 7� 
Temos duas informações para substituir e achar os outros parâmetros o ângulo inicial é S� e a 
velocidade inicial é nula. 
^ S� = 3>?	�7�0 = 	−*�3	�F�7� 	 	⇔ ^3>?	�7� = S�	�F�7� = 0 	 	⇔ ^3 =	S�7 = 0 	 	⇒ S��� = 	S� cos_)12'7R �` 
 
d) A pergunta é esquisita, pois como não há atrito, a energia mecânica é constante para 
qualquer ângulo. 
É mais fácil calcular a energia mecânica quando ou a cinética, ou a potencial for zero. Neste 
caso, como não temos informações de velocidade sem precisar calcular, o mais simples é 
calcular a energia potencial no ponto de amplitude máxima: 
Nesse ponto, a energia potencial gravitacional é: K = P'ℎ, onde ℎ é a distância vertical do centro de massa até a altura de referência. A 
referência é tomada de forma que a mínima energia gravitacional durante o movimento seja 0. 
Ou seja, a altura de referência é a mínima atingida pelo centro de massa, quando o ângulo é 0. 
Quando o ângulo for a amplitude, S�, a altura ℎ será: 
ℎ = R3 − -R3 cos S�. = R3 �1 − cos S�� 
Para ângulos pequenos, cos � = 1 − �²� , portanto: 
ℎ ≅ R3b1 − 1 + S��2 c = R6S�² 
Assim, a energia mecânica da oscilação é: 
K = 16P'RS�² 
e) Basta usar o mesmo raciocínio utilizado no item b, porém trocando o momento de inércia e 
o torque. 
O torque agora é: 
O = 	−P'. -R2 	�FS. 
Usando o teorema dos eixos paralelos: 
Td = TVW +P,² = 	PR²12 +P -R2. ² = PR²3 
Logo, temos: 
O = TX	 	⇔−P'R2 	�FS = 	13PR� 	,�S,�� 	 	⇔ ,�S,�� = −3'2R 	�FS ≅ −3'2R S 
Assim, da equação diferencial tiramos: *�² = 	 :]�\ 	 	⇔*� = H:]�\ 
Portanto: 1d =	 �8Z[ = 2;H�\:] 
Usando o resultado do item b, calculamos a razão: 
1d1Y =
2;H2R3'
2;H 7R12'
= )23 × 127 = )87 
 
O que é mais importante: 
� Achar a equação diferencial 
Use seus conhecimentos de mecânica para marcar forças no desenho. Agora decida entre usar 
torque resultante ou força resultante: 
Se você quiser achar: 
ângulo S��� 	⇒ 	f	�	 O = TX 
posição ���� 	⇒ 	f	�	 g = P� 
� Identificar qual solução usar 
4 possibilidades: 
MHS: ���� = 3 cos�*�� + 7� 
Amortecimento subcrítico *� > �� : 
���� = 3����� cos�*� + 7� 					?F,�	* = )*�� − �4 
Amortecimento crítico *� = �� : 
���� = �����	�3 + i�� 
Amortecimento supercrítico *� <	 �� : 
���� = �����	k3�l� + i��l�m						?F,�	n = ) �4 − *�� 
� Achar os outros parâmetros da equação 
Para achar 3, i	�	7 é possível somente com informações do enunciado ou de um gráfico, 
substituindo nas equações e resolvendo. 
Para achar *�	�	 pode ser necessário usar informações de um gráfico também, mas há a 
possibilidade de serem obtidas através da montagem da equação diferencial. Essa montagem 
nem sempre é necessária, visto que: *�: Frequência angular que o sistema oscilaria caso não tivesse atrito (caso MHS). = 	 pJ , ?F,�	%	é	?	>?�rs>s�F��	,�	g = 	−%���� 
� Calcular a energia da oscilação 
Numa oscilação: K =	Ktuv + KwY� 
Geralmente é mais fácil calcular a energia total num ponto onde uma delas é zero, e na 
maioria dos casos é mais fácil quando é a cinética que é zero. 
Lembre que a energia cinética é nula nos pontos de amplitude. 
� Calcular outras grandezas do problema físico 
Período T e frequência f: 1 = 	 $x = �8Z