Regra da Cadeia 04.04.2016 slide

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Ca´lculo II
Elaine Machtyngier
4 de abril de 2016
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regra da Cadeia
z = f (x , y) diferencia´vel em x e y e
x = g(t), y = h(t) diferencia´veis em t
enta˜o z e´ diferencia´vel em t e
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo
Se z = 5xy 2 + 4sen(x2y3) onde x = et e
y = cos 2t, determine
dz
dt
quando t = 0.
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regra da Cadeia
z = f (x , y) diferencia´vel em x e y e
x = g(r , s), y = h(r , s) diferencia´veis em r e s
enta˜o z e´ diferencia´vel em r e s e
∂z
∂r
=
∂f
∂x
∂x
∂r
+
∂f
∂y
∂y
∂r
e
∂z
∂s
=
∂f
∂x
∂x
∂s
+
∂f
∂y
∂y
∂s
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regra da Cadeia(versa˜o geral)
u = f (x1, x2, ..., xn) diferencia´vel em x1, x2, ..., xn e
cada xj = gj(t1, t2, ..., tm) diferencia´vel em t1, t2, ..., tm
enta˜o u e´ diferencia´vel em t1, t2, ..., tm e
∂u
∂ti
=
∂u
∂x1
∂x1
∂ti
+
∂u
∂x2
∂x2
∂ti
+ ... +
∂u
∂xn
∂xn
∂ti
para cada i = 1, 2, ...,m
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio
Sabendo que para uma func¸a˜o f : IR2 → IR :
fxx(−4, 2) = 10 , fxy (−4, 2) = 1 = fyx(−4, 2) e fyy (−4, 2) = 0.
Determine
∂2g
∂v2
(−2, 3) , onde g(u, v) = f (7− v + u3, u2v − 10).
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita em IR2
F definida numa vizinhanc¸a de (a, b) com
F (a, b) = 0, Fy(a, b) 6= 0 e
Fx e Fy cont´ınuas nesta vizinhanc¸a.
enta˜o F (x , y) = 0 define y como uma func¸a˜o de x
nesta vizinhanc¸a e
∂y
∂x
= −
∂F
∂x
∂F
∂y
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita em IR3
F definida numa vizinhanc¸a de (a, b, c) com
F (a, b, c) = 0, Fz(a, b, c) 6= 0 e
Fx ,Fy e Fz cont´ınuas nesta vizinhanc¸a.
enta˜o F (x , y , z) = 0 define z como uma func¸a˜o de x e y
nesta vizinhanc¸a e
∂z
∂x
= −
∂F
∂x
∂F
∂z
e
∂z
∂y
= −
∂F
∂y
∂F
∂z
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio
Seja z = f (x , y). Sabendo que z e´ dado implicitamente pela
equac¸a˜o
xyz = cos(x + y + z)
e que f (−1, 2) = −1, calcule ∂ z
∂ x
(−1, 2) e ∂ z
∂ y
(−1, 2).
Elaine Machtyngier Ca´lculo II