aula 20 Análise do movimento absoluto e relativo

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Analisaremos o movimento absoluto plano 
geral de um corpo rígido 
 Estudaremos a velocidade relativa entre os 
pontos que formam o corpo rígido que esta 
em movimento; 
 Introduziremos o conceito de centro 
instantâneo de velocidade nula. 
 Estudaremos a aceleração relativa entre os 
pontos que formam o corpo rígido que esta 
em movimento 
 O movimento plano geral é uma composição 
de uma translação e uma rotação 
 Observe o movimento no plano de uma placa 
fina: 
◦ Ela translada em seu plano mas também gira em 
torno de um eixo que passa por um ponto base A: 
 Conclusão: 
◦ Conhecida as características geométricas do corpo 
seu movimento pode ser completamente definido 
com base: 
 No movimento de partícula do ponto base A: posição, 
velocidade e aceleração de A. 
 Na rotação da linha fixa AB dentro do corpo em torno 
do ponto base: posição angular, velocidade angular e 
aceleração angular. 
 Vamos então analisar a influência individual da 
translação e rotação sobre o movimento. Para isso, 
definimos dois sistemas de referência: 
◦ Coordenadas x-y: fixo e mede a posição absoluta do corpo; 
◦ Coordenadas x’-y’: fixado no ponto base A, cujo movimento 
é conhecido. 
 Posição 
◦ O vetor de posição rA mostrado na figura especifica 
a localização do ponto base A e o vetor rB/A localiza 
o ponto B em relação ao ponto A. Vetorialmente o 
vetor do ponto B seria: 
ABAB /rrr 
 Deslocamento (Translação+Rotação) 
◦ Durante o intervalo de tempo dt, os pontos A e B 
deslocam-se de drA e drB. Podemos considerarmos 
que esse movimento como uma composição de 
uma translação e uma rotação, ou seja: 

 
A de tornoem rotação
à devido 
/
A de translação
à devido 
ãoa translaç e rotação
à devido 
ABAB ddd rrr 
 Velocidade 
◦ Para se determinar a relação entre as velocidades 
dos pontos A e B é necessário dividir a equação do 
deslocamento por dt, portanto: 
 
 
 
dt
d
dt
d
dt
d ABAB /rrr 
◦ Portanto a velocidade do pontos B é igual a 
velocidade do ponto A mais a velocidade de rotação 
do ponto B em torno de A 
 
 
 
◦ Onde: 
 vB = velocidade do ponto B; 
 vA = velocidade do ponto A; 
 vB/A = velocidade de rotação ponto B em relação a A. 
ABAB /vvv 
 Como a velocidade relativa vB/A representa o 
efeito do movimento circular de B em torno 
de A, esse termo pode ser expresso pelo 
produto vetorial 
 
 
 
◦ Onde: 
 w = velocidade angular do corpo; 
 rB/A = vetor de posição do ponto B relativamente a A. 
 
BAAB // rv  w
 Finalmente podemos escrever então a 
equação para a velocidade do ponto B como: 
ABAB /rvv  w
 Considere a situação onde escolhemos como 
ponto base A um ponto que no instante 
analisado apresenta velocidade nula, ou seja: 
 
 
 
 
◦ Onde 
 rCI é o vetor posição do ponto B em relação ao centro 
instantâneo de velocidade relativa 
CIABB
AABAB
rrv
vrvv


ww
w
/
/ 0
 Analisemos a fotografia abaixo de uma bicicleta em 
movimento, nela podemos observar que os raios da roda 
próximos ao ponto de contato com o solo estão visíveis 
enquanto os raios distantes parecem borrados. Nesse caso, o 
CI está localizado no ponto de contato da roda no solo. 
CIB rv  w
 A localização do CI pode ser feita mediante 
algumas considerações: 
◦ Se conhecermos a velocidade vP de um ponto P do corpo e 
sua velocidade angular w, nesse caso o CI localiza-se num 
ponto da linha traçada perpendicularmente a vP, tal que a 
distância de P ao CI é igual a vP /w. 
◦ Se forem dadas as direções de duas velocidades 
não paralelas vA e vB, podemos traçar a partir dos 
pontos A e B segmentos de reta perpendiculares a 
vA e vB, até sua interseção no CI 
◦ Se ao contrário forem dadas as direções de duas 
velocidades paralelas vA e vB, a localização do CI é 
determinada por semelhança de triângulos. 
 Observações: 
◦ O centro instantâneo de velocidade nula somente 
pode ser usado para um dado instante, pois o 
corpo muda sua posição a todo momento; 
◦ O lugar geométrico de todos os os CI’s de um 
corpo em movimento é denominado centrodo; 
◦ Embora o CI possa ser usado para determinar a 
velocidade de qualquer ponto do corpo ele não tem 
aceleração nula portanto não pode ser usado para 
determinar as acelerações dos pontos do corpo. 
 A equação que relaciona as velocidades de 
dois pontos de um corpo rígido em 
movimento plano geral podia ser escrita 
como: 
 
 
◦ Onde: 
 vB = velocidade do ponto B; 
 vA = velocidade do ponto A; 
 vB/A = velocidade de rotação do ponto B em relação a A 
ABAB /vvv 
 Então a equação que relaciona as acelerações 
de dois pontos desse corpo rígido é obtida 
derivando-se no tempo a equação anterior, 
ou seja: 
 
 
 
◦ Onde: 
 aB = aceleração do ponto B, no sistema de eixos fixos; 
 aA = aceleração do ponto A, no sistema de eixos fixos; 
 aB/A = aceleração do ponto B em relação a A no sistema 
 de eixos em translação como origem no ponto 
 base. 
ABAB
ABAB
dt
d
dt
d
dt
d
/
/ aaa
vvv

 Em relação a A o ponto B parece mover-se ao 
longo de um arco de circunferência com raio 
de curvatura rB/A. Sendo assim, a aceleração 
relativa pode ser expressa em termos dos 
componentes tangencial e normal, ou seja 
 
 
◦ Onde: 
 (aB)t= componente tangencial da aceleração; 
 (aB)n= componente normal da aceleração; 
   
nABtABAB ///
aaa 
 Do estudo do movimento em torno de um 
eixo fixo, obtemos o valor do módulo das 
componentes tangencial e normal da 
aceleração relativa, ou seja 
 
 
 
◦ Onde: 
 α = aceleração angular do movimento de rotação; 
 w= velocidade angular do movimento de rotação; 
 rB/A = módulo do vetor de posição relativa B/A. 
    B/AnB/AB/AtB/A rara 
2e w
 Logo a equação para aceleração do ponto B 
pode ser escrita como: 
 
 
 
◦ Onde: 
 aB = aceleração de B; 
 aA = aceleração de A; 
 (aB)t= componente tangencial da aceleração relativa na 
 direção perpendicular a rB/A ; 
 (aB)n= componente normal da aceleração na direção de 
 BA e sentido de B para A; 
   
nABtABAB //
aaaa 
 Portanto em qualquer instante a aceleração 
de B é determinada considerando que o 
corpo translada com aceleração aA e 
simultaneamente gira em torno do ponto 
base A com velocidade angular w e uma 
aceleração angular . 
 
 Os componentes da aceleração relativa 
representam o efeito do movimento circular 
observado num referencial em translação 
com origem no ponto base A. sendo assim, 
podemos escrever a aceleração de B da 
seguinte forma: 
 
ABABAB /
2
/ rraa w 
 A fórmula da aceleração para o ponto B pode 
ser aplicada no estudo do movimento 
acelerado de um corpo rígido que está 
articulado, nesse caso considera-se que os 
pontos coincidentes possuem a mesma 
aceleração. 
 Se dois corpos fizerem contato entre si sem 
haver escorregamento e os pontos de contato 
moverem-se em trajetórias diferentes os 
componentes tangenciais da aceleração são 
iguais mas os componentes normais serão 
diferentes. 
 A manivela CB oscila em torno de C através de um arco 
limitado, obrigando a manivela AO a oscilar em torno de O. 
Quando o mecanismo passa pela posição mostrada com CB 
horizontal, a velocidade angular CB é de 2 rad/s no sentido 
anti-horário. Para esse instante, determine as velocidades 
angulares de OA e AB. 
 Cada uma das barras deslizantes A e B se acopla na sua 
borda respectiva dasduas rebitadas sem deslizar. Determine 
o módulo da velocidade do ponto P para a posição indicada.