Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 15 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 15– 08/05/2017 
TÓPICOS DA AULA: 
 
1. Análise Nodal – Revisão (definição, objetivo, método de 
inspeção...) 
2. Análise Nodal aplicada a circuitos com geradores de 
tensão independentes 
i) Com nó no terra 
ii) Sem nenhum nó no terra 
3. Análise Nodal aplicada a circuitos com geradores 
vinculados 
 i) Com nó no terra 
 ii) Sem nenhum nó no terra 
Análise Nodal 
 
Análise Nodal: método sistemático para calcular as 
correntes e tensões de ramo de um circuito 
• Permite identificar equações linearmente independentes e 
suficientes; 
 
• É baseada na 1ª Lei de Kirchhoff (1ª LK); 
 
• Na Análise Nodal as variáveis são as tensões nos N-1 nós 
  precisamos de N – 1 equações nodais 
  as tensões nodais são definidas em relação a um nó de 
 referência 
 
* Método aplicado em programas computacionais (exemplo PSICE) 
Equação geral da Análise Nodal de 
redes resistivas lineares 
Gn isn ~ 
e 
~ 
= 
Gn Matriz de condutâncias nodais 
e 
~ 
Vetor de tensões nodais (incógnitas do 
circuito) 
Vetor de fontes de corrente independentes 
Método para obter Gn: por inspeção 
 O elemento (k, k): soma das condutâncias 
ligadas ao nó k; 
 
 Elemento (k, l): negativo da soma das 
condutâncias existentes nos ramos que 
interligam os nós k e l, sendo k  l 
 
 Gn: simétrica e não-singular 
Para obter o vetor das fontes de corrente: 
 K-ésimo elemento: soma das correntes de 
geradores independentes que pertencem ao 
nó k. 
 
 
Aplicação do método da inspeção no 
circuito exemplo: 
𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2
−𝐺2 𝐺2 + 𝐺3
𝑒1
𝑒2
=
 𝑖𝑠1
−𝑖𝑠2
 
Para a matriz de 
correntes 
independentes: 
(+) para entrar no nó 
(-) para sair do nó. 
Exercício: monte o sistema de equações 
nodais pelo método de inspeção 
G3 
G2 
iS2 
G1 
iS1 
iS3 
G4 G5 
G6 
i1 
i3 
i4 1 
2 
3 
0 
ref 
RESOLUÇÃO 
𝐺1 + 𝐺3 + 𝐺4 −𝐺4 −𝐺3
−𝐺4 𝐺4 + 𝐺5 + 𝐺6 −𝐺5
−𝐺3 −𝐺5 𝐺2 + 𝐺3 + 𝐺5
𝑒1
𝑒2
𝑒3
=
𝑖𝑠1 + 𝑖𝑠3
0
−𝑖𝑠2 − 𝑖𝑠3
 
Para a matriz de 
correntes 
independentes: 
+ para entrar no nó 
- Para sair do nó. 
Extensões da Análise Nodal 
• Caso em que há geradores ideais de tensão no 
circuito: 
 
 Se um dos nós do gerador estiver no nó de 
referência, não há necessidade de escrever a 
1ª LK para o nó que contém o gerador. 
 
 A tensão nodal é conhecida (é igual ao valor 
da tensão no gerador!) 
Exemplo 1: 
i1 
i2 
i3 
v1 v3 
v2 
G1 G3 
G2 
E 
1 2 
0 
+ 
- 
Exemplo 1: 
Nó 1: 
 Não será escrita a 
1ª LK pois: e1 = E 
Nó 2: 
1ª LK  −𝑖2 + 𝑖3 = 0 
 
−𝐺2 𝑒1 − 𝑒2 + 𝐺3𝑒2 = 0 
 
Como 𝑒1 = 𝐸, então.... 
 
−𝐺2𝐸 + 𝐺2𝑒2 + 𝐺3𝑒2 = 0 
𝒆𝟐 =
𝑮𝟐
𝑮𝟐+𝑮𝟑
𝑬  𝒆𝟐 =
𝑹𝟑
𝑹𝟑 + 𝑹𝟐
𝑬 
Exercício: aplicar A.N. para calcular as 
tensões nodais no circuito abaixo: 
E
--
G1
G2
G5
G4
G3
e1
e2 e3
i1 i5
i4i2
i3
ie
Quais são as tensões 
nodais 
a serem determinadas? 
Somente as tensões nodais e2 e e3 
 e1 é conhecida: e1 = E 
Solução: Aplicar a 1a LK nos nós e2 e e3 
Nó 2: 
−𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
Nó 3: 
−𝑖3 + 𝑖4 − 𝑖5 = 0 
Continuação da resolução.... 
E
--
G1
G2
G5
G4
G3
e1
e2 e3
i1 i5
i4i2
i3
ie
Nó 2: 
−𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
−𝐺1 𝑒1 − 𝑒2 + 𝐺2𝑒2 + 𝐺3 𝑒2 − 𝑒3 = 0 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒1 = 𝐸, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 𝑒2 − 𝐺3𝑒3 = 𝐺1𝐸 
 
Nó 3: 
−𝑖3 + 𝑖4 − 𝑖5 = 0 
−𝐺3 𝑒2 − 𝑒3 + 𝐺4𝑒3 − 𝐺5 𝑒1 − 𝑒3 = 0 
 
−𝐺3𝑒2 + 𝐺3 + 𝐺4 + 𝐺5 𝑒3 = 𝐺5𝐸 
 
Para obter iE, aplicar a 1
a LK: 
 
𝒊𝑬 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟓 
 
𝒊𝑬 = 𝑮𝟏 𝑬 − 𝒆𝟐 + 𝑮𝟓 𝑬 − 𝒆𝟑 
E quando um dos terminais do gerador não 
estiver no “nó de terra”... como resolver? 
e1 e3
e2
G1 G4
G3G2
is1
i2
iE
i4
i3
i1
Neste caso, iE é incógnita; 
 
Obrigatoriamente deverá ser 
considerada na equação 
matricial!!! 
As incógnitas deste circuito 
serão: 
As tensões nodais: e1, e2, e3 
A corrente iE 
Para resolver o circuito: 
 Aplicar a 1ª LK nos nós e1, e2, 
e3; 
 
 Substituir as correntes pelas 
relações constitutivas 
(ex: i1 = G1.v1; ....) 
 
 Substituir as tensões nos ramos 
por tensões nodais 
(ex: v1 = e1; v4 = e3, ....) 
 
 Escrever a tensão no gerador 
em relação a tensões nodais 
(E = e1 – e3) 
e1 e3
e2
G1 G4
G3G2
is1
i2
iE
i4
i3
i1
E 
Resolução: 
Nó 1: 
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖𝐸 − 𝑖𝑠1 = 0 
 
𝐺1𝑒1 + 𝐺2 𝑒1 − 𝑒2 + 𝑖𝐸 = 𝑖𝑠1 
 
𝐺1 + 𝐺2 𝑒1 − 𝐺2𝑒2 + 𝑖𝐸 = 𝑖𝑠1 
Nó 2: 
−𝑖2 + 𝑖3 = 0 
 
−𝐺2𝑒1 + 𝐺2 + 𝐺3 𝑒2 − 𝐺3𝑒3 = 0 
Nó 3: 
−𝑖3 + 𝑖4 − 𝑖𝐸 = 0 
 
−𝐺3𝑒2 + 𝐺3 + 𝐺4 𝑒3 − 𝑖𝐸 = 0 
 
4ª equação: 
𝑒1 − 𝑒3 = 𝐸 
 
𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2 0 1
−𝐺2 𝐺2 + 𝐺3 −𝐺3 0
0
1
−𝐺3
0
𝐺3 + 𝐺4
−1
−1
 0
𝑒1
𝑒2
𝑒3
𝑖𝐸
=
𝑖𝑠1
0
0
𝐸
 
A equação matricial composta por: matriz de condutâncias, vetor de incógnitas e 
vetor das correntes e tensões dos geradores será: 
E 
e1 e3
e2
G1 G4
G3G2
is1
i2
iE
i4
i3
i1
Geradores Vinculados ou Geradores 
Dependentes – Revisão (aula 13) 
+ 
- 
- 
+ rmi1 
i1 i2 
R1= 
2  R2= 
5  
5 V 
v2 
rm = 2  
Exercício com gerador dependente: 
Quanto vale i2? 
Obtenção de i1: 𝑖1 =
5
2
= 2,5 Ω 
Obtenção de i2: 
𝑖2 =
𝑣2
𝑅2
=
𝑟𝑚𝑖1
𝑅2
=
2𝑥2,5
5
= 1 𝐴 
Análise Nodal Aplicada a Circuitos 
com Geradores Vinculados 
1) Deve-se tratar o gerador vinculado como 
independente, ou seja: 
 
a) Se for gerador de corrente, colocá-lo no segundo 
membro da equação matricial; 
b) Se for gerador de tensão, e estiver ligado ao terra, não 
escrever a 1ª LK; 
c) Se for gerador de tensão e não estiver ligado ao terra, 
deve-se considerar a corrente no gerador como 
incógnita. 
Análise Nodal Aplicada a Circuitos 
com Geradores Vinculados, cont. 
2) Reescrever a variável de controle em função 
das tensões nodais; 
 
3) Rearranjar a equação matricial e resolver o 
sistema. 
 
Exercício – determine a equação 
matricial do circuito abaixo: 
G1 G3 
G2 
iS1 i2 
i2 e1 e2 
Resolução 
“Se for gerador de corrente, colocá-lo no segundo membro da equação matricial” 
Por inspeção, teremos: 
𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2
−𝐺2 𝐺2 + 𝐺3
𝑒1
𝑒2
=
𝑖𝑠1
−𝛽𝑖2
 
“Reescrever a variável de controle em função das tensões nodais” 
𝑖2 = 𝐺2 𝑒1 − 𝑒2 ⇒ 𝛽𝑖2 = 𝛽𝐺2𝑒1 − 𝛽𝐺2𝑒2 
Resolução, continuação.... 
“Rearranjar a equação matricial e resolver o sistema” 
Como: 
𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 −𝑮𝟐
−𝑮𝟐 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑
𝒆𝟏
𝒆𝟐
=
𝒊𝒔𝟏
−𝜷𝒊𝟐
 
e: 
𝒊𝟐 = 𝑮𝟐 𝒆𝟏 − 𝒆𝟐 ⇒ 𝜷𝒊𝟐 = 𝜷𝑮𝟐𝒆𝟏 − 𝜷𝑮𝟐𝒆𝟐 
Teremos: 
 
𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 −𝑮𝟐
−𝑮𝟐 + 𝜷𝑮𝟐 𝑮𝟐 − 𝜷𝑮𝟐 + 𝑮𝟑
𝒆𝟏
𝒆𝟐
=
𝒊𝒔𝟏
𝟎
 
 
 
Exercício 2 - determine a equação 
matricial do circuito abaixo: 
1) Identificar as incógnitas do circuito: 
 
𝒆𝟏, 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 , 𝒆𝟒 , 𝒊𝑬 , 𝒊𝒎 
G2
+ -
G3
G4
is
G1
rm.i1
i1 iE
i2 i3
im
i4
e1
e2
e3
e4
Resolução do ex.2, continuação... 
2) . aplicar a 1ª LK nos nós 1, 2, 3 e 4; 
 . reescrever as expressões, substituindo-se as correntes por tensões nodais 
 
 
Nó 1: 
−𝑖𝑠 + 𝑖1 + 𝑖4 = 0 
 
𝐺1 𝑒1 − 𝑒4 + 𝐺4 𝑒1 − 𝑒3 = 𝑖𝑠 
 
𝑮𝟏 + 𝑮𝟒 𝒆𝟏 + 𝟎. 𝒆𝟐 − 𝑮𝟒𝒆𝟑 − 𝑮𝟏𝒆𝟒 = 𝒊𝒔 
Nó 2: 
𝑖𝐸 + 𝑖2 − 𝑖𝑚 = 0 
 
𝑮𝟐𝒆𝟐 + 𝒊𝑬 − 𝒊𝒎 = 𝟎 
 
Nó 3: 
𝑖3 − 𝑖4 + 𝑖𝑚 = 0 
 
𝐺3𝑒3 − 𝐺4 𝑒1 − 𝑒3 + 𝑖𝑚 = 0−𝑮𝟒𝒆𝟏 + 𝟎𝒆𝟐 + 𝑮𝟑 + 𝑮𝟒 𝒆𝟑 + 𝒊𝒎 = 𝟎 
Nó 4: 
 
−𝑖1 − 𝑖𝐸 = 0 
 
−𝐺1 𝑒1 − 𝑒4 − 𝑖𝐸 = 0 
 
−𝑮𝟏𝒆𝟏 + 𝟎𝑮𝟐 + 𝟎𝑮𝟑 + 𝑮𝟏𝒆𝟒 − 𝒊𝑬 = 𝟎 
Resolução do ex.2, cont(2) 
• Escrever as equações adicionais, que relacionam as tensões 
do gerador independente e do gerador vinculado, em termos 
das tensões nodais: 
𝒆𝟒 − 𝒆𝟐 = 𝑬 ⇒ 𝟎𝒆𝟏 − 𝒆𝟐 + 𝟎𝒆𝟑 + 𝒆𝟒 = 𝑬 
𝑒2 − 𝑒3 = 𝑟𝑚𝑖1 = 𝑟𝑚𝐺1 𝑒1 − 𝑒4 
 
−𝑟𝑚𝐺1𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 + 𝑟𝑚𝐺1𝑒4 = 0 
𝐺1 + 𝐺4 0 −𝐺4 −𝐺1 0 0
0 𝐺2 0 0 1 −1
−𝐺4
−𝐺1
0
−𝑟𝑚𝐺1
0
0
−1
1
𝐺3 + 𝐺4
 0
 0
−1
 0
 𝐺1
 1
 𝑟𝑚𝐺1
 0
−1
 0
 0
 
 1
 0
 0
 0
𝑒1
𝑒2
𝑒3
𝑒4
𝑖𝐸
𝑖𝑚
=
𝑖𝑠
0
0
0
𝐸
0