Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 23 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 23 – 07/06/2017 
TÓPICOS DA AULA: 
 
REVISÃO DE IMPULSO UNITÁRIO: DELTA DE DIRAC 
 
EXERCÍCIOS SOBRE DELTA DE DIRAC 
 
CIRCUITOS DE 1a ORDEM COM EXCITAÇÃO IMPULSIVA 
 
EXERCÍCIOS DE CIRCUITOS COM EXCITAÇÃO IMPULSIVA 
 
Revisão: Função Impulso e Delta de Dirac, (t) 
(t) 
0 t 
DEFINIÇÕES: 
 
 (t) =  para t = 0 
 
 (t) = 0 para t  0 
 
 A área de (t) = 1, ou seja, 
 
 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
∞
−∞
 
Delta de Dirac, (t), é um pulso com as seguintes características: 
 
- muito estreito, de largura tendendo a zero 
 
- e amplitude tendendo ao infinito 
Revisão: A função f(t) e sua derivada 
em função de t 
1 
1 
f1(t) 
2 
f2(t) 
3 
f3(t) 
t 
f(t) 
1 t 3 
1/3 
2 
1/2 
1/1 
𝒇 𝒕 
 𝑓 𝑖
∞
−∞
𝑡 𝑑𝑡 = 1 ⇒ 
1
𝜏𝑖
𝜏𝑖
0
𝑑𝑡 = 1 
Área = 1 
𝑓𝑖 =
1
𝜏𝑖
𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜏𝑖 
Revisão: As Funções Degrau, Impulsiva e o 
Delta de Dirac 
1 
f(t) 
t 
t 
𝒇 (t) 
quando 0 , temos que: 
𝑓 𝑡 =
𝑡
𝜏
= 1𝐻 𝑡 
 
𝑓 𝑡 = ∞ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 
 
𝑓 𝑡 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≠ 0 
 𝑓 
∞
−∞
𝑡 𝑑𝑡 = 1 
𝑓 𝑡 =
𝑑𝐻(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝛿 𝑡 
Revisão: Propriedades 
da “função” Delta de Dirac 
a) 𝜹 𝒕 = 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∀ 𝒕 ≠ 𝟎 
  𝜹 𝒕 − 𝝉 = 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∀ 𝒕 ≠ 𝝉 
 
b) 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏, 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∀ 𝒕𝟏, 𝒕𝟐 > 𝟎
𝒕𝟐
−𝒕𝟏
∞
−∞
 
 
c) 𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝟎 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝟎
∞
−∞
∞
−∞
 
 
d) 
𝒅𝑯 𝒕
𝒅𝒕
= 𝜹 𝒕 
 
e) 𝒇 𝒕 = 𝑨𝜹 𝒕 − 𝝉  impulso de amplitude “A” em t =  
Calcule a derivada das funções a seguir: 
f(t) A 
t t1 
A função é: 
 
𝑓 𝑡 = 𝐴 𝐻 𝑡 − 𝐻 𝑡 − 𝑡1 
Sua derivada em função do tempo será: 
 
𝐴 𝐻 𝑡 − 𝐻 𝑡 − 𝑡1 = A 𝛿 𝑡 − 𝛿 𝑡 − 𝑡1 
A 
-A 
t1 
t 
𝑓 (𝑡) 
Calcule a derivada de f(t) 
graficamente: 
f(t) 
t 
A 
𝒇 (𝒕) 
t 
A 
-A 
Obtenha a derivada da função y(t) 
graficamente e deduza a expressão 𝑦 (t) 
H(t) 
H(t-t1) 
x 
A 
-A 
A 
t1 
t1 
A 
t1 
 
g(t) s(t) 
y(t) = 
g(t) x s(t) 
A/t1 
𝑦 (𝑡) 
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝐴
𝑡1
𝐻 𝑡 − 𝐻(𝑡 − 𝑡1 +
𝐴𝑡
𝑡1
𝛿 𝑡 − 𝛿(𝑡 − 𝑡1 = 
𝑨
𝒕𝟏
𝑯 𝒕 − 𝑯( 𝒕 − 𝒕𝟏 − 𝑨𝜹(𝒕 − 𝒕𝟏) 
- A 
𝑦 𝑡 =
𝐴. 𝑡
𝑡1
𝐻 𝑡 − 𝐻 𝑡 − 𝑡1 
Excitação Impulsiva nos circuitos 
Nos circuitos com elementos armazenadores de energia: 
 
a transferência instantânea de carga para o capacitor, 
e... 
a transferência instantânea de fluxo magnético para o 
indutor.... 
 
 serão representadas pela função impulsiva. 
Resposta dos circuitos RL 
à excitação impulsiva 
CCA(t) 
vR(t)
vL(t)
R
L
i(t)
A(t) 
0 t 
𝑒𝑠 𝑡 = 𝐴𝛿 𝑡 𝑉. 𝑠 
 
sendo “A” = fluxo magnético = L.I 
Pergunta-se: O que acontece com a corrente no indutor em t = 0+? 
Dicas: 
 Deve-se aplicar a 2ª LK; 
 Resolver a equação diferencial de 1ª ordem em torno de zero (intervalo que a 
função impulsiva atua). 
Resposta dos circuitos RL 
à excitação impulsiva, cont… 
CCA(t) 
vR(t)
vL(t)
R
L
i(t)
a) 2ª LK: 
 
 𝑣𝐿 𝑡 + 𝑣𝑅 𝑡 = 𝐴𝛿 𝑡 
 
 
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
 + 
𝑅
𝐿
𝑖 𝑡 = 
𝐴
𝐿
𝛿 𝑡 
b) O que acontece com a corrente no circuito em t = 0+? 
 
 
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
0+
0−
 + 
𝑅
𝐿
𝑖 𝑡 𝑑𝑡
0+
0−
 = 
𝐴
𝐿
𝛿 𝑡 𝑑𝑡
0+
0−
 
𝑖 0+ − 𝑖 0− =
𝐴
𝐿
⇒ 𝒊 𝟎+ =
𝑨
𝑳
+ 𝒊 𝟎− 
 Há uma corrente instantânea adicional do indutor em t = 0+ (descontinuidade); 
 Depois disso o circuito comporta-se como um circuito livre! 
Análise intuitiva sobre o comportamento do 
circuito RL com excitação impulsiva em t = 0 s 
• Excitação impulsiva  instantânea e abrupta 
• Tensão sobre o indutor para variações de 
elevada frequência  valor muito elevado 
• Indutor comporta-se instantaneamente como 
um aberto 
• Toda a tensão do gerador cairá sobre o indutor 
instantaneamente 
• Isso provocará uma descontinuidade de 
corrente no indutor em t = 0s. 
Resposta do circuito RC à 
 excitação impulsiva 
R 
Q (t)
vC(t)C
iR(t) iC(t)
vR(t)
1
Q(t) 
0 t 
𝑣 0− = 𝑣0 
 
𝑖𝑠 𝑡 = 𝑄𝛿 𝑡 ; 𝐴. 𝑠 
Pergunta-se: O que acontece com a tensão no capacitor em t = 0+? 
 Comporta-se como um curto para variações abruptas e instantâneas 
 Nesta condição, toda a corrente será conduzida para o capacitor. 
 Provoca-se descontinuidade de tensão no capacitor em t = 0+ s. 
Cálculo da resposta do circuito RC 
à excitação impulsiva 
R 
Q (t)
vC(t)C
iR(t) iC(t)
vR(t)
1
1ª LK: 
 
𝑖𝐶 𝑡 + 𝑖𝑅 𝑡 = 𝑄𝛿 𝑡 
 
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
+
𝑣 𝑡
𝑅𝐶
=
𝑄
𝐶
𝛿 𝑡 
 
Em torno de t = 0 s temos: 
 
 
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 + 
𝑣 𝑡
𝑅𝐶
0+
0−
𝑑𝑡 = 
𝑄
𝐶
0+
0−
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 
𝒗 𝟎+ − 𝒗 𝟎− =
𝑸
𝑪
⇒ 𝒗 𝟎+ =
𝑸
𝑪
+ 𝒗 𝟎− 
Haverá uma descontinuidade de tensão no capacitor devido à excitação impulsiva! 
Efeito da excitação impulsiva 
no circuito 
Cria condições iniciais não nulas 
instantaneamente no circuito para t = 0+ s; 
 
 Depois disso, o circuito comporta-se como 
um circuito livre, ou seja, a resposta em função 
do tempo dependerá das características de seus 
componentes. 
Conclusões Parciais 
• O impulso (excitação impulsiva) provoca uma 
descontinuidade (em degrau) na corrente do 
circuito RL, com amplitude y/L (y = fluxo 
magnético, sendo y = L.I) 
 
• No circuito RC o impulso impõe 
instantaneamente uma carga no capacitor, 
aumentando bruscamente a tensão sobre ele 
de Q/C. 
Exemplo 1 
Condições iniciais: 
𝑣𝐶 0− = 0 
Determine 𝒗𝑪 𝒕 , 𝒕 ≥ 𝟎 𝒔 
Em t=0- o capacitor é um curto  devido à condição inicial imposta. 
 
 𝑖𝐶 = 𝑖𝑅 = 
1𝛿 𝑡
10
 
 
 𝑖𝐶
0+
0−
𝑑𝑡 = 
1𝛿 𝑡
10
0+
0−
𝑑𝑡 ⇒ 𝐶
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 =
1
10
 
 
𝑣 0+ − 𝑣 0− =
1
10𝐶
=
1
20
= 0,05𝑉 
 
Depois de t=0+ a energia armazenada no capacitor é dissipada pelo resistor: 
 
𝒗𝑪 𝒕 = 𝒗𝟎+𝒆
− 𝒕 𝑹𝑪 ⇒ 𝒗𝑪 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟓𝒆
− 𝒕 𝟐𝟎 
CC1(t) 
vR(t)
vC(t)
R= 10W 
C= 2F
i(t)
Exemplo 2 
R2 
Y()
vL(t)L
R1 R3 
CC
Determine vL(t), t  0 
Condição inicial: iL(0-) = i0 
1) Vamos considerar que iL(0- ) = 0 
Assim, em t = 0, o indutor é um aberto, 
e: 
 
𝑣𝐿 𝑡 =
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝜓𝛿 𝑡 
Desta forma, entre t = 0- e t = 0+ temos: 
 
 𝐿
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 =
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 𝜓𝛿 𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 
𝐿 𝑖 0+ − 𝑖 0− =
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝜓 ⇒ 𝒊 𝟎+ =
𝟏
𝑳
𝑹𝟐
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
𝝍+ 𝒊 𝟎− 
Exemplo 2, continuação.... 
𝒊 𝟎+ =
𝟏
𝑳
𝑹𝟐
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
𝝍+ 𝒊 𝟎− 
Para t >0, o circuito tempo comportamento “livre”: 
 
𝑖 𝑡 = 𝑖0𝑒
− 
𝑡
𝜏 ; sendo 𝜏 =
𝐿
𝑅3+
𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2
 
𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
= − 
𝐿
𝜏
𝑖0 +
𝑅2𝜓
𝑅1 + 𝑅2
𝑒−
𝑡
𝜏 +
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝜓𝛿 𝑡 
Ou seja, há uma descontinuidade da tensão sobre o indutor em t = 0, e 
depois a tensão cai exponencialmente até zero. 
Exemplo 3 
𝑖𝐿 0− = 0 Condição Inicial: 
 Determine 𝒊𝑳 𝒕 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒐 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 = 𝟎+ 
1) 1ª observação: 
 
Se iL(t = 0-)=0, o indutor comporta-se como um 
aberto. A corrente i2 neste instante será: 
𝑖2 = 𝑔𝑚𝑣1 
2) Aplicando-se 1ª LK no nó associado a R1: 
 
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑔𝑚𝑣1 − 𝐴𝛿 𝑡 = 0 
 
→ 𝑖1 = 𝐴𝛿 𝑡 
 
→ 𝑣1 = 𝑅1𝐴𝛿 𝑡 
Com isso temos que: 
𝒗𝑳 𝒕 = 𝟎− = 𝒗𝑹𝟏𝒕 = 𝟎− + 𝒗𝑹𝟐 𝒕 = 𝟎− 
R1 L
gmv1
R2
A (t)
iL(t)
v1
R1 L
gmv1
R2
A (t)
iL(t = 0-) = 0
v1
i2
i1
Exemplo 3, continuação.... 
Com isso temos que: 
 
𝒗𝑳 𝒕 = 𝟎− = 𝒗𝑹𝟏 𝒕 = 𝟎− + 𝒗𝑹𝟐 𝒕 = 𝟎− 
𝑣𝐿 𝑡 = 0− = 𝑅1𝐴𝛿 𝑡 + 𝑅2𝑔𝑚𝑅1𝐴𝛿 𝑡 = 𝑅1𝐴𝛿 𝑡 1 + 𝑅2𝑔𝑚 
 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 = 1 + 𝑅2𝑔𝑚 𝐴𝑅1𝛿 𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 
𝐿 𝑖 0+ − 𝑖 0− = 1 + 𝑅2𝑔𝑚 𝐴𝑅1 
𝒊 𝟎+ =
𝑹𝟏𝑨
𝑳
𝟏 + 𝑹𝟐𝒈𝒎 
Para t > 0 s, o circuito responde livre, somente com a energia 
armazenada instantaneamente: 𝒊 𝒕 = 𝒊𝟎𝒆
−
𝒕
𝝉 
Para determinar a corrente em i(0+) temos: 
Exemplo 3, cont.... 
Deve-se então calcular a cte de tempo do circuito nesta 
condição. 
−𝑖𝑎𝑢𝑥 − 𝑔𝑚𝑣1 + 𝑖2 = 0 ⇒ 𝑖𝑎𝑢𝑥 = 𝑖2 − 𝑔𝑚𝑣1 
1ª LK no nó 1: 
1ª LK no nó 2: 
−𝑖2 + 𝑔𝑚𝑣1 + 𝑖1 = 0 ⇒ 𝒊𝟏 = 𝒊𝒂𝒖𝒙 
Logo: 𝑖2= 𝑖𝑎𝑢𝑥 + 𝑔𝑚 𝑅1𝑖𝑎𝑢𝑥 → 𝒊𝟐 = 𝒊𝒂𝒖𝒙 𝟏 + 𝑹𝟏𝒈𝒎 
2ª LK: −𝑣1 − 𝑣2 + 𝑣𝑎𝑢𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑎𝑢𝑥 = 𝑅1𝑖𝑎𝑢𝑥 + 𝑅2𝑖𝑎𝑢𝑥 1 + 𝑅1𝑔𝑚 
𝒗𝒂𝒖𝒙
𝒊𝒂𝒖𝒙
= 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝒈𝒎𝑹𝟏 + 𝟏 = 𝑹𝑻𝒉 
𝒊 𝒕 =
𝑹𝟏𝑨
𝑳
𝑹𝟐𝒈𝒎+ 𝟏 𝒆
− 
𝒕 𝑹𝟏+𝑹𝟐 𝒈𝒎𝑹𝟏+𝟏
𝑳 
R1 Vaux
gmv1
R2
iaux
v1
i2
i1
CC
12