Provas anteriores de Algebra linear

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[P2, Segunda Prova] Prova de Álgebra Linear II de 2013.1 (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira) ─ Foto 2 de 2.jpg
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[P1, Primeira Prova] Prova de Álgebra Linear II de 2010.1 (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira) ─ Foto 1 de 2.jpg
[P2, Segunda Prova] Prova de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira) ─ Foto 1 de 2.jpg
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Resolução da Segunda Prova (P2) de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira)/[P2, Segunda Prova] Resolução da Prova de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira).docx
Questão 1:
Dadas as bases do R³: A = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B = {(1,0,-1), (0,1,-1), (-1,1,1)}
a) Matriz mudança de base de B para A: Xba
Como a mudança é de uma base B qualquer para a base canônica, basta colocarmos os vetores de B em forma de coluna na matriz.
Ou seja: 
[1 0 -1]
Xba = [0 1 1]
[-1 -1 1]
b) Dado o vetor Vb na base B, ele quer o vetor Va na base A.
Então, sendo Vb = (7,-4,6) e Va = (x,y,z), temos:
[x] [1 0 -1] [7] [1]
[y] = [0 1 1] x [-4] = [2]
[z] [-1 -1 1] [6] [3]
Logo, Va = (1,2,3).
c) Agora ao contrário, ele quer Vb e nos diz que Va = (1,2,3).
Qualquer um, macetando, iria notar que Vb já vem do item anterior, já que achamos justamente Va = (1,2,3). Logo, Vb tem de ser, necessariamente (7,-4,6).
Mas resolvendo para um caso geral, fazendo Vb = (x,y,z):
Teremos que A.Va = B. Vb
Logo, colocando no produto matricial:
[1 0 0] [1] [1 0 -1] [x]
[0 1 0] x [2] = [0 1 1] x [y]
[0 0 1] [3] [-1 -1 1] [z]
Ou seja:
[1] [x-z]
[2] = [y+z]
[3] [-x-y+z]
Igualando-se as linhas e resolvendo o sistema, teremos Vb = (7,-4,6), como era esperado.
Questão 2:
Ele nos diz que uma transformação linear da função f do R² para o R³ é feita de tal forma que f(-1,1) = (3,2,1) e f(0,1) = (1,1,0).
a) Ele quer f(2,3).
Sejam a e b números quaisquer. Como (-1,1) e (0,1) são linearmente independentes, podemos fazer:
(2,3) = a(-1,1) + b(0,1)
Logo, a = -2 e b = 5
Por que fizemos isto? Porque precisamos descobrir qual a combinação linear que nos dará a transformação completa da f(2,3) em algo do R³. Os números a e b são constantes que valem tanto para a função em si como para o valor da mesma em qualquer base.
Ou seja:
f(2,3) = a.f(-1,1) + b.f(0,1)
Então:
f(2,3) = -2(3,2,1) + 5(1,1,0)
f(2,3) = (-6,-4,-2) + (5,5,0)
f(2,3) = (-1,1,-2)
b) O caso geral agora, para f(x,y).
Análogo ao item anterior, só que agora o problema fica praticamente literal.
(x,y) = a(-1,1) + b(0,1)
Então:
a = -x e b = x + y
Fazendo o mesmo para f(x,y) agora:
f(x,y) = -x(3,2,1) + (x + y)(1,1,0)
f(x,y) = (-3x, -2x, -x) + (x + y, x + y, 0)
f(x,y) = (-2x + y, -x + y, -x)
c) Agora ele quer um vetor genérico V do R² de forma que f(V) = (-2,1,-3).
Novamente, suponhamos que V = (x, y).
O chato dessas questões é que os itens anteriores precisam estar corretos para que a questão inteira fique certa.
Exemplificando: como encontramos f(x,y) na letra b, podemos usá-lo agora. Se estivesse errado, seriam dois itens perdidos.
Mas prosseguindo:
f(x,y) = f(V) = (-2,1,-3)
(-2x + y, -x + y, -x) = (-2,1,-3)
Resolvendo o sistema:
-2x + y = -2
-x + y = 1
- x = -3
Temos x = 3 e y = 4. Logo, V = (3,4).
Questão 3:
Ele nos dá um operador linear f, do R³, definido pela matriz:
[1 0 1]
A = [2 -1 1]
[0 0 -1]
a) A lei que define f^(-1). Ou seja, a inversa de f.
Inicialmente, devemos verificar se a matriz A é inversível. Se não for, problema resolvido e não há inversa. Basta calcular o determinante da matriz. Se det A ≠ 0, ela é inversível.
Nesse caso, det A = 1.
Então, precisamos calcular a matriz inversa.
O caminho mais rápido é fazer o produto da matriz A original pela sua inversa e encontrar a identidade.
Em outras palavras, seja:
[a b c]
A^(-1) = [d e f]
[g h i]
Então A x A^(-1) = I
[1 0 1] [a b c] [1 0 0]
[2 -1 1] x [d e f] = [0 1 0]
[0 0 -1] [g h i] [0 0 1]
Resolvendo a multiplicação e caindo em três sistemas:
a + g = 1 b + h = 0 c + i = 0
2a – d + g = 0 2b - e + h = 1 2c - f + i = 0
-g = 0 -h = 0 -i = 0
Ou seja: a = 1; b = 0; c = 1; d = 2; e = -1; f = 1; g = 0; h = 0.
Logo, minha matriz inversa, será:
[1 0 1]
A^(-1) = [2 -1 1]
[0 0 -1]
Por uma feliz coincidência, a inversa deu igual à matriz A original. Nos poupará trabalho para o próximo item. Mas continuando...
Como estamos no R³, minha função terá as três variáveis: x, y e z.
Para calcularmos f^(-1)(x,y,z), basta nos fazermos do método usado na questão anterior.
Seja f^(-1)(x,y,z) = (x,y,z).
Então:
[1 0 1] [x] [x + z]
f^(-1)(x,y,z) = [2 -1 1] x [y] = [2x - y + z]
[0 0 -1] [z] [-z]
Depois da multiplicação, basta vermos que:
f^(-1)(x,y,z) = (x + z, 2x - y + z, -z)
b) IDÊNTICA à letra c da questão 2. Só muda que antes era no R², agora é no R³. Tá, então não é idêntica, é “parecida”. xD
f(V) = (2,-3,0) é o que ele quer.
Notemos nós que o fato de A = A^(-1) nos facilita aqui. Precisaríamos saber quem é f(x,y,z) para este cálculo, mas só temos f^(-1)(x,y,z) que, NESSE CASO, é igual a f(x,y,z).
Logo, podemos usar que f(V) = (x + z, 2x - y + z, -z) = f(x,y,z) = f^(-1)(x,y,z,)
Então, mais um sistema para resolvermos:
x + z = 2
2x - y + z = -3
-z = 0
Logo, x = 2, y = 7 e z = 0.
Enfim, V = (2,7,0).
Questão 4:
Nessa, ele pede para encontrar os autovalores e autovetores da seguinte transformação: f(x,y) = (x + 2y, -x + 4y)
Devemos encontrar a matriz A que representa a transformação na base canônica. Obs.: Poderíamos escolher qualquer base, mas a canônica é sempre a mais aconselhável.
Seja u ={e1, e2} uma base canônica. Logo, e1 = (1,0) e e2 = (0,1).
Então f(e1) = f(1,0) = (1,-1) e f(e2) = f(0,1) = (2,4).
Antes que alguém pergunte: para achar (1,-1) eu substituí x =1 e y = 0 na f(x,y). Idem para (2,4).
Logo, na base canônica, teremos a matriz:
A = [1 2]
[-1 4]
Para saber os autovalores, direto usamos a fórmula do determinante da matriz. Subtraímos 𝛌 da diagonal principal e o determinante da nova matriz deve ser igual a zero. Seja B a nova matriz. (recurso empregado aqui devido ao fato de eu não saber colocar as barrinhas de determinante aqui no Word) xD
Melhor dizendo:
B = [1 - 𝛌 2]
[-1 4 - 𝛌]
det B = 0
Então: (1 - 𝛌)(4 - 𝛌) + 2 = 0
𝛌² -5𝛌 + 6 = 0
𝛌’ = 2 ; 𝛌’’ = 3 -> autovalores!
Para descobrirmos os autovetores, aplicamos a definição: A.v = 𝛌.I.v
Por conseguinte:
[1 2] x [x] = 𝛌 x [x] x [1 0]
[-1 4] [y] [y] [0 1]
Fazendo para 𝛌’ = 2:
[1 2] x [x] = 2 x [x]
[-1 4] [y] [y]
Caindo no sistema:
x + 2y = 2x
-x + 4y = 2y
O que nos dará somente a expressão: x =2y -> y=x/2
Logo, meu v’ = (x, x/2) ou v’ = x(1,1/2) com x ≠ 0. v’ é um dos autovetores.
Para achar o outro autovetor, v’’, devemos usar o raciocínio análogo, mas agora com 𝛌’’ = 3.
Então:
[1 2] x [x] = 3 x [x]
[-1 4] [y] [y]
O que nos dá mais um sistema:
x + 2y = 3x
-x + 4y = 3y
Ou seja, x = y.
Então meu v’’ = (x, x) ou v’’ = x(1,1), com x ≠ 0.
Resposta final: autovalores 𝛌’ = 2 e 𝛌’’ = 3; autovetores v’ = x(1,1/2) e v’’ = x(1,1) com x ≠ 0.
Questão 5:
Essa ele pede para usar a definição
e checar se:
1) v = (-2,1,3) é autovetor de A = [1 -1 0]
[2 3 2]
[1 2 1] 
2) v = (2,1) é autovetor de A = [2 2]
[1 3]
Pois bem, mas qual é a definição?
Bem simples. Ela diz que A .v = 𝛌 . v
Em outras palavras: para verificarmos se um vetor é autovetor de uma matriz, basta multiplicarmos essa matriz pelo vetor e igualarmos a um número 𝛌 vezes esse mesmo vetor.
Se for falsa a igualdade, ou seja, se NÃO houver um 𝛌 que multiplicado por esse vetor v dê o primeiro membro da equação, então é porque v NÃO é autovetor de A.
Aplicando isso diretamente à 1):
[1 -1 0] [-2] [-2]
[2 3 2] x [1] = 𝛌 x [1]
[1 2 1] [3] [3]
Nos dando:
[-3] [-2]
[5] = 𝛌 x [1]
[3] [3]
Opa, impossível isso acontecer. O número que multiplica 1 por exemplo, para dar 5 na segunda linha é 5. Em contrapartida, o número que multiplica 3 na terceira linha para dar 3, é 1. Como 1 ≠ 5, não há 𝛌 que torne verdadeira a igualdade. Logo, v = (-2,1,3) não é autovetor da matriz A.
Reproduzindo o processo para 2):
[2 2] x [-2] = 𝛌 x [-2]
[1 3] [1] [1]
O que nos dá:
[-2] = 𝛌 x [-2]
[1] [1]
O que nos daria 𝛌 = 1. Ou seja, existe um 𝛌 que torne verdadeira a igualdade. Então v = (-2,1) é autovetor dessa matriz A.
Questão 6:
Essa é quase teórica.
Ele quer saber se o operador linear do R³, f(x,y,z) = (-y,x,z) é ortogonal. Naturalmente que precisaremos justificar.
Devemos descobrir qual é a matriz operador linear de f.
Faremos o seguinte: utilizaremos o conceito de função.
Sejam as funções f(e1), f(e2) e f(e3), com e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1), ou seja, e1, e2 e e3 são vetores na base canônica.
Então: f(e1) = f(1,0,0) = (-y,x,z)
f(e2) = f(0,1,0) = (-y,x,z)
f(e3) = f(0,0,1) = (-y,x,z)
Logo, f(e1) = (0,1,0); f(e2) = (-1,0,0); f(e3) = (0,0,1)
Então, para achar a minha matriz operador linear, basta colocar os vetores encontrados em forma de coluna, pois são vetores ortonormais (módulo igual a 1):
[0 -1 0]
M = [1 0 0]
[0 0 1]
Mas para que serve essa matriz? É ela que, multiplicada por um vetor genérico (x,y,z) nos dá o vetor inicial (-y,x,z).
Basta fazer:
[0 -1 0] [x] [-y]
[1 0 0] x [y] = [x] 
[0 0 1] [z] [z]
Feito isto, para confirmar se f é operador ortogonal, a matriz do operador deve ser ortogonal.
Basta fazermos: M^t = M^(-1). Ou seja, a transposta da matriz do operador deve ser igual a sua inversa.
O jeito mais prático é encontrar logo a inversa. Sendo a transposta igual a:
[0 1 0]
M^t = [-1 0 0]
[0 0 1]
Para achar a inversa: M x M^(-1) = I
[0 -1 0] [a b c] [1 0 0]
[1 0 0] x [d e f] = [0 1 0]
[0 0 1] [g h i] [0 0 1]
O que nos dará: a = 0; b = 1; c = 0; d = -1; e = 0; f = 0; g = 0; h = 0; i = 1
[0 1 0]
Ou seja: M^(-1) = [-1 0 0]
[0 0 1]
Que é igual a M^t, comprovando que o operador f(x,y,z) = (-y,x,z) é ortogonal.
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Resolução da Segunda Prova (P2) de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira)/[P2, Segunda Prova] Resolução da Prova de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira) ─ Foto 5 de 6.jpg
Resolução da Segunda Prova (P2) de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira)/[P2, Segunda Prova] Resolução da Prova de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira) ─ Arial.docx
Questão 1:
Dadas as bases do R³: A = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B = {(1,0,-1), (0,1,-1), (-1,1,1)}
a) Matriz mudança de base de B para A: Xba
Como a mudança é de uma base B qualquer para a base canônica, basta colocarmos os vetores de B em forma de coluna na matriz.
Ou seja: 
[1 0 -1]
Xba = [0 1 1]
[-1 -1 1]
b) Dado o vetor Vb na base B, ele quer o vetor Va na base A.
Então, sendo Vb = (7,-4,6) e Va = (x,y,z), temos:
[x] [1 0 -1] [7] [1]
[y] = [0 1 1] x [-4] = [2]
[z] [-1 -1 1] [6] [3]
Logo, Va = (1,2,3).
c) Agora ao contrário, ele quer Vb e nos diz que Va = (1,2,3).
Qualquer um, macetando, iria notar que Vb já vem do item anterior, já que achamos justamente Va = (1,2,3). Logo, Vb tem de ser, necessariamente (7,-4,6).
Mas resolvendo para um caso geral, fazendo Vb = (x,y,z):
Teremos que A.Va = B. Vb
Logo, colocando no produto matricial:
[1 0 0] [1] [1 0 -1] [x]
[0 1 0] x [2] = [0 1 1] x [y]
[0 0 1] [3] [-1 -1 1] [z]
Ou seja:
[1] [x-z]
[2] = [y+z]
[3] [-x-y+z]
Igualando-se as linhas e resolvendo o sistema, teremos Vb = (7,-4,6), como era esperado.
Questão 2:
Ele nos diz que uma transformação linear da função f do R² para o R³ é feita de tal forma que f(-1,1) = (3,2,1) e f(0,1) = (1,1,0).
a) Ele quer f(2,3).
Sejam a e b números quaisquer. Como (-1,1) e (0,1) são linearmente independentes, podemos fazer:
(2,3) = a(-1,1) + b(0,1)
Logo, a = -2 e b = 5
Por que fizemos isto? Porque precisamos descobrir qual a combinação linear que nos dará a transformação completa da f(2,3) em algo do R³. Os números a e b são constantes que valem tanto para a função em si como para o valor da mesma em qualquer base.
Ou seja:
f(2,3) = a.f(-1,1) + b.f(0,1)
Então:
f(2,3) = -2(3,2,1) + 5(1,1,0)
f(2,3) = (-6,-4,-2) + (5,5,0)
f(2,3) = (-1,1,-2)
b) O caso geral agora, para f(x,y).
Análogo ao item anterior, só que agora o problema fica praticamente literal.
(x,y) = a(-1,1) + b(0,1)
Então:
a = -x e b = x + y
Fazendo o mesmo para f(x,y) agora:
f(x,y) = -x(3,2,1) + (x + y)(1,1,0)
f(x,y) = (-3x, -2x, -x) + (x + y, x + y, 0)
f(x,y) = (-2x + y, -x + y, -x)
c) Agora ele quer um vetor genérico V do R² de forma que f(V) = (-2,1,-3).
Novamente, suponhamos que V = (x, y).
O chato dessas questões é que os itens anteriores precisam estar corretos para que a questão inteira fique certa.
Exemplificando: como encontramos f(x,y) na letra b, podemos usá-lo agora. Se estivesse errado, seriam dois itens perdidos.
Mas prosseguindo:
f(x,y) = f(V) = (-2,1,-3)
(-2x + y, -x + y, -x) = (-2,1,-3)
Resolvendo o sistema:
-2x + y = -2
-x + y = 1
- x = -3
Temos x = 3 e y = 4. Logo, V = (3,4).
Questão 3:
Ele nos dá um operador linear f, do R³, definido pela matriz:
[1 0 1]
A = [2 -1 1]
[0 0 -1]
a) A lei que define f^(-1). Ou seja, a inversa de f.
Inicialmente, devemos verificar se a matriz A é inversível. Se não for, problema resolvido e não há inversa. Basta calcular o determinante da matriz. Se det A ≠ 0, ela é inversível.
Nesse caso, det A = 1.
Então, precisamos calcular a matriz inversa.
O caminho mais rápido é fazer o produto da matriz A original pela sua inversa e encontrar a identidade.
Em outras palavras, seja:
[a b c]
A^(-1) = [d e f]
[g h i]
Então A x A^(-1) = I
[1 0 1] [a b c] [1 0 0]
[2 -1 1] x [d e f] = [0 1 0]
[0 0 -1] [g h i] [0 0 1]
Resolvendo a multiplicação e caindo em três sistemas:
a + g = 1 b + h = 0 c + i = 0
2a – d + g = 0 2b - e + h = 1 2c - f + i = 0
-g = 0 -h = 0 -i = 0
Ou seja: a = 1; b = 0; c = 1; d = 2; e = -1; f = 1; g = 0; h = 0.
Logo, minha matriz inversa, será:
[1 0 1]
A^(-1) = [2 -1 1]
[0 0 -1]
Por uma feliz coincidência, a inversa deu igual à matriz A original. Nos poupará trabalho para o próximo item. Mas continuando...
Como estamos no R³, minha função terá as três variáveis: x, y e z.
Para calcularmos f^(-1)(x,y,z), basta nos fazermos do método usado na questão anterior.
Seja f^(-1)(x,y,z) = (x,y,z).
Então:
[1 0 1] [x] [x + z]
f^(-1)(x,y,z) = [2 -1 1] x [y] = [2x - y + z]
[0 0 -1] [z] [-z]
Depois da multiplicação, basta vermos que:
f^(-1)(x,y,z) = (x + z, 2x - y + z, -z)
b) IDÊNTICA à letra c da questão 2. Só muda que antes era no R², agora é no R³. Tá, então não é idêntica, é “parecida”. xD
f(V) = (2,-3,0) é o que ele quer.
Notemos nós que o fato de A = A^(-1) nos facilita aqui. Precisaríamos saber quem é f(x,y,z) para este cálculo, mas só temos f^(-1)(x,y,z) que, NESSE CASO, é igual a f(x,y,z).
Logo, podemos usar que f(V) = (x
+ z, 2x - y + z, -z) = f(x,y,z) = f^(-1)(x,y,z,)
Então, mais um sistema para resolvermos:
x + z = 2
2x - y + z = -3
-z = 0
Logo, x = 2, y = 7 e z = 0.
Enfim, V = (2,7,0).
Questão 4:
Nessa, ele pede para encontrar os autovalores e autovetores da seguinte transformação: f(x,y) = (x + 2y, -x + 4y)
Devemos encontrar a matriz A que representa a transformação na base canônica. Obs.: Poderíamos escolher qualquer base, mas a canônica é sempre a mais aconselhável.
Seja u ={e1, e2} uma base canônica. Logo, e1 = (1,0) e e2 = (0,1).
Então f(e1) = f(1,0) = (1,-1) e f(e2) = f(0,1) = (2,4).
Antes que alguém pergunte: para achar (1,-1) eu substituí x =1 e y = 0 na f(x,y). Idem para (2,4).
Logo, na base canônica, teremos a matriz:
A = [1 2]
[-1 4]
Para saber os autovalores, direto usamos a fórmula do determinante da matriz. Subtraímos 𝛌 da diagonal principal e o determinante da nova matriz deve ser igual a zero. Seja B a nova matriz. (recurso empregado aqui devido ao fato de eu não saber colocar as barrinhas de determinante aqui no Word) xD
Melhor dizendo:
B = [1 - 𝛌 2]
[-1 4 - 𝛌]
det B = 0
Então: (1 - 𝛌)(4 - 𝛌) + 2 = 0
𝛌² -5𝛌 + 6 = 0
𝛌’ = 2 ; 𝛌’’ = 3 -> autovalores!
Para descobrirmos os autovetores, aplicamos a definição: A.v = 𝛌.I.v
Por conseguinte:
[1 2] x [x] = 𝛌 x [x] x [1 0]
[-1 4] [y] [y] [0 1]
Fazendo para 𝛌’ = 2:
[1 2] x [x] = 2 x [x]
[-1 4] [y] [y]
Caindo no sistema:
x + 2y = 2x
-x + 4y = 2y
O que nos dará somente a expressão: x =2y -> y=x/2
Logo, meu v’ = (x, x/2) ou v’ = x(1,1/2) com x ≠ 0. v’ é um dos autovetores.
Para achar o outro autovetor, v’’, devemos usar o raciocínio análogo, mas agora com 𝛌’’ = 3.
Então:
[1 2] x [x] = 3 x [x]
[-1 4] [y] [y]
O que nos dá mais um sistema:
x + 2y = 3x
-x + 4y = 3y
Ou seja, x = y.
Então meu v’’ = (x, x) ou v’’ = x(1,1), com x ≠ 0.
Resposta final: autovalores 𝛌’ = 2 e 𝛌’’ = 3; autovetores v’ = x(1,1/2) e v’’ = x(1,1) com x ≠ 0.
Questão 5:
Essa ele pede para usar a definição e checar se:
1) v = (-2,1,3) é autovetor de A = [1 -1 0]
[2 3 2]
[1 2 1] 
2) v = (2,1) é autovetor de A = [2 2]
[1 3]
Pois bem, mas qual é a definição?
Bem simples. Ela diz que A .v = 𝛌 . v
Em outras palavras: para verificarmos se um vetor é autovetor de uma matriz, basta multiplicarmos essa matriz pelo vetor e igualarmos a um número 𝛌 vezes esse mesmo vetor.
Se for falsa a igualdade, ou seja, se NÃO houver um 𝛌 que multiplicado por esse vetor v dê o primeiro membro da equação, então é porque v NÃO é autovetor de A.
Aplicando isso diretamente à 1):
[1 -1 0] [-2] [-2]
[2 3 2] x [1] = 𝛌 x [1]
[1 2 1] [3] [3]
Nos dando:
[-3] [-2]
[5] = 𝛌 x [1]
[3] [3]
Opa, impossível isso acontecer. O número que multiplica 1 por exemplo, para dar 5 na segunda linha é 5. Em contrapartida, o número que multiplica 3 na terceira linha para dar 3, é 1. Como 1 ≠ 5, não há 𝛌 que torne verdadeira a igualdade. Logo, v = (-2,1,3) não é autovetor da matriz A.
Reproduzindo o processo para 2):
[2 2] x [-2] = 𝛌 x [-2]
[1 3] [1] [1]
O que nos dá:
[-2] = 𝛌 x [-2]
[1] [1]
O que nos daria 𝛌 = 1. Ou seja, existe um 𝛌 que torne verdadeira a igualdade. Então v = (-2,1) é autovetor dessa matriz A.
Questão 6:
Essa é quase teórica.
Ele quer saber se o operador linear do R³, f(x,y,z) = (-y,x,z) é ortogonal. Naturalmente que precisaremos justificar.
Devemos descobrir qual é a matriz operador linear de f.
Faremos o seguinte: utilizaremos o conceito de função.
Sejam as funções f(e1), f(e2) e f(e3), com e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1), ou seja, e1, e2 e e3 são vetores na base canônica.
Então: f(e1) = f(1,0,0) = (-y,x,z)
f(e2) = f(0,1,0) = (-y,x,z)
f(e3) = f(0,0,1) = (-y,x,z)
Logo, f(e1) = (0,1,0); f(e2) = (-1,0,0); f(e3) = (0,0,1)
Então, para achar a minha matriz operador linear, basta colocar os vetores encontrados em forma de coluna, pois são vetores ortonormais (módulo igual a 1):
[0 -1 0]
M = [1 0 0]
[0 0 1]
Mas para que serve essa matriz? É ela que, multiplicada por um vetor genérico (x,y,z) nos dá o vetor inicial (-y,x,z).
Basta fazer:
[0 -1 0] [x] [-y]
[1 0 0] x [y] = [x] 
[0 0 1] [z] [z]
Feito isto, para confirmar se f é operador ortogonal, a matriz do operador deve ser ortogonal.
Basta fazermos: M^t = M^(-1). Ou seja, a transposta da matriz do operador deve ser igual a sua inversa.
O jeito mais prático é encontrar logo a inversa. Sendo a transposta igual a:
[0 1 0]
M^t = [-1 0 0]
[0 0 1]
Para achar a inversa: M x M^(-1) = I
[0 -1 0] [a b c] [1 0 0]
[1 0 0] x [d e f] = [0 1 0]
[0 0 1] [g h i] [0 0 1]
O que nos dará: a = 0; b = 1; c = 0; d = -1; e = 0; f = 0; g = 0; h = 0; i = 1
[0 1 0]
Ou seja: M^(-1) = [-1 0 0]
[0 0 1]
Que é igual a M^t, comprovando que o operador f(x,y,z) = (-y,x,z) é ortogonal.
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Questão 1:
Dadas as bases do R³: A = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B = {(1,0,-1), (0,1,-1), (-1,1,1)}
a) Matriz mudança de base de B para A: Xba
Como a mudança é de uma base B qualquer para a base canônica, basta colocarmos os vetores de B em forma de coluna na matriz.
Ou seja: 
[1 0 -1]
Xba = [0 1 1]
[-1 -1 1]
b) Dado o vetor Vb na base B, ele quer o vetor Va na base A.
Então, sendo Vb = (7,-4,6) e Va = (x,y,z), temos:
[x] [1 0 -1] [7] [1]
[y] = [0 1 1] x [-4] = [2]
[z] [-1 -1 1] [6] [3]
Logo, Va = (1,2,3).
c) Agora ao contrário, ele quer Vb e nos diz que Va = (1,2,3).
Qualquer um, macetando, iria notar que Vb já vem do item anterior, já que achamos justamente Va = (1,2,3). Logo, Vb tem de ser, necessariamente (7,-4,6).
Mas resolvendo para um caso geral, fazendo Vb = (x,y,z):
Teremos que A.Va = B. Vb
Logo, colocando no produto matricial:
[1 0 0] [1] [1 0 -1] [x]
[0 1 0] x [2] = [0 1 1] x [y]
[0 0 1] [3] [-1 -1 1] [z]
Ou seja:
[1] [x-z]
[2] = [y+z]
[3] [-x-y+z]
Igualando-se as linhas e resolvendo o sistema, teremos Vb = (7,-4,6), como era esperado.
Questão 2:
Ele nos diz que uma transformação linear da função f do R² para o R³ é feita de tal forma que f(-1,1) = (3,2,1) e f(0,1) = (1,1,0).
a) Ele quer f(2,3).
Sejam a e b números quaisquer. Como (-1,1) e (0,1) são linearmente independentes, podemos fazer:
(2,3) = a(-1,1) + b(0,1)
Logo, a = -2 e b = 5
Por que fizemos isto? Porque precisamos descobrir qual a combinação linear que nos dará a transformação completa da f(2,3) em algo do R³. Os números a e b são constantes que valem tanto para a função em si como para o valor da mesma em qualquer base.
Ou seja:
f(2,3) = a.f(-1,1) + b.f(0,1)
Então:
f(2,3) = -2(3,2,1) + 5(1,1,0)
f(2,3) = (-6,-4,-2) + (5,5,0)
f(2,3) = (-1,1,-2)
b) O caso geral agora, para
f(x,y).
Análogo ao item anterior, só que agora o problema fica praticamente literal.
(x,y) = a(-1,1) + b(0,1)
Então:
a = -x e b = x + y
Fazendo o mesmo para f(x,y) agora:
f(x,y) = -x(3,2,1) + (x + y)(1,1,0)
f(x,y) = (-3x, -2x, -x) + (x + y, x + y, 0)
f(x,y) = (-2x + y, -x + y, -x)
c) Agora ele quer um vetor genérico V do R² de forma que f(V) = (-2,1,-3).
Novamente, suponhamos que V = (x, y).
O chato dessas questões é que os itens anteriores precisam estar corretos para que a questão inteira fique certa.
Exemplificando: como encontramos f(x,y) na letra b, podemos usá-lo agora. Se estivesse errado, seriam dois itens perdidos.
Mas prosseguindo:
f(x,y) = f(V) = (-2,1,-3)
(-2x + y, -x + y, -x) = (-2,1,-3)
Resolvendo o sistema:
-2x + y = -2
-x + y = 1
- x = -3
Temos x = 3 e y = 4. Logo, V = (3,4).
Questão 3:
Ele nos dá um operador linear f, do R³, definido pela matriz:
[1 0 1]
A = [2 -1 1]
[0 0 -1]
a) A lei que define f^(-1). Ou seja, a inversa de f.
Inicialmente, devemos verificar se a matriz A é inversível. Se não for, problema resolvido e não há inversa. Basta calcular o determinante da matriz. Se det A ≠ 0, ela é inversível.
Nesse caso, det A = 1.
Então, precisamos calcular a matriz inversa.
O caminho mais rápido é fazer o produto da matriz A original pela sua inversa e encontrar a identidade.
Em outras palavras, seja:
[a b c]
A^(-1) = [d e f]
[g h i]
Então A x A^(-1) = I
[1 0 1] [a b c] [1 0 0]
[2 -1 1] x [d e f] = [0 1 0]
[0 0 -1] [g h i] [0 0 1]
Resolvendo a multiplicação e caindo em três sistemas:
a + g = 1 b + h = 0 c + i = 0
2a – d + g = 0 2b - e + h = 1 2c - f + i = 0
-g = 0 -h = 0 -i = 0
Ou seja: a = 1; b = 0; c = 1; d = 2; e = -1; f = 1; g = 0; h = 0.
Logo, minha matriz inversa, será:
[1 0 1]
A^(-1) = [2 -1 1]
[0 0 -1]
Por uma feliz coincidência, a inversa deu igual à matriz A original. Nos poupará trabalho para o próximo item. Mas continuando...
Como estamos no R³, minha função terá as três variáveis: x, y e z.
Para calcularmos f^(-1)(x,y,z), basta nos fazermos do método usado na questão anterior.
Seja f^(-1)(x,y,z) = (x,y,z).
Então:
[1 0 1] [x] [x + z]
f^(-1)(x,y,z) = [2 -1 1] x [y] = [2x - y + z]
[0 0 -1] [z] [-z]
Depois da multiplicação, basta vermos que:
f^(-1)(x,y,z) = (x + z, 2x - y + z, -z)
b) IDÊNTICA à letra c da questão 2. Só muda que antes era no R², agora é no R³. Tá, então não é idêntica, é “parecida”. xD
f(V) = (2,-3,0) é o que ele quer.
Notemos nós que o fato de A = A^(-1) nos facilita aqui. Precisaríamos saber quem é f(x,y,z) para este cálculo, mas só temos f^(-1)(x,y,z) que, NESSE CASO, é igual a f(x,y,z).
Logo, podemos usar que f(V) = (x + z, 2x - y + z, -z) = f(x,y,z) = f^(-1)(x,y,z,)
Então, mais um sistema para resolvermos:
x + z = 2
2x - y + z = -3
-z = 0
Logo, x = 2, y = 7 e z = 0.
Enfim, V = (2,7,0).
Questão 4:
Nessa, ele pede para encontrar os autovalores e autovetores da seguinte transformação: f(x,y) = (x + 2y, -x + 4y)
Devemos encontrar a matriz A que representa a transformação na base canônica. Obs.: Poderíamos escolher qualquer base, mas a canônica é sempre a mais aconselhável.
Seja u ={e1, e2} uma base canônica. Logo, e1 = (1,0) e e2 = (0,1).
Então f(e1) = f(1,0) = (1,-1) e f(e2) = f(0,1) = (2,4).
Antes que alguém pergunte: para achar (1,-1) eu substituí x =1 e y = 0 na f(x,y). Idem para (2,4).
Logo, na base canônica, teremos a matriz:
A = [1 2]
[-1 4]
Para saber os autovalores, direto usamos a fórmula do determinante da matriz. Subtraímos 𝛌 da diagonal principal e o determinante da nova matriz deve ser igual a zero. Seja B a nova matriz. (recurso empregado aqui devido ao fato de eu não saber colocar as barrinhas de determinante aqui no Word) xD
Melhor dizendo:
B = [1 - 𝛌 2]
[-1 4 - 𝛌]
det B = 0
Então: (1 - 𝛌)(4 - 𝛌) + 2 = 0
𝛌² -5𝛌 + 6 = 0
𝛌’ = 2 ; 𝛌’’ = 3 -> autovalores!
Para descobrirmos os autovetores, aplicamos a definição: A.v = 𝛌.I.v
Por conseguinte:
[1 2] x [x] = 𝛌 x [x] x [1 0]
[-1 4] [y] [y] [0 1]
Fazendo para 𝛌’ = 2:
[1 2] x [x] = 2 x [x]
[-1 4] [y] [y]
Caindo no sistema:
x + 2y = 2x
-x + 4y = 2y
O que nos dará somente a expressão: x =2y -> y=x/2
Logo, meu v’ = (x, x/2) ou v’ = x(1,1/2) com x ≠ 0. v’ é um dos autovetores.
Para achar o outro autovetor, v’’, devemos usar o raciocínio análogo, mas agora com 𝛌’’ = 3.
Então:
[1 2] x [x] = 3 x [x]
[-1 4] [y] [y]
O que nos dá mais um sistema:
x + 2y = 3x
-x + 4y = 3y
Ou seja, x = y.
Então meu v’’ = (x, x) ou v’’ = x(1,1), com x ≠ 0.
Resposta final: autovalores 𝛌’ = 2 e 𝛌’’ = 3; autovetores v’ = x(1,1/2) e v’’ = x(1,1) com x ≠ 0.
Questão 5:
Essa ele pede para usar a definição e checar se:
1) v = (-2,1,3) é autovetor de A = [1 -1 0]
[2 3 2]
[1 2 1] 
2) v = (2,1) é autovetor de A = [2 2]
[1 3]
Pois bem, mas qual é a definição?
Bem simples. Ela diz que A .v = 𝛌 . v
Em outras palavras: para verificarmos se um vetor é autovetor de uma matriz, basta multiplicarmos essa matriz pelo vetor e igualarmos a um número 𝛌 vezes esse mesmo vetor.
Se for falsa a igualdade, ou seja, se NÃO houver um 𝛌 que multiplicado por esse vetor v dê o primeiro membro da equação, então é porque v NÃO é autovetor de A.
Aplicando isso diretamente à 1):
[1 -1 0] [-2] [-2]
[2 3 2] x [1] = 𝛌 x [1]
[1 2 1] [3] [3]
Nos dando:
[-3] [-2]
[5] = 𝛌 x [1]
[3] [3]
Opa, impossível isso acontecer. O número que multiplica 1 por exemplo, para dar 5 na segunda linha é 5. Em contrapartida, o número que multiplica 3 na terceira linha para dar 3, é 1. Como 1 ≠ 5, não há 𝛌 que torne verdadeira a igualdade. Logo, v = (-2,1,3) não é autovetor da matriz A.
Reproduzindo o processo para 2):
[2 2] x [-2] = 𝛌 x [-2]
[1 3] [1] [1]
O que nos dá:
[-2] = 𝛌 x [-2]
[1] [1]
O que nos daria 𝛌 = 1. Ou seja, existe um 𝛌 que torne verdadeira a igualdade. Então v = (-2,1) é autovetor dessa matriz A.
Questão 6:
Essa é quase teórica.
Ele quer saber se o operador linear do R³, f(x,y,z) = (-y,x,z) é ortogonal. Naturalmente que precisaremos justificar.
Devemos descobrir qual é a matriz operador linear de f.
Faremos o seguinte: utilizaremos o conceito de função.
Sejam as funções f(e1), f(e2) e f(e3), com e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1), ou seja, e1, e2 e e3 são vetores na base canônica.
Então: f(e1) = f(1,0,0) = (-y,x,z)
f(e2) = f(0,1,0) = (-y,x,z)
f(e3) = f(0,0,1) = (-y,x,z)
Logo, f(e1) = (0,1,0); f(e2) = (-1,0,0); f(e3) = (0,0,1)
Então, para achar a minha matriz operador linear, basta colocar os vetores encontrados em forma de coluna, pois são vetores ortonormais (módulo igual a 1):
[0 -1 0]
M = [1 0 0]
[0 0 1]
Mas para que serve essa matriz? É ela que, multiplicada por um vetor genérico (x,y,z) nos dá o vetor inicial (-y,x,z).
Basta fazer:
[0 -1 0] [x] [-y]
[1 0 0] x [y] = [x] 
[0 0 1] [z] [z]
Feito isto, para confirmar se f é operador ortogonal, a matriz do operador deve ser ortogonal.
Basta fazermos: M^t = M^(-1). Ou seja, a transposta da matriz do operador deve ser igual a sua inversa.
O jeito mais prático é encontrar logo a inversa. Sendo a transposta igual a:
[0 1 0]
M^t = [-1 0 0]
[0 0 1]
Para achar a inversa: M x M^(-1) = I
[0 -1 0] [a b c] [1 0 0]
[1 0 0] x [d e f] = [0 1 0]
[0 0 1] [g h i] [0 0 1]
O que nos dará: a = 0; b = 1; c = 0; d = -1; e = 0; f = 0; g = 0; h = 0; i = 1
[0 1 0]
Ou seja: M^(-1) = [-1 0 0]
[0 0 1]
Que é igual a M^t, comprovando que o operador f(x,y,z) = (-y,x,z) é ortogonal.
Resolução da Segunda Prova (P2) de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira)/[P2, Segunda Prova] Resolução da Prova de Álgebra Linear II de 2006.1 ─ Versão B (Professor Mario Jorge Ferreira de Oliveira) ─ Foto 2 de 6.jpg