2013Prova3Gab

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Exame de Estatística - Prof. Nei Rocha
Graduação em Bacharelado em Biologia
Instituto de Matemática - UFRJ
10 de dezembro de 2013 Duração: 2 horas
Boa Prova!
1a. Questão (1,5): Em uma população, sabe-se que a porcentagem de fumantes é de 20%. Pergunta-
se:
(a) Selecionada uma amostra de tamanho 200 dessa população expresse matematicamente a prob-
abilidade de que a porcentagem de fumantes na amostra seja superior a 18% e inferior a 24%.
(b) Obtenha o valor aproximado da probabilidade do evento descrito no item (a) pela aproximação
da distribuição normal.
Resposta: (a) Seja X a v.a. que conta o número de fumantes na amostra de tamanho 200. Como
cada elemento da amostra tem a probabilidade de 20% de ser fumante e 80% de não ser, então temos
200 ensaios de Bernoulli independentes com a mesma probabilidade de sucesso (ser fumante) e mesma
probabilidade de fracasso (não ser fumante). Assim
X � B(200; 0; 2)
P (X = x) =
�
200
x
�
(0; 2)x (0; 8)200�x , x = 0; 1; 2; 3; :::; 200.
Desejamos
P (0; 18� 200 < X < 0; 24� 200)
= P (36 < X < 48)
= P (37 � X � 47)
A expressão exata seria
P (36 < X < 48) =
47X
x=37
�
200
x
�
(0; 2)x (0; 8)200�x .
(b) Como n = 200 é um número grande, podemos aproximar a v.a. X pela normal. Como
E (X) = 200� 0; 2 = 40 e V ar (X) = 200� 0; 2� 0; 8 = 32
temos
X � N (40; 32)
Assim
Z =
X � 40p
32
� N (0; 1)
Desejamos
P (36 < X < 48) �= P (36; 5 � X � 47; 5)
= P
�
36; 5� 40p
32
� X � 40p
32
� 47; 5� 40p
32
�
= P (�0; 62 � Z � 1; 33)
= P (Z � 1; 33)� P (Z � �0; 62)
= 0; 9082� 0; 2676
P (36 < X < 48) �= 0; 6406
2a. Questão (2,0):Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11
litros por 100 km rodados, com desvio-padrão de 0,8 litro. Uma revista resolve testar a a…rmação e
analisa 50 automóveis dessa marca quanto ao consumo por 100 km.
(a) Qual a probabilidade de que a média de consumo dos 50 carros seja superior ou igual a 11,3
litros por 100 km?
(b) Sabendo-se que de fato a média e consumo da amostra foi de 11,3 litros por 100 km como
consumo médio, construa um intervalo de con…ança a um nível de signi…cância de 10% para o consumo
médio dos carros fabricados pela companhia em estudo.
(c) O que a revista pode concluir sobre a a…rmação da fábrica?
Resposta: (a) Seja Xi a v.a. que representa o consumo do i-ésimo carro em litros por 100 km
rodados, i = 1; 2; :::50. Temos
E (Xi) = 11 e V ar (Xi) = (0; 8)
2 , parai = 1; 2; :::; 50.
Pelo Teorema Central do Limite, temos
�X50 =
P50
i=1Xi
50
� N (11; (0; 8)
2
50
)
Assim
Z =
�X50 � 11q
(0;8)2
50
� N (0; 1)
Desejamos calcular
P
�
�X50 > 11; 3
�
= P
0@ �X50 � 11q
(0;8)2
50
>
11; 3� 11q
(0;8)2
50
1A
= P (Z > 2; 65)
= P (Z < �2; 65)
= 0; 0040
P
�
�X50 > 11; 3
�
= 0; 4%
(b) Pela informação acima, temos � = 11 (a priori), � = 0; 8, n = 50, �X50 = 11; 3 e � = 0; 1.
Desejamos formar um intervalo de con…ança com 90% de con…abilidade para � à luz da amostra com
� conhecido. Assim temos
P
�
X50 � z0;05 �p
50
� � � X50 + z0;05 �p
50
�
= 0; 9
Pela tabela da Normal Padrão temos, z0;05 = 1; 65. Assim
P
�
11; 3� 1; 65 0; 8p
50
� � � 11; 3 + 1; 65 0; 8p
50
�
= 0; 9
P (11; 11 � � � 11; 49) = 0; 9
(c) Pelo resultado do item (a) acima, temos
P (� � 11; 11) = 0; 95
Portanto, ao nível de signi…cância de 5%, podemos a…rmar que esses carros consomem acima de 11,11
litros por 100 km rodados. Logo à luz dos dados, rejeitamos a informação da fábrica de que seus
veículos consomem em média 11 litros por 100 km rodados.
3a. Questão (2,0): A leitura e a televisão competem pelo tempo de lazer? Para descobrir isso, um
especialista em comunicação entrevistou 10 crianças quanto ao número de livros que haviam lido no
ano anterior e o número médio de horas que elas haviam passado assistindo à televisão diariamente.
Os resultados foram os seguintes:
Número de livros 0 7 2 1 5 4 3 3 0 1
Horas à TV 3 1 2 2 0 1 3 2 7 4
(a) A partir de uma medida estatística apropriada, o que se pode concluir dos dados obtidos?
(b) Construa um modelo de regressão para estimar a média de horas passadas por dia diante da
televisão a partir da quantidade de livros lidos durante um ano.
Resposta: (a) Temos os seguintes resultados
10X
i=1
xi = 26,
10X
i=1
yi = 25,
10X
i=1
x2i = 114,
10X
i=1
y2i = 97 e
10X
i=1
xiyi = 36.
Assim
r =
10� 36� 26� 25p
10� 114� 262p10� 97� 252 =
�290p
464
p
345
= �0; 7248
Podemos concluir que a correlação é negativa, isto é, que quanto maior o número de livros lidos,
menor é o tempo passado diante da TV. Além disso, podemos dizer que r2 = 0; 5253 = 52; 53% da
variabilidade referente ao tempo passado diante da TV é explicado pelo número de livros lidos no ano,
o que não é tão denunciativo de que a leitura e a televisão competem pelo tempo de lazer.
(b) Temos
a =
10� 36� 26� 25
10� 114� 262 =
�290
464
= �0; 625
e
b =
25
10
� (�0; 625)� 26
10
= 4; 125
Portanto a reta de regressão é dada por
y^i = �0; 625xi + 4; 125.
4a. Questão (1,5): Numa pesquisa realizada com 2000 proprietários de carros na cidade de São
Paulo, 800 responderam que pretendem mudar de carro no decorrer do próximo ano.
(a) Construa um intervalo de con…ança a um nível de signi…cância de 1% para a proporção de
todos os proprietários de carros de São Paulo que pretendem mudar de carro no próximo ano.
(b) A um nível de signi…cância de 0,5%, podemos a…rmar que mais do que 45% dos proprietários
mudarão de carro no próximo ano?
Resposta: (a) Pelos dados acima, temos p^ = 8002000 = 0; 4, n = 2000 e � = 0; 01. Desejamos um
intervalo de con…ança para �, a proporção dos proprietários de carros na cidade de São Paulo que
pretendem mudar de carro no decorrer do próximo ano. Assim temos
P
 
p^� z�=2
r
p^(1� p^)
n
� p � p^+ z�=2
r
p^(1� p^)
n
!
= 1� �
P
 
0; 4� z0;005
r
0; 4(0; 6)
2000
� p � 0; 4 + z0;005
r
0; 4(0; 6)
2000
!
= 0; 99
Como z0;005 = 2; 58, temos
P
 
0; 4� 2; 58
r
0; 4(0; 6)
2000
� p � 0; 4 + 2; 58
r
0; 4(0; 6)
2000
!
= 0; 99
P (0; 3717 � p � 0; 4283) = 0; 99
(b) Pelo resultado do item (a) acima, temos
P (p � 0; 4283) = 0; 995
Logo, com 99,5% de probabilidade podemos garantir que a proporção dos proprietários que mudarão
de carro no próximo ano não excederá a 42,83%. Portanto ao nível de signi…cância de 0,5% rejeitamos
a hipótese de que mais do que 45% dos proprietários mudarão de carro no próximo ano.
5a. Questão (3,0): Um pesquisador comportamental deseja examinar a extensão de cooperação entre
crianças de jardim de infância. Para isso, ele observa de maneira discreta um grupo de 10 crianças e
anota o número de atos cooperativos em que cada criança se engajou, obtendo os seguintes dados: 1,
5, 2, 3, 4, 1, 2, 2, 4, 3. Pede-se:
(a) A média, a mediana e a moda da amostra.
(b) O desvio-padrão e o coe…ciente de variação, interpretando-o estatisticamente.
(c) O intervalo de con…ança de 95% de con…abilidade para a média do número de atos cooperativos.
Resposta: (a) Temos
X10 =
27
10
= 2; 7, Med =
2 + 3
2
= 2; 5 e Mo = 2.
(b) Temos
S2 =
P10
i=1 (xi � 2; 7)2
9
=
16; 1
9
e assim
S =
r
16; 1
9
= 1; 34
Assim
CV =
S
�X
=
1; 34
2; 7
= 0; 496 = 49; 6%.
Os dados podem ainda ser considerados como homogêneos.
(c) Como n = 10 é pequena, temos
P
�
X10 � t9;0;025 Sp
10
� � � X10 + t9;0;025 Sp
10
�
= 0; 95
Temos o valor tabelado t9;0;025 = 2; 262. Assim
P
�
2; 7� 2; 262� 1; 34p
10
� � � 2; 7 + 2; 262� 1; 34p
10
�
= 0; 95
P (2; 7� 0; 96 � � � 2; 7 + 0; 96) = 0; 95
P (1; 74 � � � 3; 66) = 0; 95