Lista 4

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4a Lista de A´lgebra I
1. A que nu´mero entre 0 e 6 e´ congruente mo´dulo 7 o produto 11 · 18 · 2322 · 13 · 19.
2. A que nu´mero entre 0 e 3 e´ congruente mo´dulo 4 a soma 1+2+22 +23 + · · ·+239.
3. Utilizando congrueˆncia determine os crite´rios de divisibilidade por 3, 4, 5 e 11.
4. Mostre que n2 ≡ 1 (mod 4) se n e´ ı´mpar e n2 ≡ 0 (mod 4) se n e´ par.
5. A equac¸a˜o x2 ≡ 3 (mod 4) possui soluc¸a˜o x ∈ Z?
6. Determine o resto da divisa˜o de 4100 por 65.
7. Determine o resto da divisa˜o de 2550 + 11100 por 3.
8. Determine o resto da divisa˜o de 35555 por 80.
9. Determine o resto das diviso˜es de 250 por 7, 4165 por 7 e 15 + 25 + 35 + · · ·+ 2005
por 4.
10. Seja a um inteiro ı´mpar. Mostre que a2
n ≡ 1( mod 2n+2), para todo inteiro n ≥ 1.
11. Resolva as congrueˆncias lineares:
a) 18x ≡ 30 (mod 42).
b) 9x ≡ 21 (mod 30).
c) 14x ≡ 10 (mod 21).
12. Resolva os sistemas de congrueˆncias lineares:
a) x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7).
b) x ≡ 5 (mod 6), x ≡ 4 (mod 11), x ≡ 3 (mod 7).
c) x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 5 (mod 7), x ≡ 1 (mod 9).
d) 2x ≡ 3 (mod 5), 3x ≡ 4 (mod 7).
13. Resolva os sistemas de congrueˆncias lineares:
a) x ≡ 4 (mod 6), x ≡ 7 (mod 15).
b) 3x ≡ 4 (mod 10), x ≡ 12 (mod 14).
14. Determine o menor inteiro a ≥ 100 tal que 2|a, 3|(a+ 1) e 5|(a+ 2).
15. Mostre que o sistema de congrueˆncias x ≡ 5 (mod 6) e x ≡ 7 (mod 15) na˜o tem
soluc¸a˜o.
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16. Se de uma cesta com ovos retiramos duas unidades por vez sobra um ovo. O
mesmo acontece se os ovos sa˜o retirados 3 a 3, 4 a 4, 5 a 5 ou 6 a 6. Mas na˜o
resta nenhm ovo se retirarmos 7 unidades por vez. Encontre o menor nu´mero
poss´ıvel de ovos.
17. Seja a ∈ Z. Prove que:
a) a21 ≡ a (mod 15).
b) a7 ≡ a (mod 42).
c) a37 ≡ a (mod 1729).
d) a79 ≡ a (mod 158).
18. Mostre que n17 − n e´ divis´ıvel por 510 para todo n natural.
19. Sejam a e b inteiros, prove que se ap ≡ bp (mod p) enta˜o a ≡ b (mod p).
20. Sejam p e q primos distintos ı´mpares tais que (p− 1)|(q− 1). Se o mdc(a, pq)=1,
prove que aq−1 ≡ 1 (mod pq).
21. Calcule φ(n) para n = 1, . . . , 20 e φ(347), φ(312).
22. Determine o resto da divisa˜o de 33574 por 55, 968 e por 100 (sugesta˜o: use o
Teorema de Euler).
23. Mostre que φ(n) e´ par para todo n ≥ 3.
24. Determine todos os inteiros n ∈ N tais que φ(n) = 6.
25. Existe n ∈ Z tal que φ(n) = 57?
26. Mostre que se n > 4 for um nu´mero composto, enta˜o (n− 1)! ≡ 0(modn).
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